精品解析：浙江省杭州市十三中教育集团2024-2025学年下学期七年级数学期中考试卷

2024−2025学年浙江省杭州十三中七年级（下）期中 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列现象中，属于平移的是（ ） A. 足球在草坪上滚动 B. 货物在传送带上移动 C. 小朋友在荡秋千 D. 汽车雨刮器的摆动 2. 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年3月27日，在展会现场，深圳新凯来工业机器有限公司首次对外公开半导体产品线，被市场称为国产芯片设备的“重大突破”．已知某国产芯片制程为0.00000007米，则0.00000007用科学记数法表示为（ ） A. B. C D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 图，点，，共线，下列条件中不能判断的是（ ） A B. C. D. 6. 已知实数x、y、k满足，则代数式的值是（ ） A. 4 B. 6 C. 5 D. 7 7. 今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？（选自《孙子算经》）题目大意：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x辆车，y个人，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法：①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行和相交两种；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③相等的角是对顶角；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等．其中正确的是（ ） A ①④⑤ B. ②③④ C. ②⑤ D. ①④ 9. 如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，将点C、D分别折至、，若，则用含x的式子可以将表示为（ ） A. B. C. D. 10. 在矩形内将两种边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1和图2两种方式放置，矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差为l，若要知道l的值，只要测量图中哪条线段的长（ ） A. B. a C. D. b 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若是方程的一个解，则_________． 12. 若，则_______；am-n=_______． 13. 如图，直线相交于点O，于点O．若，则的度数为_____________． 14. 在解关于x，y的方程组时，甲同学因看错了c，得到的解为，而正确的解为，则_________，_________，_________． 15. 已知，则代数式__________． 16. 已知关于x，y的方程组，现给出以下结论：①是该方程组的一个解； ②无论a取何值，的值始终是一个定值； ③当时，该方程组的解也是方程的解； ④若，则．其中正确的是_________（填序号） 三、解答题（8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 解下列方程组： （1） （2） 19. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处．现将平移得到，使点A对应点D，点B对应点E． （1）过点B作，且与成内错角； （2）画出平移后； （3）求的面积． 20. 已知多项式的展开式中不含项． （1）求m的值； （2）化简：并在（1）的条件下求值． 21. 已知：如图，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若平分，求的度数． 22. 某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图2的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． （1）根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片数量 4张 a张 正方形铁片的数量 b张 2张 则_________，_________； （2）若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ （3）已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 23. 【知识生成】数学中，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．根据1可以得到，，之间的等量关系式：_____________________________；根据图2可以得到，之间的等量关系式：__________________________________． 【知识应用】应用上述等量关系，解决以下问题：若，则_________，_________． 【知识迁移】如图2所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 24. 已知直线，点、分别是直线和上的两点，点为直线和之间的一点，连接、． （1）如图1，若，试说明； （2）如图2，在（1）的结论下，点是直线下方一点，满足平分，平分．若，求的度数； （3）如图3，点是直线上方一点，连结、，若点为线段上一点，的延长线为的三等分线，平分，，则_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024−2025学年浙江省杭州十三中七年级（下）期中 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列现象中，属于平移的是（ ） A. 足球在草坪上滚动 B. 货物在传送带上移动 C. 小朋友在荡秋千 D. 汽车雨刮器的摆动 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解题的关键． 根据平移的定义判断即可． 【详解】解：A．足球在草坪上滚动，属于旋转，故该选项不符合题意； B．货物在传送带上移动，属于平移，故该选项符合题意； C．小朋友在荡秋千，属于旋转，故该选项不符合题意； D．汽车雨刮器摆动，属于旋转，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，含有2个未知数，未知数的次数是1的整式方程是二元一次方程．根据二元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：A、未知数的次数是2，不是二元一次方程，本选项不符合题意； B、是二元一次方程，本选项符合题意； C、未知数的次数是2，不是二元一次方程，本选项不符合题意； D、不是整式方程，不是二元一次方程，本选项不符合题意； 故选：B． 3. 2025年3月27日，在展会现场，深圳新凯来工业机器有限公司首次对外公开半导体产品线，被市场称为国产芯片设备的“重大突破”．已知某国产芯片制程为0.00000007米，则0.00000007用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数：当原数的绝对值时，n是负数． 详解】解：． 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用零指数幂，积的乘方法则，单项式除以单项式法则，完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：，则A不符合题意， ，则B符合题意， ，则C不符合题意， ，则D不符合题意， 故选：B． 5. 图，点，，共线，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可． 【详解】解：A、∠1＝∠2可利用内错角相等，两直线平行判定AD∥BC，故此选项不符合题意； B、∠A＝∠5可利用同位角相等，两直线平行判定AD∥BC，故此选项不符合题意； C、∠3＝∠4，可根据内错角相等，两直线平行判定CD∥BA，不能判定AD∥BC，故此选项符合题意； D、∠A＋∠ABC＝180°可利用同旁内角互补，两直线平行判定AD∥BC，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解本题的关键． 6. 已知实数x、y、k满足，则代数式的值是（ ） A. 4 B. 6 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，直接相加是解题的关键．观察方程组未知数系数的特点，两个方程相加即可得出的值． 【详解】解：， ，得， 故选：C． 7. 今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？（选自《孙子算经》）题目大意：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x辆车，y个人，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行”，即可列出方程组． 【详解】根据每3人坐一辆车，则有2辆空车，可列方程， 根据每2人坐一辆车，则有9人需要步行，可列方程， 所以可列方程组为． 故选：A． 8. 下列说法：①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行和相交两种；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③相等的角是对顶角；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等．其中正确的是（ ） A. ①④⑤ B. ②③④ C. ②⑤ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相交线与平行线，平行线公理，点到直线的距离，对等角、垂线段的定义，理解相关的知识是解题的关键．根据平行线的判定与性质、平行线的定义、平行公理及推论、点到直线的距离求解判断即可得解． 【详解】解：在同一平面内，两条直线的位置关系有：相交、平行，故①正确，符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故②错误，不符合题意； 相等的角不一定是对顶角，故③错误，不符合题意； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故④正确，符合题意； 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故⑤错误，不符合题意． 故选：D． 9. 如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，将点C、D分别折至、，若，则用含x的式子可以将表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及翻折变换（折叠问题），牢记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． 利用折叠的性质，可得出，结合，可得出，由，利用“两直线平行，同旁内角互补”，即可表示出的度数． 【详解】解：根据折叠的性质，得：， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 10. 在矩形内将两种边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1和图2两种方式放置，矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差为l，若要知道l的值，只要测量图中哪条线段的长（ ） A. B. a C. D. b 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，周长的定义，关键是得到图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长，根据平移的知识和周长的定义，列出算式，再去括号，合并同类项即可求解． 【详解】解：图1中阴影部分周长， 图2中阴影部分的周长， 则． 故若要知道l的值，只要测量图中线段的长． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若是方程的一个解，则_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．将代入原方程，可得出，解之即可得出结论． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：． 故答案为：6． 12. 若，则_______；am-n=_______． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴am-n=am÷an=2÷3=， am+n=am×an=2×3=6， 故答案为：6；. 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键． 13. 如图，直线相交于点O，于点O．若，则的度数为_____________． 【答案】##130度 【解析】 【分析】先求得的度数，再根据对顶角相等得出，根据垂直的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了对顶角相等，垂线定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14. 在解关于x，y的方程组时，甲同学因看错了c，得到的解为，而正确的解为，则_________，_________，_________． 【答案】 ①. 2 ②. 1 ③. 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．将代入方程，将代入方程组，从而求出a、b、c的值即可． 【详解】解：将代入方程，得， 经整理，得①， 将代入方程组，得， 解方程③，得， 由①和②建立关于a和b的二元一次方程， 解得， ． 故答案为：2，1，． 15. 已知，则代数式__________． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是整体代入求值．由，得到，再将原式变形为，代入数据计算即可． 【详解】解：因为， 所以， ． 故答案为：2023． 16. 已知关于x，y方程组，现给出以下结论：①是该方程组的一个解； ②无论a取何值，的值始终是一个定值； ③当时，该方程组的解也是方程的解； ④若，则．其中正确的是_________（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式、二元一次方程的解、二元一次方程组的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用加减消元消掉a，进而得出答案． 【详解】解：， 得，③， ， 则， 故②正确； 将分别代入中，即，故①正确； 当时，，故③正确； 若，则 即， 故， 解得：，故④错误． 故答案为：①②③， 三、解答题（8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （2）先根据完全平方公式、多项式除以单项式的法则计算，再合并同类项即可． 本题考查了负整数指数幂、零次幂、绝对值、完全平方公式、多项式除以单项式的法则，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法和加城消元法是解答本题的关键． （1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：， 把②代入①，得， 解得， 把代入②，得， 故方程组的解为； 【小问2详解】 解：， ，得， 解得， 把代入②，得， 故方程组的解为． 19. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处．现将平移得到，使点A对应点D，点B对应点E． （1）过点B作，且与成内错角； （2）画出平移后的； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图−平移变换、同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在的左侧过点B作即可． （2）由题意得，向右平移4个单位长度，向下平移1个单位长度得到，根据平移的性质作图即可． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：由题意得，向右平移4个单位长度，向下平移1个单位长度得到，如图，即为所求． 【小问3详解】 解：的面积为． 20. 已知多项式的展开式中不含项． （1）求m的值； （2）化简：并在（1）的条件下求值． 【答案】（1） （2）；4 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算一化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项，根据展开式中不含x2项得到关于m的方程，解方程即可； （2）将原式利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式法则展开并合并同类项，然后将m的值代入计算即可． 【小问1详解】 原式 ， 展开式中不含项， ， 解得：； 【小问2详解】 原式 ； 当时， 原式． 21. 已知：如图，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的综合应用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补：两直线平行，内错角相等． （1）根据平行线的性质即可得出，再根据条件，即可得到，进而判定． （2）根据平行线的性质，得到，根据角平分线的定义，可得到，即再根据平行线的性质即可得出的度数，又，所以． 【小问1详解】 解：．理由如下： ， ， 又， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 平分， ， ， ． ， ． 22. 某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图2的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． （1）根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 a张 正方形铁片的数量 b张 2张 则_________，_________； （2）若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ （3）已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】（1）3，1 （2）可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器 （3）共有2种方案可供选择，详见解析 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，熟练掌握1个竖式无盖容器需要长方形铁片张数和正方形铁片张数， 1个横式无盖容器需要长方形铁片张数和正方形铁片张数，总价与单价和数量的关系，正确列出二元次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）根据“制作1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片、1张正方形铁片，制作1个横式无盖容器需要3张长方形铁片、2张正方形铁片”，即可得出结论； （2）设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器，根据加工两种容器共用了170张长方形铁片和80张正方形铁片，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设采购m个竖式容器，n个横式容器，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各采购方案． 【小问1详解】 解：制作1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片、1张正方形铁片，制作1个横式无盖容器需要3张长方形铁片、2张正方形铁片， ． 故答案为：3，1； 【小问2详解】 解：设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器， 根据题意得：， 解得： 答：可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器； 【小问3详解】 解：设采购m个竖式容器，n个横式容器， 根据题意得：， ， 又m，n均为正整数， 或， ∴共有2种方案可供选择， 方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购4个竖式容器，10个横式容器． 23. 【知识生成】数学中，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．根据1可以得到，，之间的等量关系式：_____________________________；根据图2可以得到，之间的等量关系式：__________________________________． 【知识应用】应用上述等量关系，解决以下问题：若，则_________，_________． 【知识迁移】如图2所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】【知识生成】， 【知识应用】20，4 【知识迁移】15 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 知识生成：根据图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可； 知识应用：根据代入计算即可； 知识迁移：设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意得到， 根据代入计算即可． 【详解】【知识生成】解：图1，从整体上看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图1的四个部分的面积和为， ∴有， 图2中间小正方形的边长为，因此面积为，大正方形的边长为，因此面积为，四个长方形的面积和为， ∴有， 故答案为：；； 【知识应用】解：∵， 则， ， 故答案为：20，4； 【知识迁移】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， ∴ ． 24. 已知直线，点、分别是直线和上的两点，点为直线和之间的一点，连接、． （1）如图1，若，试说明； （2）如图2，在（1）的结论下，点是直线下方一点，满足平分，平分．若，求的度数； （3）如图3，点是直线上方一点，连结、，若点为线段上一点，的延长线为的三等分线，平分，，则_________． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，准确识图、熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点作，证明，得，，则，即可得出结论； （2）过点作，先求出，根据平分，设，得，则，由（1）的结论得，即可求解； （3）设点在的延长线上，过点作，再分以下两种情况：①当时，设，根据平分，设，则，由（1）的结论得，得，，则，再根据即可求解；②当时，设，则，设，则，由（1）的结论得，同①得，根据，即可得出，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点作（点在点的左侧），如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作（点在点的左侧），如图所示： ∵平分， ∴， ∵平分， 设， ∵ ∴， ∴， ∴， 由（1）的结论得：， ∴； （3）解：设点在的延长线上，过点作（点在点的右侧）， ∵的延长线为的三等分线， 有以下两种情况： ①当时，如图所示： 设，则， ∴， ∴， ∵平分， 设， ∴， ∴， 由（1）的结论得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②当时，如图所示： 设，则， ∴， ∵平分， 设， ∴， ∴， 由（1）的结论得：， 同①得：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 综上所述：或． 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$