精品解析：江苏省连云港市2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年二学期期中考试 高二数学试题 满分150分 考试时间120分钟 命题人：唐春燕 审核人：朱香勤 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 计算：（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列，组合数计算公式进行计算即可. 【详解】. 故选：D. 2. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式即得. 【详解】依题意，每个人的选购方式有3种，所以不同的选购方式有种. 故选：A 3. 在的展开式中，的系数是（ ） A. B. 8 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二项式定理计算即可. 【详解】的展开式通项为， 取，则，系数为. 故选：A 4. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值. 【详解】以D作坐标原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设与所成角的大小为， 则. 故选：C 5. 从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得和的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】依题意,,故.故选B. 【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题. 6. 用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ） A. 36 B. 48 C. 60 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】当个位数为0时，从其他4个数选3个进行排列，当个位数为2或4时，从剩下的非零的3个数中选一个排在千位，再从剩下的3个数中选2个排在十位和百位，最后用分类计数原理求解. 【详解】当个位数为0时，有个， 当个位数为2或4时，有个， 所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个， 故选：C. 7. 已知，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间点到直线的距离公式计算求解即可. 【详解】因为，所以， 所以在上投影的长度为， 所以点到直线的距离为. 故选：C 8. 如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解. 【详解】解：， ， ， ， 所以， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2名女生、4名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法有种. A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】 由题意，先排男生，再插入女生，可得选项B正确，或用减法，先进行全排列再减去女生相邻的情况，可得选项C正确． 【详解】由题意，可先排男生，再插入女生，可得两名女生不相邻的排法共有，故B正确； 也可先进行全排列，则2名女生相邻情况为，则2名女生不相邻的排法有，故C正确； 故选：BC. 【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题. 10. 设，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 展开式中二项式系数最大的项是第5项 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式、赋值法以及二项式系数的性质来逐一分析选项. 【详解】对于选项，在中，令，可得，所以选项错误. 对于选项，令，则，即. 由选项可知，所以，选项正确. 对于选项，因为为偶数，根据二项式系数的性质， 当为偶数时，中间一项（即第项）的二项式系数最大，所以展开式中二项式系数最大的项是第项，选项错误. 对于选项，二项式展开式的通项公式为. 当时，； 当时，. 因为，即，选项正确. 故选：BD. 11. 如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积不变 B. 平面 C. D. 平面平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等体积法判断体积不变，A正确；证明平面平面，即知平面，B正确；建立空间直角坐标系，通过空间向量的数量积运算证明C错误D正确即可. 【详解】对于A，的面积是定值，，平面，平面， ∴平面，故到平面的距离为定值， ∴三棱锥的体积是定值，即三棱锥的体积不变，故A正确； 对于B，由选项A知，平面，同理平面，而， 平面，∴平面平面，平面，平面，故B正确； 对于C，以为原点，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，P在上，故可设， 则， ，， 则不一定为0， 和不垂直，故C错误； 对于D，设， 则， ，，，， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， 则，取，得， . ∴平面和平面垂直，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的值为______． 【答案】6或8 【解析】 【分析】由组合数公式的性质即可直接求得答案. 【详解】因为，所以或，其中， 解得或，经检验符合题意， 故答案为：或. 13. 被9除所得的余数是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由，然后根据二项式定理结合条件即得. 【详解】因为 又能被9整除， 所以被9除所得的余数为2， 故答案为：2. 14. 某小区为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为_________. 【答案】1560 【解析】 【分析】根据题意，共有“”与“”两种分配方案进行分配，利用排列组合计数即得(注意部分平均分组). 【详解】因每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务， 故有两种分配方案： 第一种“”方案：先从6个志愿服务小组选取3个小组为一大组与另外的三个小组分成4组， 到4个大门进行服务，共有方法种数为； 第二种“”方案，依次从6个志愿服务小组选取2个，2个，1个，1个 到4个大门进行服务，共有方法种数为， 由分类加法计数原理，不同的分配方法种数为. 故答案为：1560. 四、解答题：本题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明工程或演算步骤. 15. 已知. （1）求； （2）求与夹角的余弦值； （3）当时，求实数的值. 【答案】（1）-10 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算律,即可求解. （2）根据空间向量的夹角公式,代入求解. （3）由,转化为数量积为0即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 当时，，得， ，或. 16. 某班级甲组有5名男生，3名女生；乙组有6名男生，2名女生． （1）若从甲、乙两组中各选1人担任组长，则有多少种不同的选法？ （2）若从甲、乙两组中各选1人担任正副班长，则有多少种不同的选法？ （3）若从甲、乙两组中各选2人参加核酸检测，则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有多少种？ 【答案】（1）64； （2）128； （3）51. 【解析】 【分析】（1）利用分步原理即得； （2）利用先选后排可求； （3）先分类再分步即得 【小问1详解】 利用分步原理可得从甲、乙两组中各选1人担任组长，共有种不同的选法； 【小问2详解】 先选后排，可得从甲、乙两组中各选1人担任正副班长有种不同的选法； 【小问3详解】 先分类再分步：第一类：甲组1男生：，第二类：乙组1男生：， 则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有51种. 17. 如图，在正方体中，是正方形的中心，是的中点. （1）求证：是平面的法向量； （2）求与平面所成角的余弦值； （3）求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明与平面内的两条相交直线垂直，可通过建立空间直角坐标系，利用向量的数量积为来证明垂直关系. （2）可先求出直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值，再根据线面角与向量夹角的关系求解. （3）可通过求出平面与平面的法向量，根据法向量夹角与二面角的关系得出二面角的大小. 【小问1详解】 设正方体的棱长为，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，. 所以，，. ，可得. ，可得. 因为，且平面，所以平面，即是平面的法向量. 【小问2详解】 . 设与平面所成角为，与的夹角为. 则. ，，. 所以. 则. 【小问3详解】 设平面的法向量为，，. 由，即，令，则. 设二面角为，与的夹角为. 则. 所以二面角的大小为. 18. 在二项式的展开式中，______.给出下列条件： ①若展开式前三项二项式系数的和等于46； ②所有奇数项的二项式系数的和为256. 试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题： （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式的常数项； （3）求展开式中项的系数最大的项. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 选择①：，即， 即，即，解得或（舍去）. 选择②：，即，解得. 展开式中二项式系数最大项为第5项和第6项， ，. 【小问2详解】 展开式的通项为， 令，得，所以展开式中常数项为第7项，常数项为； 【小问3详解】 由展开式的通项为， 假设第项系数最大，则，解得，且，所以，即系数最大项. 19. 高二（16）班参加青华中学红五月节目：猜歌名，班级只有一个名额，结合平时观察积累，闫某峻，贾某轩两名学生进入最后选拔，申老师为此设计了如下选拔方案：挑选8首歌进行测试，在这8首歌曲中，闫某峻能正确说出其中的6首歌名，贾某轩能正确说出每首歌名的概率均为，假设闫某峻、贾某轩两名学生说出每首歌名都相互独立、互不影响，现闫某峻、贾某轩从这8首歌中分别随机抽取4首进行竞猜 （1）求闫某峻、贾某轩共答对3首歌名的概率； （2）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表高二（16）班参加红五月活动？ 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布和二项分布求概率即可； （2）计算出两人答对歌名个数的期望和方差即可. 【小问1详解】 设闫某峻、贾某轩答对的题数分别为, 则可能为2，3，4， 则, 由题意知，贾某轩答对的题数满足， 故, 闫某峻、贾某轩共答对3首歌名,即闫某峻答对2道，贾某轩答对1道或者闫某峻答对3道，贾某轩答对0道， 故共答对3首歌名概率：. 【小问2详解】 由（1）可知，闫某峻答对的题数的分布列如下： X 2 3 4 P 故期望， 方差， 且，故，, 故. 所以闫某峻、贾某轩答对的题数期望一样，但是闫某峻的方差更小，发挥更稳定， 故应选拔闫某峻代表高二（16）班参加红五月活动 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年二学期期中考试 高二数学试题 满分150分 考试时间120分钟 命题人：唐春燕 审核人：朱香勤 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 计算：（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 2. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 在的展开式中，的系数是（ ） A. B. 8 C. D. 4 4. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则 A. B. C. D. 6. 用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ） A. 36 B. 48 C. 60 D. 72 7. 已知，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2名女生、4名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法有种. A. B. C. D. 10. 设，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 展开式中二项式系数最大的项是第5项 D. 11. 如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积不变 B. 平面 C. D. 平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的值为______． 13. 被9除所得余数是__________. 14. 某小区为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同分配方法种数为_________. 四、解答题：本题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明工程或演算步骤. 15. 已知. （1）求； （2）求与夹角的余弦值； （3）当时，求实数值. 16 某班级甲组有5名男生，3名女生；乙组有6名男生，2名女生． （1）若从甲、乙两组中各选1人担任组长，则有多少种不同的选法？ （2）若从甲、乙两组中各选1人担任正副班长，则有多少种不同的选法？ （3）若从甲、乙两组中各选2人参加核酸检测，则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有多少种？ 17. 如图，在正方体中，是正方形的中心，是的中点. （1）求证：是平面的法向量； （2）求与平面所成角的余弦值； （3）求二面角的大小. 18. 在二项式展开式中，______.给出下列条件： ①若展开式前三项的二项式系数的和等于46； ②所有奇数项的二项式系数的和为256. 试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题： （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式的常数项； （3）求展开式中项的系数最大的项. 19. 高二（16）班参加青华中学红五月节目：猜歌名，班级只有一个名额，结合平时观察积累，闫某峻，贾某轩两名学生进入最后选拔，申老师为此设计了如下选拔方案：挑选8首歌进行测试，在这8首歌曲中，闫某峻能正确说出其中的6首歌名，贾某轩能正确说出每首歌名的概率均为，假设闫某峻、贾某轩两名学生说出每首歌名都相互独立、互不影响，现闫某峻、贾某轩从这8首歌中分别随机抽取4首进行竞猜 （1）求闫某峻、贾某轩共答对3首歌名的概率； （2）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表高二（16）班参加红五月活动？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$