专题11.10 反比例函数创新探究38题（精选精编）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题11.10 反比例函数创新探究38题（精选精编） 一、单选题 1．（2024·贵州黔东南·一模）已知反比例函数的图象如图所示，线段平行轴，其中点坐标为，而反比例函数图像恰好经过的中点，则的值为（    ）    A．6 B．5 C．4 D．2 2．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在第一象限内，点A是一次函数图象上一动点，点B，C的坐标分别是，，若反比例函数和的图象分别经过点A，D，则下列代数式的值为定值的是（    ）    A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·山西晋城·期中）如图，点A，E在反比例函数的图象上，点D，F在反比例函数的图象上，正方形的顶点B，C在线段上，若，，正方形的边长为2，G为x轴上的一个动点，则的面积为（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 4．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，等腰直角三角形中，，顶点A、在反比例函数图象上，点一定在（    ）． A．函数图象上 B．函数图象上 C．函数图象上 D．函数图象上 5．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，过点O的直线交反比例函数的图象于A，B两点（点A在第一象限），过点A作轴于点C，连结并延长，交反比例函数图象于点D，连结，将沿线段所在的直线翻折，得到，与交于点E．若点D的横坐标为2，则的长是（　　） A． B． C． D．1 6．（2024·湖北武汉·三模）正弦函数在的图象如图所示，若点P在该函数图象上，且（k是常数，），则满足条件的点P的个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2024·河北石家庄·二模）将一张半透明的矩形纸片在平而直角坐标系中按如图所示的位置摆放，其中点，在轴的负半轴上，且，．双曲线分别与边，交于点，连接，在矩形纸片沿着轴左右平移过程中，当点恰为中点时，有，则双曲线的表达式为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）反比例函数图象上有三个点，，，下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，反比例函数在第一象限内的图象经过矩形，交于点，交于点，将沿着折叠，点恰好落在轴上的点处，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，第一象限的角平分线分别与反比例函数，，⋯的图象交于点，过分别作坐标轴的平行线，依次得到矩形，，…，其面积依次记作，则可以表示为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2024·四川成都·一模）已知矩形的面积为，以它对角线的交点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，使得矩形的各边与坐标轴平行或垂直．若反比例函数经过矩形的顶点，则的值为 ． 12．（2024·河北唐山·二模）如图反比例函数的图象在第一象限，已知点， ，在函数图象上，轴，． （1） ； （2） ． 13．（21-22八年级下·浙江金华·期末）如图，在直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，函数的图象为曲线．（1）若曲线与直线有唯一的公共点，则 ；（2）若曲线使得线段上的整点（横纵坐标均为整数的点，且不包括点、）分布在它的两侧，每侧的整点个数相同，则的取值范围为 ． 14．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数． （1）下列结论正确的是（    ） A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图象关于轴对称 （2）该反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A．    B．    C．    D． （3）已知点，在该反比例函数图象上，则______．（填“>”“<”或“=”） 15．（22-23九年级上·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线把分成，两部分，且与交于点C，D，点A的坐标为． （1）连接，若． ①k的值为 ；②点D的坐标为 ； （2）若内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）与内（不含边界）的整点个数比为，则k的取值范围是 ． 16．（2023·山西长治·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象分别交于A，B两点，以为斜边向外作等腰直角三角形，然后将沿直线折叠，点C的对应点刚好落在x轴上，若点C′的坐标为，点B的纵坐标为3，则该反比例函数表达式中k的值为 ．    17．（2023·广西防城港·二模）如图，等边中，点A、点B都在双曲线第一象限内的图象上，且点A的横坐标、B点纵坐标均为1，则 ．      18．（23-24九年级上·浙江金华·开学考试）菱形在平面直角坐标系中如图1所示，已知，轴，点C的横坐标为．直线向左平移m个单位，在平移过程中，被菱形截得的线段长为n，n与m之间的函数关系如图2所示，则过点B的反比例函数表达式为 ．    19．（2024·河北邯郸·三模）如图，双曲线 （）经过点 和点 ，经过双曲线上的点且平行于的直线与轴交于点，点在点左上方，设为轴、直线、双曲线 （）及线段之间的部分 （阴影部分），解决下列关于 （不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整数）的问题： （1）内整点的个数最多有 个； （2）若内整点的个数为，则点的纵坐标的取值范围是 ． 20．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“逆倒数点”．如图，正方形的顶点C为，顶点E在y轴正半轴上，函数的图象经过顶点D和点A，连结交正方形的一边于点B，若点B是点A的“逆倒数点”，则点A的坐标为 ． 21．（2025·河北·模拟预测）小李驾驶汽车在早上从甲地出发到乙地，其行驶的平均速度（千米/时）与行驶所用的时间（时）之间的函数关系图象如图所示，已知全程限速120千米/时． （1）甲、乙两地之间的距离为 千米； （2）小李计划在当天不超过到达乙地，汽车行驶的平均速度的范围为 ． 22．（2025·上海·二模）定义符号代表在平面直角坐标系xOy中，函数的图像两两相交（每两个函数图像有且仅有1个交点）得到三个交点组成的三角形．那么，的最短边长度为 ． 23．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图所示，已知一次函数 与反比例函数 交于点 ，， 为一次函数上一点，作等腰直角三角形 与 使得 在 轴正半上，延长交 于点 ，连接，若 ，为中点， ，则 ． 24．（2025·山东淄博·一模）如图，双曲线与直线相交于点A，B，在直线上取点，，…，依次以，…为对角线分别向外作左、右一组对边垂直于x轴的矩形，…．矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：，…．按此规律，则点的坐标为 ． 三、解答题 25．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，在第一象限内，已知反比例函数的图像经过横坐标为4的点M （1）求M点的坐标及直线的解析式； （2）反比例函数图像上有一点P，线段上有一点Q，轴，且的面积为3，求点P坐标； （3）在第（2）小题的前提下，求点P到直线的距离． 26．（2024·河南周口·二模）如图，平面直角坐标系中，的顶点为，，，将绕点顺时针旋转得到，其中，点，的对应点分别为点，． （1）若双曲线经过点，求双曲线的解析式； （2）若点的运动轨迹为，求阴影部分的周长； （3）求直线的解析式． 27．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，动点P在反比例函数的图象上，且点P的横坐标为，过点P分别作x轴和y轴的垂线，交函数的图象于点A、B，连接． （1）当，时． ①直接写出点P、A、B的坐标（用m的代数式表示）； ②当时，求m的值． （2）与x轴和y轴相交与点E、F，与有怎么样的数量关系，并说明理由． 28．（2025·河南郑州·一模）勤于思考的小东将遇到的一道反比例函数题进行改编后，得到下面一道题，请你进行解答．如图所示的网格由边长为1的小正方形组成，反比例函数的图象经过格点A和网格线上的点B，反比例函数的图象经过格点C． （1）点B位于第________象限，其横坐标是________． （2）若， ①求k的值； ②若与是全等三角形（点D不与点B重合），请直接写出点D的坐标． 29．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）某商场出售一批进价为120元/件的商品311件，为寻求合适的销售价格，商场营销部进行了4天试销活动，发现此商品的日销售单价（元/件）与日销售量（件）之间有如下关系：观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种商品的日销售量（件）与日销售单价（元/件）之间的关系 第1天 第2天 第3天 第4天 日销售单价（元/件） 150 200 240 250 日销售量（件） 40 30 25 24 （1）写出这个反比例函数的解析式（不必写的取值范围）； （2）在试销4天后，若商场决定将这种商品的销售单价定为250元/件，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些商品预计再用多少天可以全部售出； （3）设商品的日销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，物价局规定此商品的售价最高不超过300元/件，若商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能否在试销后的10天内售完该商品？ 30．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一搬，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题，新结论的重要方法．在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题： 如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴负半轴，顶点在轴正半轴，，分别在的中点，反比例函数的图象经过，两点，连接，，四边形的面积为． （1）__________________．直线的表达式为__________________ （2）如图2，为该反比例函数图象上任意一点，过点作轴交直线于点，请猜想与的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，延长交反比例函数的图象于点，过点作直线于，过点作直线于，试判断的值是否为定值，若是，请直接写出定值；若不是．请说明理由． 31．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）平面内到一个定点和一条定直线（不经过定点）的距离相等的点的轨迹，称为拋物线，其中，这个定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．如图，直角坐标平面中，曲线是一条抛物线，点是这条抛物线的焦点，直线是拋物线的准线．如果点为抛物线上任意一点，连接，并作，垂足为D，交轴于点，那么由抛物线的定义可知．已知抛物线的准线的表达式为． （1）①如图可知抛物线经过原点，那么点坐标为______； ②如图，如果，作轴，那么______，______． （2）直线与抛物线在第一象限交于点，求点坐标； （3）反比例函数图像与抛物线交于点（位于第一象限），过点作轴，垂足为，如果，直接写出这个反比例函数的函数解析式． 32．（2025·广西河池·一模）广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进人·3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？ 33．（2025·山东济南·一模）直线与双曲线交于点，交y轴于点． （1）求k，m的值； （2）如图1，点E是直线上A点右侧的一个动点，过点E作y轴的平行线，交反比例函数图象于点D，连接，． ①当时，求的面积； ②如图2，在①的条件下，将沿射线方向平移一定距离，得到，若点恰好落在反比例函数图象上，请直接写出点的坐标． 34．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过矩形的顶点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，点为线段上的一个动点，点在直线上一点，点在反比例图象上． （1）求反比例函数表达式． （2）如图1，若点为对角线的中点时，且四边形是平行四边形，求长． （3）在坐标平面内，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 35．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图1，点A是反比例函数的图象上一动点，连接并延长交反比例函数于点B，设与x轴正半轴的夹角为， （1）①若，则______；②若，则______； （2）小红同学在数学老师的指导下，证明了命题“无论如何变化，的值始终不变”为真命题．如图2，点E、F在，点G在上，O、F、G在同一条直线上，仅用无刻度的直尺在的图象上作点H，使得； （3）如图3，过点B作x轴、y轴的垂线分别交于点C、D； ①试说明的面积为定值，并求出该值； ②若，连接并延长交x轴于点E，求∠DCE的度数． 36．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）换一个角度初看 华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了． （1）如图1，当时，的取值范围是_______． 换一个角度二看 我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”，是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形”．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形”的两边长． （2）请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形的面积为_____，周长为_____． ②是否存在矩形的“双半矩形”？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 37．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过平行四边形一条对角线的两个端点，则称函数是平行四边形的“”函数，函数的图象经过平行四边形的四个顶点，则称函数是平行四边形的“”函数． （1）已知：如图1，在平行四边形中，轴，若点坐标为点坐标为，函数是平行四边形的“”函数． ①求的值及点的坐标； ②是否存在反比例函数是平行四边形的“”函数，若存在，求出值，若不存在，请说明理由； （2）已知：如图2，若点坐标为，点在第一象限内，其坐标为，反比例函数是平行四边形的“”函数． ①请在图2中画出平行四边形； ②若，求平行四边形的面积； ③平行四边形是否可以成为矩形，若可以，直接写出的值，若不可以，请说明理由． 38．（2025·四川成都·二模）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． （1）求直线和反比例函数的解析式； （2）将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式； （3）对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.10 反比例函数创新探究38题（精选精编） 一、单选题 1．（2024·贵州黔东南·一模）已知反比例函数的图象如图所示，线段平行轴，其中点坐标为，而反比例函数图像恰好经过的中点，则的值为（    ）    A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确求得中点的坐标是解题的关键．求得的中点坐标，代入即可求得． 解：平行轴， 的纵坐标相同， 点坐标为，点在点左侧，， ∴点的坐标为， 中点的坐标为． 又反比例函数图象经过的中点， ． 故选A． 2．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在第一象限内，点A是一次函数图象上一动点，点B，C的坐标分别是，，若反比例函数和的图象分别经过点A，D，则下列代数式的值为定值的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点A的坐标为，根据平行四边形边的性质可表示出点D的坐标为，从而表示出，，因此可判断各选项． 解：∵点A是一次函数图象上一动点 ∴设点A的坐标为 ∵在中，， 即可以看做由平移得到 ∵， ∴点D的坐标为 ∵反比例函数和的图象分别经过点， ∴， ∴A选项：，不是定值； B选项：，不是定值； C选项：，不是定值； D选项：由于，，，是定值． 故选：D 【点拨】本题考查求反比例函数的比例系数k，二次根式的化简，设点A的坐标，表示出点D的坐标是解题的关键． 3．（22-23八年级下·山西晋城·期中）如图，点A，E在反比例函数的图象上，点D，F在反比例函数的图象上，正方形的顶点B，C在线段上，若，，正方形的边长为2，G为x轴上的一个动点，则的面积为（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】由点E在反比例函数的图象上，可得反比例函数为：，证明，，，可得，的纵坐标是4，可得，，由点D在反比例函数的图象上，可得反比例函数为：，求解，再利用三角形的面积公式可得答案． 解：∵，， ∴轴，， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为：， ∵正方形的边长为2， ∴，，， ∴，的纵坐标是4， ∴，即， ∴，即， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为：， ∴，即， ∴， ∴； 故选C． 【点拨】本题考查的是坐标与图形，正方形的性质，反比例函数的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 4．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，等腰直角三角形中，，顶点A、在反比例函数图象上，点一定在（    ）． A．函数图象上 B．函数图象上 C．函数图象上 D．函数图象上 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质和几何意义，等腰三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质； 作轴于点E，轴于点F，连接，根据反比例函数的性质得，再证明，得出，设出点C的反比例函数式，进而可解答． 解：作轴于点E，轴于点F，连接， 顶点A、在反比例函数图象上， ， 又三角形是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设点， 则， ， ， 设点在图象上， ， 点在反比例函数图象上， ， ， 点在图象上， 故选：C． 5．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，过点O的直线交反比例函数的图象于A，B两点（点A在第一象限），过点A作轴于点C，连结并延长，交反比例函数图象于点D，连结，将沿线段所在的直线翻折，得到，与交于点E．若点D的横坐标为2，则的长是（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】求出直线，的解析式，联立两个解析式，求出点坐标，利用两点间距离公式，进行求解即可． 解：设点A的坐标为，则点B的坐标为 ∵轴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴， ∵点D的横坐标为， ∴ 把点代入得： （舍）， ∴，直线的解析式为：， ∵将沿线段所在的直线翻折，得到， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入可得： 解得：， ∴， 联立，解得：， ∴， ∴． 故选：B． 【点拨】本题考查反比例函数与一次函数综合应用．熟练掌握旋转的性质，正确的求出一次函数的解析式，是解题的关键． 6．（2024·湖北武汉·三模）正弦函数在的图象如图所示，若点P在该函数图象上，且（k是常数，），则满足条件的点P的个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据点，，k是常数，，可知点P在函数的图象上，在同一坐标系中画出两者的函数图象，观察反比例函数图象和正弦函数在的图象最多能有几个交点即可求解． 解： ，k是常数，， 点P在函数（）的图象上，在同一坐标系中画出两者的函数图象如图所示， 根据图象可知，反比例函数（）图象和正弦函数在的图象交点最多为4个， 满足条件的点P的个数最多是4个． 故选：C． 7．（2024·河北石家庄·二模）将一张半透明的矩形纸片在平而直角坐标系中按如图所示的位置摆放，其中点，在轴的负半轴上，且，．双曲线分别与边，交于点，连接，在矩形纸片沿着轴左右平移过程中，当点恰为中点时，有，则双曲线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，平移，设点的坐标为，则点的横坐标为，由勾股定理求出，从而求出，，则，然后根据待定系数法即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：设点的坐标为， ∴点的横坐标为， 又在中，， ∴，， ∴， ∵点均在双曲线上， ∴， ∴， ∴， ∴双曲线为， 故选：． 8．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）反比例函数图象上有三个点，，，下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上点的坐标满足图象解析式是本题的关键． 根据点，，都在反比例函数的图象上，且，分为和，再分别对若，若，若，若，分别判断即可求解； 解：∵点，，，都在反比例函数的图象上， 且， 若，则在一三象限y随x的增大而减小， 若，则， 若，则， 若，则， 若，则； 若，则在二四象限y随x的增大而增大， 若，则， 若，则， 若，则， 若，则； 综上，若，则，故A错误； 若，则，故B错误； 若，则，故C正确； 若，则，故D错误； 故选：C． 9．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，反比例函数在第一象限内的图象经过矩形，交于点，交于点，将沿着折叠，点恰好落在轴上的点处，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，矩形与折叠，设，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，折叠得到，得到，推出，进而得到，得到，进而得到，，根据点在反比例函数图象上，得到，进行求解即可． 解：设， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：； 故选A． 10．（2025·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，第一象限的角平分线分别与反比例函数，，⋯的图象交于点，过分别作坐标轴的平行线，依次得到矩形，，…，其面积依次记作，则可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及第一象限角平分线的特点．熟练掌握反比例函数的性质以及第一象限角平分线的特点是解题的关键． 在第一象限角平分线上的点，其横，纵坐标相等．先求出各交点的坐标，再根据坐标求出矩形的边长，进而得出矩形面积的规律． 解：第一象限的角平分线的解析式为：， 联立，将代入，得到，即，解得，则， ； 联立，将代入，得到，即，解得，则， ； 联立，将代入，得到，即，解得，则， ． 对于矩形，，，则的横坐标为，的横坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为， ； 对于矩形，，，则的横坐标为，的横坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为， ； 通过前面的计算，我们发现规律： 的坐标为：，的坐标为：， 则． 故选A． 二、填空题 11．（2024·四川成都·一模）已知矩形的面积为，以它对角线的交点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，使得矩形的各边与坐标轴平行或垂直．若反比例函数经过矩形的顶点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握是解题的关键．由图得，轴、轴把矩形平均分为份，即可得矩形的面积公式，可得，又由于点在反比例函数图象上，则可求得答案． 解：轴，轴都为该矩形的对称轴，且矩形的面积为， ， ， 故答案为． 12．（2024·河北唐山·二模）如图反比例函数的图象在第一象限，已知点， ，在函数图象上，轴，． （1） ； （2） ． 【答案】 5 4 【分析】本题考查了求反比例函数的函数值．熟练掌握求反比例函数的函数值是解题的关键． （1）由， ，在函数的图象上，可得，，，，然后代值求解即可； （2）由（1）可知， ，，则，，然后代值求解即可． 解：（1）解：∵， ，在函数的图象上， ∴，，，， ∴， 故答案为：5； （2）解：由（1）可知， ，， ∴，， ∴， 故答案为：4． 13．（21-22八年级下·浙江金华·期末）如图，在直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，函数的图象为曲线．（1）若曲线与直线有唯一的公共点，则 ；（2）若曲线使得线段上的整点（横纵坐标均为整数的点，且不包括点、）分布在它的两侧，每侧的整点个数相同，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】（1）由曲线与直线有唯一的公共点，可得只有一组解，从而得有两个相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式即可求解；（2）先求得线段上的整点，由曲线使得线段上的整点横纵坐标均为整数的点，且不包括点、分布在它的两侧，每侧的整点个数相同，则曲线经过和之间即可求解． 解：（1）由题意得：只有一组解， 有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：； （2）由，得，， 线段上的整数点共有个，分别为，，，，，，，． 当曲线经过点时，在曲线上方个，在曲线下方个； 当曲线经过点时，在曲线上方个，在曲线下方个； 若曲线使得线段上的整点横纵坐标均为整数的点，且不包括点、分布在它的两侧，每侧的整点个数相同，则曲线经过和之间， 当曲线经过点时，； 当曲线经过点时，． 的取值范围为：． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图像及性质，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 14．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数． （1）下列结论正确的是（    ） A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图象关于轴对称 （2）该反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A．    B．    C．    D． （3）已知点，在该反比例函数图象上，则______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】（1）C；（2）D；（3）< 【解析】略 15．（22-23九年级上·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线把分成，两部分，且与交于点C，D，点A的坐标为． （1）连接，若． ①k的值为 ；②点D的坐标为 ； （2）若内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）与内（不含边界）的整点个数比为，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）由，可求的值，进而可得点坐标，然后将点坐标代入求得的值，然后可得反比例函数解析式，设直线的解析式为，将点坐标代入求得的值，然后可得直线的解析式，联立反比例函数与直线的解析式，求得合适的的值，然后代入反比例函数解析式求解可得点坐标； （2）由题意知，中共有7个不含边界的整点，分别为，根据题意确定和内的点坐标，然后确定的取值范围即可． 解：（1）∵， 解得， ∴， 将代入得， 解得， ∴反比例函数解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立两个解析式得， 解得， ∵， ∴， 将代入得， 解得， ∴； 故答案为：，； （2）解：由题意知，中共有7个不含边界的整点，分别为， ∵内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）与内（不含边界）的整点个数比为， ∴内点坐标为，内点坐标为， 由第二象限的反比例函数图象越靠近原点越大可得， 故答案为：． 【点拨】本题考查了反比例函数解析式、反比例函数与几何综合以及图象中的整点问题．解题的关键在于熟练掌握反比例函数的图象与性质以及数形结合的思想． 16．（2023·山西长治·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象分别交于A，B两点，以为斜边向外作等腰直角三角形，然后将沿直线折叠，点C的对应点刚好落在x轴上，若点C′的坐标为，点B的纵坐标为3，则该反比例函数表达式中k的值为 ．    【答案】6 【分析】过点B作轴于点M，过点A作轴于点N，如图所示：则，先证明，设，根据全等三角形的性质求出点B坐标为，点A坐标为，再由直线与反比例函数的图象分别交于A，B两点，得到，解方程即可得到答案． 解：过点B作轴于点M，过点A作轴于点N，如图所示：则， ∴， 由是等腰直角三角形，根据折叠可知，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵点C′的坐标为，点B的纵坐标为3， ∴， ∴， ∴点B坐标为，点A坐标为， ∵直线与反比例函数的图象分别交于A，B两点， ∴， 解得， ∴， 故答案为：6． 【点拨】本题主要考查了折叠的性质，反比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，证明是解题的关键． 17．（2023·广西防城港·二模）如图，等边中，点A、点B都在双曲线第一象限内的图象上，且点A的横坐标、B点纵坐标均为1，则 ．      【答案】/ 【分析】过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，证明，延长BF至点H，使，连接OH，过点H作于点G，得到和OH和OG之间的关系，然后用勾股定理计算即可． 解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，    由题意得：， ∵为等边三角形，则， ∴， ∴ 延长BF至点H，使，连接OH， ∴， ∴，， 过点H作于点G， 设，而， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即，解得：， ∴， ∴， ∴， 将点B的坐标代入函数表达式并解得：， 故答案为： 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形． 18．（23-24九年级上·浙江金华·开学考试）菱形在平面直角坐标系中如图1所示，已知，轴，点C的横坐标为．直线向左平移m个单位，在平移过程中，被菱形截得的线段长为n，n与m之间的函数关系如图2所示，则过点B的反比例函数表达式为 ．    【答案】 【分析】观察所给图象可知，当时，平移后图象经过点C，由此求出点C的坐标；当平移后图象在点B和点D之间时，被菱形截得的线段长，由此求出菱形边长，由此可解． 解：直线向左平移m个单位后的解析式为，当平移后图象经过点B时如下图所示，直线与交于点E，过点B作于点F，      由图2知，当时，平移后图象经过点C，即直线经过点C， 点C的横坐标为，， 点C的坐标为． 由图2知，当平移后图象在点B和点D之间时，被菱形截得的线段长，即， 轴， 直线与的夹角， 又菱形中，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 点B的坐标为，即 设过点B的反比例函数表达式为， 将代入，得：， 点B的反比例函数表达式为， 故答案为：． 【点拨】本题考查菱形的性质，坐标与图象，一次函数图象的平移，求反比例函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质等，解题的关键是求出菱形边长和点C的坐标． 19．（2024·河北邯郸·三模）如图，双曲线 （）经过点 和点 ，经过双曲线上的点且平行于的直线与轴交于点，点在点左上方，设为轴、直线、双曲线 （）及线段之间的部分 （阴影部分），解决下列关于 （不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整数）的问题： （1）内整点的个数最多有 个； （2）若内整点的个数为，则点的纵坐标的取值范围是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题； （1）取点，观察函数图象，数出整点个数，即可求解； （2）根据题意求得的解析式，根据平行于，设的解析式为，根据内整点的个数为，找到特殊点，，待定系数法的求得的值，即可求解． 解：（1）如图所示，取点， ∵双曲线 （）经过点 点 ， ∴，反比例函数解析式为， ∴， 当点在的左侧时， 内整点的个数最多有共5个点 故答案为：． （2）∵，设直线的解析式为，则 ∴， ∵平行于 设的解析式为 若内整点的个数为，则点在点的右侧，或与点重合，即 当经过点时，，解得： 当经过点时，，解得： ∵整点有4个，则不经过 ∴ 故答案为：． 20．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“逆倒数点”．如图，正方形的顶点C为，顶点E在y轴正半轴上，函数的图象经过顶点D和点A，连结交正方形的一边于点B，若点B是点A的“逆倒数点”，则点A的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，新定义阅读理解能力，解题的关键是灵活运用所学的知识． 根据正方形的性质和点的坐标，可知正方形顶点的坐标为，从而得到反比例函数解析式为，设点的坐标为，则“逆倒数”点的坐标为，点在正方形的一边上，分两种情况：①点在上，得；②点在上，得，即可求出点的坐标． 解：在正方形上，点的坐标 ∴正方形顶点的坐标为 将代入中， 解得：， 即反比例函数解析式为：， 设点的坐标为，则“逆倒数”点的坐标为， 点在正方形的一边上，分两种情况： ①点在上， ，即， ， ， ； ②点在上， ，即， ， ， ， 故答案为：或． 21．（2025·河北·模拟预测）小李驾驶汽车在早上从甲地出发到乙地，其行驶的平均速度（千米/时）与行驶所用的时间（时）之间的函数关系图象如图所示，已知全程限速120千米/时． （1）甲、乙两地之间的距离为 千米； （2）小李计划在当天不超过到达乙地，汽车行驶的平均速度的范围为 ． 【答案】 540 / 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是列出函数解析式． （1）根据路程、速度、时间之间的关系列出y与t的函数解析式，由图象求出s即可； （2）根据，求出，再根据，得出v的取值范围． 解：（1）由题意得：， ， 甲、乙两地之间的距离为540千米， 故答案为：540； （2）小李计划在当天不超过到达乙地， ， ， 又， 汽车行驶的平均速度的范围为， 故答案为：． 22．（2025·上海·二模）定义符号代表在平面直角坐标系xOy中，函数的图像两两相交（每两个函数图像有且仅有1个交点）得到三个交点组成的三角形．那么，的最短边长度为 ． 【答案】 【分析】先画简易图象，并求解函数的交点坐标，再利用勾股定理求解三边的长度，从而可得答案. 解：如图， 当时，，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴， 当时，则， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ∴的最短边长度为； 故答案为： 【点拨】本题考查的是一次函数，反比例函数的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，新定义的含义，理解题意是解本题的关键. 23．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图所示，已知一次函数 与反比例函数 交于点 ，， 为一次函数上一点，作等腰直角三角形 与 使得 在 轴正半上，延长交 于点 ，连接，若 ，为中点， ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 过点作轴于点，过点作，交延长线于点，证明，则有，，从而可得点的横坐标与点的横坐标相同为，再根据 ，轴及等腰三角形的性质可得出，点的纵坐标为，则点，，再求出点，设解析式为，从而有解析式为，联立，求出点即可． 解：如图，过点作轴于点，过点作，交延长线于点， ∴， ∵ 与 是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的横坐标与点的横坐标相同为， ∵ ，轴， ∴， ∵，， ∴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同， ∵，， ∴， 当时，， ∴，点的纵坐标为， ∴点，， ∵为中点， ∴点， 设解析式为， ∴，解得， ∴解析式为， 联立：，解得， ∴点， ∵反比例函数 图象过点 ， ∴， 故答案为：． 24．（2025·山东淄博·一模）如图，双曲线与直线相交于点A，B，在直线上取点，，…，依次以，…为对角线分别向外作左、右一组对边垂直于x轴的矩形，…．矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：，…．按此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标规律探索，反比例函数的性质，根据题意得出每个矩形上都有4个点，根据，得出点在矩形上，且在第一象限内，先根据规律得出横坐标，然后将横坐标代入反比例函数解析式，求出结果即可． 解：根据题意可知：在矩形上，在矩形上，,在矩形上，因此每个矩形上都有4个点， ∵， ∴点在矩形上，且在第一象限内， ∴横坐标为， 把代入得：， ∴． 故答案为：． 三、解答题 25．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，在第一象限内，已知反比例函数的图像经过横坐标为4的点M （1）求M点的坐标及直线的解析式； （2）反比例函数图像上有一点P，线段上有一点Q，轴，且的面积为3，求点P坐标； （3）在第（2）小题的前提下，求点P到直线的距离． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合； （1）把代入得；设直线的解析式为把代入即可求解； （2）设，则，，推出，即可求解； （3）由题意得；，设点到直线的距离为h，根据，即可求解； 解：（1）解：把代入得：， ∴ 设直线的解析式为 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为： （2）解：∵点P在上，点Q在线段上，轴， ∴设，则， ∴， ∴ 即：， 解得：或（舍去） ∴； （3）解：∵ ∴； ∴， 设点P到直线的距离为 ∴， ∴； ∴点P到直线的距离为 26．（2024·河南周口·二模）如图，平面直角坐标系中，的顶点为，，，将绕点顺时针旋转得到，其中，点，的对应点分别为点，． （1）若双曲线经过点，求双曲线的解析式； （2）若点的运动轨迹为，求阴影部分的周长； （3）求直线的解析式． 【答案】（1）反比例函数表达式为：；（2）阴影部分的周长为；（3）的表达式为： 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析，一次函数解析式，旋转的性质以及全等三角形的判定以及性质，弧长公式等等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）将绕点顺时针旋转得到根据旋转的性质得出点，再用待定系数法即可求出反比例函数解析式． （2）由旋转的性质可得出，求出，再求出，即可求出阴影部分的周长． （3）作轴于点，证明，由全等的性质可得出，，进一步再求出点N的坐标，最后用待定系数法即可求出直线的解析式． 解：（1）解：由题意得，，，， 将绕点顺时针旋转得到， 则点， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 则反比例函数表达式为：； （2）由旋转的性质可得出， 由点、、的坐标得， ， 则； 阴影部分的周长为 （3）作轴于点，   ， ，， ， ， ， ，， ，， 则，，， 则点， 又∵， 设的解析为：， 则． 解得： ∴的表达式为：． 27．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，动点P在反比例函数的图象上，且点P的横坐标为，过点P分别作x轴和y轴的垂线，交函数的图象于点A、B，连接． （1）当，时． ①直接写出点P、A、B的坐标（用m的代数式表示）； ②当时，求m的值． （2）与x轴和y轴相交与点E、F，与有怎么样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①，；②；（2），理由见分析 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定： （1）①求出点P的坐标，进而求出点A的横坐标和点B的纵坐标，再代入对应的解析式求解即可；②根据①所求表示出，再由建立方程求解即可； （2）设分别与x轴，y轴交于M、N，则，求出，，进而得到直线解析式为，可得，则，证明，即可得到． 解：（1）解：在中，当时，，在中，当时，， ∴， 在中，当时， ∴； ②∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（舍去）； （2）解：，理由如下： 设分别与x轴，y轴交于M、N， ∴ 由题意得， ∴，， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴．    28．（2025·河南郑州·一模）勤于思考的小东将遇到的一道反比例函数题进行改编后，得到下面一道题，请你进行解答．如图所示的网格由边长为1的小正方形组成，反比例函数的图象经过格点A和网格线上的点B，反比例函数的图象经过格点C． （1）点B位于第________象限，其横坐标是________． （2）若， ①求k的值； ②若与是全等三角形（点D不与点B重合），请直接写出点D的坐标． 【答案】（1）一；2；（2）①；②，或 【分析】本题考查了反比例函数与几何，全等三角形的判定，熟知反比例函数的性质是解题的关键． （1）根据和关于轴对称，即可解答； （2）①根据可得点与点的纵坐标之差，设，表示出点的坐标，列方程即可解答； ②根据点与点的纵坐标之差，画出图形即可解答． 解：（1）解：反比例函数的图象经过格点A，反比例函数的图象经过格点C． 点和点关于轴对称， ， 点的横坐标为， 点和点的横坐标差， 点的横坐标为， 反比例函数的图象经过网格线上的点B， 点位于第一象限； 故答案为：一；2 （2）解：①， 点与点的纵坐标之差为， 设，则， 反比例函数的图象经过格点A和网格线上的点B， ， 解得， ； ②点与点的纵坐标之差为，横坐标之差为， 故可画如下图 ，点的坐标为，或． 29．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）某商场出售一批进价为120元/件的商品311件，为寻求合适的销售价格，商场营销部进行了4天试销活动，发现此商品的日销售单价（元/件）与日销售量（件）之间有如下关系：观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种商品的日销售量（件）与日销售单价（元/件）之间的关系 第1天 第2天 第3天 第4天 日销售单价（元/件） 150 200 240 250 日销售量（件） 40 30 25 24 （1）写出这个反比例函数的解析式（不必写的取值范围）； （2）在试销4天后，若商场决定将这种商品的销售单价定为250元/件，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些商品预计再用多少天可以全部售出； （3）设商品的日销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，物价局规定此商品的售价最高不超过300元/件，若商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能否在试销后的10天内售完该商品？ 【答案】（1）；（2）8天；（3）能 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的定义和性质是解题的关键． （1）设出反比例函数解析数，找一点代入即可； （2）根据题意计算即可； （3）根据，可表示出与之间的函数关系式，再根据求出最大利润，再进行计算即可． 解：（1）解：设反比例函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：（天）， ∴商场按销售价格250元/件出售该商品，余下的商品预计再用8天全部售出． （3）解：依题意， 整理得：， ∵， ∴当时，最大， ∴当时，， ∴（天）， ∴商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能在试销后的10天内售完该商品． 30．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一搬，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题，新结论的重要方法．在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题： 如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴负半轴，顶点在轴正半轴，，分别在的中点，反比例函数的图象经过，两点，连接，，四边形的面积为． （1）__________________．直线的表达式为__________________ （2）如图2，为该反比例函数图象上任意一点，过点作轴交直线于点，请猜想与的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，延长交反比例函数的图象于点，过点作直线于，过点作直线于，试判断的值是否为定值，若是，请直接写出定值；若不是．请说明理由． 【答案】（1）    ；（2），理由见分析；（3） 【分析】（1）设正方形的边长为，根据可求得的数值，采用待定系数法，即可求得答案． （2）过点作，交（或的延长线）于点，可先用含，的代数式表示出，然后根据勾股定理计算出，即可求得与的数量关系． （3）过点作轴交直线于点，则，可证得为等腰直角三角形，求得，同理可求得． 解：（1）设正方形的边长为．根据题意，得： ． 解得：，（舍去）． 所以，点的坐标为． 因为反比例函数的图象经过点， 所以． 解得：． 根据题意可知，点的坐标为，点的坐标为． 设直线的表达式为． 因为的图象过点，，所以 解得 所以，直线的表达式为． 故答案为： ，； （2），理由如下： 如图所示，过点作，交（或的延长线）于点．    因为反比例函数的图象经过点， 所以． ∴． 根据题意可知，点的纵坐标为． 将代入直线的表达式，得 ． 解得． 所以，点的坐标为． 所以，． 所以，． 根据题意可知，． 所以，． 所以，． 所以，． （3），理由如下： 如图所示，过点作轴交直线于点．    根据（2）的证明过程可知． ∵轴， ∴． ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． 同理可得． ∴． 【点拨】本题主要考查正方形的性质、反比例函数、一次函数、勾股定理、平面直角坐标系等，能根据题意构建辅助线是解题的关键． 31．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）平面内到一个定点和一条定直线（不经过定点）的距离相等的点的轨迹，称为拋物线，其中，这个定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．如图，直角坐标平面中，曲线是一条抛物线，点是这条抛物线的焦点，直线是拋物线的准线．如果点为抛物线上任意一点，连接，并作，垂足为D，交轴于点，那么由抛物线的定义可知．已知抛物线的准线的表达式为． （1）①如图可知抛物线经过原点，那么点坐标为______； ②如图，如果，作轴，那么______，______． （2）直线与抛物线在第一象限交于点，求点坐标； （3）反比例函数图像与抛物线交于点（位于第一象限），过点作轴，垂足为，如果，直接写出这个反比例函数的函数解析式． 【答案】（1）①；②2，；（2）；（3） 【分析】本题在新定义的基础上考查了勾股定理，反比例函数的定义等知识，解决问题的关键是紧扣定义． （1）①根据定义得出点到的距离等于点到点距离，进而得出结果； ②可得出，，根据勾股定理求得的值． （2）作于，交轴于，连接，作于，设，可得出，，，在中，根据勾股定理列出方程，进一步得出结果． （3）作，交轴于，作轴于，根据得出，，，在中根据勾股定理得出，进一步得出结果． 解：（1）解：①点到的距离等于点到点距离， ， 故答案为：； ②，，， ， ， 轴， ， ， 故答案为：； （2）解：如图1， 作于，交轴于，连接，作于， 设， ， ，， 在中，， ， 或（舍去）， ； （3）解：如图2， 作，交轴于，作轴于， ， ， ，， ， 在中，， ， 设反比例函数的解析式为， ， ， 这个反比例函数的解析式为：． 32．（2025·广西河池·一模）广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进人·3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）；（2）销售单价应为160元 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，正确求得函数解析式是解题的关键． （1）因为y与x成反比例函数关系，可设函数式为，然后根据当售价定为120元时，每天可售出20件可求出k的值即可． （2）设单价是x元，根据每天可售出y件，每件的利润是元，总利润为1200元，由利润=售价-进价列方程求解即可． 解：（1）解：设函数式为， ∵当销售定价为120元时，每日可销售20件， ∴，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：． （2）解：设单价是x元， ∵， ∴，解得：， 检验：当时，利润为元，符合题意． 答：销售单价应为160元． 33．（2025·山东济南·一模）直线与双曲线交于点，交y轴于点． （1）求k，m的值； （2）如图1，点E是直线上A点右侧的一个动点，过点E作y轴的平行线，交反比例函数图象于点D，连接，． ①当时，求的面积； ②如图2，在①的条件下，将沿射线方向平移一定距离，得到，若点恰好落在反比例函数图象上，请直接写出点的坐标． 【答案】（1），；（2）①；② 【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，平移的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）把坐标代入一次函数解析式求出的值，确定出一次函数解析式，再求出点坐标，将坐标代入反比例函数解析式求出的值，即可确定出反比例解析式； （2）①设的坐标为，表示出的坐标，两点纵坐标之差即为的长，由已知的长求出的值，确定出的坐标，三角形面积以为底，横坐标为高，求出即可； ②连接，由平移可得：，根据两直线平行时的值相同确定出直线的解析式，与反比例函数解析式联立求出交点的坐标，根据平移的性质，由平移到的路径确定出平移到的路径，进而确定出的坐标即可． 解：（1）解：∵点在直线上， ， 解得：， ∴一次函数解析式为， ∵在的图象上， ∴， ∴， ∵在的图象上， ， 解得：． （2）解：①由（1）得反比例函数解析式为，一次函数解析式为， 设，则有， ， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， ； ②连接，由平移可得：，即， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 即通过往右平移个单位，往上平移个单位得到，又由①中知， ∴点往右平移个单位，往上平移个单位得到． 34．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过矩形的顶点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，点为线段上的一个动点，点在直线上一点，点在反比例图象上． （1）求反比例函数表达式． （2）如图1，若点为对角线的中点时，且四边形是平行四边形，求长． （3）在坐标平面内，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在， 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，正方形的性质与平行四边形的性质； （1）把代入，即可求解； （2）设，，根据，，为对角线，利用中点坐标公式，即可求解； （3）根据矩形的性质可得，，得出直线的解析式为，分两种情况讨论，当在点右侧时，当在点左侧时，设，根据正方形的性质，全等三角形的性质，得出的坐标，进而代入解析式即可求解． 解：（1）解：∵在的图象上， ∴， ∴ （2）解：∵矩形的顶点，点为对角线的中点时， ∴为的中点，则， ∵点在直线上一点，点在反比例图象上，四边形是平行四边形， ∴， 设， ∵，，为对角线 ∴ 解得： ∴ ∴ （3）解：∵矩形的顶点， ∴， 直线的解析式为， 将，代入得 解得： ∴直线的解析式为， 如图所示，当在点右侧时，过点作，于点，过点作于点， ∴ ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∵点为线段上的一个动点， 设，则,， ∴， ∴ ∵在上， ∴ 解得： ∴ 如图所示，当在点左侧时， 同理可得， ∴ 设， ∴ ∴ ∵在上， ∴ 解得：（舍去）或 ∴ 综上所述， 35．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图1，点A是反比例函数的图象上一动点，连接并延长交反比例函数于点B，设与x轴正半轴的夹角为， （1）①若，则______；②若，则______； （2）小红同学在数学老师的指导下，证明了命题“无论如何变化，的值始终不变”为真命题．如图2，点E、F在，点G在上，O、F、G在同一条直线上，仅用无刻度的直尺在的图象上作点H，使得； （3）如图3，过点B作x轴、y轴的垂线分别交于点C、D； ①试说明的面积为定值，并求出该值； ②若，连接并延长交x轴于点E，求∠DCE的度数． 【答案】（1）；；（2）见分析；（3）①说明见分析；；② 【分析】（1）过点A作轴于点E，轴于点F，当，设，，求出，，得出；当，设，，得出，，求出，即可得出答案； （2）连接并延长，交的图象于一点，该点即为所求； （3）①设点，则，，得出，，根据，即可得出结论； ②根据，得出，求出，得出，，，求出直线的解析式为：，得出，求出， ，，根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，即可得出答案． 解：（1）解：过点A作轴于点E，轴于点F，如图所示： 则， ∵， ∴和为等腰直角三角形， ∴，， ∴设，， ∵点A在反比例函数，点B在反比例函数上， ∴， 解得：，负值舍去，，负值舍去， ∴，， ∴，， ∴； ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 设，， ∵点A在反比例函数，点B在反比例函数上， ∴， 解得：，， ， ∴； （2）解：如图，连接并延长，交的图象于一点，该点即为点H； 连接，， ∵“无论如何变化，的值始终不变”为真命题， ∴根据解析（1）可知：， ∴， ∴，， ∴、分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴； （3）解：①设点，则，， ∴，， ∴， ∴的面积为定值． ②∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∴根据解析（1）可知：此时， 即， ∴， 设直线的解析式为：， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ，， ∴， ∴为直角三角形，． 【点拨】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求一次函数解析，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 36．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）换一个角度初看 华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了． （1）如图1，当时，的取值范围是_______． 换一个角度二看 我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”，是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形”．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形”的两边长． （2）请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形的面积为_____，周长为_____． ②是否存在矩形的“双半矩形”？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①20，28；②不存在，见分析；（3）存在，或或 【分析】（1）求出两函数图象的交点，观察函数图象，即可求解； （2）①由题意得：且，即可求解； ②假设存在矩形，其边长为，，同理可得：，，则存在方程：，而方程无解，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组即可求解；当或为对角线时，同理可解． 解：（1）联立和得：， 解得：或5， 观察函数图象知，当时，的取值范围是， 故答案为：； （2）①设矩形的边长分别为：，， 由题意得：且， 而，， 则，， 故周长为28，面积为20， 故答案为：20，28； ②假设存在矩形，其边长为，， 同理可得：，， 则存在方程：， ， ∴方程无解， 故不存在矩形； （3）存在，理由： 联立两个函数表达式得：， 解得：或5， 即点、的坐标分别为：、； 设点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得：，即点； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或； 综上，或或． 【点拨】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数的应用，中点坐标公式，平行四边形的性质，解一元二次方程，解题的关键是会灵活的运用函数图象交点的意义，以及图象的特点，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会． 37．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过平行四边形一条对角线的两个端点，则称函数是平行四边形的“”函数，函数的图象经过平行四边形的四个顶点，则称函数是平行四边形的“”函数． （1）已知：如图1，在平行四边形中，轴，若点坐标为点坐标为，函数是平行四边形的“”函数． ①求的值及点的坐标； ②是否存在反比例函数是平行四边形的“”函数，若存在，求出值，若不存在，请说明理由； （2）已知：如图2，若点坐标为，点在第一象限内，其坐标为，反比例函数是平行四边形的“”函数． ①请在图2中画出平行四边形； ②若，求平行四边形的面积； ③平行四边形是否可以成为矩形，若可以，直接写出的值，若不可以，请说明理由． 【答案】（1）①，②6；（2）①见分析②36③ 【分析】本题主要考查一次函数图象与性质，反比例函数图象与性质，平行四边形的性质等知识；正确理解题意是解答本题的关键． （1）①先判断函数的图象经过点B，求出m的值，设点D的坐标为，代入可得，从而可得点D的坐标；②求出点C的坐标为，可判断点A，点C在反比例函数图象上，从而可得结论； （2）①根据反比例函数图象是中心对称图形，可画出平行四边形； ②由可求出点B的坐标，根据中心对称的性质可得出点C的坐标，过点A作于点E，过点B作于点F，根据可得结论； ③根据两点间距离公式求出的长，根据得出，结合求出的值即可． 解：（1）解：①若函数过点A，则当时，， 所以，函数不过点A， ∵函数是平行四边形的“”函数， ∴函数过点， 把点的坐标代入得，； ∵轴， ∴设点D的坐标为，代入得，， 解得，， ∴； ②∵四边形是平行四边形，，， ∴点C可以看作是点D向下平移5个单位，再向左平移2个单位得到的， 所以，点C的坐标为， ∵， ∴点A，C在反比例函数的图象上， ∴反比例函数是平行四边形的“”函数，此时； （2）解：①如图，即为所画；    ②如图，过点A作于点E，过点B作于点F，    根据中心形的性质得， ∵ ∴， 又 ∴， ∴ ； ③平行四边形可以成为矩形， ∵， ∴， 若四边形是矩形，则有：， ∴ 整理得， 又， ∴， ∵， ∴， 联立， 解得，，或（舍去） ∴． 38．（2025·四川成都·二模）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． （1）求直线和反比例函数的解析式； （2）将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式； （3）对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1），；（2）或；（3）存在，点的坐标为或． 【分析】把代入，求出值，即可得到反比例函数的解析式，把代入，求出值，即可得到一次函数的解析式； 将直线沿轴方向向上平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，的长度就是直线中的；将直线沿轴方向向下平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：，其中的长度是直线中的的相反数； 根据等和点的关系和点、点所在的解析式，设点，点，根据等和点的坐标之间的关系可得方程，解方程求出的值，再把的值代入反比例函数解析式，即可求出符合要求的点的坐标． 解：（1）解：把代入， 可得：， ， 反比例函数的解析式为， 把代入， 可得：， ， 直线的解析式为； （2）解：， 点的坐标是， ， 如下图所示， 将直线沿轴方向向上平行移动时， 设直线与，轴分别交于点，，则， ， ， ， ， 直线与直线平行，， 直线的解析式为； 将直线沿轴方向向下平行移动时， 设直线与，轴分别交于点，，则， ， ， ， ， 直线与直线平行，， 直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为或； （3）解：点的坐标为或， 点在图象上，点在直线上， 设点，点， 点是点的等和点， ， ， ， ，， 经检验，，均是原分式方程的根， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或． 【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合性、求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、函数图象的平移，解决本题的关键是根据函数的图象与性质找到相应的点的坐标，再根据坐标求出解析式． 1 学科网（北京）股份有限公司 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