精品解析：广东省珠海市香洲区2025年中考模拟考试数学试卷 -

香洲区2025年中考模拟考试 数学试卷 说明： 1．全卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．所有答案写在答题卷上，在试卷上作答无效． 3．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卷上，不能用铅笔或红色字迹的笔． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 在1，－2，0，这四个数中，最大数是(　　) A. －2 B. 0 C. D. 1 2. 以下运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 据相关统计数据表明，2025年珠海市计划投入环保资金580000000元用于城市绿化和污水处理等项目．将数据580000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 某班共有50名同学，其中有2名同学只会用左手写字，其余同学都用右手写字．老师随机选1名同学上台板演，选中左手写字同学概率是（ ） A. 0 B. C. D. 1 5. 如图，已知点、、、在同一条直线上，，，根据全等三角形的判定方法，下列能证明的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有一个实数根 8. 智能物流机器人可进行自动化作业，显著提升物流效率并大幅降低人力成本．某智能物流机器人在仓库中需从货架A点出发，先向正东方向行驶12米到达B点，再向正北方向行驶5米到达C点．为优化路线，若机器人从A点沿直线方向直接行驶到C点，则线段长为（ ） A. 7米 B. 13米 C. 17米 D. 20米 9. 如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，．已知，，，则四边形的面积是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 如题图，正五边形内接于圆，过点A的切线与直线，相交于点F，G，直线，相交于点H，下列结论中：①；②；③；④当正五边形的边长为2时，线段的长是．正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 分解因式：_____． 12. 一组数据48，50，47，44，50，53的中位数是_______． 13. 已知点，在反比例函数的图象上．若，则的值为_______． 14. 如图，在中，，，，将从点A出发沿底边中线方向平移得到，当时，重叠部分的周长是_______． 15. 抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为_______． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 解方程：． 18. 如图，在边长为1的正方形网格图中，建立平面直角坐标系，一圆弧经过点A，B，C，D，其中A，B，C为网格点． （1）请直接写出图中弧所在圆的圆心P的坐标_______； （2）求圆周角的度数． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房不断刷新影史纪录．《哪吒之魔童闹海》角色盲盒深受同学们喜爱．某商家计划推出一系列盲盒，含哪吒，敖丙，李靖，殷夫人，太乙真人五种角色．为了解学生喜好，商家随机抽取了某校部分观影学生进行问卷调查（要求每人必选且只选一个最喜爱的角色），并对数据进行了整理、描述和分析，如图： （1）数据整理：此次调查的学生人数为_______人，扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角度数为_______，请补全条形统计图； （2）合理预测：若该校共有名学生观影，请通过计算估计全校最爱“敖丙”角色的学生人数； （3）分析决策：商家需选择一名角色作为盲盒的隐藏款，你认为应选择哪个角色作为隐藏款？请说明理由． 20. 为助力珠海打造活力之城，丰富市民业余文体生活，珠海某社区计划采购一批相同型号白匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元． （1）求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？ （2）由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整．现需一次性购买匹克球拍匹克球数量之和为50，匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元．求满足件的采购方案有哪些？ 21. 数学兴趣小组围绕着“关于x的二次函数在给定范围内，当x为何值时，y取最小值”展开研究． 【基础回顾】（1）当时，则，其中，当_______时，y取最小值； 【举一反三】关于x的二次函数，学生选取不同的t值，其中，当x为何值时，y取最小值，并记录如下： 0 4 5 y取最小值时x的值 或0 【探究发现】 发现：由表格数据，数学小组发现：以为分界， ①当，时，y取最小值； ②当，或0时，y取最小值； ③当时，y取最小值． （3）猜想证明：请你补充数学小组未完成的证明： 设，是关于x的二次函数图象上的两端点， 抛物线的对称轴记为，MN中点的横坐标记为． ， 抛物线的开口向下． 当，即，点N离对称轴较远，则当时，y取最小值． 当时，即，_______； 当时，即，_______； 综上所述：猜想（2）得证． （2）猜想： 关于x的二次函数，其中，当_______时，y取最小值． 【实际运用】（4）如图，在青少年足球比赛中，球员甲在点O处准备挑球过人．以O为原点，足球离地面高度y米与到原点的水平距离x米近似满足二次函数关系．因在甲正前方7.5米C处有防守运动员乙准备拦截，甲调整出球力度，使足球沿抛物线飞向防守运动员乙．防守运动员乙一个跨步（约0.5米）范围内防守，即当时，足球离地面高度大于防守运动员乙的最高摸高米，求t的取值范围． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 如图1，点D，E分别是锐角三角形边，的中点，点F，G是边上的两点（F在G的左侧），，过点D，G分别作，，垂足分别为H，P． （1）证明：； （2）将图1沿，，剪开，得到如图2所示的四块图形编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ．我们发现由此四块图形可以拼接成矩形．如图3中的矩形就是由这四块拼接的矩形．具体操作是延长，，取，，过点L，J分别作，，得到矩形． ①【操作】请你试着把矩形内部除第Ⅰ块外的部分，分成分别与Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ形状大小对应相同的三块，并在图中用尺规作图作出来（不写作法，保留作图痕迹）； ②【应用】在图3中，若矩形为正方形，，，，求的长． 23. 如图1，已知反比例函数，点A，B在x轴正半轴上（点A在点B的左侧），过点A，B分别作．轴，轴，交反比例函数图象于点D，C，连接． （1）填空：_______； （2）求证：； （3）如图2，直线交于点F，交延长线于点G．点线段上． ①若点E是的中点．证明：四边形为平行四边形．并求出此时的值； ②如图3，连接．试判断形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 香洲区2025年中考模拟考试 数学试卷 说明： 1．全卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．所有答案写在答题卷上，在试卷上作答无效． 3．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卷上，不能用铅笔或红色字迹的笔． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 在1，－2，0，这四个数中，最大的数是(　　) A. －2 B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据负数＜0＜正数的大小关系，即可判断. 【详解】∵－2＜0＜1＜，所以最大，选C. 【点睛】本题考查有理数大小的比较，关键是比较大小的法则. 2. 以下运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，单项式的乘法，同底数幂乘法，以及幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据合并同类项，单项式的乘法，同底数幂乘法，以及幂的乘方法则逐项分析即可． 【详解】解：A．，故原式正确； B．，故原式不正确； C．，故原式不正确； D．，故原式不正确． 故选：A． 3. 据相关统计数据表明，2025年珠海市计划投入环保资金580000000元用于城市绿化和污水处理等项目．将数据580000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．据此求解即可． 【详解】解：580000000用科学记数法表示为， 故选：A． 4. 某班共有50名同学，其中有2名同学只会用左手写字，其余同学都用右手写字．老师随机选1名同学上台板演，选中左手写字同学的概率是（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率的求法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 让习惯用左手写字的学生数除以学生总数即为所求的概率． 【详解】解：根据题意，某班共有50名同学，其中有2名同学只会用左手写字， 而习惯用左手写字的同学被选中的有2种； 故其概率为； 故选：B 5. 如图，已知点、、、在同一条直线上，，，根据全等三角形的判定方法，下列能证明的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．首先根据等式的性质可得，结合，再分别添加四个选项中的条件，结合全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 另有， 、添加，利用不能判定，故此选项不合题意； 、添加，利用不能判定，故此选项不合题意； 、添加，可得，利用不能判定，故此选项不合题意； 、添加，利用能判定，故此选项符合题意； 故选． 6. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质，掌握系数k，b与一次函数图像的位置是解题的关键． 根据系数判断一次函数经过的象限，即可得出答案． 【详解】解：一次函数中，，， ∴该函数图像经过一，二，三象限， ∴一次函数不经过第四象限． 故选：D． 7. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．先将原方程化为一般式，再根据根的判别式求解即可． 【详解】解：原方程化为， 则， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 8. 智能物流机器人可进行自动化作业，显著提升物流效率并大幅降低人力成本．某智能物流机器人在仓库中需从货架A点出发，先向正东方向行驶12米到达B点，再向正北方向行驶5米到达C点．为优化路线，若机器人从A点沿直线方向直接行驶到C点，则线段长为（ ） A. 7米 B. 13米 C. 17米 D. 20米 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了勾股定理的应用，根据题意得出是直角三角形，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∴米， 故选：B． 9. 如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，．已知，，，则四边形的面积是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，解题的关键是掌握平行四边形的面积被对角线角等分． 【详解】解：如图，点P在平行四边形对角线上，过点P作，， 四边形，四边形为平行四边形， ， ， ，， ，， ， 故选：B． 10. 如题图，正五边形内接于圆，过点A的切线与直线，相交于点F，G，直线，相交于点H，下列结论中：①；②；③；④当正五边形的边长为2时，线段的长是．正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接，求解，可得，，故①符合题意；证明是的垂直平分线，可得过圆心，可得，可得，证明，可得，故②符合题意；证明，可得，，设，设正五边形的边长为，可得，证明，设，可得，故③不符合题意；当正五边形的边长为2时，结合③可得：，，进一步可得线段的长是，故④符合题意. 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形内接于圆， ∴，， ∴，，故①符合题意； ∴，而， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴过圆心， ∵为圆的切线， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； 由②得：， ∴， 同理可得：， 同理可得：， ∴，， ∴设， 设正五边形的边长为， ∵， ∴， 解得：（不符合题意的根舍去） ∵， ∴， 设， ∴，， 同理：， ∴， ∴，故③不符合题意； 当正五边形的边长为2时， 结合③可得：，， ∴， ∴线段的长是，故④符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，切线的性质，本题的难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键。 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 12. 一组数据48，50，47，44，50，53的中位数是_______． 【答案】49 【解析】 【分析】本题考查求中位数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此求解即可． 【详解】解：这组数据从小到大排列为：44，47，48，50，50，53， 故这组数据的中位数， 故答案为：49． 13. 已知点，在反比例函数的图象上．若，则的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的特征，掌握反比例函数图象上点的坐标之积等于k是解题的关键． 根据反比例函数的图象上点的特征，可得，即可求解． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2 14. 如图，在中，，，，将从点A出发沿底边中线方向平移得到，当时，重叠部分的周长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】在中，，，，求出，根据直角三角形的性质得出，从而得出，即可得，根据，得出，，根据平移可得，证明是等边三角形，得出，证明，即可得，，即可求出三角形的周长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 根据平移可得， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分的周长， 故答案为：． 【点睛】该题考查了平移的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 15. 抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，勾股定理等．由抛物线的对称性求出点B的坐标，由抛物线的平移表示出点C的坐标，再根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：抛物线L的解析式为， 抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线L过两点， ， ， ，， 抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M， 设抛物线M的顶点， ，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得， 解得，， 点C的坐标为或 故答案为：或． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别根据负整数指数幂、算术平方根以及零指数幂运算法则计算各项后再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤和方法是解题的关键． 根据解分式方程的步骤求解即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 去括号得：， 解得：， 经检验，为原分式方程的解． 18. 如图，在边长为1的正方形网格图中，建立平面直角坐标系，一圆弧经过点A，B，C，D，其中A，B，C为网格点． （1）请直接写出图中弧所在圆的圆心P的坐标_______； （2）求圆周角的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理及其逆定理： （1）根据网格特征和垂径定理可知的垂直平分线的交点即为圆心； （2）根据可得，连接，根据勾股定理逆定理可得是等腰直角三角形，即可求解． 【小问1详解】 解：的垂直平分线的交点即为圆心点P， 所以圆心P的坐标为； 故答案为： 【小问2详解】 解：弧弧， ， 连接， ， ，，， ，， 是等腰直角三角形，， ． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房不断刷新影史纪录．《哪吒之魔童闹海》角色盲盒深受同学们喜爱．某商家计划推出一系列盲盒，含哪吒，敖丙，李靖，殷夫人，太乙真人五种角色．为了解学生喜好，商家随机抽取了某校部分观影学生进行问卷调查（要求每人必选且只选一个最喜爱的角色），并对数据进行了整理、描述和分析，如图： （1）数据整理：此次调查的学生人数为_______人，扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角度数为_______，请补全条形统计图； （2）合理预测：若该校共有名学生观影，请通过计算估计全校最爱“敖丙”角色的学生人数； （3）分析决策：商家需选择一名角色作为盲盒的隐藏款，你认为应选择哪个角色作为隐藏款？请说明理由． 【答案】（1），，见解析 （2）人 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，解题关键是能读懂统计图，从中获取有用信息． （1）根据喜爱哪吒的有人，占，可求出此次调查的学生人数；根据喜爱“太乙真人”有人除以此次调查的学生数乘以度可求得扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角度数；出此次调查的学生人数减去其他人数可得喜爱“殷夫人”的人数； （2）根据此次调查的学生中最爱“敖丙”的有人除以此次调查的学生人数乘以即可； （3）选择调查中人数比较少的，答案不唯一，言之有理即可． 小问1详解】 解： 此次调查的学生有（人）， 扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角为， 喜爱“殷夫人”的有（人）， 补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 （人）， 答：估计全校最爱“敖丙”的人数大约为人； 【小问3详解】 应选择殷夫人作为隐藏款，因为调查可知喜欢殷夫人的人数最少．（答案不唯一） 20. 为助力珠海打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，珠海某社区计划采购一批相同型号白匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元． （1）求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？ （2）由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整．现需一次性购买匹克球拍匹克球数量之和为50，匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元．求满足件的采购方案有哪些？ 【答案】（1）匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元 （2）①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球拍6副，匹克球44个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组组的应用，一元一次不等式的应用，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键． （1）设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元，根据购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元列方程组求解即可； （2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球个，根据匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元 由题意得： 解得： 答：匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元． 【小问2详解】 设购买匹克球拍m副，则购买匹克球个． 由题意得：， 又取正整数， 可取5，6 当时，匹克球数量为：个； 当时，匹克球数量为：个． 答：满足条件的采购方案有两种：①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球拍6副，匹克球44个． 21. 数学兴趣小组围绕着“关于x的二次函数在给定范围内，当x为何值时，y取最小值”展开研究． 【基础回顾】（1）当时，则，其中，当_______时，y取最小值； 【举一反三】关于x的二次函数，学生选取不同的t值，其中，当x为何值时，y取最小值，并记录如下： 0 4 5 y取最小值时x的值 或0 【探究发现】 发现：由表格数据，数学小组发现：以为分界， ①当，时，y取最小值； ②当，或0时，y取最小值； ③当时，y取最小值． （3）猜想证明：请你补充数学小组未完成的证明： 设，是关于x的二次函数图象上的两端点， 抛物线的对称轴记为，MN中点的横坐标记为． ， 抛物线的开口向下． 当，即，点N离对称轴较远，则当时，y取最小值． 当时，即，_______； 当时，即，_______； 综上所述：猜想（2）得证． （2）猜想： 关于x的二次函数，其中，当_______时，y取最小值． 【实际运用】（4）如图，在青少年足球比赛中，球员甲在点O处准备挑球过人．以O为原点，足球离地面高度y米与到原点的水平距离x米近似满足二次函数关系．因在甲正前方7.5米C处有防守运动员乙准备拦截，甲调整出球力度，使足球沿抛物线飞向防守运动员乙．防守运动员乙一个跨步（约0.5米）范围内防守，即当时，足球离地面高度大于防守运动员乙的最高摸高米，求t的取值范围． 【答案】（1）0；（2）m或n；（3）点M，N离对称轴距离一样，则当或n时，y取最小值．点M离对称轴较远，当时，y取最小值；（4） 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式，求出对称轴，确定取值范围内当时，y取得最小值； （2）根据发现即可得到猜想的答案； （3）结合二次函数的性质得到答案； （4）求出二次函数的解析式，分四种情况讨论即可得到答案． 【详解】解：（1）∵抛物线，对称轴为直线， ∴当时，, ∴当时，y取得最小值， 故答案为0； （2）∵以为分界， ①当，时，y取最小值； ②当，或0时，y取最小值； ③当时，y取最小值． ∴关于x的二次函数，其中，当m或n时，y取最小值． （3）设，是关于x的二次函数图象上的两端点， 抛物线的对称轴记为，中点的横坐标记为． ， 抛物线的开口向下． 当，即，点N离对称轴较远，则当时，y取最小值． 当时，即，点M，N离对称轴距离一样，则当或n时，y取最小值； 当时，即，点M离对称轴较远，当时，y取最小值； 综上所述：猜想（2）得证． （4）∵二次函数的对称轴为直线， ∴①当时，则当时，即，解得，∴； ②当时，则当时，即，解得，∴； ③当时，则当时，即，解得，∴； ④当时，则当时，即，解得，∴； 综上，． 【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，二次函数的应用，分类讨论，掌握二次函数图象上点坐标的特征是解题的关键． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 如图1，点D，E分别是锐角三角形边，的中点，点F，G是边上的两点（F在G的左侧），，过点D，G分别作，，垂足分别为H，P． （1）证明：； （2）将图1沿，，剪开，得到如图2所示的四块图形编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ．我们发现由此四块图形可以拼接成矩形．如图3中的矩形就是由这四块拼接的矩形．具体操作是延长，，取，，过点L，J分别作，，得到矩形． ①【操作】请你试着把矩形内部除第Ⅰ块外的部分，分成分别与Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ形状大小对应相同的三块，并在图中用尺规作图作出来（不写作法，保留作图痕迹）； ②【应用】在图3中，若矩形为正方形，，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据点D，E分别是边，的中点，得出是的中位线，即可得，根据平行线得出，根据垂直定义得出，结合，根据“”即可证明． （2）①尺规过点作，即可解答；②过点A作于点K，在中，根据，，求出，，结合，求出，由拼接可知，，得出正方形的边长为，由（1），得出，过点E作于点M，求出，在中，求出，，在中，根据，，用勾股定理求出，即可得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：点D，E分别是边，的中点， 是的中位线， ， ， ，， ， 又， ． 【小问2详解】 ①解：如图所示，线段为所求作． ②解：过点A作于点K， ， 在中，，， ，， ， ， 由拼接可知，， 正方形的边长为， 由（1）， ， 即， 过点E作于点M， ， 是边的中点，， ， ∵在中，，， ，， ∵在中，，， ， ， ， ． 【点睛】该题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形中位线定理，二次根式性质，全等三角形的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 如图1，已知反比例函数，点A，B在x轴正半轴上（点A在点B的左侧），过点A，B分别作．轴，轴，交反比例函数图象于点D，C，连接． （1）填空：_______； （2）求证：； （3）如图2，直线交于点F，交延长线于点G．点在线段上． ①若点E是中点．证明：四边形为平行四边形．并求出此时的值； ②如图3，连接．试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）1 （2）见解析 （3）①；②直角三角形，见解析 【解析】 【分析】（1）根据k的几何意义和三角形面积公式即得； （2）根据，，即得； （3）①设点，，得，得，解得，得点，点得直线的解析式为： ，得，由，得四边形为平行四边形，②设点，则点，得，得，同理，设点，则点，设直线交x轴于点H，连接，得点，轴，得可得，得，是直角三角形． 【小问1详解】 解：； 故答案为：1； 【小问2详解】 证明：点C，D在反比例上， ， ， ， 【小问3详解】 解：①设点． 是线段的中点， ． 点C在反比例上， ． ． 解得． 点A在点B的左侧， ． 点，点． 设直线的解析式为， ． 解得：． 直线的解析式为． ， ． 轴，轴， ． 四边形为平行四边形． 由（2）得：，点，点， ． ②是直角三角形，理由如下： 设点， 则点． ． ， ． ． ． 同理，设点， 则点． ，． ． ． 设直线交x轴于点H，连接． 令，则． 点． 点， 轴． ． ． ， ． ， ． ． ， ． 是直角三角形． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数综合．熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数k的几何意义，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $