精品解析：甘肃省武威市凉州区2024-2025学年高二下学期期中质量检测数学试卷

2024—2025学年第二学期期中质量检测试卷 高 二 数 学 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数在点处的切线方程为，则（ ） A. 2 B. 1 C. -2 D. -5 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可求，切线过切点可求，可得结论. 【详解】因为函数在点处的切线方程为， 所以，且，所以. 故选：D. 2. 已知向量，，，则2x－y＝（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的数量积运算的坐标形式计算求解. 【详解】因为，，， 所以，解得2x－y＝2，. 故选：C. 3. 已知随机变量X的分布规律为（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分布列的性质求出，进而可得出答案. 【详解】因为随机变量X的分布规律为（）， 所以，解得， 所以. 故选：A. 4. 现有随机事件件A，B，其中，则下列说法不正确的是（ ） A. 事件A，B不相互独立 B. C. 可能等于 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式、条件概率公式、和事件的概率公式计算即可. 【详解】易知，所以事件A，B不相互独立，即A正确； 由条件概率公式可知，， 故B正确，C错误； 由和事件的概率公式可知， 故D正确； 故选：C 5. 根据历年气象统计资料，某地四月份某日刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为，则在下雨条件下刮东风的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，利用条件概率公式计算即得. 【详解】记某地四月份某日舌东风为事件，某地四月份某日下雨为事件，则所求概率为= 故选:C. 6. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量 （吨）与相应的生产能耗 （吨）的几组对应数据如表所示： 3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 根据表中数据得出关于的线性回归方程为，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为（ ） A. 5.15吨 B. 5.25吨 C. 5.5吨 D. 9.5吨 【答案】B 【解析】 【分析】求出，，根据回归直线方程必过样本中心点求出，再代入计算可得. 【详解】依题意可得，， 又回归直线方程必过点，即，解得， 所以，当时， 故生产7吨产品，预计相应的生产能耗为5.25吨. 故选：B 7. 如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合空间向量基本定理，根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】依题意 ， 又，所以，. 故选：C 8. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的性质求解即可. 【详解】由题意得正态分布曲线关于对称， 因为，则． 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若空间向量满足， 则 B. 在正方体中，必有 C. 若空间向量满足，则 D. 空间中，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用相等向量的概念和共线向量的概念来进行判断即可. 【详解】对于A，若空间向量满足，则，这显然是错误的，因为向量相等要满足大小相等，方向相同； 对于B，在正方体中，必有，这显然是正确的，因为他们的长度相等，两直线平行，并且方向相同； 对于C，若空间向量满足，则，这显然是正确的，因为向量的相等也具有传递性； 对于D，在空间中，，则，当时，因为任何向量与都是共线向量，所以是不一定成立的，故D错误； 故选：BC. 10. 下面结论正确的是（ ） A. 若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件 B. 若事件A与B是相互独立事件，则与也是相互独立事件 C. 若，，A与B相互独立，那么 D. 若，，A与B相互独立，那么 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥与对立事件的定义，以及相互独立事件的概率乘法公式，逐项判定，即可求解. 【详解】A中，由互斥事件的定义可知，事件A，B互斥，则A与也是互斥事件不成立， A错误；特别地，若事件A，B对立，则A与是同一事件，显然不互斥. B中，若A与B相互独立，则A与，B与，与都是相互独立事件，所以B正确； C中，如果A与B相互独立，则，所以C错误； D中，如果A与B相互独立，则，所以D正确. 故选：BD． 11. 设离散型随机变量X的分布列如下表，若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的是（ ） X 0 1 2 3 4 P 0.4 0.1 0.2 0.2 A. B. ， C. ， D. ， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据分布列的性质计算q的值,然后根据期望、方差公式计算,由分布列的性质可得和. 【详解】由分布列的性质可得：q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,解得q=0.1. ，. 因为离散型随机变量Y满足， 所以，. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量模的运算求得正确答案. 【详解】， 所以. 故答案为： 13. 已知随机变量服从二项分布，若，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布的期望和方差公式得出关于和的方程组，即可解出的值. 【详解】由二项分布的期望和方差公式得，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查根据二项分布的期望和方差求参数，考查公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题. 14. 在A，B，C三地爆发了流感，这三个地区分别为6%，5%，4%的人患了流感.设这三个地区人口数的比为3∶1∶1，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式进行求解 【详解】由全概率公式可得：现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率为： 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，调查得该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），为了研究计算的方便，记年为，年为依次下去，得到下表： 1 2 3 4 5 储蓄存款（千亿元） 5 6 7 8 10 （1）求关于的线性回归方程； （2）用所求回归方程预测到年年底，该地储蓄存款额可达多少? 附：对于线性回归方程，其中. 【答案】（1） （2）约为千亿元 【解析】 【分析】（1）求出，，，，即可求出、，从而求出回归直线方程； （2）将代入计算可得. 【小问1详解】 依题意，， ， ， 所以，， 所以； 【小问2详解】 年对应的， 所以，即到年年底预测该地储蓄存款额约为千亿元. 16. 如图，在正方体中，E为的中点，F为的中点． （1）求证：EF//平面ABCD； （2）求直线DE，BF所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图连 ∵几何体为正方体， ∴， ∴EF∥BD ∵EF∥BD，平面ABCD，平面ABCD， ∴平面ABCD； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的传递先证明线线平行，继而证明线面平行； （2）以D为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，根据空间角的计算公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以D为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系 令，可得点D的坐标为，点E的坐标为，点F的坐标为，点B的坐标为， ， DE，BF所成角的余弦值为 17. 一盒中装有大小和质地相同的3个白球和2个红球，现从该盒中任取2球，记随机变量表示从该盒中取出的红球个数． （1）求随机变量的分布列； （2）求随机变量的期望和方差． 【答案】（1）随机变量的分布列为： 0 1 2 （2）期望为，方差为.【解析】 【分析】(1)先写出随机变量的所有可能取值，分别求概率，即可得到随机变量的分布列； (2) 由(1)所求出的分布列代入期望和方差的公式即可求出随机变量的期望和方差． 【小问1详解】 由题可知，随机变量可能的取值有， 所以 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 【小问2详解】由(1)的分布列得， ． 18. 为了研究学生每天整理数学错题的情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”. 已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占.    数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 不经常整理 合计 （1）求图1中的值； （2）根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关? 附： 【答案】（1） （2）列联表为： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 35 25 60 不经常整理 15 25 40 合计 50 50 100 可认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各矩形面积和为1建立方程求解即可； （2）根据题目数据补全列联表，代入公式求出观测值，将其与临界值进行对比，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，解得； 【小问2详解】 数学成绩优秀的有人，不优秀的人人， 经常整理错题的有人， 不经常整理错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人， 则列联表为： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 35 25 60 不经常整理 15 25 40 合计 50 50 100 零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关， 根据列联表中的数据，经计算得到可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于. 19. 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70，100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人． （1）试问此次参赛学生的总数约为多少人？ （2）若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？ 附正态分布3σ概率表： P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3 【答案】（1）527人；（2）84人． 【解析】 【分析】（1）利用正态分布的性质得到成绩在90分以上(含90分)的概率，进而求得总人数； （2）利用正态分布的性质得到成绩在80分以上(含80分)的概率，进而结合（1）中所得总人数求得. 【详解】（1）设参赛学生的成绩为X，因为X～N(70，100)， 所以μ＝70，σ＝10. 则P(X≥90)＝P(X≤50)＝[1－P(50<X<90)] ＝[1－P(μ－2σ<X<μ＋2σ)]≈×(1－0.954 5) ＝0.022 75， 12÷0.022 75≈527(人)． 因此，此次参赛学生的总数约为527人． （2）由P(X≥80)＝P(X≤60)＝[1－P(60<X<80)] ＝[1－P(μ－σ<X<μ＋σ)]≈×(1－0.682 7) ＝0.158 65， 527×0.158 65≈84(人)． 因此，此次竞赛成绩为优的学生约为84人． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期期中质量检测试卷 高 二 数 学 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数在点处的切线方程为，则（ ） A. 2 B. 1 C. -2 D. -5 2. 已知向量，，，则2x－y＝（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 3. 已知随机变量X的分布规律为（），则（ ） A. B. C. D. 4. 现有随机事件件A，B，其中，则下列说法不正确的是（ ） A. 事件A，B不相互独立 B. C. 可能等于 D. 5. 根据历年气象统计资料，某地四月份某日刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为，则在下雨条件下刮东风的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量 （吨）与相应的生产能耗 （吨）的几组对应数据如表所示： 3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 根据表中数据得出关于的线性回归方程为，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为（ ） A. 5.15吨 B. 5.25吨 C. 5.5吨 D. 9.5吨 7. 如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若空间向量满足， 则 B. 在正方体中，必有 C. 若空间向量满足，则 D. 空间中，，则 10. 下面结论正确的是（ ） A. 若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件 B. 若事件A与B是相互独立事件，则与也是相互独立事件 C. 若，，A与B相互独立，那么 D. 若，，A与B相互独立，那么 11. 设离散型随机变量X的分布列如下表，若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的是（ ） X 0 1 2 3 4 P 0.4 0.1 0.2 0.2 A. B. ， C. ， D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则______． 13. 已知随机变量服从二项分布，若，，则_______. 14. 在A，B，C三地爆发了流感，这三个地区分别为6%，5%，4%的人患了流感.设这三个地区人口数的比为3∶1∶1，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，调查得该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），为了研究计算的方便，记年为，年为依次下去，得到下表： 1 2 3 4 5 储蓄存款（千亿元） 5 6 7 8 10 （1）求关于的线性回归方程； （2）用所求回归方程预测到年年底，该地储蓄存款额可达多少? 附：对于线性回归方程，其中. 16. 如图，在正方体中，E为的中点，F为的中点． （1）求证：EF//平面ABCD； （2）求直线DE，BF所成角的余弦值． 17. 一盒中装有大小和质地相同的3个白球和2个红球，现从该盒中任取2球，记随机变量表示从该盒中取出的红球个数． （1）求随机变量的分布列； （2）求随机变量的期望和方差． 18. 为了研究学生每天整理数学错题的情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”. 已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占.    数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 不经常整理 合计 （1）求图1中的值； （2）根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关? 附： 19. 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70，100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人． （1）试问此次参赛学生的总数约为多少人？ （2）若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？ 附正态分布3σ概率表： P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $