第六章第06讲 解题技巧专题：解题技巧专题：平行四边形中线段和最值之将军饮马模型（3类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（北师大版）

第06讲 解题技巧专题：解题技巧专题：平行四边形中线段和最值之将军饮马模型 目录 【模型一 求两条线段和的最小值（将军饮马模型）】 1 【模型二 求两条线段和的最小值（将军遛马模型）】 7 【模型三 求多条线段和（周长）最小值】 11 【模型一 求两条线段和的最小值（将军饮马模型）】 【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： 【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。 例题：（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，已知正六边形的边长是5，点是上的一个动点，则的最小值是（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 【变式训练】 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图中，，，，为的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（    ） A．4.8 B．2.4 C．6 D．5 2．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在等边 中，，点 是 的中点，是 上的动点，是的中点，则 的最小值为 ． 3．（2024·江苏南通·一模）如图，平行四边形中，分别是边上的动点，且，则的最小值为 ． 4．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知：将沿对角线折叠，折到位置． (1)证明； (2)如果，B、D两点间距离为，请在对角线上找一点O，使得的值最小，并求最小值； (3)探索：线段与满足什么关系时，点D、C、F在同一条直线上，请给出证明． 【模型二 求两条线段和的最小值（将军遛马模型）】 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 例题：（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，E、F分别为边、上的点，且，连接，，则的最小值为 ．    【变式训练】 1．（2024·四川广安·二模）如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值为 ． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为 ． 【模型三 求多条线段和（周长）最小值】 【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）台球两次碰壁模型 1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短. 2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短. 【最值原理】两点之间线段最短。 例题：（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，，点是边上两动点，连接，CE．若，则周长的最小值为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，点，在边上，且．连接，，则四边形周长的最小值为 ．    2．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在等边三角形中，，D、E是边上的三等分点，点M、N分别在边，上运动，则四边形周长的最小值是 ． 3.如图，中，，点、点为边上的点，且，点、分别为边、上的点．已知：，，则四边形的周长的最小值为 ．    4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，若、分别是边、的中点，连接，点是边上任意一点，连接、分别交于点、，则周长的最小值是 ． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 解题技巧专题：解题技巧专题：平行四边形中线段和最值之将军饮马模型 目录 【模型一 求两条线段和的最小值（将军饮马模型）】 1 【模型二 求两条线段和的最小值（将军遛马模型）】 7 【模型三 求多条线段和（周长）最小值】 11 【模型一 求两条线段和的最小值（将军饮马模型）】 【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： 【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。 例题：（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，已知正六边形的边长是5，点是上的一个动点，则的最小值是（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【知识点】等边三角形的性质、正多边形的外角问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】此题主要考查了正多边形的以性质及轴对称最短路线问题．易知点关于的对称点为点，连接交于点，根据轴对称的性质进行解答即可． 【详解】解：利用正多边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点，那么有，最小． 由题意知为等边三角形， 所以， 可得：， 的最小值是10， 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图中，，，，为的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（    ） A．4.8 B．2.4 C．6 D．5 【答案】A 【知识点】垂线段最短、等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了轴对称−最短路线问题，等腰三角形的性质，过B作于F，交于E，则的长即为的最小值，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：过B作于F，交于E，如图， ∵，为的中线， ∴，， ∴的长即为的最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 2．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在等边 中，，点 是 的中点，是 上的动点，是的中点，则 的最小值为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、等边三角形的性质、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了等边三角形的性质、垂直平分线的判定和性质、三角形中位线定理等知识，取的中点F，连接，，证明，，则直线为线段的对称轴，当点P与点G重合时，取得最小值，此时，由等积法得到，由即可得到答案． 【详解】∵是等边三角形，点D是的中点， ∴直线为的一条对称轴，， 取的中点F，连接，，， ∵E是的中点，点D是的中点， ∴，,,， ∴，， ∴直线为线段的垂直平分线， ∴直线为线段的对称轴， 连接，交于点G， 故当点P与点G重合时，取得最小值，此时， ∵， ∴， ∵， ∴， 故的最小值为， 故答案为：． 3．（2024·江苏南通·一模）如图，平行四边形中，分别是边上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】延长，截取，连接，，过点A作于点H，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，求出结果即可． 【详解】解：延长，截取，连接，，过点A作于点H，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 4．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知：将沿对角线折叠，折到位置． (1)证明； (2)如果，B、D两点间距离为，请在对角线上找一点O，使得的值最小，并求最小值； (3)探索：线段与满足什么关系时，点D、C、F在同一条直线上，请给出证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当线与互相平分时，点D、C、F在同一条直线上，理由见解析 【知识点】两点之间线段最短、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】（1）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明； （2）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明； （3）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明． 【详解】（1）解：证明：如图1中， 四边形是平行四边形， ， ， 翻折得到， ， ， ， ， ， ； （2）连接交于点O，连接， 点F与D关于对称， ， 当点O为与交点时，的值最小，最小值为线段的长，即最小值为； （3）当线段与互相平分时，点D、C、F在同一条直线上． 理由：与互相平分，， ， ， ， ， 即， 翻折得到， ， 点D、C、F在同一条直线上． 【模型二 求两条线段和的最小值（将军遛马模型）】 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 例题：（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，E、F分别为边、上的点，且，连接，，则的最小值为 ．    【答案】 【知识点】最短路径问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题主要考查平行四变形的判定和性质，含30度直角三角形及轴对称的性质，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，作点C关于的对称点H，连接，根据平行四边形的性质及判定得出四边形为平行四边形，再由轴对称的性质确定当点B、E、H三点共线时， 的最小值为的长，然后结合图形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，作点C关于的对称点H，连接，如图所示：    ∵平行四边形，，，， ∴，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵点C、H关于对称， ∴， ， ， 当点B、E、H三点共线时， 的最小值为的长， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024·四川广安·二模）如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形、最短路径问题、用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称最短路线问题．在轴上取点，使，则四边形为平行四边形，作点关于直线的对称点，则，即、、三点共线时，最小值为的长． 【详解】解：如图，在轴上取点，使，则四边形为平行四边形， ∵点，， ，， ， 作点关于直线的对称点， ，， ，即、、三点共线时，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为 ． 【答案】10 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、线段问题(轴对称综合题) 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，确定最小时E，F位置是解题关键．作G关于的对称点，在上截取，然后连接交于E，在上截取，此时的值最小，利用轴对称和勾股定理，求出即可得出答案． 【详解】解：如图，作G关于的对称点，在上截取，然后连接交于E，在上截取， 根据轴对称可知：， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小， ∴最小，即最小， ∴最小值为的长， ∵，G为边的中点， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 即的最小值为10． 故答案为：10． 【模型三 求多条线段和（周长）最小值】 【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）台球两次碰壁模型 1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短. 2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短. 【最值原理】两点之间线段最短。 例题：（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，，点是边上两动点，连接，CE．若，则周长的最小值为 ． 【答案】/7.2 【知识点】三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】作点C关于线段AB的对称点交于点H，连接和，过点作，且，连接，则，根据轴对称得和，那么，周长为，当点C、点E和点F三点共线时，周长最小为，利用勾股定理求得，等面积法求得，则有，在中求得即可． 【详解】解：作点C关于线段AB的对称点交于点H，连接和，过点作，且，连接，如图， 则四边形为平行四边形， ∴， ∵点C关于线段AB的对称点， ∴，， ∴， 则周长为， 当点C、点E和点F三点共线时，周长最小为， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 在中，， 则，周长最小为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质和三角形三边关系的应用，解题的关键是熟悉轴对称的性质和平行四边形的性质． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，点，在边上，且．连接，，则四边形周长的最小值为 ．    【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、线段问题(轴对称综合题) 【分析】如图，取的中点，作D关于直线的对称点，连交于点F，在边上，F点左侧截取，连，，利用轴对称和平行四边形的性质得出为四边形周长的最小值，据此解答即可得解． 【详解】解：如图，取的中点，作D关于直线的对称点，连交于点F，在边上，F点左侧截取，连，，    ， ， ，的中点为， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形周长， 由两点之间线段最短知，此时四边形周长最小， 在中，， 四边形周长最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称—最短距离，勾股定理，垂直平线的性质，平行四边形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质并能正添加辅助线是解决此题的关键． 2．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在等边三角形中，，D、E是边上的三等分点，点M、N分别在边，上运动，则四边形周长的最小值是 ． 【答案】5 【知识点】等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】作D点关于的对称点、E点关于的对称点，连接分别与和交于和，则当M点运动至点、N点运动至点时，的最小值为，此时四边形的周长最小，分别作、，由对称及等边易知和均为等边三角形，由此可求解出的长度，进而求解四边形的周长． 【详解】解：作D点关于的对称点、E点关于的对称点，连接分别与和交于和，则当M点运动至点、N点运动至点时，的最小值为，此时四边形的周长最小， ∵三角形是等边三角形， ∴由对称性得：，， ∵D、E是边上的三等分点， ∴ ∴， ∴和时等边三角形， 分别作、， ∵、， ∴， ∴四边形时矩形 ∴ ∴， 故答案为：5. 【点睛】本题考查轴对称最小距离问题，解题的关键是作出最短距离点． 3.如图，中，，点、点为边上的点，且，点、分别为边、上的点．已知：，，则四边形的周长的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】如图，作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，，此时四边形的周长最小．证明四边形是平行四边形即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，，此时四边形的周长最小．    ， ， ， ， ，，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长． 故答案为． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，若、分别是边、的中点，连接，点是边上任意一点，连接、分别交于点、，则周长的最小值是 ． 【答案】/ 【知识点】最短路径问题、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，中位线，勾股定理，最短距离，全等三角形的判定和性质等知识点，过点C作以所在直线为对称轴的对称点，交于点，易得，，且E、F分别是边，的中点，为的中位线，，连接，此时与的交点G，此时周长最小，根据勾股定理即可求出进而求出作答，解题的关键是对将军饮马问题的灵活运用． 【详解】过点C作以所在直线为对称轴的对称点，交于点P，由对称性质得，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵E、F分别是边，的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴ ∴， 延长到Q，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴N为的中点， 同理可证，M为的中点， ∴为的中位线， ∴， 连接，此时与的交点G，由两点之间线段最短得，此时周长最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$