微专题21 平行四边形中常见的几何模型（中点四边形模型）-初中数学几何模型常考经典模型（北师大版）

微专题21 平行四边形中常见的几何模型 中点四边形模型 平行四边形是三角形知识的自然扩展（如通过连接三角形中点构造平行四边形），也是学习矩形、菱形、正方形等特殊四边形的基础。平行四边形在初中数学中不仅是几何知识体系的核心节点，更是培养学生逻辑推理、空间想象和问题解决能力的重要载体。其地位可概括为： 基础性（几乎所有四边形研究的起点） + 枢纽性（连接三角形与特殊四边形） + 应用性（贯穿理论与实际问题）。是初中阶段最重要的几何知识，而平行四边形中的一些典型模型问题则是解决实际问题的重要方法，学会将勾股定理的相关问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速体会模型中其各种变式和联系以达到解决问题的效果。本微专题主要讲解“中点四边形”模型． 模型来源 中点四边形是指连接任意四边形的四条边中点所形成的四边形，是初中几何中的重要知识点，是常考易考的几何模型，其核心是平行四边形的5种判定方法（如对边平行、对角相等、对角线平分等），并理解其与三角形全等、相似知识的关联。涉及周长、面积（底×高）、对角线长度（勾股定理或余弦定理）的计算，综合运用代数与几何知识。通过平行四边形的中心对称性（无轴对称性），为后续学习矩形、菱形的对称差异奠定基，是数学教育工作和研究者为了解决特定几何问题而创造的，这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 平行四边形模型 一、例题讲模型 例.我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． （1）任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？ （2）任意平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？ （3）任意矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么？ 分析：（1）连接BD，根据三角形的中位线定理，可得EH∥GF，EH =FG，即可求证； （2）连接AC，DB，根据三角形的中位线定理，可得EH∥GF，EH =FG，即可求证； （3）利用（1）的判定方法，再根据三角形的中位线定理和矩形、菱形、正方形的判定方法来判定，即可求证． 解：（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形，理由如下： 已知四边形ABCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接BD，如图1： ∵E是AB的中点，H是AD的中点， ∴EH是△ABD的中位线， ∴ ， ， ∵G是CD的中点，F是BC的中点， ∴FG是△BCD的中位线， ∴ ， ， ∴EH∥GF，EH =FG， ∴四边形EFGH为平行四边形； （2）任意平行四边形的中点四边形是平行四边形，理由如下： 已知平行四边形ABCD，E，N，M，F分别是DA，AB，BC，DC的中点，连接AC，DB，如图2： ∵E，F分别是DA，DC的中点， ∴EF是△ACD的中位线， ∴EF∥AC，EF= ， ∵M，N分别是BC，AB的中点， ∴MN是△ABC的中位线， ∴MN∥AC，MN=AC， ∴EF∥MN，EF=MN， ∴四边形MNEF是平行四边形； （3）如果原四边形为矩形，则形成的中点四边形为菱形，理由如下： 已知矩形ABCD，H，E，F，G分别是DA，AB，BC，DC的中点，连接AC，DB，如图： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD， ∵E是AB的中点，H是AD的中点， ∴EH是△ABD的中位线， ∴EH=BD， ∵G是CD的中点，F是BC的中点， ∴GF是△BCD的中位线， ∴GF=BD， ∵E是AB的中点，F是BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF=AC， ∵G是CD的中点，H是AD的中点， ∴GH是△ACD的中位线， ∴GH= AC， 又∵AC=BD， ∴EF=GF=EH=GH，四边形EFGH是菱形； 如果原四边形为菱形，则形成的中点四边形为矩形， 理由如下；已知菱形ABCD，E，F，G，H分别是AB，，BC，CD，AD的中点，连接BD，AC，如图： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵E是AB的中点，H是AD的中点， ∴EH是△ABD的中位线， ∴EH∥BD， ， ∵G是CD的中点，F是BC的中点， ∴GF是△BCD的中位线， ∴GF∥BD， ， ∴EH∥BD∥GF，EH=GF， ∴四边形EFGH是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴AC⊥EH， ∵E是AB的中点，F是BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AC， ∴EH⊥EF， ∴四边形EFGH是矩形； 如果原四边形为正方形，则形成的中点四边形为正方形，理由如下： 已知正方形ABCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接BD，AC，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AC=BD， ∵E是AB的中点，H是AD的中点， ∴EH是△ABD的中位线， ∴EH∥BD，EH=BD， ∵G是CD的中点，F是BC的中点， ∴GF是△BCD的中位线， ∴GF∥BD，GF=BD， ∴EH∥BD∥GF，EH=GF， ∴四边形EFGH是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴AC⊥EH， ∵E是AB的中点，F是BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AC，EF=AC， ∴EF⊥EH， ∴四边形EFGH是矩形， ∵AC=BD， ∴EF=EH， ∴四边形EFGH是正方形．技巧与方法： 中点四边形是研究四边形性质的重要工具，其形状和尺寸完全由原四边形的对角线决定。 关键结论：恒为平行四边形；中点四边形的周长等于原四边形两条对角线长度之和；面积是原图形的一半. 可通过中位线定理可简化证明，适用于任意四边形（包括非凸四边形）. 二、提炼模型 1．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，下列说法正确的是　　 A．任意一个四边形的中点四边形是菱形 B．任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形 C．对角线相等的四边形的中点四边形是矩形 D．对角线垂直的四边形的中点四边形是正方形 【答案】B 【解析】选项A，由任意一个四边形的中点四边形是平行四边形可判定选项A错误； 选项B，任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形，选项B正确； 选项C，由对角线相等的四边形的中点四边形是菱形可判定选项C错误； 选项D，由对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形可判定选项D错误. 故选B. 2．矩形各边中点构成的四边形是 ． 【答案】菱形 【解析】解：如图，矩形，取出各边中点为，连接、， 矩形， ， 在中，分别为的中点， ， 同理可得，，，， ， 四边形是菱形， 矩形各边中点构成的四边形是菱形． 故答案为：菱形． 3．四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的： ①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形； ②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形． （2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明． 【答案】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形见解析 【解析】（1）解：（1）①连接AC、BD， ∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点， ∴EH∥BD，FG∥BD， ∴EH∥FG， 同理EF∥HG， ∴四边形EFGH都是平行四边形， ∵对角线AC=BD， ∴EH=EF， ∴四边形ABCD的中点四边形是菱形； ②当对角线AC⊥BD时，EF⊥EH， ∴四边形ABCD的中点四边形是矩形； 故答案为：菱；矩； （2）四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形．理由如下： 分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵，∴，∴，， 在和中， ， ∴，∴， ∴四边形ABCD的对角线相等，中点四边形EFGH是菱形． 模型运用 1．下列命题中，假命题是（  ） A．顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形 B．顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形 C．顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形 D．顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形 【答案】D 【解析】    观察图形：分别为的中点，根据中位线定理： A：顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形,正确； B：顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形，正确； C：顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形，正确； D：顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是平行四边形，错误． 故答案选：D． 2．如图，点分别是四边形边的中点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 【答案】D 【解析】解：∵点分别是的中点， ∴， 同理可得：，，， ∴， ∴四边形为平行四边形，无法得出与互相平分，则选项C错误； 若，则， ∴四边形为菱形，则选项A错误； 若，则， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形，则选项B错误； 若四边形是正方形，则， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即若四边形是正方形，则与互相垂直且相等，选项D正确； 故选：D． 3．如图，连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，则对角线，应满足（   ） A． B．平分 C．平分 D． 【答案】D 【解析】解：由题意得：点分别是的中点， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴四边形为平行四边形， 要使平行四边形为矩形，则需要， 又∵，， ∴要使，则需要， 故选：D． 4．如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（   ） ①； ②； ③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】解：正方形， ，， 点，分别是，的中点， ，， ， ，故①正确； ，， ， ， ，即， 设正方形的边长为，则， ， ， ， ，故②正确； 点，，，分别是，，，的中点， ，，，， ， ， 四边形是菱形， ， ，即， 菱形是正方形，故③正确； 延长和交于点， ，，， ， ，， ，， ，即， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，说法正确的个数为4个． 故选：D． 5．如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加 ，才能保证四边形EFGH是正方形． 【答案】AC⊥BD，AC=BD/ AC=BD， AC⊥BD 【解析】解：当AC⊥BD，AC=BD时，四边形EFGH为正方形． ∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，EH∥BD，EH=BD， ∴EF∥GH，EF=GH， ∴四边形EFGH为平行四边形， 当AC⊥BD，AC=BD时，EF⊥EH，EF=EH， ∴四边形EFGH为正方形． 故答案为：AC⊥BD，AC=BD． 6．如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加 条件，才能保证四边形是矩形． 【答案】 【解析】解：如图，∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 若四边形是矩形， 则有， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴还要添加的条件，才能保证四边形是矩形， 故答案为：． 7．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=2，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为 ． 【答案】 【解析】因为、分别为、的中点，所以，，同理可知，，因为，所以，故四边形的面积为 ，四边形的面积为 ，同理可知四边形的面积为 ，故四边形 . 8．如图，在菱形中，，，点分别是边、、、中点，在直线上方有一动点，且满足，则周长的最小值为 ． 【答案】 【解析】解：如图，连接交于， ∵点分别是边、、、中点， ∴为的中位线， ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 在上方作直线，且到的距离为，即， ∵， ∴点在直线上， 如上图，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，交直线于点，交于点， 由对称性可知：， ∴， 根据两点之间线段最短可得：当点三点共线时，最短为长， ∴周长的最小， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得：, ∵分别为中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 9．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形； （2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想； （3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明） 【答案】（1）证明见解析；（2）四边形EFGH是菱形，证明见解析；（3）四边形EFGH是正方形 【解析】（1）证明：如图1中，连接BD． ∵点E，H分别为边AB，DA的中点， ∴EH∥BD，EH=BD， ∵点F，G分别为边BC，CD的中点， ∴FG∥BD，FG=BD， ∴EH∥FG，EH=GF， ∴中点四边形EFGH是平行四边形． （2）四边形EFGH是菱形． 证明：如图2中，连接AC，BD． ∵∠APB=∠CPD， ∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD， 即∠APC=∠BPD， 在△APC和△BPD中， ∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD， ∴△APC≌△BPD（SAS）， ∴AC=BD． ∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点， ∴EF=AC，FG=BD， ∵四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH是菱形． （3）四边形EFGH是正方形． 证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N． ∵△APC≌△BPD， ∴∠ACP=∠BDP， ∵∠DMO=∠CMP， ∴∠COD=∠CPD=90°， ∵EH∥BD，AC∥HG， ∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°， ∵四边形EFGH是菱形， ∴四边形EFGH是正方形． 10．如图1，在四边形中，如果对角线和相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形． （1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，______一定是等角线四边形（填写图形名称）； ②若、、、分别是等角线四边形四边、、、的中点，当对角线、还要满足______时，四边形是正方形． （2）如图2，已知在中，，，，为平面内一点． ①若四边形是等角线四边形，且，求符合条件的等角线四边形的面积． ②设点是所在平面上的任意一点且，若四边形是等角线四边形，求出四边形面积的最大值，并说明理由． 【答案】（1）①矩形；②；（2）①；②18，理由见解析 【解析】解：（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中， 矩形的对角线相等， 矩形一定是等角线四边形， 故答案为：矩形； ②当时，四边形是正方形． 理由：如图1， 、、、分别是等角线四边形四边、、、的中点， ，，，， ， ， 四边形是菱形， ，，， ， 四边形是正方形． 故答案为：； （2）①如图2，作于． 在中，，，， ， ，， ， 四边形是等角线四边形， ， 在中，， ． 四边形的面积为； ②如图3中，设与相交于点，连接， 作于，于．则，， 四边形是等角线四边形， ， ， 即， 当、重合时，即时，等号成立， ， ， 即线段最大时，四边形的面积最大， ， ， ， 的最大值为6， 当、、共线时，取等号， 四边形的面积的最大值为． 故答案为：18． 11．对凸四边形我们不妨约定：若四边形对角线垂直，叫做“垂对”四边形；若四边形对角线相等，叫做“等对”四边形． (1)判断下列说法的正确性，正确的请在横线处打“√”，错误的打“×”． ①平行四边形一定不是“垂对”四边形；______ ②一组邻边相等的平行四边形一定是“等对”四边形；______ ③顺次连接“垂对”四边形各边中点所得的四边形是“等对”四边形．______ (2)如图1，在四边形中，，、的垂直平分线恰好交于边上一点P，连结、，求证：四边形是“等对”四边形． (3)如图2，在正方形中，点E、点M分别在边、上，点F在的延长线上，且四边形是“垂对”四边形，对角线、相交于点H，与边交于点N． ①若，，，求的长； ②连接，若点M是的中点，且正方形边长为4，请直接写出的最小值． 【答案】(1)①×②×③√ (2)见解析 (3)①2；② 【解析】（1）解：①特殊的平行四边形即菱形、正方形对角线垂直，是“垂对”四边形，原说法错误， 故答案为：×； ②一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线不一定相等，原说法错误， 故答案为：×； ③构造如图所示“垂对”四边形和其中点四边形， ∵是边中点， ∴是中位线， ∴， 同理可得，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是“垂对”四边形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， 矩形对角线相等， 故答案为：√； （2）证明：连接，，如图所示： ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∵ ∴， ∴（）， ∴，即四边形是“等对”四边形； （3）①解：连接，在正方形中，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴（）， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 在和中，， ∴（）， ∴， ∴； ②解：过点E作，过点M作， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴当D，E，K三点共线时，的值最小， ∵四边形是“垂对”四边形， ∴，即， 作交于点G， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为 12．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，我们约定： 如果原四边形的中点四边形是个矩形，我们把这个原四边形叫做“博学四边形”． 如果原四边形的中点四边形是个菱形，我们把这个原四边形叫做“博思四边形”． 如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“博闻四边形”． 请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”．） ①平行四边形一定不是“博学四边形”；（   ） ②对角线相等的四边形是“博思四边形”；（   ） ③正方形一定是“博闻四边形”．（   ） (2)如图2，以的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，． ①试说明：四边形是“博闻四边形”； ②若，，，求的长； (3)如图3，已知四边形是“博闻四边形”，，分别是，的中点，当的最小值是2时，求的长度． 【答案】(1)①×；②√；③√ (2)①见解析；② (3) 【解析】（1）解：（1）∵点E，F，G，H依次是的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 当时， ， ∴平行四边形是矩形，即平行四边形有可能是“博学四边形”，故①错误； 当时，， ∴平行四边形是菱形， 即对角线相等的四边形是“博思四边形”，故②正确； 当四边形是正方形时，则有，， ∴，， ∴平行四边形是正方形． ∴正方形一定是“博闻四边形”，故③正确； 故答案为：①×；②√；③√． （2）①证明：如图2，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴菱形是正方形，即原四边形是“博闻四边形”； ②解：过点C作交的延长线于点H，过点G作于点M，如图， 则有， ∴， 由①及题意得，，，， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图4，分别作、的中点E、F并顺次连接，连接交于O，连接、， ∵ 四边形是“博闻四边形”，M，N分别是，的中点， ∴ 四边形是正方形， ∴， ∴， ∵ N，F分别是的中点， ∴， ∴， 当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴， 由（2）①知：， 在和中 又∵M，N分别是直角三角形斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵的最小值是2， ∴， 解得， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题21 平行四边形中常见的几何模型 中点四边形模型 平行四边形是三角形知识的自然扩展（如通过连接三角形中点构造平行四边形），也是学习矩形、菱形、正方形等特殊四边形的基础。平行四边形在初中数学中不仅是几何知识体系的核心节点，更是培养学生逻辑推理、空间想象和问题解决能力的重要载体。其地位可概括为： 基础性（几乎所有四边形研究的起点） + 枢纽性（连接三角形与特殊四边形） + 应用性（贯穿理论与实际问题）。是初中阶段最重要的几何知识，而平行四边形中的一些典型模型问题则是解决实际问题的重要方法，学会将勾股定理的相关问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速体会模型中其各种变式和联系以达到解决问题的效果。本微专题主要讲解“中点四边形”模型． 模型来源 中点四边形是指连接任意四边形的四条边中点所形成的四边形，是初中几何中的重要知识点，是常考易考的几何模型，其核心是平行四边形的5种判定方法（如对边平行、对角相等、对角线平分等），并理解其与三角形全等、相似知识的关联。涉及周长、面积（底×高）、对角线长度（勾股定理或余弦定理）的计算，综合运用代数与几何知识。通过平行四边形的中心对称性（无轴对称性），为后续学习矩形、菱形的对称差异奠定基，是数学教育工作和研究者为了解决特定几何问题而创造的，这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 平行四边形模型 一、例题讲模型 例.我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． （1）任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？ （2）任意平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？ （3）任意矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么？ 分析：（1）连接BD，根据三角形的中位线定理，可得EH∥GF，EH =FG，即可求证； （2）连接AC，DB，根据三角形的中位线定理，可得EH∥GF，EH =FG，即可求证； （3）利用（1）的判定方法，再根据三角形的中位线定理和矩形、菱形、正方形的判定方法来判定，即可求证． 解：（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形，理由如下： 已知四边形ABCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接BD，如图1： ∵E是AB的中点，H是AD的中点， ∴EH是△ABD的中位线， ∴ ， ， ∵G是CD的中点，F是BC的中点， ∴FG是△BCD的中位线， ∴ ， ， ∴EH∥GF，EH =FG， ∴四边形EFGH为平行四边形； （2）任意平行四边形的中点四边形是平行四边形，理由如下： 已知平行四边形ABCD，E，N，M，F分别是DA，AB，BC，DC的中点，连接AC，DB，如图2： ∵E，F分别是DA，DC的中点， ∴EF是△ACD的中位线， ∴EF∥AC，EF= ， ∵M，N分别是BC，AB的中点， ∴MN是△ABC的中位线， ∴MN∥AC，MN=AC， ∴EF∥MN，EF=MN， ∴四边形MNEF是平行四边形； （3）如果原四边形为矩形，则形成的中点四边形为菱形，理由如下： 已知矩形ABCD，H，E，F，G分别是DA，AB，BC，DC的中点，连接AC，DB，如图： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD， ∵E是AB的中点，H是AD的中点， ∴EH是△ABD的中位线， ∴EH=BD， ∵G是CD的中点，F是BC的中点， ∴GF是△BCD的中位线， ∴GF=BD， ∵E是AB的中点，F是BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF=AC， ∵G是CD的中点，H是AD的中点， ∴GH是△ACD的中位线， ∴GH= AC， 又∵AC=BD， ∴EF=GF=EH=GH，四边形EFGH是菱形； 如果原四边形为菱形，则形成的中点四边形为矩形， 理由如下；已知菱形ABCD，E，F，G，H分别是AB，，BC，CD，AD的中点，连接BD，AC，如图： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵E是AB的中点，H是AD的中点， ∴EH是△ABD的中位线， ∴EH∥BD， ， ∵G是CD的中点，F是BC的中点， ∴GF是△BCD的中位线， ∴GF∥BD， ， ∴EH∥BD∥GF，EH=GF， ∴四边形EFGH是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴AC⊥EH， ∵E是AB的中点，F是BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AC， ∴EH⊥EF， ∴四边形EFGH是矩形； 如果原四边形为正方形，则形成的中点四边形为正方形，理由如下： 已知正方形ABCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接BD，AC，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AC=BD， ∵E是AB的中点，H是AD的中点， ∴EH是△ABD的中位线， ∴EH∥BD，EH=BD， ∵G是CD的中点，F是BC的中点， ∴GF是△BCD的中位线， ∴GF∥BD，GF=BD， ∴EH∥BD∥GF，EH=GF， ∴四边形EFGH是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴AC⊥EH， ∵E是AB的中点，F是BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AC，EF=AC， ∴EF⊥EH， ∴四边形EFGH是矩形， ∵AC=BD， ∴EF=EH， ∴四边形EFGH是正方形．技巧与方法： 中点四边形是研究四边形性质的重要工具，其形状和尺寸完全由原四边形的对角线决定。 关键结论：恒为平行四边形；中点四边形的周长等于原四边形两条对角线长度之和；面积是原图形的一半. 可通过中位线定理可简化证明，适用于任意四边形（包括非凸四边形）. 二、提炼模型 1．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，下列说法正确的是　　 A．任意一个四边形的中点四边形是菱形 B．任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形 C．对角线相等的四边形的中点四边形是矩形 D．对角线垂直的四边形的中点四边形是正方形 2．矩形各边中点构成的四边形是 ． 3．四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的： ①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形； ②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形． （2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明． 模型运用 1．下列命题中，假命题是（  ） A．顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形 B．顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形 C．顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形 D．顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形 2．如图，点分别是四边形边的中点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 3．如图，连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，则对角线，应满足（   ） A． B．平分 C．平分 D． 4．如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（   ） ①； ②； ③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加 ，才能保证四边形EFGH是正方形． 6．如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加 条件，才能保证四边形是矩形． 7．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=2，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为 ． 8．如图，在菱形中，，，点分别是边、、、中点，在直线上方有一动点，且满足，则周长的最小值为 ． 9．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形； （2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想； （3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明） 10．如图1，在四边形中，如果对角线和相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形． （1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，______一定是等角线四边形（填写图形名称）； ②若、、、分别是等角线四边形四边、、、的中点，当对角线、还要满足______时，四边形是正方形． （2）如图2，已知在中，，，，为平面内一点． ①若四边形是等角线四边形，且，求符合条件的等角线四边形的面积． ②设点是所在平面上的任意一点且，若四边形是等角线四边形，求出四边形面积的最大值，并说明理由． 11．对凸四边形我们不妨约定：若四边形对角线垂直，叫做“垂对”四边形；若四边形对角线相等，叫做“等对”四边形． (1)判断下列说法的正确性，正确的请在横线处打“√”，错误的打“×”． ①平行四边形一定不是“垂对”四边形；______ ②一组邻边相等的平行四边形一定是“等对”四边形；______ ③顺次连接“垂对”四边形各边中点所得的四边形是“等对”四边形．______ (2)如图1，在四边形中，，、的垂直平分线恰好交于边上一点P，连结、，求证：四边形是“等对”四边形． (3)如图2，在正方形中，点E、点M分别在边、上，点F在的延长线上，且四边形是“垂对”四边形，对角线、相交于点H，与边交于点N． ①若，，，求的长； ②连接，若点M是的中点，且正方形边长为4，请直接写出的最小值． 12．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，我们约定： 如果原四边形的中点四边形是个矩形，我们把这个原四边形叫做“博学四边形”． 如果原四边形的中点四边形是个菱形，我们把这个原四边形叫做“博思四边形”． 如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“博闻四边形”． 请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”．） ①平行四边形一定不是“博学四边形”；（   ） ②对角线相等的四边形是“博思四边形”；（   ） ③正方形一定是“博闻四边形”．（   ） (2)如图2，以的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，． ①试说明：四边形是“博闻四边形”； ②若，，，求的长； (3)如图3，已知四边形是“博闻四边形”，，分别是，的中点，当的最小值是2时，求的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$