内蒙古包头市第九十三中学（北重三中）2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

答案第 1页，共 4页 2024-2025 学年度第二学期高二数学期中考试卷 命题人： 考试时间：5月 8 日 考试时长：120 分钟 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．某物体的运动路程 s（单位：m）， 时间 t（单位：s）之间的关系   2S t t t  ，求在 2st  时的瞬时速度（ ） A．4m / s B．5m / s C．6m / s D．8m / s 2．已知函数   lnf x mx x  在区间  1, 上为增函数，则实数m的取值范围为（ ） A．  , 2  B．  , 1  C．  2, D．  1, 3．已知随机变量 X~B(n, 1 2 )，若   2E X  ，则  2P X  （ ） A． 14 B． 3 8 C． 12 D． 5 8 4．若 2 12 n x x      展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含 4x 项的系数为（ ） A． 80 B．80 C． 40 D． 40 5．已知一道解答题共有两小问，小李有 0.6的概率可以解答出第一问．在第一问解答不出 的情况下，解答出第二问的概率为 0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概 率为 0.7，则解答出第二问的概率为（ ） A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04 6．函数   2 1 ex xf x  的图象大致为（ ） A． B． C． D． 答案第 2页，共 4页 7．某校新闻社团负责报道采访本校田径运动会，社团派出甲、乙、丙、丁四名成员到跳高、 跳远、短跑三个比赛场地进行现场报道，且每个场地至少安排一人，则甲不在短跑场地的不 同安排的方法数为（ ） A．12 B．18 C．24 D．32 8．已知函数   3f x x ，若不等式   11 ln 0f ax f x        在  0,  上恒成立，则实数a的取 值范围是（ ） A． 2 1 e      ， B． 2 1 e      ， C． 2 2 e       ， D． 2 2 e     ， 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．投资甲，乙两种股票，每股收益的分布列分别如表 1和表 2所示． 表 1 股票甲收益的分布列 收益 X（元） 1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表 2 股票乙收益的分布列 收益 Y（元） 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 关于两种股票，下列结论正确的是（ ） A．  2 1 3.2E X   B．  2 1 2.2D Y   C．投资股票甲的期望收益较大 D．投资股票甲比投资股票乙风险高 10．若 5 2 3 4 50 1 2 3 4 5(1 2 )x a a x a x a x a x a x       ，则下列结论中正确的是（ ） A． 0 1a  B． 1 2 3 4 5 2a a a a a     C． 1 3 5 122a a a    D． 1 2 3 4 5 1 2 4 8 16 32 a a a a a      11．已知函数   3 3 1f x x x   ，则下列说法中正确的有（ ） A．函数  f x 有两个极值点 1 2,x x ，且点   1 1,x f x 和点   2 2,x f x 关于  0,1 点对称 答案第 3页，共 4页 B．若关于 x的方程  f x m 有一解，则 3m  C．若  y f x 在  2,n 上有极小值，则 1n  D．若  y f x 在 2,n 上有最大值 3，则  1,2n  三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．某地开展党史知识竞赛活动，以党支部为单位参加比赛，某党支部在 5道党史题中（包 含 3道选择题和 2道填空题）不放回地依次随机抽取 2道题作答，设事件 A为“第 1次抽到 选择题”，事件 B为“第 2次抽到选择题”，则  |P B A  ． 13．若曲线 f（x）＝a cos x与曲线 g（x）＝x2＋bx＋3在交点（0，m）处有 公切线，则 a＋b＋m＝ ． 14．用 4种不同颜色对图中 5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个 区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有 种.（答案用具体数字表示） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数   3 3 1f x x ax   在 1x   处取得极值. (1)求实数 a的值； (2)求函数  f x 在 2,1 上的最大值和最小值. 16．（15分）某商场举行有奖促销活动，顾客当日消费金额达 366元及以上的均可抽奖.每次 抽奖都是从装有 2个红球，8个白球的箱子中一次性取出 2个小球，若取出 2个红球，得 200 元本商场购物券；若取出 1个红球和 1个白球，得 80元本商场购物券；若取出 2个白球， 得 10元本商场购物券. (1)求顾客抽一次奖获得购物券金额的分布列； (2)为吸引更多的顾客，现在有两种改进方案，甲方案：在原方案上加一个红球和一个白球， 其他不变.乙方案：在原方案的购物券上各加 10元，其他不变；若你是顾客，你希望采用哪 种方案. 17．（15分）工厂生产某种产品，每日的成本 C（单位：元）与日产量 x（单位：吨）满足 函数关系式 10000 20C x  ，每日的销售额 R（单位：元）与日产量 x满足函数关系式： 3 21 290, 120 30 20400, 120 x ax x x R x         ，已知每日的利润 y R C  ，且当 30x  时 100y   ． 答案第 4页，共 4页 (1)求 a的值； (2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值． 18．（17分）某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利 用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗 A､B､C，经引种试验后发现，引种树苗 A的 自然成活率为0.8，引种树苗 B､C的自然成活率均为  0.7 0.9p p  . (1)任取树苗 A､B､C各一棵，估计自然成活的棵数为 X，求 X的分布列及  E X ； (2)将（1）中的  E X 取得最大值时 p的值作为 B种树苗自然成活的概率.该农户决定引种 n棵 B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后 成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活. ①求一棵 B种树苗最终成活的概率； ②若每棵树苗引种最终成活后可获利 300元，不成活的每棵亏损 50元，该农户为了获利不 低于 20万元，问至少引种 B种树苗多少棵？ 19．（17分）已知函数     21 2 2 ln 0 2 f x x a x a x a     且 2a  ． (1)当 1a  时，判断函数  f x 零点的个数； (2)讨论函数  f x 的单调区间； (3)当 1 2 a  时，证明：   2 11 7 e 2 2 2 xf x x x x     2024-2025学年度第二学期高二数学期中考试卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B B A C A ACD AC 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】，故时，， 故在时的瞬时速度为5. 故选：B 2．D 【详解】因为函数在区间上为增函数， 所以，不等式对任意的恒成立，即， 当时，，所以，， 即实数的取值范围是. 故选：D. 3．B 【详解】，解得，所以. 故选：B. 4．B 【详解】∵展开式的二项式系数之和为， ∴，故， ∴展开式的第项为， 由得， ∴，即含项的系数为. 故选：B. 5．B 【详解】令表示第一问解答出来，表示第二问解答出来， 则，，，故，， 所以. 故选：B 6．A 【详解】或时；时，排除B、D； ，则， 得；得或， 故在上单调递增，在和上单调递减， 排除C. 故选：A 7．C 【详解】当甲单独一人进行现场报道时，甲有种选择，再将乙、丙、丁分配到其他两个地方， 情况数为，则此时总的情况数为； 当甲与人组队进项现场报道时，先从乙、丙、丁中选出一人与甲组队，则情况数为， 再在跳高、跳远选一个去进行现场报道，则情况数为， 最后剩下的两人安排去其他两个地方，则情况数为， 所以此时总的情况数为； 综上，符合题意的情况数为. 故选：C. 8．A 【详解】显然函数是上的增函数，也是奇函数， 因为在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 故 故选：A 9． ACD 【详解】，， ， ， 则投资股票甲的期望收益较大，投资股票甲比投资股票乙风险高. ， ． 故选：ACD 10．AC 【详解】令，则，故A正确， 令可得，故，故B错误， 令可得，故，故C正确， 令可得，，故D错误， 故选：AC 11．ACD. 【详解】对于A，，令，则， 且，对应点为，因为， 所以关于点对称，故A正确； 对于B，因为，所以当时，， 所以在上单调递减，当或时，， 所以在上单调递增，且， 画出简图为 结合图象知，有一解则或，故B错误； 对于C，结合图象，为极小值点，所以在上有极小值，则，故C正确； 对于D，令，则或， 结合图象知，在上有最大值3，则，故D正确， 故选：ACD. 12．/ 【详解】方法一：公式法 ，，由条件概率公式可得． 方法二：样本点数法 不放回地依次随机抽取2道题作答，样本空间有个样本点， 则，所以． 方法三：缩小样本空间法 第1次抽到选择题后，第二次再抽一道题，其样本空间有4个样本点，满足事件的样本点有2个， 所以． 故答案为：. 13．6 【详解】分析：若曲线f（x）与曲线g（x）在交点（0，m）处有公切线，则切点的坐标相等且切线的斜率（切点处的导函数值）均相等，由此构造关于a，b的方程，解方程可得答案． 详解：∵ f（x）＝a cos x，g（x）＝x2＋bx＋3，∴ f′（x）＝－a sin x，g′（x）＝2x＋b.∵ 曲线f（x）＝a cos x与曲线g（x）＝x2＋bx＋3在交点（0，m）处有公切线，∴ m＝f（0）＝a＝g（0）＝3且f′（0）＝0＝g′（0）＝b，即a＝m＝3，b＝0，∴ a＋b＋m＝3＋0＋3＝6. 14．96 【详解】由题意知，第一步：涂区域，有种方法； 第二步：涂区域，有种方法； 第三步：涂区域，有种方法此前三步已经用去三种颜色； 第四步：涂区域，分两类：第一类，与同色，则区域涂第四种颜色；第二类，区域与不同色，则涂第四种颜色，此时区域就可以涂区域或区域或区域中的任意一种颜色，有种方法． 所以，不同的涂色种数有种． 故答案为：96 15．(1) (2)， 【详解】（1）， ∵函数在处取得极值， ∴，即， 即， 当时，，当时，，符合题意， ∴. （2）由（1）知， 则， 令，解得或； 令，解得； ∴函数在上单调递增，在上单调递减， 则极大值，而，. 故函数在上的最大值和最小值分别为， ，. 16．(1)分布列见解析； (2)顾客希望采用方案乙. 【详解】（1）设获得购物券的金额为，则可以取200，80，10， ，，. 的分布列为： 200 80 10 （2）方案甲，设获得购物券的金额为，则可以取200，80，10， ，，. 则. 方案乙，设获得购物券的金额为，. 因，所以顾客希望采用方案乙. 17．(1) (2)当日产量为90吨时每日的利润可以达到最大值14300元. 【详解】（1）由题意可得， 因为时，所以． 解得. （2）当时，， ，由可得：，（舍） 所以当时，，原函数是增函数，当时，，原函数是减函数，所以当时，取得最大值14300． 当时，． 所以当日产量为90吨时每日的利润可以达到最大值14300元． 18．(1)分布列见解析；期望为 (2)①；②700 【详解】（1）由题意知，X的所有可能值为0，1，2，3， 则； ； ； . 由此得X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P 所以. （2）根据,由（1）知当时，取得最大值. ①一棵种树苗最终成活的概率为. ②记为棵种树苗的成活株数，为株种树苗的利润，则， 所以，所以， 故，要使，则有. 所以该农户应至少种植700棵种树苗，就可获利不低于20万元. 19．(1)个 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，该函数的定义域为， 则，令，可得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的增区间为、，减区间为， 所以，函数的极大值为，极小值为， 当时，， 当时，，，由零点存在定理可知，存在，使得， 综上所述，当时，函数有且只有一个零点. （2）函数且的定义域为， 且， 当时，由可得或，由可得， 此时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，由可得或，由可得， 此时，函数的增区间为、，减区间为. 故当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为. （3）当时，， 要证，即证， 即证， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增， 当时，；当时，. 所以，函数的值域为， 要证，即证， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，， 因此，对任意的，，故原不等式得证. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$