第十一章：立体几何初步章末重点题型复习（专项训练）数学人教B版必修第四册

第十一章：立体几何初步章末重点题型复习 题型一 斜二测画法计算问题 1．（24-25高一下·河北沧州·期中）如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图，其中，梯形的面积为30，则梯形的高为（   ） A． B．10 C． D．20 2．（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长的平方与面积的比值为（   ） A． B． C． D． 题型二 棱柱中的计算问题 1．（24-25高一下·山东·期中）下列平面图形中，不是正方体的侧面展开图的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽·一模）在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．14 题型三 棱锥及其计算问题 1．（24-25高二上·北京·期中）一个正棱锥，其侧棱长是底面边长的，这个正棱锥可能是（   ） A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 3．（2022高一·全国·专题练习）如图，是正三棱锥且侧棱长为分别是上的动点，的周长的最小值为，则侧棱的夹角为（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）在以为顶点的三棱锥中，过的三条棱两两的交角都是，在一条侧棱上有，两点，，，以，为端点的一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周（绳和侧面无摩擦），则此绳在，之间的最短绳长为 . 题型四 棱台及其计算问题 1．（23-24高二上·北京昌平·期末）《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·辽宁铁岭·期末）所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 4．（2024·江西·模拟预测）光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（参考数据：）（    ） A．9.1m B．10.9m C．11.2m D．12.1m 题型五 旋转体及其计算问题 1．（24-25高一下·山东·期中）已知圆锥的高是1，母线长是2，用过圆锥的顶点的平面去截圆锥，则截面积的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2.（24-25高一下·湖南邵阳·期中）圆锥SO中，S为圆锥顶点，O为底面圆的圆心，底面圆O半径为，侧面展开图面积为底面圆周上有两动点A，B，则面积的最大值为（   ） A．4 B． C． D．8 3．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）底面半径为2的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为 4．（24-25高一下·广东广州·期中）圆台上底面半径为2cm，下底面半径为4cm，母线，A在上底面上，B在下底面上，从中点M拉一条绳子，绕圆台侧面一周到B点，则绳子最短距离为 cm 题型六 几何体与球的综合问题 1．（24-25高一下·安徽·期中）如图为元代天文学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台.现有一个这样的观星台模型，下底面边长为，一个表面积为16π的球与该模型的每个面都相切，则该观星台模型的侧棱长为（    ）    A． B．4 C． D．6 2．（23-24高一下·山东威海·期末）在三棱锥中，平面，为等腰三角形且面积为，.若该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知直三棱柱中，，，，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山西太原·阶段练习）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·贵州黔南·期中）已知一个正四棱锥的高为16，且其外接球的半径为10，则该正四棱锥的表面积为（   ） A．512 B．256 C．128 D．64 6．（24-25高一下·浙江·期中）已知正方体的棱长为1，A，B，C，D为该正方体上四个不共面的顶点，则四面体ABCD内切球的半径最大值为（    ） A． B． C． D． 题型七 其它组合体问题 1．（24-25高一下·陕西西安·期中）如图，过圆锥的轴的截面是边长为4的正三角形，过的中点作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东清远·期中）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏”是由一个圆锥体和一个四棱柱相通连接而成.某次计时前如图1所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6.75cm；四棱柱底面边长为6cm和2πcm，液体高是6.5cm.计时结束后如图2所示，此时液体所形成的上底面半径为2cm，下底面半径为6cm.求此时“沙漏”中液体的高度为（    ） A．2cm B．3cm C．4cm D．4.5cm 3．（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图（图中单位：）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱．（参考数据：） (1)已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁； (2)要给一批共1000个零件的表面（包含底面）涂层油漆，若该零件每平方厘米要用油漆，求总共需要用油漆多少千克． 题型八 几何体的体积计算问题 1．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知正三棱锥的棱长均为，则该正三棱锥的外接球体积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·重庆荣昌·期中）已知一个直四棱柱的底面是长宽分别为4和3的矩形，侧棱长为，则这个直四棱柱的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正三棱锥，，，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山西太原·期中）已知圆台的上、下底面的半径分别为1和3，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河南洛阳·期中）已知直三棱柱中，，且.若三棱柱的外接球的表面积是，则此三棱柱的体积的最大值是 . 6．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知正六棱柱的各个顶点都在半径为的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球的半径为．若，则当最小时，该正六棱柱的体积为 ． 题型九 由几何体的面积、体积求其它量 1．（24-25高一下·福建三明·期中）一个内径为6cm，高为15cm的圆柱形口杯中，盛有高度为6cm的水，现将一个半径为3cm的小钢球放入口杯中，则此时水面高度为（    ） A．4cm B．5cm C．10cm D．15cm 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正四面体的表面积为，则它的体积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江·阶段练习）已知一圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4.（23-24高一下·广东深圳·期中）一个母线长为5的圆锥表面积为，则该圆锥的体积为 题型十 平面及点、线、面的位置关系 1．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）下列命题中正确的是（   ） A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中有三点共线，则此四点必共面 C．若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面 D．空间四边形中，，E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形为正方形 2．（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 题型十一 异面直线的判断与证明 1．（24-25高一下·湖南·期中）如图，点为正方形的中心，点在平面外，是线段的中点，则下列各选项中两条直线不是异面直线的为（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知点M是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（ ） A． B． C．CD D． 题型十二 空间平行关系的判断与证明 1．（24-25高一下·陕西西安·期中）如图，在四棱锥中，，，，为上一点，且. (1)求证：平面； (2)若平面平面，证明：. 2．（24-25高一下·浙江·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，点分别是线段的中点．    (1)求证：平面； (2)若是线段的中点，证明：平面平面． 3．（24-25高一下·湖南常德·期中）如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于点，是线段上一点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设平面交平面于直线，求证：． 题型十三 空间平行关系的探究问题 1．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图在四棱锥中，，分别是的中点，． (1)求证：平面； (2)若点F在棱上且满足，平面，求的值． 2．（24-25高一下·河南洛阳·期中）如图，在四棱锥中，，，，且四点共面.    (1)求证：底面为梯形； (2)是线段上的动点，线段上是否存在点，使平面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由. 题型十四 空间垂直关系的判断与证明 1．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，分别是，的中点，平面平面，．求证：平面．    2．（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，且底面是菱形．求证：平面平面． 3．（23-24高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 题型十五 求异面直线所成的角 1．（2025高一·全国·专题练习）在四面体中，已知，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）如图，是正所在平面外的一点，分别是和的中点，，且，求异面直线与所成角的余弦值．    题型十六 求直线与平面所成角的函数值 1．（24-25高一下·河北沧州·期中）如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上． (1)求证：平面平面； (2)当，且为的中点时，求与平面所成的角的大小． 2．（24-25高一下·天津·期中）如图，四棱锥的底面是菱形，底面ABCD，O、E分别是AD、AB的中点，，，    (1)求证：平面PAD； (2)求证：平面平面POE； (3)求直线PC与平面POE所成角的正弦值 题型十七 求二面角的函数值 1．（2025·四川南充·二模）已知正三棱锥底面边长为2，其内切球的表面积为，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）已知，分别是正三棱柱的侧棱和上的点，且．求过，，三点的平面与棱柱的下底面所成二面角的大小． 题型十八 空间距离的计算问题 1．（24-25高一下·北京·期中）在所有棱长均为2的正四棱锥中，顶点P到底面的距离为 ． 2．（23-24高二上·上海·期末）在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵中，，堑堵的顶点到直线的距离为，到平面的距离为，则的取值范围是 .    3．（24-25高一下·河南·期中）如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，截面将该正方体分成两部分，这两部分的体积分别为，且． (1)求； (2)求点到平面的距离． 题型十九 垂直关系的探究问题 1．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，. (1)求四棱锥体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由. 2．（23-24高二上·湖南长沙·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由． 题型二十 立体几何的综合问题 1．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，为中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 2．（24-25高一下·北京·期中）如图，在正四棱柱中，，． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点A到平面的距离． 3．（2025高一·全国·专题练习）如图，在直角梯形中，为的中点．以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．    (1)求二面角的大小； (2)求与平面所成角的正切值． 4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的．已知，是上的中点，是的中点，与交于点． (1)求该几何体的体积； (2)求证：平面ABEF； (3)若是上的一点，且满足平面平面，求的值． 5．（23-24高一下·黑龙江黑河·期末）如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，且为斜边，为等边三角形.若为的中点，为线段上的动点.    (1)证明：面； (2)求二面角的余弦值； (3)当的面积最小时，求与底面所成角的正弦值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章：立体几何初步章末重点题型复习 题型一 斜二测画法计算问题 1．（24-25高一下·河北沧州·期中）如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图，其中，梯形的面积为30，则梯形的高为（   ） A． B．10 C． D．20 【答案】C 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】求得直观图的高，再结合直观图与原图线段关系即可求解. 【详解】因为， 梯形的面积为30， 所以梯形的高为， 设与轴的交点为， 即到轴的距离为5， 易得， 所以梯形的高为． 故选：C 2．（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长的平方与面积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】由直观图得到平面图，再计算出相关线段的长，从而求出周长与面积，即可得解. 【详解】由直观图可得如下平面图形， 则，，故， 则平面图形的面积为：，周长为：， 故原平面图形的周长的平方与面积的比值. 故选：C 题型二 棱柱中的计算问题 1．（24-25高一下·山东·期中）下列平面图形中，不是正方体的侧面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】根据平面图形的折叠及正方体的展开图判断即可. 【详解】根据题意得到选项A、B、C中的平面图形折起后均能构成正方体， 而D中的平面图形折起后，最下一行的三个不能构成正方体的三个面， 折起后是缺少一个面的正方体，且多出一个面. 故选：D. 2．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求组合多面体的表面积 【分析】结合图形可得新增了16个全等的小三角形面积，结合题意可得小三角形为等腰直角三角形，设其直角边为x，由可得x，即可得答案. 【详解】由题设分析  如下图，转动了45°后，此时魔方相对原来多出了16个小三角形的面积， 显然小三角形为等腰直角三角形且周长为3，设其直角边为x， 则斜边为，则，解得． 由几何关系得1个小三角形的面积为， 所以增加的面积为． 故选：A 3．（2025·安徽·一模）在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．14 【答案】A 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】将正四棱柱的侧面展开，由直线段最短求解. 【详解】如图所示： ， 将正四棱柱（图1）的侧面展开，得到展开图（图2）， 当五点共线时，取得最小值， 且最小值为. 故选：A． 题型三 棱锥及其计算问题 1．（24-25高二上·北京·期中）一个正棱锥，其侧棱长是底面边长的，这个正棱锥可能是（   ） A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 【答案】A 【知识点】棱锥的结构特征和分类、正棱锥及其有关计算 【分析】根据正棱锥性质分别求得正三棱锥、正四棱锥的侧棱长至少需是底面边长的倍数，即可得出结论. 【详解】设正三角形的边长为，由正三角形性质可得顶点到三角形中心的距离为， 因此正三棱锥的侧棱长要大于，即侧棱长大于底面边长的倍， 易知，因此可能是正三棱锥，即A正确； 设正方形的边长为，易知正方形对角线的一半为， 因此正四棱锥的侧棱长要大于，即侧棱长大于底面边长的倍， 易知，所以B错误； 以此类推可知正五棱锥、正六棱锥的侧棱长都大于底面边长的倍，即CD不合题意. 故选：A 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】棱柱表面积的有关计算、棱锥表面积的有关计算 【分析】设出正方体的棱长，求出正方体的表面积，再求正四面体的表面积，求比值即可． 【详解】设正方体的棱长为，则正方体的表面积是， 正四面体的棱长为，它的表面积是， 因此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为． 故选：D． 3．（2022高一·全国·专题练习）如图，是正三棱锥且侧棱长为分别是上的动点，的周长的最小值为，则侧棱的夹角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】棱锥的展开图 【分析】将正三棱锥沿剪开，并展开，形成三个全等的等腰三角形，，找到三角形的周长的最小值的线段，根据勾股定理逆定理求出，从而求出答案. 【详解】把正三棱锥沿剪开，并展开， 形成三个全等的等腰三角形，， 连接，交于，交于， 则线段就是的最小周长，即，    又， 根据勾股定理，， 所以是等腰直角三角形， ， 所以侧棱的夹角为. 故选：A. 4．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）在以为顶点的三棱锥中，过的三条棱两两的交角都是，在一条侧棱上有，两点，，，以，为端点的一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周（绳和侧面无摩擦），则此绳在，之间的最短绳长为 . 【答案】5 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【分析】作出三棱锥的侧面展开图，进行求解即可． 【详解】解：作出三棱锥的侧面展开图，如图， 则A、B两点间的最短绳长就是线段AB的长度. 在中，， 由，得 即此绳在A、B之间的最短绳长为5． 故答案为：5 题型四 棱台及其计算问题 1．（23-24高二上·北京昌平·期末）《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正棱台及其有关计算、棱台表面积的有关计算 【分析】利用侧面与下底面的夹角的正切值均为，求得正棱台的高，进而求得其斜高，结合侧面积公式，即可求解. 【详解】设上底面为，下底面为，取的中点，的中点，连接， 设上底面的中心为，下底面的中心为，连接， 过点作于点，如图所示， 因为， 所以即为侧面与下底面夹角的平面角，即， 又因为， 所以，所以， 所以， 所以方亭的侧面积为. 故选：B. 2．（22-23高一下·辽宁铁岭·期末）所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正棱台及其有关计算 【分析】利用小三棱锥和大三棱锥的比例求解即可. 【详解】    如图，根据题意可得所得棱台为正三棱台， 该棱台的高等于大正三棱锥的高的. 设大正三棱锥的高为DH，则： 因为大正三棱锥的高为:， 所以该棱台的高为. 故选：A 3．（23-24高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【知识点】棱台的结构特征和分类、棱台的展开图 【分析】把四边形，展开至同一个平面，求出长即可得解. 【详解】把四边形，展开至同一个平面，连接，，， 过点作，则，又，则， 在中，，，则， 此时线段中点到点的距离，即线段与相交， 因此的最小值就是展开图中的长，点为与的交点， 所以的最小值为. 故选：B    4．（2024·江西·模拟预测）光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（参考数据：）（    ） A．9.1m B．10.9m C．11.2m D．12.1m 【答案】A 【知识点】棱台中截面的有关计算、正棱台及其有关计算 【分析】根据题意画出正四棱台，结合正四棱台相关性质直接计算即可. 【详解】如图所示，设该正四棱台为，上下底面中心分别为， 分别取的中点，连接， 在平面内，作交于， 则，，， 显然四边形是矩形，则，， 所以， 在直角中，， 即该墩台的斜高约为9.1m. 故选：A． 题型五 旋转体及其计算问题 1．（24-25高一下·山东·期中）已知圆锥的高是1，母线长是2，用过圆锥的顶点的平面去截圆锥，则截面积的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求积的最大值、圆锥中截面的有关计算 【分析】求出圆锥的底面半径，假设截面与圆锥底面交于，用表示出截面三角形的高，得出截面三角形的面积关于的表达式，利用基本不等式求出面积的最大值． 【详解】因为圆锥的高是，母线长是，则底面半径， 设过圆锥顶点的平面SCD与圆锥底面交于CD，过底面中心O作OA⊥CD于E， 设， 则，， 可得截面SCD的面积， 当且仅当，即时等号成立， 所以截面积的最大值为2. 故选：C. 2.（24-25高一下·湖南邵阳·期中）圆锥SO中，S为圆锥顶点，O为底面圆的圆心，底面圆O半径为，侧面展开图面积为底面圆周上有两动点A，B，则面积的最大值为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】设圆锥母线长为l，由侧面展开图面积为求得，再作出圆锥的轴截面，由时，的面积最大求解. 【详解】设圆锥母线长为l，底面圆O半径为，侧面展开图面积为 所以，解得， 作出圆锥的轴截面，如图所示： 则 ， 因为底面圆周上有两动点A，B，当时，则面积的最大， 最大值为， 故选：D 3．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）底面半径为2的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为 【答案】2 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】根据题意，由求解. 【详解】设圆柱的母线为l，底面半径为r=2，高为h， 因为底面半径为2的圆柱的侧面积是圆柱表面积的， 所以，解得，即， 故答案为：2 4．（24-25高一下·广东广州·期中）圆台上底面半径为2cm，下底面半径为4cm，母线，A在上底面上，B在下底面上，从中点M拉一条绳子，绕圆台侧面一周到B点，则绳子最短距离为 cm 【答案】 【知识点】弧长的有关计算、圆锥的展开图及最短距离问题、圆台的结构特征辨析 【分析】由题意需先画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，则所求的最短距离是平面图形两点连线，根据条件求出扇形的圆心角以及半径长，再求出最短的距离． 【详解】画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆心为, 由图得：所求的最短距离是， 设，圆心角是， 则由题意知，①， ②， 由①②解得，， ∴，则． 则绳子最短距离为cm． 故答案为：． 题型六 几何体与球的综合问题 1．（24-25高一下·安徽·期中）如图为元代天文学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台.现有一个这样的观星台模型，下底面边长为，一个表面积为16π的球与该模型的每个面都相切，则该观星台模型的侧棱长为（    ）    A． B．4 C． D．6 【答案】C 【知识点】棱台中截面的有关计算、正棱台及其有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据正四棱台的结构特征，取的中点分别为，确定截面的形状，根据已知求出相关线段长度及内切球半径，利用几何关系列方程求得，进而求侧棱长. 【详解】设正四棱台的下底面边长.，其内切球半径为r， 则，解得，取的中点分别为， 则四边形的内切圆是正四棱台内切球的截面圆中最大的， 且四边形是等腰梯形，， 所以，整理得， 又，所以，易知上、下底面的对角线长分别为4和8， 故侧棱长为 故选：C 2．（23-24高一下·山东威海·期末）在三棱锥中，平面，为等腰三角形且面积为，.若该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】由三角形的面积公式可求得，设的外心为，进而可求得，过作平面的垂线，可得外接球的半径，进而可求表面积. 【详解】因为为等腰三角形且面积为，所以，又， 所以，所以，设的外心为， 可得，过作平面的垂线， 则球心在直线上，设球心为，可得在的垂直平分线上， 所以，所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知直三棱柱中，，，，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据题意，该直三棱柱可补形为长方体，则长方体的外接球即是直三棱柱的外接球，由球的表面积求出半径，根据长方体的体对角线长的公式列方程，即可解得侧棱长. 【详解】由题意，该直三棱柱可补形为长方体， 则长方体的外接球即是直三棱柱的外接球. 所以体对角线的长为球的直径，设球的半径为， 则，解得， 设侧棱长为，则，解得，即侧棱长为. 故选：C. 4．（24-25高一下·山西太原·阶段练习）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先判断球心在三棱锥的高线上，由正弦定理求得，设球的半径为，结合题意列方程求出外接球半径即得. 【详解】如图，设点在底面的射影为点， 因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上， 连接，设球的半径为，则， 由正弦定理，解得， 在中，，则， 在中，由，解得， 则球的表面积为． 故选：B． 5．（24-25高一下·贵州黔南·期中）已知一个正四棱锥的高为16，且其外接球的半径为10，则该正四棱锥的表面积为（   ） A．512 B．256 C．128 D．64 【答案】A 【知识点】棱锥表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据正四棱锥及其外接球的特征，利用勾股定理求得底面对角线的一半的长，再求得底面正方形的边长和正四棱锥的侧棱长，利用余弦定理求得侧面的顶角余弦值，计算正弦值，利用三角形面积公式计算一个侧面的面积，进而求得全面积. 【详解】如图，在正四棱锥中，设底面的中心为，外接球的球心为， 则，，则， 在中，， 则在正方形中，，则， 又， 则， 所以， 则， 正方形的面积为， 则正四棱锥的表面积为. 故选：A. 6．（24-25高一下·浙江·期中）已知正方体的棱长为1，A，B，C，D为该正方体上四个不共面的顶点，则四面体ABCD内切球的半径最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】当四面体的每条棱为正方体各个面的对角线时，此时四面体的内切球最大，设内切球的球心为，半径为，由进行求解． 【详解】如图所示：    当四面体的每条棱为正方体各个面的对角线时，此时四面体的内切球最大， 则四面体的各棱长均为：，设内切球的球心为，半径为， 取的中点M，连接，作垂直平面，垂足G在的三等分点上(靠近点M)，如图所示：    由，，得，得， 则， 由得， ， 因为四面体的各个棱长都相等，所以， 得， 得． 故选：C 题型七 其它组合体问题 1．（24-25高一下·陕西西安·期中）如图，过圆锥的轴的截面是边长为4的正三角形，过的中点作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】组合体的构成、圆柱表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】先由题意求出圆锥母线长、底面圆半径和高以及圆柱的高和圆柱底面的半径，再根据剩余几何体的表面组成结合圆锥、圆柱侧面积公式即可计算求解. 【详解】由题可得圆锥母线长为，底面圆半径，高， 所以圆柱的高，圆柱底面的半径为， 由题意余下几何体的表面等价于由圆锥侧面和底面以及圆柱侧面三部分组成， 所以余下几何体的表面积为. 故选：C 2．（24-25高一下·广东清远·期中）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏”是由一个圆锥体和一个四棱柱相通连接而成.某次计时前如图1所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6.75cm；四棱柱底面边长为6cm和2πcm，液体高是6.5cm.计时结束后如图2所示，此时液体所形成的上底面半径为2cm，下底面半径为6cm.求此时“沙漏”中液体的高度为（    ） A．2cm B．3cm C．4cm D．4.5cm 【答案】D 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】根据体积公式，结合相似即可求解. 【详解】由已知可得：液体的体积为， 如图，易知，、两个相似的直角三角形， 因为圆锥的底面半径是，高是， 所以圆锥的体积为， 计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为， 设计时结束后，“沙漏”中液体的高度为， 则， ，解得， 所以计时结束后.“沙漏”中液体的高度为. 故选：D. 3．（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图（图中单位：）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱．（参考数据：） (1)已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁； (2)要给一批共1000个零件的表面（包含底面）涂层油漆，若该零件每平方厘米要用油漆，求总共需要用油漆多少千克． 【答案】(1)4992g； (2)72000g. 【知识点】棱柱表面积的有关计算、圆柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】（1）利用圆柱与棱柱的体积公式求出零件的体积，借助铁的密度求出铁的质量. （2）利用圆柱与棱柱的表面积公式求出零件的表面积，即可得解. 【详解】（1）圆柱部分体积为， 正四棱柱部分体积为，因此零件的体积为， 而铁的密度为，所以生产一件这样的铸铁零件需要克铁. （2）此零件的表面积为（）， 因此1000个零件的表面积为， 所以需油漆的质量为（）. 题型八 几何体的体积计算问题 1．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知正三棱锥的棱长均为，则该正三棱锥的外接球体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】该正三棱锥的外接球即为棱长为的正方体的外接球，求得外接球的半径，根据球的体积公式即可求解． 【详解】该正三棱锥的外接球即为棱长为的正方体的外接球， 则外接球的半径为， 所以该正三棱锥的外接球体积为， 故选：D． 2．（24-25高一下·重庆荣昌·期中）已知一个直四棱柱的底面是长宽分别为4和3的矩形，侧棱长为，则这个直四棱柱的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】可知直四棱柱即为长方体，结合长方体的结构特征求外接球半径和体积. 【详解】由题意可知：直四棱柱即为长方体， 则外接球的半径， 所以外接球的体积为. 故选：D. 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正三棱锥，，，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据给定条件可得正三棱锥的侧棱两两垂直，再补形成正方体，进而求出外接球的体体积. 【详解】正三棱锥，，，则，即， 因此正三棱锥的侧棱两两垂直， 以线段为棱的正方体的外接球即为正三棱锥的外接球， 该球的直径为，半径， 所以该三棱锥的外接球的体积. 故选：A 4．（24-25高一下·山西太原·期中）已知圆台的上、下底面的半径分别为1和3，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】台体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】画出圆台的轴截面，则轴截面是等腰梯形，内切圆是过球心的大圆，结合题意，分别求出圆台的母线长和内切球的半径即可计算判断． 【详解】画出圆台的轴截面，如图所示： 则四边形是等腰梯形，且，，内切圆圆心即球心； 所以圆台的母线长为， 连接、和， 所以是直角三角形，且， 所以球的半径为， 球O的表面积为． 故选：A． 5．（24-25高一下·河南洛阳·期中）已知直三棱柱中，，且.若三棱柱的外接球的表面积是，则此三棱柱的体积的最大值是 . 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值、柱体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据直棱柱的结构特征及已知确定球心的位置和半径长度，利用球体半径与相关线段的几何关系求得，再应用基本不等式、棱柱体积公式求体积最大值. 【详解】直三棱柱中，，则外接球的球心在中点的连线上， 如下图，分别为中点，为中点，则为棱柱外接球球心， 又，则，外接球的表面积是， 若外接球半径为，则，可得， 所以，则，故， 由，即，当且仅当时取等号， 所以此三棱柱的体积的最大值. 故答案为：    6．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知正六棱柱的各个顶点都在半径为的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球的半径为．若，则当最小时，该正六棱柱的体积为 ． 【答案】36 【知识点】球的截面的性质及计算、柱体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据给定条件，求出正六棱柱底面正六边形的边心距，并设正六棱柱的高为，可得取中较小的，按，，结合球的截面小圆性质分类讨论求出最小时的，再利用柱体体积公式计算得解. 【详解】设正六边形的中心为点，则点与任意一条边均构成等边三角形， 因此点到各边的距离均为等边三角形的高，为． 不妨设该正六棱柱的高为，那么有且，取两者之中的较小者． 易得该正六棱柱的外接球半径为． 当时，，． 当，，， 所以时，取得最小值． 又因为一个等边三角形的面积为， 所以正六边形底面的面积为，则该正六棱柱的体积为． 故答案为：36． 题型九 由几何体的面积、体积求其它量 1．（24-25高一下·福建三明·期中）一个内径为6cm，高为15cm的圆柱形口杯中，盛有高度为6cm的水，现将一个半径为3cm的小钢球放入口杯中，则此时水面高度为（    ） A．4cm B．5cm C．10cm D．15cm 【答案】C 【知识点】柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】由球的体积公式代入计算，即可得到水面的上升高度，从而得到结果. 【详解】小球的体积， 圆柱底面面积， 则水面上升高度， 则此时水面高度为. 故选：C 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正四面体的表面积为，则它的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】棱锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】求出正面体的棱长，将正四面体补成正方体，即可求出该正四面体的体积. 【详解】设正四面体的棱长为， 则该正四面体的表面积为，可得， 将正四面体补成正方体，则该正方体为棱长为， 因此正四面体的体积为. 故选：B. 3．（24-25高一下·浙江·阶段练习）已知一圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】利用扇形的面积公式求出，再利用弧长公式求出，结合圆的面积公式求出底面积，最后使用圆锥的体积公式求解即可. 【详解】设扇形的母线长为，底面半径为，由扇形面积公式得，解得， 由弧长公式得弧长为，则，解得， 由勾股定理得高为，由圆的面积公式得底面积为， 由圆锥体积公式得，故A正确. 故选：A． 4.（23-24高一下·广东深圳·期中）一个母线长为5的圆锥表面积为，则该圆锥的体积为 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】根据圆锥的表面积公式求出底面圆的半径，再利用勾股定理求出高，再根据圆锥的体积公式求解即可. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，高为， 则，解得或（舍去）， 所以， 所以. 故答案为：. 题型十 平面及点、线、面的位置关系 1．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）下列命题中正确的是（   ） A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中有三点共线，则此四点必共面 C．若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面 D．空间四边形中，，E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形为正方形 【答案】B 【知识点】空间中的点（线）共面问题 【分析】根据空间中点和线的位置关系，即可求解A，B，C，根据线线平行及垂直判定四边形形状判断D. 【详解】对A，四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故A错误， 对于B，若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；B正确， 对于C，若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，C错误， 对于D，空间四边形中，，E，F，分别为，的中点，G，H分别为，的中点，所以，所以， 同理，所以，则四边形为长方形，不能得出正方形，D选项错误； 故选：B 2．（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间中的点（线）共面问题 【分析】根据图形及平行公理判断即可. 【详解】对于A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面， 所以、、、四点不共面，故A错误； 对于B： 如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线， 又平面，所以、、、四点不共面，故B错误； 对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面， 所以、、、四点不共面，故C错误； 对于D： 如图，连接，则，又，所以， 所以、、、四点共面，故D正确. 故选：D 题型十一 异面直线的判断与证明 1．（24-25高一下·湖南·期中）如图，点为正方形的中心，点在平面外，是线段的中点，则下列各选项中两条直线不是异面直线的为（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】异面直线的判定 【分析】根据空间中点，线，面的位置关系逐一判断即可. 【详解】在正方形中，， 所以在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面； 因为平面，在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面； 因为平面，在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面；    连接，因为点为正方形的中心，又是线段的中点， 所以，所以在平面内，所以与不是异面直线. 故选：. 2．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知点M是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（ ） A． B． C．CD D． 【答案】C 【知识点】空间中的点（线）共面问题、异面直线的判定 【分析】举反例，排除ABD，结合异面直线定义证明C正确. 【详解】对于A，当点位于位置时，直线与直线相交，故A错误； 对于D，当点位于位置时，直线与直线相交，故D错误； 对于B，当点位于的中点时，如图， 因为四边形为平行四边形，所以也为的中点， 因为，所以四点共面，所以与共面，故B错误； 对于C，直线平面，直线平面， 点不在直线上，所以直线与直线为异面直线，故C正确； 故选：C. 题型十二 空间平行关系的判断与证明 1．（24-25高一下·陕西西安·期中）如图，在四棱锥中，，，，为上一点，且. (1)求证：平面； (2)若平面平面，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、线面平行的性质 【分析】（1）根据线段成比例可证明四边形为平行四边形，即可根据线线平行求证， （2）先证明平面,即可利用线面平行的性质求解. 【详解】（1）在上取一点，使得, 由于，因此,且， 由于，，，故, 因此且，故四边形为平行四边形， 故, 平面,平面, 故平面 （2）由于，平面, 平面, 故平面, 又平面，平面平面， 所以 2．（24-25高一下·浙江·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，点分别是线段的中点．    (1)求证：平面； (2)若是线段的中点，证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明面面平行 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明； （2）利用面面平行的判定定理证明. 【详解】（1）证明：由四边形为正方形可知， 连接必与相交于中点，故， 面平面， 面．    （2）由点分别为中点可得：， 面平面平面， 又由（1）可知，平面， 且，平面, 故平面平面． 3．（24-25高一下·湖南常德·期中）如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于点，是线段上一点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设平面交平面于直线，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】证明线面平行、面面平行证明线线平行、线面平行的性质 【分析】(1) 连接,证明四边形是平行四边形,则易得,结论可得; (2) 连接，证明平面平面，则易得结论. (3)根据线面平行的判断判定得平面，然后由线面平行的性质即可得 【详解】（1）连接，，，， 四边形是平行四边形， 为的中点， 又是的中点，， 又平面平面， 平面． （2）连接， 分别是的中点，， 又平面平面， 平面. 又是的中点，是的中点， 平面平面， 平面． 又在平面内相交于点H，所以平面平面， 又平面， 平面． （3）因为，平面平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面直线， 所以； 题型十三 空间平行关系的探究问题 1．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图在四棱锥中，，分别是的中点，． (1)求证：平面； (2)若点F在棱上且满足，平面，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、面面平行证明线面平行、线面平行的性质、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】（1）作辅助线，结合中位线性质先证明面面平行，再根据性质得到线面平行； （2）已知线面平行，利用线面平行的性质得到线线平行，再结合向量关系求出的值. 【详解】（1）取的中点，连接. 因为是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，所以在中，. 又因为平面，平面，所以平面     又因为，是的中点，是的中点，根据梯形中位线性质，得到， 又因为平面，平面，所以平面. 并且，平面，则平面平面，且平面， 所以平面. （2）连接交于点，连接. 因为，所以.由， 根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，可得. 因为平面，平面，平面平面， 根据直线与平面平行的性质所以. 所以在中，. 因为，则. 又因为，即，所以.   2．（24-25高一下·河南洛阳·期中）如图，在四棱锥中，，，，且四点共面.    (1)求证：底面为梯形； (2)是线段上的动点，线段上是否存在点，使平面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，证明见解析 【知识点】面面平行证明线面平行、线面平行的性质 【分析】（1）先证明，再利用线面平行的判定定理证平面，再利用线面平行的性质定理证明； （2）取为上靠近点的三等分点，证明平面平面即可. 【详解】（1）因，， 则为线段靠近点的三等分点，为线段靠近点的三等分点， 则， 又平面，平面，则平面， 又因四点共面，则平面，平面平面， 则，则， 又，所以底面为梯形. （2）存在，为上靠近点的三等分点，证明如下： 连接，，因为上靠近点的三等分点，则, 因且，则且， 所以四边形为平行四边形，则， 因平面，平面，则平面， 因，平面，平面，则平面， 又，平面，平面，则平面平面， 因为上的动点，则平面，则平面.    题型十四 空间垂直关系的判断与证明 1．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，分别是，的中点，平面平面，．求证：平面．    【答案】证明见解析 【知识点】证明线面垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】利用等边三角形性质结合面面垂直性质得到平面，再利用线面垂直的性质得到，然后结合题意得到，最后利用线面垂直的判定定理求解即可. 【详解】因为为等边三角形，是的中点，所以． 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又因为平面，所以． 又因为分别是，的中点，所以． 又因为，所以， 又因为，平面，所以平面． 2．（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，且底面是菱形．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直 【分析】证明和，根据面面垂直的判定定理即可证明结论. 【详解】连接交于点，连接．因为四边形是菱形， 所以，且为的中点． 因为，所以． 又因为，平面，且，所以平面． 而平面，所以平面平面． 3．（23-24高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明面面垂直、面面垂直证线面垂直、证明线面垂直 【分析】（1）由已知为中点，可得，利用面面垂直的性质定理即可证明； （2）由已知，可得平面，则，又得，则平面，利用面面垂直的判定得证. 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面， 又，则，且为中点，所以， 又平面，所以平面； （2）在直角梯形中， ，， 则， 又，则， 又，所以， 在折后的几何体中，， 因平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，即，则， 又，平面，平面， 则平面， 又平面， 所以平面平面. 题型十五 求异面直线所成的角 1．（2025高一·全国·专题练习）在四面体中，已知，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】取中点，再根据平行得出异面直线所成角的正弦值即可求角. 【详解】取的中点，连结，． 因为，分别为，的中点，所以，， 所以为与所成的角或其补角． 因为，所以在中，， 所以，所以． 故选:D． 2．（2025高一·全国·专题练习）如图，是正所在平面外的一点，分别是和的中点，，且，求异面直线与所成角的余弦值．    【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】取的中点，将与所成的角转化为或其补角，利用余弦定理在中求得. 【详解】如图，连结，设为的中点，连结， 因为线段的中点，则，所以是与所成的角或其补角， 设， 因且， 则，，， 因为等边三角形，且边长为，为线段的中点，则， 则，， 则， 则在中利用余弦定理得， 因空间中两条直线的夹角取值范围为， 所以与所成角的余弦值为．    题型十六 求直线与平面所成角的函数值 1．（24-25高一下·河北沧州·期中）如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上． (1)求证：平面平面； (2)当，且为的中点时，求与平面所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求线面角、证明面面垂直 【分析】（1）先证平面，再根据线面垂直证明面面垂直；（2）先构造出直线与平面所成的角，再根据三角形的边角关系求角. 【详解】（1）设，连接，如图： 四边形是正方形，所以. 因为底面，底面，所以. 又，，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）由1知平面于， 为与平面所的角， ，分别为、的中点， ，， 又底面， 底面，底面，， 在中，， ，即与平面所成的角的大小为． 2．（24-25高一下·天津·期中）如图，四棱锥的底面是菱形，底面ABCD，O、E分别是AD、AB的中点，，，    (1)求证：平面PAD； (2)求证：平面平面POE； (3)求直线PC与平面POE所成角的正弦值 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【知识点】求线面角、证明面面垂直、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理得证. （2）利用线面垂直的性质、判定，结合面面垂直的判定推理得证. （3）由（2）的信息，利用几何法求出线面角的正弦. 【详解】（1）四棱锥底面是菱形，连接，，则是正三角形， 由底面ABCD，平面，得，由是的中点，得， 而平面，所以平面.    （2）连接，由菱形，得，由是的中点，得，则， 由底面ABCD，底面ABCD，得， 而平面，则平面，又平面， 所以平面平面. （3）令，连接，由（2）知平面，得是直线PC与平面POE所成的角， ，，则， 由，得，， ，， 在直角中，， 所以直线PC与平面POE所成角的正弦值为. 题型十七 求二面角的函数值 1．（2025·四川南充·二模）已知正三棱锥底面边长为2，其内切球的表面积为，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二面角、锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】先根据内切球的表面积求出内切球半径，再利用等体积法求出正三棱锥的高，最后找出二面角的平面角，进而求出其余弦值. 【详解】已知内切球表面积，则，解得. 设正棱锥的顶点在底面上的射影为，取中点，连接 . 因为正棱锥的性质，平面，，根据三垂线定理可得，所以就是二面角的平面角. 底面是边长为的正三角形，则. 设正棱锥的体积为，表面积为. 底面的面积. 侧面中，，，则侧面面积， 正棱锥的表面积. 根据等体积法，即 化简，即，. 两边平方：整理得到，即，解得（舍去）或. 在中，，，，所以. 二面角的余弦值为. 故选：A. ． 2．（2025高一·全国·专题练习）已知，分别是正三棱柱的侧棱和上的点，且．求过，，三点的平面与棱柱的下底面所成二面角的大小． 【答案】． 【知识点】求二面角 【分析】方法一：根据二面角定义结合面面垂直性质定理计算求解；方法二：射影法计算二面角余弦值. 【详解】方法一：如图，在平面内延长和交于点，则是平面与平面的公共点，也是这两个平面的公共点，连结，则为这两个面的交线，所求的二面角就是二面角．    因为，且，所以，分别为和的中点． 因为，所以． 又平面平面，在平面内，所以平面． 而在平面内，所以． 所以是二面角的平面角． 由已知，所以． 故所求二面角的大小为． 方法二：在正三棱柱中，在底面上的投影是． 设，所求二面角的大小为，则，， 所以，，所以，即， 故所求二面角的大小为． 题型十八 空间距离的计算问题 1．（24-25高一下·北京·期中）在所有棱长均为2的正四棱锥中，顶点P到底面的距离为 ． 【答案】 【知识点】求点面距离 【分析】根据正四棱锥性质求高，即得顶点P到底面的距离. 【详解】如图，设为底面的中心，则底面， 因为平面，所以， 由题意，， 则在正方形中，， 所以， 则顶点P到底面的距离为. 故答案为：. 2．（23-24高二上·上海·期末）在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵中，，堑堵的顶点到直线的距离为，到平面的距离为，则的取值范围是 .    【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算、求点面距离 【分析】设，，利用等面积法和等体积法求出，关于的不等式，根据的范围得出的值． 【详解】设，， 则，，， 且到平面的距离为， ，， ，， ， 又， ，， ，，， . 故答案为：． 3．（24-25高一下·河南·期中）如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，截面将该正方体分成两部分，这两部分的体积分别为，且． (1)求； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、求点面距离 【分析】（1）根据锥体体积公式可得，在利用割补法求； （2）根据题意利用等体积法求点到面的距离. 【详解】（1）截面将正方体分成两个几何体，其中较小部分是一个三棱锥， 其底面是腰长为的等腰直角三角形，面积为． 又底面上的高为， 所以三棱锥的体积． 因为正方体的体积， 所以剩余部分的体积． （2）在中，， 如图，取的中点，连接， 则， 所以， 的面积． 设点到平面的距离为， 因为三棱锥与三棱锥是同一个几何体， 所以，结合（1）得， 即，解得， 所以点到平面的距离为． 题型十九 垂直关系的探究问题 1．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，. (1)求四棱锥体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在；点为线段中点. 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、补全面面垂直的条件 【分析】（1）利用锥体的体积公式即可求解； （2）通过添加相应辅助线，然后结合面面垂直的判定定理即可求解. 【详解】（1）设四棱锥的体积为，正方形的面积为， 则：. 故四棱锥的体积为：. （2）存在，点为线段中点，理由如下： 取的中点，取中点，连接、，如下图： 因为、分别为、的中点，所以：，， 所以：，所以：四边形为平行四边形，所以：， 因为底面，平面，所以：， 又因为底面为正方形，所以：，且，平面， 所以：平面，因为：平面，所以：， 又因为：，点为中点，所以：， 又因为：，平面，所以：平面， 又因为：，所以：平面， 又因为：平面，所以：平面平面. 故当点为的中点时，平面平面. 2．（23-24高二上·湖南长沙·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【知识点】线面垂直证明线线垂直、补全面面垂直的条件、证明线面垂直 【分析】（1）利用面面垂直的性质得平面，再利用线面垂直的性质判定推理作答. （2）取的中点，的中点，连接，再作出直二面角，并探讨线段长度关系，借助比例式求解作答. 【详解】（1）由侧面是正三角形，M是的中点，得， 由正方形，得，而平面平面，平面平面， 且平面，则平面，又平面，于是， 而平面， 所以平面. （2）取的中点，的中点，连接，连接，连接，连接，    于是，由正方形，得，则，令， 显然是正的中心，，， 又平面平面，平面平面，则平面， 平面，即有，而平面， 则平面，平面，在平面内过作交于， 显然，而平面，因此平面， 连接并延长交于，连接，于是平面平面， 过作，则有，，， ，，则，又，， 从而点是线段的中点，，过作交于， 于是，即，显然，因此， 所以在棱上存在点N使平面平面成立，. 题型二十 立体几何的综合问题 1．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，为中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 【知识点】证明线面平行、求点面距离 【分析】（1）取的中点，证明，再利用线面平行的判定定理即可； （2）利用等体积计算即可. 【详解】（1）取的中点，连接， 因、分别为、的中点，所以， 又，则， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面，则平面． （2）因平面，平面，所以， 因，，所以， 又，则平面， 又平面，则， 由，，得， 设点到平面的距离为，连接. 则，即， 即，解得， 则点到平面的距离为． 2．（24-25高一下·北京·期中）如图，在正四棱柱中，，． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、证明线面平行、求点面距离 【分析】（1）根据正四棱柱的几何特征得出是平行四边形，进而得出再应用线面平行判定定理证明即可； （2）先应用平面，得出，结合，及线面垂直的判定定理即可证明； （3）应用三棱锥体积公式及等体积法计算点到平面距离求解. 【详解】（1）因为所以是平行四边形，所以 平面，且平面，所以平面； （2）因为是正方形，所以得， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面； （3）设点A到平面的距离为， 因为，所以， ， 所以， 故点到平面的距离为； 3．（2025高一·全国·专题练习）如图，在直角梯形中，为的中点．以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．    (1)求二面角的大小； (2)求与平面所成角的正切值． 【答案】(1)． (2)． 【知识点】求线面角、求二面角、证明线面垂直 【分析】（1）利用折叠的性质结合线面垂直的判定定理得到线面垂直，再作出二面角的平面角，进而利用等腰直角三角形性质得到角度即可. （2）利用线面垂直的性质找到线面角，再利用锐角三角函数定义求解即可. 【详解】（1）如图，在直角梯形中，    由题意得为的中点， 以为折痕把折起，使点到达点的位置，故，． 又因为平面，所以平面． 因为，所以平面，而平面，故． 因为，所以由勾股定理得， 得到，故， 因为平面，所以平面， 因为，所以平面， 因此是二面角的平面角， 因为，所以， 故二面角的大小为． （2）因为平面，所以是与平面所成角． 因为，所以与平面所成角的正切值为． 4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的．已知，是上的中点，是的中点，与交于点． (1)求该几何体的体积； (2)求证：平面ABEF； (3)若是上的一点，且满足平面平面，求的值． 【答案】(1)该几何体的体积为； (2)证明见解析； (3) 【知识点】正弦定理解三角形、柱体体积的有关计算、证明线面平行、面面平行证明线线平行 【分析】（1）由条件可得该几何体的体积为底面半径为，高为的圆柱体积的，结合圆柱体积公式求结论； （2）证明，由线面平行的判定定理可得； （3）设平面平面，利用面面平行性质定理证明，由此可得为的中点，再利用面面平行性质定理证明，在中，由正弦定理求，再证明，由此可得结论. 【详解】（1）因为几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的， 所以该几何体的体积为底面半径为，高为的圆柱体积的， 所以该几何体的体积为， （2）连接， 因为P是上的中点，则，是中点， 又Q是AC的中点，所以， 平面，平面， 所以平面； （3）连接， 因为平面平面， 设平面平面，又平面平面， 则，因为是的中点， 所以为的中点，为的中点， 因为平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以，又， 所以， 因为，， 在中，由正弦定理可得，所以， 所以， 因为，所以， 所以. 5．（23-24高一下·黑龙江黑河·期末）如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，且为斜边，为等边三角形.若为的中点，为线段上的动点.    (1)证明：面； (2)求二面角的余弦值； (3)当的面积最小时，求与底面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【知识点】证明线面垂直、求线面角、求二面角、空间垂直的转化 【分析】（1）利用线面垂直的判断定理，转化为证明线线垂直，利用等腰三角形的性质，即可证明； （2）首先证明平面，再利用垂直关系构造二面角的平面角，即可求解； （3）首先根据几何关系，确定平面平面，并说明（或其补角）是与底面所成的角，法一，根据余弦定理求角，法二，利用等体积法求点到平面的距离，即可求解线面角的正弦值. 【详解】（1）因为为的中点，为等腰直角三角形，所以 又为等边三角形，所以， 又平面， 所以面； （2）为等腰直角三角形，且为斜边，，可得， 为等边三角形.若，所以， 所以，所以， 又平面，所以平面， 所以平面， 过点作于，因为平面， 所以平面平面，从而可得， 所以为二面角的平面角， 又，所以，所以 所以，所以二面角的余弦值为；    （3）因为平面平面，所以， 所以当最小时，的面积最小，此时， 由面面，可得，又， 所以平面，又平面，所以平面平面， 所以（或其补角）是与底面所成的角， 由（2）可知，且，所以， 由勾股定理可求得， 在中，由余弦定理可得，所以 （法二）， 由（2）可知，且, 所以 点到面的距离， 所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$