2025年 湖北省黄冈市红安二中教联体九年级中考数学模拟试卷(二）

2025年春湖北黄冈红安二中教联体九年级中考数学模拟试卷(二）（含解析） （考试时间：120分钟 满分：120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．﹣1、0、、﹣2的大小顺序是（　　） A． B． C． D． 2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（　　） A．3﹣1＝﹣3 B．a5÷a﹣2＝a3 C．（a﹣1）﹣3＝a3 D．（π﹣3.14）0＝﹣1 4．如图，是由6个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体（　　） A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图不变 C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图不变 5．如图，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H．若AB＝AG，GD＝5，CH＝9，则AB的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．解分式方程，分以下四步，其中，错误的一步是（　　） A．方程两边分式的最简公分母是（x﹣1）（x+1） B．方程两边都乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6 C．解这个整式方程，得x＝1 D．原方程的解为x＝1 7．如图是我国清代康熙年间八角青花碗，其轮廓是一个正八边形，若正八边形的边长为4cm，对角线AB、CD相交于点E．则线段AB的长为（　　） A． B． C． D．12 8．如图，在⊙O中，点C是的中点，CD垂直平分半径OA，，则该圆的半径为（　　） A．4 B．2 C． D． 9．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第一象限内作矩形ABCD，且AB＝2AD，则点D的坐标为（　　） A．（5，2） B．（5，3） C．（6，3） D．（6，4） 10．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，点A位于第一象限内，OA＝10，并且点A到x轴的距离为6，点B对应的坐标为（a，0）．若△AOB为钝角三角形，则a的取值范围是（　　） A．a＞12.5 B．0＜a＜8 C．a＜8且a≠0，或a≥12 D．a＜8且a≠0，或a＞12.5 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是　 　 ． 12．根据物理学知识，在电压不变时，通过导体的电流I（单位：A）是这段导体的电阻R（单位：Ω）的反比例函数，其函数图象如图所示．当R＝10Ω时，通过该导体的电流I的值为 　 　 A． 13．如图，甲、乙两盏路灯相距20米，一天晚上，当小刚从灯甲底部向灯乙底部直行16米时，发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部．已知小刚的身高为1.6米，那么路灯甲的高为　 　 米． 14．如图，一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1和S2，则的值是　 　 ． 15．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，，在直线BC上取一点E，使BE＝2，连接AE，在AE的右侧作∠EAF，使∠EAF＝∠AEC，射线AF交直线BC于点F，则BF的长为 　 　 ． 三．解答题（共9小题，,共75分） 16．（本小题满分6分）先化简，再求值：，其中． 17．（本小题满分6分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，点E，F分别在BD，DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，AF，CF，CE． （1）求证：四边形AFCE为平行四边形； （2）若AC平分∠EAF，∠AEC＝60°，OA＝4，求四边形AFCE的周长． 18．（本小题满分6分）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2． （1）求C1和C2的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是1dm，求此时水面的直径（结果保留根号）； （3）如果将一个底面直径为2dm，高度为3.6dm的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 19．（本小题满分8分）2025年3月23日，武汉马拉松赛鸣枪开跑．本次赛事旨在增强全市民众科学健身意识．推动全民健身活动，本届赛事共设置马拉松，半程马拉松和13公里跑三个项目赛后随机抽样了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查，整理后得到下列不完整的图表： 等级 A B C D 分数段 90～100 80～89 70～79 60～69 频数 440 280 m 40 请根据表中提供的信息．解答下列问题： （1）此次调查的样本容量是 　 　 ，m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ； （2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是 　 　 度； （3）据悉，本次武汉马拉松，半程马拉松和13公里跑三个项目参赛人数兼30000，试估计其中评价武汉马拉松A等级的人数． 20．（本小题满分8分） 如图，已知在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），B（0，3），P（3，m），Q（3，﹣1）． （1）求直线AB的解析式； （2）当m＝2时，连接PQ，若直线与线段PQ有交点，求整数k的值； （3）若线段PQ上存在一点M，使得点M关于直线AB的对称点在y轴上，请直接写出m的取值范围． 21．（本小题满分8分）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若AD＝2CE，OA＝，求阴影部分的面积． 22．（本小题满分10分）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示： （1）当时，求y与x之间的函数关系式； （2）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 23．（本小题满分11分）（1）【观察发现】如图1，在△ABC中，点D在BC边上，若∠BAD＝∠C，则AB2＝BD•BC，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD延长线上一点，且∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB＝5，点E，F分别在边AD，CD上，∠ABC＝2∠EBF，延长AD，BF相交于点G，若BE＝4，DG＝6，求FG的长． 24．（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD的三个顶点的坐标为点A（m，n），B（m，1），C（m+8，1），n＞1．经过B，D两点的抛物线y＝a（x﹣7）2+k与线段AD交于点E（不与A，D两点重合），连接BD，BE． （1）填空：BC＝ 　 ；直接写出点D的坐标（用含m，n的代数式表示）； （2）当n＝m+3时，∠AEB＝∠ABD，求a的值和抛物线顶点P的坐标； （3）当时，n的最大值是9，求此时的值． 2025年春湖北黄冈红安二中教联体九年级中考数学模拟试卷(二）答案及解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C D B D C A A D 1．﹣1、0、、﹣2的大小顺序是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据负数都比0小，正数都比0大，两个负数比较大小时绝对值越大反而越小比较即可． 【解答】解：∵|﹣1|＝1，|﹣2|＝2， ∴﹣1＞﹣2， ∴＞0＞﹣1＞﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握两个负数比较大小的方法是解本题的关键． 2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 【解答】解：B，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3．下列运算正确的是（　　） A．3﹣1＝﹣3 B．a5÷a﹣2＝a3 C．（a﹣1）﹣3＝a3 D．（π﹣3.14）0＝﹣1 【分析】根据负整数指数幂，同底数幂的除法，幂的乘方，零指数幂的法则逐一进行判断即可． 【解答】解：A、，本选项不符合题意； B、a5÷a﹣2＝a5﹣（﹣2）＝a7，本选项运算错误，不符合题意； C、（a﹣1）﹣3＝a3，本选项运算正确，符合题意； D、（π﹣3.14）0＝1，本选项运算错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查幂的运算，负整数指数幂，同底数幂的除法，幂的乘方，零指数幂的法则，熟练掌握以上运算法则是关键． 4．如图，是由6个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体（　　） A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图不变 C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图不变 【分析】根据从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；主视图发生改变． 将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；左视图没有发生改变． 将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；俯视图发生改变． 故选：D． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图． 5．如图，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H．若AB＝AG，GD＝5，CH＝9，则AB的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由作图过程可知BH平分∠ABC，得到∠ABH＝∠CBH，在平行四边形ABCD中AB＝CD，AB＝CD，BC＝AD，得到∠ABH＝∠CHB＝∠CBH，得出BC＝CH＝9，得到AG＝AD﹣GD＝9﹣5＝4，继而得到AB＝AG＝4，即可得到答案． 【解答】解：由作图过程可知BH平分∠ABC， ∴∠ABH＝∠CBH， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，BC＝AD，AB∥CD， ∴∠ABH＝∠CHB＝∠CBH， ∴BC＝CH＝9， ∴AD＝BC＝9， ∵GD＝5， ∴AG＝AD﹣GD＝9﹣5＝4 ∴AB＝AG＝4， 故选：B． 【点评】本题考查作图，掌握角平分线基本作图是解题的关键． 6．解分式方程，分以下四步，其中，错误的一步是（　　） A．方程两边分式的最简公分母是（x﹣1）（x+1） B．方程两边都乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6 C．解这个整式方程，得x＝1 D．原方程的解为x＝1 【分析】分式方程两边乘以最简公分母，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：分式方程的最简公分母为（x﹣1）（x+1）， 方程两边乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6， 解得：x＝1， 经检验x＝1是增根，分式方程无解． 故选：D． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 7．如图是我国清代康熙年间八角青花碗，其轮廓是一个正八边形，若正八边形的边长为4cm，对角线AB、CD相交于点E．则线段AB的长为（　　） A． B． C． D．12 【分析】根据正八边形的性质得出四边形CEGF是矩形，△ACE、△BFG是等腰直角三角形，AC＝CF＝FB＝EG＝4，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出AE，GE，BG即可． 【解答】解：如图，过点F作FG⊥AB于G， 由题意可知，四边形CEGF是矩形，△ACE、△BFG是等腰直角三角形，AC＝CF＝FB＝EG＝2， 在Rt△ACE中，， 同理， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 8．如图，在⊙O中，点C是的中点，CD垂直平分半径OA，，则该圆的半径为（　　） A．4 B．2 C． D． 【分析】连接AC，BC，OB，OC，设OD＝a，证明△OAC是等边三角形得AC＝OA＝OB＝2a，∠OCD＝30°，进而得CD＝，再证明△OBC是等边三角形得OB＝OC＝BC＝2a，∠OCB＝60°，则∠BCD＝90°，然后在Rt△BCD中，由勾股定理求出a＝2，继而可得⊙O半径． 【解答】解：连接AC，BC，OB，OC，如图所示： ∴OA＝OC＝OB， 设OD＝a， ∵CD垂直平分半径OA， ∴AC＝OC，AD＝OA＝a， ∴OA＝OC＝AC＝2a， ∴△OAC是等边三角形， ∴∠OCA＝60°， ∴∠OCD＝∠OCA＝30°， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD＝＝＝， ∵点C是弧AB的中点， ∴AC＝BC， ∴OB＝OC＝BC， ∴△OBC是等边三角形， ∵OB＝OC＝BC＝2a，∠OCB＝60°， ∴∠BCD＝∠OCB+∠OCD＝60°+30°＝90°， ∴△BCD是直角三角形， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：CD2+BC2＝BD2， ∵BD＝， ∴（， 整理得：a2＝4， 解得：a＝2，a＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴OA＝2a＝4， 即该圆的半径为4． 故选：A． 【点评】此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，线段垂直平分线的性质，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键． 9．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第一象限内作矩形ABCD，且AB＝2AD，则点D的坐标为（　　） A．（5，2） B．（5，3） C．（6，3） D．（6，4） 【分析】过点D作x轴的垂线，垂足为M，根据相似三角形的判定与性质得出AM及DM的长即可解决问题． 【解答】解：过点D作x轴的垂线，垂足为M， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∴∠BAO+∠DAM＝∠BAO+∠ABO＝90°， ∴∠DAM＝∠ABO． 又∵∠AOB＝∠DMA， ∴△ABO∽△DAM， ∴． 将x＝0代入y＝得，y＝2， ∴点B的坐标为（0，2）， ∴OB＝2， 同理可得，OA＝4． 又∵AB＝2AD， ∴， ∴AM＝1，DM＝2， ∴点D的坐标为（5，2）． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质及矩形的性质，熟知一次函数的图象与性质及矩形的性质是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，点A位于第一象限内，OA＝10，并且点A到x轴的距离为6，点B对应的坐标为（a，0）．若△AOB为钝角三角形，则a的取值范围是（　　） A．a＞12.5 B．0＜a＜8 C．a＜8且a≠0，或a≥12 D．a＜8且a≠0，或a＞12.5 【分析】根据相似三角形的性质和勾股定理求出△OAB为直角三角形时的a的值，再作推断． 【解答】解：过A作AC⊥OB，过A作AD⊥OA，则AC＝6，∠OCA＝∠OAD＝90°， 由勾股定理得：OC＝8， ∵∠AOC＝∠DOA，∠OCA＝∠OAD， ∴△OAC∽△DOA， ∴，即：， 解得：OD＝12.5， ∴当a＜8且a≠0或a＞12.5时，△AOB为钝角三角形， 故选：D． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，掌握勾股定理和相似三角形的性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是　　 ． 【分析】从该组数据中找出3的倍数，根据概率公式解答即可． 【解答】解：3的倍数有3，6，9， 则十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是． 故答案为：． 【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝． 12．根据物理学知识，在电压不变时，通过导体的电流I（单位：A）是这段导体的电阻R（单位：Ω）的反比例函数，其函数图象如图所示．当R＝10Ω时，通过该导体的电流I的值为 　0.25　 A． 【分析】利用待定系数法即可求出电流I关于电阻R的函数关系式，把R＝10Ω代入解出即可． 【解答】解：∵通过导体的电流I（单位：A）与导体的电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系， ∴可设I＝， ∵当R＝25Ω时，I＝0.1A． ∴U＝2.5V， ∴电流I关于电阻R的函数关系式为I＝； 当R＝10Ω时，I＝＝0.25（A）， 故答案为：0.25． 【点评】本题考查反比例函数的应用，根据待定系数法求出解析式是解题的关键． 13．如图，甲、乙两盏路灯相距20米，一天晚上，当小刚从灯甲底部向灯乙底部直行16米时，发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部．已知小刚的身高为1.6米，那么路灯甲的高为　8　 米． 【分析】易得△ABO∽△CDO，利用相似三角形对应边的比相等可得路灯甲的高． 【解答】解：∵AB⊥OB，CD⊥OB， ∴△ABO∽△CDO， ∴＝， 则＝， 解得：AB＝8， 故答案为：8． 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：相似三角形对应边的比相等． 14．如图，一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1和S2，则的值是　　 ． 【分析】根据题意设大正方形边长为m，则大正方形对角线为，得到△AEF，△AGH，△CMN均是等腰直角三角形，继而得到，，即可得到本题答案． 【解答】解：一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1和S2，如图，设大正方形边长为m，则大正方形对角线为， ∴∠BAC＝∠ACD＝∠CAD＝45°， ∴△AEF，△AGH，△CMN均是等腰直角三角形， ∴，AG＝GH＝GN＝MN＝NC， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 15．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，，在直线BC上取一点E，使BE＝2，连接AE，在AE的右侧作∠EAF，使∠EAF＝∠AEC，射线AF交直线BC于点F，则BF的长为 　6或12　 ． 【分析】根据题意，分①点E在线段BC上；②点E在CB延长线上2种情况讨论，作AG⊥BC于点G，根据菱形的性质和解直角三角形的相关知识即可求解． 【解答】解：①若点E在线段BC上，如图，作AG⊥BC于点G， 则∠AGB＝∠AGC＝90°， ∵菱形ABCD， ∴BC＝AB＝10，∠ABC＝∠D， ∴， ∵在Rt△ABG中，， ∴设AG＝4m，则BG＝3m， ∵AG2+BG2＝AB2， ∴（4m）2+（3m）2＝102， 解得：m＝2或m＝﹣2 （舍去）， ∴AG＝8，BG＝6， ∵BE＝2， ∴EG＝BG﹣BE＝6﹣2＝4， ∵∠EAF＝∠AEC， ∴AF＝EF， 设AF＝EF＝x， 则GF＝EF﹣EG＝x﹣4， 在Rt△AGF中，AG2+GF2＝AF2， ∴82+（x﹣4）2＝x2， 解得：x＝10， ∴EF＝10， ∴BF＝BE+EF＝2+10＝12； ②若点E在CB延长线上，如图，作AG⊥BC于点G， 则∠AGB＝90°， 同理①中的方法可得，AG＝8，BG＝6， ∵BE＝2， ∴EG＝BG+BE＝6+2＝8， ∴EG＝AG， ∴△AGE是等腰直角三角形，∠AEC∠EAG＝45°， ∵∠EAF＝∠AEC， ∴∠EAF＝∠EAG， ∴点F与点G重合， ∴BF＝BG＝6； ∴综上所述，BF的长为6或12． 故答案为：6或12． 【点评】本题考查了菱形的性质、解直角三角形，结合图形作垂线构造直角三角形是解题的关键． 三．解答题（共9小题） 16．先化简，再求值：，其中． 【分析】根据运算法则先进行化简再将代入即可． 【解答】解： ＝ ＝ ＝（x+1）2， 将代入， 即可得到原式＝． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 17．已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，点E，F分别在BD，DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，AF，CF，CE． （1）求证：四边形AFCE为平行四边形； （2）若AC平分∠EAF，∠AEC＝60°，OA＝4，求四边形AFCE的周长． 【分析】（1）由平行四边形的性质得OD＝OB，OA＝OC，而DE＝BF，所以OE＝OF，即可证明四边形AFCE是平行四边形； （2）由∠EAC＝∠FAC，∠ECA＝∠FAC，推导出∠EAC＝∠ECA，则AE＝CE，所以四边形AFCE是菱形，而∠AEC＝60°，则△EAC是等边三角形，所以AE＝AC＝8，即可求得四边形AFCE周长是32． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OD＝OB， ∵DE＝BF， ∴OD+DE＝OB+BF， ∴OE＝OF， ∵OA＝OC， ∴四边形AFCE为平行四边形． （2）解：∵AC平分∠EAF， ∴∠EAC＝∠FAC， ∵四边形AFCE为平行四边形，OA＝4， ∴CE∥AF，OC＝OA＝4， ∴∠ECA＝∠FAC，AC＝4+4＝8， ∴∠EAC＝∠ECA， ∴AE＝CE， ∴四边形AFCE是菱形， ∵∠AEC＝60°， ∴△EAC是等边三角形， ∴AE＝AC＝8， ∴AF+CF+CE+AE＝4AE＝4×8＝32， ∴四边形AFCE周长是32． 【点评】此题重点考查等式的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、菱形的周长等知识，证明OE＝OF，以及在AC平分∠EAF的条件下证明四边形AFCE为菱形是解题的关键． 18．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2． （1）求C1和C2的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是1dm，求此时水面的直径（结果保留根号）； （3）如果将一个底面直径为2dm，高度为3.6dm的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【分析】（1）已知A、B、C、D四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式； （2）炒菜锅里的水位高度为1dm，即y＝﹣2，列方程求得x的值即可得答案； （3）底面直径为2dm、高度为3.6dm圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当x＝1时，C1、C2中的y值的差与3.6比较大小，从而可得答案． 【解答】解：（1）抛物线过点A（﹣3，0）、B（3，0）， 设C1、C2的解析式为：y＝a1（x﹣3）（x+3），y＝a2（x﹣3）（x+3）； 抛物线C1还经过D（0，﹣3）， 则有：﹣3＝a1（0﹣3）（0+3）， ∴， ∴； 抛物线C2还经过C（0，1）， 则有：1＝a2（0﹣3）（0+3）， ∴， ∴； （2）当炒菜锅里的水位高度为1dm时，y＝﹣2，即， ∴， ∴此时水面的直径为； （3）锅盖不能正常盖上， 当x＝1时，抛物线， ， 而， ∴锅盖不能正常盖上． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式． 19． 2025年3月23日，武汉马拉松赛鸣枪开跑．本次赛事旨在增强全市民众科学健身意识．推动全民健身活动，本届赛事共设置马拉松，半程马拉松和13公里跑三个项目赛后随机抽样了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查，整理后得到下列不完整的图表： 等级 A B C D 分数段 90～100 80～89 70～79 60～69 频数 440 280 m 40 请根据表中提供的信息．解答下列问题： （1）此次调查的样本容量是 　800　 ，m＝ 　40　 ，n＝ 　5　 ； （2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是 　126　 度； （3）据悉，本次武汉马拉松，半程马拉松和13公里跑三个项目参赛人数兼30000，试估计其中评价武汉马拉松A等级的人数． 【分析】（1）根据A等级的人数除以占比得出总人数，进而求得m，n的值； （2）根据D等级的占比乘以360°，即可求解； （3）用总人数乘以A等级的百分比计算即可求解． 【解答】解：（1）此次调查的样本容量是440÷55%＝800， m＝800﹣440﹣280﹣40＝40， ，即n＝5， 故答案为：800；40；5． （2）， 故答案为：126． （3）30000×55%＝16500（人）， 答：评价武汉马拉松A等级的人数的有16500人． 【点评】本题考查频数分布表以及扇形统计图，熟练掌握该知识点是关键． 20．【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当直线过点P时，将点P的坐标代入直线表达式得：2＝3k+3，则k＝﹣，当直线过点Q时，将点Q的坐标代入直线表达式，同理可得：k＝﹣，即可求解； （3）设点M（3，t），则﹣1≤t≤m，设点M关于AB的对称点为N（0，n），设MN交AB于点R，则点R为NM的中点，求出xR＝t，即点R的横坐标为t，R为NM的中点，则t＝（0+3），解得：t＝3，即可求解． 【解答】解：（1）设直线AB的表达式为：y＝kx+3， 将点A的坐标代入上式得：0＝﹣3k+3，则k＝1， 则直线AB的表达式为：y＝x+3； （2）当m＝2时，点P（3，2）， 当直线过点P时，将点P的坐标代入直线表达式得：2＝3k+3，则k＝﹣， 当直线过点Q时，将点Q的坐标代入直线表达式，同理可得：k＝﹣， 则﹣＜k＜﹣， 则整数k的值为﹣2或﹣1； （3）设点M（3，t），则﹣1≤t≤m， 设点M关于AB的对称点为N（0，n），设MN交AB于点R， 则点R为NM的中点， ∵AB⊥MN，则直线MN的表达式为：y＝﹣（x﹣3）+t， 联立MN和BA的表达式得：﹣（x﹣3）+t＝x+3， 解得：xR＝t，即点R的横坐标为t， ∵R为NM的中点，则t＝（0+3）， 解得：t＝3， 即m≥3． 【点评】本题考查的是几何变换综合题，涉及到图形的对称，待定系数法求函数表达式、临界点的确定等，综合行强，难度适中． 21．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若AD＝2CE，OA＝，求阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OC，证明∠EAC＝∠ACO，可得OC∥AE，再进一步可得结论； （2）连接DB、OD，证明四边形DECF是矩形，可得DF＝EC，再证明AD＝DB，可得∠DAB＝∠DBA＝45°，可得∠DOA＝2∠DBA＝90°，利用S阴影部分＝S扇形AOD﹣S△AOD可得答案． 【解答】（1）证明：连接OC， 由条件可知∠CAO＝∠ACO， ∵C是的中点， ∴， ∴∠BAC＝∠EAC， ∴∠EAC＝∠ACO， ∴OC∥AE， ∵CE⊥AD， ∴CE⊥OC， ∵OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：连接DB、OD，BD，OC交于点F， 由条件可知∠EDB＝90°， ∵∠AEC＝∠ECO＝90°， 由矩形性质可知DF＝EC，∠DFC＝90°， ∴OC⊥BD， ∴DF＝FB， ∴DB＝2DF＝2EC， ∴AD＝DB， ∴∠DAB＝∠DBA＝45°， ∴∠DOA＝2∠DBA＝90°， ∴． 【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定及扇形的面积公式，矩形的判定和性质等知识点，熟练地掌握切线的判定方法是解决本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/12 8:39:37；用户：红安思源；邮箱：hasy@qq.com；学号：50011273 22．区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示： （1）当时，求y与x之间的函数关系式； （2）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【分析】（1）根据题意知以平均时速为100千米/时行驶a小时的路程为20千米，据此可得a的值，进一步利用待定系数法解答即可； （2）由题意求出先匀速行驶小时的速度即可判断． 【解答】解：（1）由题意得，100a＝20， 解得：， 设当时，y＝kx+b（k≠0）， 则：， 解得：， ∴； （2）当时，， ∴先匀速行驶小时的速度为：（千米/时）， ∵114＜120， ∴这辆汽车减速前没有超速． 【点评】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数关系式是解答本题的关键． 23．（10分）（1）【观察发现】如图1，在△ABC中，点D在BC边上，若∠BAD＝∠C，则AB2＝BD•BC，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD延长线上一点，且∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB＝5，点E，F分别在边AD，CD上，∠ABC＝2∠EBF，延长AD，BF相交于点G，若BE＝4，DG＝6，求FG的长． 【分析】（1）证明△ABD∽△CBA，得到，得出AB2＝BD•BC； （2）由平行四边形的性质得出∠BFE＝∠C，∠FBE＝∠CBF，证明△BFE∽△BCF，得出，求出BC，进而求出AD； （3）连接BD，证明△DFG∽△CFB，得出，即，即可求出答案． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠CBA， ∴△ABD∽△CBA， ∴， ∴AB2＝BD•BC； （2）解：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， 又∵∠BFE＝∠A， ∴∠BFE＝∠C， 又∵∠FBE＝∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BC＝， ∴AD＝； （3）解：连接BD， ∵四边形ABCD为菱形， ∴∠ABD＝∠CBD＝，AD＝AB＝BC＝5，AD∥BC， ∵∠ABC＝2∠EBF， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠EBF， ∴∠EBF﹣∠DBF＝∠CBD﹣∠DBF，即∠DBE＝∠CBF， ∵AD∥BC， ∴∠CBF＝∠G， ∴∠DBE＝∠G， ∵∠DEB＝∠BEG， ∴△BED∽△GEB， ∴， ∵DG＝6， ∴EG＝DE+6， ∴， 解得：DE＝2，负值舍去， ∴EG＝2+6＝8， ∴AE＝AD﹣DE＝3， ∵AE2+BE2＝32+42＝52＝AB2， ∴△ABE为直角三角形，∠AEB＝90°， ∴∠BEG＝180°﹣90°＝90°， ∴在Rt△BEG中根据勾股定理得：BG＝＝＝4， ∴BF＝BG﹣FG＝4﹣FG， ∵AD∥BC， ∴△DFG∽△CFB， ∴， 即， 解得：FG＝． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 24.如图，已知矩形ABCD的三个顶点的坐标为点A（m，n），B（m，1），C（m+8，1），n＞1．经过B，D两点的抛物线y＝a（x﹣7）2+k与线段AD交于点E（不与A，D两点重合），连接BD，BE． （1）填空：BC＝ 　8　 ；直接写出点D的坐标（用含m，n的代数式表示）； （2）当n＝m+3时，∠AEB＝∠ABD，求a的值和抛物线顶点P的坐标； （3）当时，n的最大值是9，求此时的值． 【分析】（1）根据题意利用B（m，1），C（m+8，1）可得BC＝m+8﹣m＝8，再由点坐标及矩形性质可得D（m+8，n）； （2）根据题意可得E（6﹣m，n），继而得到AE＝6﹣m﹣m＝6﹣2m，再证明△ABE∽△ADB，后利用相似性质可得，解得m＝2，继而得到本题答案； （3）根据1＝a（m﹣7）2+k可得，后得到25≤（m﹣7）2≤36，继而得到1≤m≤2，后得到n＝16am﹣48a+1，继而得到当m＝1时，﹣32a+1＝9，求出本题答案． 【解答】解：（1）点D的坐标为（m+8，n）；理由如下： 已知矩形ABCD的三个顶点的坐标为点A（m，n），B（m，1），C（m+8，1）， ∴BC＝m+8﹣m＝8， ∴点D与点A纵坐标一致， ∴D（m+8，n）， 故答案为：8； （2）∵A（m，n），D（m+8，n），P（7，k）， ∴E（6﹣m，n）， ∵点E在线段AD上， ∴m＜6﹣m＜m+8， ∴﹣1＜m＜3， ∴AE＝6﹣m﹣m＝6﹣2m， ∵∠AEB＝∠ABD，∠BAE＝∠DAB＝90°， ∴△ABE∽△ADB， ∴， ∴， ∵n＝m+3，代入并整理得：m2+20m﹣44＝0， 解得：m1＝2，m2＝﹣22（不合题意，舍去）， ∵经过B，D两点的抛物线y＝a（x﹣7）2+k与线段AD交于点E，将D（10，5），B（2，1）分别代入得： ， 解得：， ∴； （3）∵1＝a（m﹣7）2+k， ∴， ∵， ∴25≤（m﹣7）2≤36， ∵﹣1＜m＜3， ∴﹣6≤m﹣7≤﹣5， ∴1≤m≤2， ∵n＝a（m+1）2+k，1＝a（m﹣7）2+k， ∴n﹣1＝16a（m﹣3）， ∴n＝16am﹣48a+1， ∵a＜0， 若n的最大值是9， 则当m＝1时，﹣32a+1＝9， ∴， ∴k＝10， 此时． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查矩形性质，由点坐标求线段长度，相似三角形判定及性质，二次函数图象及性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$