专题04 三角形（6题型）（湖南专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题04 三角形 题型概览 题型01 三角形的概念及相关的角、线段 题型02 全等三角形 题型03 直角三角形（含勾股定理及其逆定理） 题型04 等腰三角形 题型05 线段的垂直平分线 题型06 角平分线的性质与判定 ( 题型01 ) 三角形的概念及相关的角、线段 1．（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，是外角的平分线，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质；由角平分线可求得，再由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵是外角的平分线，， ∴； ∵，， ∴； 故选：B． 2．（2025·湖南长沙·一模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的 外角性质，平行线的性质，由已知得，即得，再根据平行线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵重力的方向竖直向下， ∴， ∴， ∵摩擦力的方向与斜面平行， ∴， 故选：． 3．（2025·湖南长沙·一模）如下图，在中，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，，再利用角平分线定义即可得出． 【详解】解：∵是的中线，，， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， 故选：B． 4．（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，． (1)尺规作图，作的角平分线与相交于点D（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)若（1）中，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图——角平分线，三角形的内角和定理和外角性质，熟练掌握种基本作图是解题关键． （1）利用基本作图画出的平分线即可； （2）先根据三角形的内角和定理计算出，再根据角平分线的定义得到，然后根据三角形外角性质计算的度数即可． 【详解】（1）解：如图即为所求作； （2）解：，， ， 平分， ， ． ( 题型02 ) 全等三角形 1．（2025·湖南张家界·一模）如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质得出，求出即可．能灵活运用全等三角形的性质进行推理是解此题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 2．（2025·湖南永州·一模）如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段，的延长线上，且，点A与点F关于过点D的某条直线对称，从B运动到C的过程中，周长的变化规律是 ． 【答案】先变小后变大 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，由可证，由全等三角形的性质可得，，可得周长，即可求解． 【详解】解：∵点A与点F关于过点D的某条直线对称， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴周长， ∵点D在边上从B至C的运动过程中，的长先变小后变大， ∴周长的变化规律是先变小后变大， 故答案为：先变小后变大． 3．（2025·湖南娄底·一模）如图，正方形的边长为4，，且，的延长线交的延长线于M，于N． (1)求证：； (2)求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质． （1）利用证明即可； （2）由，推出，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E是上一点，， ∴， ∵， ∴， 在与中，，，， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 设， 则， 解得：， ∴． 4．（2025·湖南永州·一模）如图，在中，，是角平分线，E是边上一点，过点C作交的延长线于点F． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）由三线合一得到，再由平行线导角，利用即可证明； （2）由全等三角形的性质先求出，由三线合一得到，，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：， ，， 是角平分线，， ． ； （2）解：， ， ， ，是角平分线， ∴，， ， ． 5．（2025·湖南长沙·一模）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）由折叠得到，，，然后得到，即可证明出； （2）首先根据平行四边形的性质得到，，然后由全等得到，得到，即可证明出为等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠可得，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 6．（2025·湖南长沙·一模）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，， 求的长 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用证明两个三角形全等”是解本题的关键． （1）先证明，，然后根据，再结合已知条件可得结论； （2）根据，，得出，根据得出，，最后根据和差间的关系，得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ， ∴，， ∴． ( 题型03 ) 直角三角形（含勾股定理及其逆定理） 1．（2025·湖南常德·一模）如图，在中，，点分别为的中点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，直角三角形的性质，由三角形中位线的性质可得，进而根据直角三角形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵为的中点，， ∴， 故答案为：． 2．（2025·湖南岳阳·一模）如图，一根竖直的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在地面的处上，与地面的夹角为，若，则木杆折断之前高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形，由题意可知，，，根据含角的直角三角形的性质得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴， ∴木杆折断之前高度为：， 故答案为：． 3．（2025·湖南长沙·一模）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点落在斜边上的点处，已知，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠、勾股定理、含的直角三角形的性质，找准相等关系是解题的关键． 根据折叠得到，，再结合含的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知：，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 根据勾股定理，得， ∴， 解得：． ∴． 故选：A ． 4．（2025·湖南株洲·一模）如图，在中，，，对角线．分别以、为圆心，以大于长为半径画四条弧，交于点、，过点、画直线交于点，交于点，交于点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了复杂作图-作垂直平分线，解直角三角形，勾股定理，求得和，即可解答，熟练利用三角函数求解是解题的关键． 【详解】解：由作图可得为的垂直平分线， 点是的中点， 对角线， ， ， ， 故答案为：． 5．（2025·湖南·一模）如图，在正方形的边上有一点E，将直角三角形沿直线进行折叠，点F是点B的对应点，若，，则点F到边的距离是 ． 【答案】 【分析】如图，连接，过作于，证明，，，可得，，求解，，设，则，再利用勾股定理进一步解答即可． 【详解】解：如图，连接，过作于， ∵在正方形的边上有一点E，将直角三角形沿直线进行折叠，点F是点B的对应点， ，， ∴，，，设垂足为K， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴点F到边的距离是； 故答案为： 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 6．（2025·湖南·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上的点处，此时，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；由已知条件得到，根据勾股定理得到，据此求解可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 7．（2025·湖南·一模）为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，湖南部分城市开启改造路灯计划．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为 米． 【答案】14 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出米，然后计算米求解即可． 【详解】解：∵米，米， ∴米， ∵点到地面的竖直距离为2米， ∴（米）， ∴起重臂顶端离地面的高度为14米． 故答案为：14． ( 题型0 4 ) 等腰三角形 1．（2025·湖南长沙·一模）如下图，在中，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，，再利用角平分线定义即可得出． 【详解】解：∵是的中线，，， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， 故选：B． 2．（2025·湖南岳阳·一模）如图，在等边三角形中，，垂足为，点在线段上，连接，若，则等于（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，，再证明，从而可得答案． 【详解】解：在等边三角形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A 3．（2025·湖南衡阳·一模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，若的对应边恰好经过点，且与相交于点（点异于点和点），则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转、等腰三角形、三角形内角和等知识，理解旋转前后图形的对应线段相等，对应角相等，准确找到旋转角是解题的关键． 由旋转可知，从而求得出，由此即可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转一定角度后得到， ， ，故选项C正确，符合题意， ∵， ∴， ∴， ∴，故选项D结论错误； 在中，，但不一定是等边三角形，故不一定成立；故选项A结论错误； 在中，，但不一定是等边三角形，故不一定成立；故选项B结论错误. 故选：C． 4．（2025·湖南常德·一模）如图，直线，直线分别交，于点，，，以点为圆心，长为半径画弧，若在弧上存在点使，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质，首先根据平行线的性质可得：，因为点在以点为圆心，长为半径的弧上，所以，根据等腰三角形的性质可知，再根据三角形外角的性质可求的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 5．（2025·湖南娄底·一模）如图，在中，，D为中点，，P为上任意一点，E为上任意一点.则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，等面积法的应用，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．本题连接，先根据等腰三角形的三线合一，证明，根据勾股定理求出，再利用三角形的面积公式可得，然后根据两点之间线段最短可得的最小值为的长，由此即可得出答案． 【详解】解：在中，，D为中点， ，， ∴，垂直平分， ∴， ∴， 过作于，， ， 即， 解得， 如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ， 由两点之间线段最短可知，的最小值为的长， 则的最小值， 故答案为：． ( 题型0 5 ) 线段的垂直平分线 1．（2025·湖南·一模）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，交于点E，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，先求解，结合，再进一步的解答即可. 【详解】解：，， , ∴ 垂直平分 ∴ ∴． 故答案为：． 2．（2025·湖南湘潭·一模）如图，在中，分别以，两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点、，若，的周长为10，则的周长是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作图，以及垂直平分线的性质和三角形求周长．注意垂直平分线得线段相等和线段和的转化． 根据尺规作图得垂直平分线，再由垂直平分线的性质和三角形周长计算公式解答即可． 【详解】解：由尺规作图得垂直平分线， 所以，且， 又， 所以的周长为：． 故答案为：16． 3．（2025·湖南衡阳·一模）如图，在中，，，分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，交于点，再连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的画法和性质定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定和性质，一元二次方程解几何问题，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用线段的垂直平分线的画法和性质定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定和性质，一元二次方程解几何问题等知识点逐项进行判定即可． 【详解】解：①尺规作图的操作可知，直线垂直平分线段， ， ， ， 故①正确； ②， ， , 又∵直线垂直平分线段， ， 在和中只有,其余两角不相等，所以两个三角形不相似，故②错误； ③如图： 过点作于点，过点作于点， ， 又 由可知， 即， 由②得 ∴在和中，底边相等，底边上的高不相等，所以两个三角形的面积不相等， ∴的面积和的面积不相等， 故③错误； ④ 假设，则， 整理得，， 解得，， ， ∴ ∴ 故④正确； 故选：B． ( 题型0 6 ) 角平分线的性质与判定 1．（2025·湖南永州·一模）如图，在中，，，，平分交于点，则点到的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，等角对等边，角所对的直角边等于斜边的一半．过点作于，由，可得，由平分可得，即可得，进而得到，再根据角所对的直角边等于斜边的一半可得． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离是2， 故答案为：2． 2．（2025·湖南衡阳·一模）如图，在中，，，点是边上一点，过点作于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查三角形内角和定理及角平分线的性质和判定，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 根据三角形内角和定理得出，再由角平分线的判定和性质得出，继续利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·湖南岳阳·一模）如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，若点到的距离为4，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线的性质等知识点，掌握角平分线的尺规作图方法成为解题的关键． 根据作图过程可得，平分，如图：过F作，根据角平分线的性质定理可得，据此即可解答． 【详解】解：根据作图过程可知：平分， 如图：过F作， ∵点到的距离为4， ∴， ∵，，平分， ∴． 故选：B． 4．（2025·湖南娄底·一模）如图，，在上分别截取线段，使； 分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，在上取点，过点 作交于点 ， 作交于点，交于点，则下列四个结论中： ； ； 是等边三角形；是的中位线．所有正确结论的序号是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，中位线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据尺规作图——作角平分线即可判断；根据平行线的性质及等角对等边即可判断；由等边三角形的判定即可判断；根据等边三角形的判定与性质，中位线的定义即可判断． 【详解】解：由作图可知，平分， ∵， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，故正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， 综上可知：正确， 故选：． 1．（2025·湖南岳阳·一模）下列事件为必然事件的是（   ） A．一个图形旋转后所得的图形与原图形全等 B．明天早上会下雨 C．经过任意三点画一个圆 D．任意画一个三角形，其内角和为 【答案】A 【分析】根据必然事件的定义，逐个进行判断即可．本题主要考查了必然事件的定义，旋转的性质，圆的相关内容，三角形的内角和，解题的关键是掌握可能发生也可能不发生的事件是随机事件． 【详解】解：A、“一个图形旋转后所得的图形与原图形全等”是必然事件，符合题意； B、明天早上会下雨是随机事件，不符合题意； C、“经过任意三点画一个圆”是随机事件，不符合题意； D、“任意画一个三角形，其内角和为”是不可能事件，不符合题意； 故选：A． 2．（2025·湖南湘潭·一模）如图，，分别是的边，上的点，且，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．由，求证，，根据相似三角形性质得到，进而由相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：过作于点F，如图所示： ，， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：C． 3．（2025·湖南长沙·一模）魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，正切函数等；由正方形的性质及相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，，由可判定，由全等三角形的性质得，由正切函数的定义，即可求解；掌握正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：四边形，和都是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 故选：A． 4．（2025·湖南岳阳·一模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点、；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交边于点．若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点作于，由作图可知平分，进而由角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式计算即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（2025·湖南衡阳·一模）综合与实践 【问题情境】 类比是人类认知世界的重要思维方式，它不仅能帮助我们更好地理解复杂概念，更能激发创新思维，为人类认知开辟新的疆域．如示意图，在矩形中，于点，点是上一动点，连接，过点作于点，交于点． （1）如图1，当时，求证：． 【类比探究】 （2）点运动到时，连接． ①如图2，当，，三点共线时，是否还成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请求出的值． ②如图3，当，时，求的长． 【答案】（1）见详解（2）①不成立，② 【分析】（1）根据矩形的性质判定出为正方形，进而证明即可得答案； （2）①根据给出条件证明出为等边三角形，进而判断出，假设，则，根据勾股定理可得，最后可得比值； ②根据条件和相似三角形的性质求出，根据勾股定理逐步求出的长，再利用线段的和差求出的长，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：在矩形中，当时，矩形为正方形，为等腰直角三角形， ∵，， ，，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：①不成立，理由如下， 根据题意可知，此时点为矩形对角线的交点， ， ∴为等边三角形， 根据等边三角形的性质可得，， ∴， ， ， 设，则，根据勾股定理可得， ， ； ②∵，则在中，， 又∵，，即， 由（1）条件可得， ， ， ， ， 如图，连接，在中，由勾股定理得， ， 是等腰三角形，为底边，为底边上的高， 为的垂直平分线， ， ， 在中，，，， ， 则， 根据勾股定理得 ， 在中，， ， 则， ， 过作，则，， ， 在中，，，设，则 ， ， 解得或(舍) ， ，， ， 在中，，， ， 即的长度为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角函数；解题的关键是熟练掌握相关性质和构造直角三角形． 6．（2025·湖南株洲·一模）二次函数与轴相交于，两点，与轴交于点，它的对称轴是直线． (1)求此二次函数的解析式和点的坐标； (2)如图1，是轴右侧的抛物线上一点，连接与拋线线的对称轴交于点，过点作于点，连接．是否存在点，使与全等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)如图2，连接，是轴上正半轴上一点，以为半径作，若与线段只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)存在点 (3)或 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，勾股定理，直线与圆位置关系等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据点在函数图象上，对称轴是直线，运用待定系数法求解即可． （2）分为①当时，②当时，结合图象和全等三角形判定求解即可． （3）先算出①当与线段相切时，②当经过点时，③当经过点时，对应的临界值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， 二次函数解析式为：， ， 令，解得：或4， 令，则， ，， 故此抛物线的解析式为：，． （2）解：如图，对称轴是直线， ①当时，P在第一象限，， ，代入中， ， ， ， 设直线解析式为， 则，解得：， ， ， ， ． ②当时，P在第四象限，显然与不全等； （或者， ，代入中， ， ， ， 设直线解析式为， 则，解得：， ， ， ， 与不全等） 综上所述，存在点，使与全等． （3）解：依题意知：的半径， ①当与线段相切时，如图所示， 设切点为H，连接，则，，， ，， ， ， ， ； ②当经过点时，M为中点，． ③当经过点时，如图， ，，， ， ， ， ， 当与线段只有一个公共点时，m的取值范围是：或． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角形 题型概览 题型01 三角形的概念及相关的角、线段 题型02 全等三角形 题型03 直角三角形（含勾股定理及其逆定理） 题型04 等腰三角形 题型05 线段的垂直平分线 题型06 角平分线的性质与判定 ( 题型01 ) 三角形的概念及相关的角、线段 1．（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，是外角的平分线，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·一模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南长沙·一模）如下图，在中，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，． (1)尺规作图，作的角平分线与相交于点D（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)若（1）中，，求的度数． ( 题型02 ) 全等三角形 1．（2025·湖南张家界·一模）如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·湖南永州·一模）如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段，的延长线上，且，点A与点F关于过点D的某条直线对称，从B运动到C的过程中，周长的变化规律是 ． 3．（2025·湖南娄底·一模）如图，正方形的边长为4，，且，的延长线交的延长线于M，于N． (1)求证：； (2)求的长度． 4．（2025·湖南永州·一模）如图，在中，，是角平分线，E是边上一点，过点C作交的延长线于点F． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 5．（2025·湖南长沙·一模）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 6．（2025·湖南长沙·一模）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，， 求的长 ( 题型03 ) 直角三角形（含勾股定理及其逆定理） 1．（2025·湖南常德·一模）如图，在中，，点分别为的中点，若，则的长为 ． 2．（2025·湖南岳阳·一模）如图，一根竖直的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在地面的处上，与地面的夹角为，若，则木杆折断之前高度为 ． 3．（2025·湖南长沙·一模）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点落在斜边上的点处，已知，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 4．（2025·湖南株洲·一模）如图，在中，，，对角线．分别以、为圆心，以大于长为半径画四条弧，交于点、，过点、画直线交于点，交于点，交于点，则线段的长为 ． 5．（2025·湖南·一模）如图，在正方形的边上有一点E，将直角三角形沿直线进行折叠，点F是点B的对应点，若，，则点F到边的距离是 ． 6．（2025·湖南·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上的点处，此时，则点的对应点的坐标为 ． 7．（2025·湖南·一模）为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，湖南部分城市开启改造路灯计划．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为 米． ( 题型0 4 ) 等腰三角形 1．（2025·湖南长沙·一模）如下图，在中，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南岳阳·一模）如图，在等边三角形中，，垂足为，点在线段上，连接，若，则等于（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2025·湖南衡阳·一模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，若的对应边恰好经过点，且与相交于点（点异于点和点），则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南常德·一模）如图，直线，直线分别交，于点，，，以点为圆心，长为半径画弧，若在弧上存在点使，则的度数是 ． 5．（2025·湖南娄底·一模）如图，在中，，D为中点，，P为上任意一点，E为上任意一点.则的最小值是 ． ( 题型0 5 ) 线段的垂直平分线 1．（2025·湖南·一模）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，交于点E，则 ． 2．（2025·湖南湘潭·一模）如图，在中，分别以，两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点、，若，的周长为10，则的周长是 ． 3．（2025·湖南衡阳·一模）如图，在中，，，分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，交于点，再连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ ( 题型0 6 ) 角平分线的性质与判定 1．（2025·湖南永州·一模）如图，在中，，，，平分交于点，则点到的距离是 ． 2．（2025·湖南衡阳·一模）如图，在中，，，点是边上一点，过点作于点，若，则的度数为 ． 3．（2025·湖南岳阳·一模）如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，若点到的距离为4，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2025·湖南娄底·一模）如图，，在上分别截取线段，使； 分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，在上取点，过点 作交于点 ， 作交于点，交于点，则下列四个结论中： ； ； 是等边三角形；是的中位线．所有正确结论的序号是（       ） A． B． C． D． 1．（2025·湖南岳阳·一模）下列事件为必然事件的是（   ） A．一个图形旋转后所得的图形与原图形全等 B．明天早上会下雨 C．经过任意三点画一个圆 D．任意画一个三角形，其内角和为 2．（2025·湖南湘潭·一模）如图，，分别是的边，上的点，且，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南长沙·一模）魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南岳阳·一模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点、；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交边于点．若，，则的面积是 ． 5．（2025·湖南衡阳·一模）综合与实践 【问题情境】 类比是人类认知世界的重要思维方式，它不仅能帮助我们更好地理解复杂概念，更能激发创新思维，为人类认知开辟新的疆域．如示意图，在矩形中，于点，点是上一动点，连接，过点作于点，交于点． （1）如图1，当时，求证：． 【类比探究】 （2）点运动到时，连接． ①如图2，当，，三点共线时，是否还成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请求出的值． ②如图3，当，时，求的长． 6．（2025·湖南株洲·一模）二次函数与轴相交于，两点，与轴交于点，它的对称轴是直线． (1)求此二次函数的解析式和点的坐标； (2)如图1，是轴右侧的抛物线上一点，连接与拋线线的对称轴交于点，过点作于点，连接．是否存在点，使与全等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)如图2，连接，是轴上正半轴上一点，以为半径作，若与线段只有一个公共点，求的取值范围． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$