专题03 函数（6题型）（湖南专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题03 函数 题型概览 题型01 一次函数的图象、性质与应用 题型02 反比例函数的图象与性质 题型03 反比例函数与一次函数的综合 题型04 反比例函数的应用 题型05 二次函数的图象、性质与应用 题型06 二次函数的综合 ( 题型0 1 ) 一次函数的图象、性质与应用 1．（2025·湖南株洲·一模）已知点是直线上一点，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【详解】解：把点代入直线， 可得， 解得， 故选：A． 2．（2025·湖南长沙·一模）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“的图象在一、二、四象限”是解题的关键． 根据一次函数图象和性质进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴． 故选：D． 3．（2025·湖南长沙·一模）已知一次函数的图象经过点，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据一次函数的，得出随的增大而增大，再结合，得出，即可作答． 【详解】解：，依题意，一次函数的， ∴随的增大而增大， ∵点在一次函数的图象上，且， ∴， 故选：A． 4．（2025·湖南岳阳·一模）点、是直线上的两点，则 （填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数图象的增减性，根据k值判断一次函数图象的增减性是解题的关键． 根据一次函数中时，y随x增大而增大，据此即可解答． 【详解】解：∵在直线中，， ∴随x增大而增大， 又∵， ∴． 故答案为． 5．（2025·湖南·一模）湖南茶陵是中华茶文化的发源地之一，茶陵县也是中国历史上唯一以茶命名的行政县，相传炎帝神农氏在这里发现了茶，并被称为“茶祖”，湖南不仅在茶文化上有重要地位，其茶叶品种也非常丰富，其所产的君山银针和古丈毛尖更是享誉全国，某茶庄主要经营的茶类有君山银针和古丈毛尖，其中君山银针卖得比较好的是A规格的，古丈毛尖卖得比较好的是B规格的，它们的进价和售价如下表： 种类 君山银针A规格 古丈毛尖B规格 进价（元/斤） 160 500 售价（元/斤） 200 600 该茶庄计划购进这两种规格的茶共100斤． (1)若该茶庄购进这两种规格的茶共花费29600元，求该茶庄购进A，B两种规格的茶各多少斤？ (2)根据市场销售分析，A规格茶的进货量不低于B规格茶进货量的3倍．问：该茶庄如何进货才能使本次购进的茶全部销售完获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)该茶庄购进A规格的茶60斤，B规格的茶40斤； (2)该茶庄购进A规格的茶75斤，B规格的茶25斤时，全部销售完获得的利润最大，最大利润是5500元． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答 （1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元-次方程组，从而可以求得该茶庄购进4，B两种规格的茶各多少斤； （2）根据题意和表格中的数据，可以得到利润和购进A规格茶叶数量的函数关系式，然后根据A规格的进货量不低于B规格的3倍，可以得到购进A规格茶叶数量的取值范围，再根据最后根据一次函数的性质确定最大值． 【详解】（1）解：设该茶庄购进A规格的茶x斤，购进B规格的茶y斤，根据题意得． 根据题意，得 解得 答：该茶庄购进A规格的茶60斤，B规格的茶40斤． （2）设该茶庄购进A规格的茶m斤，则购进B规格的茶斤． 因为A规格茶的进货量不低于B规格茶进货量的3倍， 所以， 解得． 设该茶庄本次购进的茶全部销售完获得的利润为W元． 根据题意，得． 因为， 所以w随m的增大而减小． 又， 所以当时，w取得最大值，最大值为． 此时． 答：该茶庄购进A规格的茶75斤，B规格的茶25斤时，全部销售完获得的利润最大，最大利润是5500元． 6．（2025·湖南长沙·一模）为了进一步抓好“三农”工作，助力乡村振兴，某经销商计划从建档贫困户家购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品3件，B种农产品2件，共需660元；购进A种农产品4件，B种农产品1件，共需630元． (1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 【答案】(1)种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元 (2)当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数解析式，是解题的关键： （1）设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）购进件种农产品，则购进件种农产品，根据题意列出一元一次不等式组，求出，设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则，再由一次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 答：种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元； （2）解：购进件种农产品，则购进件种农产品， 根据题意得：， 解得：． 设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则 ，即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，此时． 答：当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多． 7．（2025·湖南·一模）如图，在矩形中，点A，C的坐标分别为，点B，D在x轴上，O是坐标原点，直线与相交于点E． (1)求直线，的解析式； (2)求的值． 【答案】(1)直线的解析式为，直线的解析式为； (2) 【分析】（1）先求解，再利用待定系数法求解直线，的解析式即可； （2）如图，过作于，求解，结合，可得，求解，可得，，再进一步解答即可； 【详解】（1）解：在矩形中，点A，C的坐标分别为， ∴，， ∴， 设为， ∴， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图，过作于， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，求解一次函数的解析式，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. ( 题型0 2 ) 反比例函数的图象与性质 1．（2025·湖南·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，先分别求得，，，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 故选B． 2．（2025·湖南娄底·一模）关于反比例函数 ，下列说法错误的是（   ） A．图像经过点 B．图像位于第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解并掌握反比例函数的图像及性质是解题关键．根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：对于反比例函数，当时，可有， 即图像经过点， 因为，所以图该函数像位于第一、三象限，当时，y随x的增大而减小， 当时，， 故选项A、B、D正确，不符合题意，选项C错误，符合题意． 故选：C． ( 题型0 3 ) 反比例函数与一次函数的综合 1．（2025·湖南岳阳·一模）如图，反比例函数的图象经过，两点，直线与轴相交于点，是线段上一点．连接，记，的面积分别为，，若，且，则的值为（   ） A．18 B．17 C．15 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数相结合、相似三角形的判定与性质、两点间的距离公式等知识点，熟练掌握各函数的性质并通过坐标求出三角形的面积成为解题的关键． 先利用点的坐标求出反比例函数和一次函数的解析式求得、、，再运用两点间的距离公式求得；再证明可得、，则，即D点纵坐标为4，易得，再根据可得，最后作差即可解答． 【详解】解：将代入得：， 反比例函数的解析式为∶ ， 将代入得∶， ∴点坐标为， 设直线的解析式为，将两点坐标代入得∶ ，解得，， ∴直线的解析式为， ∴直线与x轴的交点坐标为， ∴ 如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，即， ∴， ∴D点纵坐标为4， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． 故选：D． 2．（2025·湖南衡阳·一模）如图，直线与双曲线在第一象限内交于点，过点作轴于点，若，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法． 先利用求出点坐标，再利用待定系数法求解可． 【详解】解：∵， ∴点横坐标为， 将代入得，， ∴， 将点的坐标代入， ∴， 故答案为：6． ( 题型0 4 ) 反比例函数的应用 1．（2025·河北沧州·一模）力作用于物体，产生的压强与物体受力面积之间满足，在某次实验中，当一定时，关于的函数图象如图所示．若压强由40增压至60，则物体受力面积（   ） A．减小了 B．增大了 C．减小了 D．增大了 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，关键是掌握反比例函数的性质．结合图象得到，再分别求出当压强为40和60时的受力面积，并进行比较，即可解题． 【详解】解：一定， 结合图象可知，即， 当压强为40时，有，解得， 当压强为60时，有，解得， ， 压强由40增压至60，则物体受力面积减小了， 故选：A． 2．（2025·湖南湘潭·一模）已知近视眼镜的度数（度）与镜片焦距满足反比例函数，当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为，则 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义列方程直接解答即可．本题考查了反比例函数的定义，注意正确代入，的值从而列方程求出的值． 【详解】解：依题意，把，代入反比例函数， 得， ∴， 故答案为：． 3．（2025·湖南张家界·一模）验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，眼镜度数为500度，经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距变为米，此时眼镜的度数为 度． 【答案】200 【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键．根据待定系数法求出反比例函数解析式，令时，求的值即可． 【详解】解：由图象可知眼镜度数为500度时，镜片焦距为米， 设， ∴在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 此时眼镜的度数为200度． 故答案为：200． 4．（2025·湖南岳阳·一模）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数，）．若某乐器的弦长l为米，振动频率f为200赫兹，则k的值为 ． 【答案】160 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把，代入求解即可． 【详解】解：把，代入，得， 解得， 故答案为：160． 5．（2025·湖南郴州·一模）一辆客车从地出发前往地，平均速度（千米小时）与所用时间（小时）的函数关系如图所示，其中． (1)求与的函数关系式； (2)客车上午点从地出发，客车需在当天点至点分（含点与点分）间到达地，求客车行驶速度的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由题意得到，根据的取值范围和反比例函数的增减性即可得到答案； 此题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可知与的函数关系是反比例函数， 设与的函数关系式为， 把点代入得，， 解得， ∴与的函数关系式是； （2）解：由题意得，， 当时，， 当时，， ∵随着的增大而减小， ∴， 即客车行驶速度的取值范围为． ( 题型0 5 ) 二次函数的图象、性质与应用 1．（2025·湖南株洲·一模）对于二次函数的图像性质，下列说法不正确的是（   ） A．开口向上 B．过定点 C．有最小值 D．与轴一定有交点 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的性质． 利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.， ∴抛物线开口向上，故该选项正确，不符合题意； B.当时，函数值， ∴抛物线过定点，该选项正确，不符合题意； C.抛物线爱你开口向上，有最小值，该选项正确，不符合题意； D.，当时，，抛物线与轴无交点，该选项错误，符合题意； 故选：D． 2．（2025·湖南岳阳·一模）对于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．函数的最大值是5 C．顶点坐标 D．当时，随的增大而增大 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线是顶点式，可得对称轴是直线，函数的最大值是3，开口向下，顶点坐标，当时，随的增大而减小,据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、对于抛物线的，开口向下，选项说法正确，符合题意； B、对于抛物线，开口向下，在时，函数的最大值是3，选项说法不正确，不符合题意； C、对于抛物线，开口向下，顶点坐标，选项说法不正确，不符合题意； D、对于抛物线，当时，随的增大而减小，选项说法不正确，不符合题意； 故选：A． 3．（2025·湖南郴州·一模）把抛物线向右平移个单位再向下平移个单位，得到的抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：把抛物线向右平移个单位再向下平移个单位，得到的抛物线的表达式为，即， 故答案为：． 4．（2025·湖南长沙·一模）北京时间2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水女子10米台决赛的较量中，中国选手全红婵以425.60分夺得金牌．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系式． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下表： 水平距离/m 6 7 7.5 竖直高度/m 10 10 6.25 根据上述数据，求出与的函数关系式； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，设她平时训练时入水点与原点的水平距离为m，比赛当天入水点与原点的水平距离为m，请比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据待定系数法求出函数关系式即可； （2）根据题意分别求出与的值，进行比较即可． 【详解】（1）解：由表格数据可知，抛物线顶点为， 抛物线过点， 抛物线的对称轴是直线， 抛物线为． 抛物线过点，代入解得， 抛物线为； （2）解：由题意，平时跳水训练的抛物线为， 令，解得（不合题意，舍去）或， ． 又比赛当天跳水的抛物线为， 令，解得（不合题的意的值已舍去）， 即． ( 题型 06 ) 二次函数的综合 1．（2025·湖南长沙·一模）如图，在菱形中，，点分别是上的动点，满足，连接与交于点． (1)求的度数； (2)填空： ①______________，②______________，③______________； (3)记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为． ①若，求的值； ②试判断的值是否存在最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1，0，1 (3)①；②的最小值为 【分析】（1）先由菱形性质得到相关角度与边的关系，再由两个三角形全等的判定与性质得到，数形结合表示出即可得到答案； （2）利用相似三角形的性质和判定及等边三角形的性质和判定找出线段之间的比例关系进行填空． （3）①根据已知条件结合相似三角形的性质求出的值；②根据三角形面积比与线段比的关系，结合二次函数性质判断是否存在最小值． 【详解】（1）解：在菱形中，，， ， ，，则， 是等边三角形，则， 在和中， ， ， ， ； （2）解：①由（1）知，， ； ②由（1）知， ， ， 是等边三角形，则， ，， ， ， ， ，， ； ③，， ， ， ，则； ，， ， ， ，则； ； 故答案为：①；②；③； （3）解：①由（2）中③可知：， ， 由（2）中②可知：， ， ， ， ， ， ， 设、的高为， ； ②， ， ， ， ， 同理可证明， ， 设， ， 当时，的值最小，最小值为． 【点睛】本题主要涉及菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质以及三角形面积公式等数学概念和定理．通过证明三角形相似得出对应成比例的线段是正确解答此题的关键． 2．（2025·湖南株洲·一模）二次函数与轴相交于，两点，与轴交于点，它的对称轴是直线． (1)求此二次函数的解析式和点的坐标； (2)如图1，是轴右侧的抛物线上一点，连接与拋线线的对称轴交于点，过点作于点，连接．是否存在点，使与全等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)如图2，连接，是轴上正半轴上一点，以为半径作，若与线段只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)存在点 (3)或 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，勾股定理，直线与圆位置关系等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据点在函数图象上，对称轴是直线，运用待定系数法求解即可． （2）分为①当时，②当时，结合图象和全等三角形判定求解即可． （3）先算出①当与线段相切时，②当经过点时，③当经过点时，对应的临界值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， 二次函数解析式为：， ， 令，解得：或4， 令，则， ，， 故此抛物线的解析式为：，． （2）解：如图，对称轴是直线， ①当时，P在第一象限，， ，代入中， ， ， ， 设直线解析式为， 则，解得：， ， ， ， ． ②当时，P在第四象限，显然与不全等； （或者， ，代入中， ， ， ， 设直线解析式为， 则，解得：， ， ， ， 与不全等） 综上所述，存在点，使与全等． （3）解：依题意知：的半径， ①当与线段相切时，如图所示， 设切点为H，连接，则，，， ，， ， ， ， ； ②当经过点时，M为中点，． ③当经过点时，如图， ，，， ， ， ， ， 当与线段只有一个公共点时，m的取值范围是：或． 3．（2025·湖南衡阳·一模）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一动点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，连接，并延长交轴于点，连接，交轴于点．点在运动过程中，的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． (3)将该抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到如图2所示的抛物线刚好经过点，点为抛物线对称轴上一点．在平面内确定一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形． 【答案】(1) (2)的值为定值10，理由见详解 (3)点坐标为或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，抛物线和菱形的综合等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法和菱形的判定和性质． （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）过点作轴于点，得出，利用相似三角形的对应边成比例，列出关于的代数式，化简代数式即可得出结论； （3）根据菱形的判定和性质分类讨论，根据题意画出图形，假设出点的坐标，根据对边平行且相等列出方程，解方程即可得出坐标． 【详解】（1）解：将，两点代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：的值为定值10，理由如下， 如图，过点作轴于点,则, ∴, 即 假设点坐标为，则点坐标为， ∴，，,，， ∴， 整理得， ∴的值为定值10； （3）解：平移后抛物线的表达式为， 整理得， 联立， 解得， ∴点坐标为， ∴根据勾股定理得， 抛物线的对称轴为直线， ①当以点为圆心长为半径画圆时，此圆与直线无交点，因为点到直线的距离为； ②当以点为圆心长为半径画圆时，如下图所示， 假设交点坐标为， ∴ 解得或， 即， 假设， ∵, ∴，；，； 解得；； 所以此时； ③当为菱形的对角线时，作的垂直平分线，交对称轴于点，如下图所示， 假设， ∴ 即 解得 ∴ 假设，根据得， ， 解得， 所以此时 综上可得点坐标为或． 4．（2025·湖南·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，设的对称轴为直线． (1)求的值； (2)设与轴的交点为，，曲线是与关于轴对称的抛物线，若，求的解析式及顶点坐标； (3)在（2）的条件下，设在的对称轴左侧有直线轴，且与和分别交于点，另有一条直线轴，且与和分别交于点，当四边形是正方形时，求点的坐标及正方形的边长． 【答案】(1) (2)曲线顶点坐标为，解析式为 (3)，正方形的边长为 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，轴对称的性质，二次函数与特殊图形求边长的计算是关键． （1）根据抛物线过点，对称轴直线为，代入计算即可求解； （2）根据对称轴直线为，结合可得，代入抛物线，运用待定系数法即可求解； （3）根据四边形是正方形，得到，设，则，，，，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点，设的对称轴为直线， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵设与轴的交点为，，抛物线的对称轴直线为， ∴，且， ∴解得，， ∴， ∴，且， ∴， 整理得，， 解得，， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴，即抛物线顶点坐标为， ∵曲线是与关于轴对称的抛物线，则曲线图象开口向下，顶点坐标为， ∴曲线的解析式为； （3）解：如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点在抛物线的图象上，点在抛物线的图象上， ∴设， ∴， ∴，， ∵点关于对称， ∴，则， ∴， ∴，整理得，， 解得，（大于，不符合题意，舍去），， ∴，， ∴，正方形的边长为． 5．（2025·湖南岳阳·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，过平面上一点作任意一条直线交抛物线于两点，过点作直线，分别交轴于两点，试探究与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为，此时 (3)与的积为定值，定值为2 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的表达式为：设，过作，交于，求出，进而求出，利用而阐述的性质即可解答； （3）设直线的解析式为：，求出直线的解析式为：，联立：，求出，求出直线的解析式为，进而求出，同理：，即可解答． 【详解】（1）解：由题意的： 抛物线的表达式为：； （2）解：， 设直线的表达式为： ， 设直线的表达式为： 设，过作，交于 ∵， ∴， ， 的最大值为，此时； （3）解：设直线的解析式为：，且直线经过点 直线的解析式为： 联立： 得 设直线的解析式为：， 同理： ， 与的积为定值，定值为2． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，根和系数的关系等．解决（3）问的关键的是通过相似三角形用坐标表示出线段，的长． 6．（2025·湖南湘西·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交点，连接．若点P是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接交于点，当时，求点P的坐标； (3)设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，设．求出关于的函数解析式 【答案】(1) (2)当时，点的坐标为或 (3) 【分析】（1）由抛物线与轴交于点，与轴交点，再建立方程组求解即可； （2）先求解直线的解析式为，，如图所示，过点作轴交于点，求解，证明，，再进一步求解即可； （3）设顶点坐标为，点关于对称轴对称的点为，求解对称轴直线为，即，由题意可得，，抛物线在点与点之间的部分包含点和点，可得，求解点关于对称轴对称的点的坐标为，再分情况讨论即可； 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，与轴交点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵， ∴设直线的解析式为：， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， ∵点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为，     ∴， 如图所示，过点作轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 即， 当时，， 即， 综上所述，当时，点的坐标为或； （3）解：二次函数的图像如图所示，设顶点坐标为，点关于对称轴对称的点为， ∴对称轴直线为，即 由题意可得，，抛物线在点与点之间的部分包含点和点， ∴， 令时，， 解得，， ∴点关于对称轴对称的点的坐标为， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，； 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数与线段问题，难度大，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键. 7．（2025·湖南湘潭·一模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点为第四象限抛物线上的点，连接、、、，且和相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标． (3)如图2，设点，是直线下方抛物线上的两动点，且，过点作轴，交于点，过点作，交于点．求的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3)最大值为4 【分析】（1）中把点、的坐标代入函数解析式列出关于、的方程组，通过解方程组可以求出它们的值； （2）根据图形得到：，即，利用三角形的面积公式求得点的纵坐标，然后由二次函数图形上点的坐标特征求得点的横坐标； （3）过点作轴交直线于点，将转化为，则，再将该线段和用关于或的二次多项式表示，再利用配方法求出最值即可． 【详解】（1）解：把和代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：， ， 即， 令，则， 解得：或3， ， ， ， ， ， 点为第四象限抛物线上的动点， ， 当， 解得， 或． （3）解：设直线的解析式为， 将，代入：， 解得：， 直线的解析式为， ，， ， 过点作轴交直线于点，如图所示： ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，，， ，， ，， ，， ， ， 当时，有最大值，最大值为4． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，三角形面积公式，二次函数与线段和最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 8．（2025·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点和点 B， 与y轴交于点 C． (1)求a的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，， 求点M的坐标； (3)在直线上方的抛物线上有一动点 P，过点P作于点E， 作交于点 F．当的周长有最大值时，求点 P 的坐标和的周长． 【答案】(1)； (2)； (3)P( ， )；． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，构造二次函数求三角形面积的最大值，熟练掌握抛物线的性质，待定系数法，构造二次函数求最值是解题的关键． （1）运用待定系数法解答计算即可． （2）首先求出二次函数的解析式得出点A，B，C，的坐标，)设， 作轴于点H，构造直角三角形，利用锐角三角函数建立关于m的方程求解即可; （3）连接，，．设，结合的周长为，得当的值最大时，的周长最大，利用求得最值，代入计算即可． 【详解】（1）∵抛物线经过点， ∴， 解得， （2）∵， ∴二次函数表达式为：， 令，解得或， 令得， ∴，，． ∴， 设， 作轴于点H，如图， ∵， ∴，即， ∴ 解得或（舍去）， ∴， ∴M的坐标为； （3）设直线的解析式为，， 则， 解得：． ∴直线的解析式为． 连接，，． 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的周长为， ∴当的值最大时，的周长最大， ∵ ， ∵， ∴时，的面积最大，面积的最大值为，，根据是定值，故此时的值最大， ∵， ∴， ∴的周长的最大值：，此时． 1．（2025·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，下列结论错误的是（   ） A． B．点关于轴的对称点的坐标为 C．点到两坐标轴的距离之和等于 D．点向上平移个单位，再向左平移个单位后所得点 的坐标为 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，坐标确定位置，解元一次不等式组，根据第二象限内点的坐标特征列出不等式组是解题的关键． 根据第二象限内点的坐标特征列出不等式组，求出的取值范围，即可判断；根据关于轴对称的点的坐标特征即可判断；根据点到坐标轴的距离的定义即可判断，根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减即可判断． 【详解】解：、∵点在第二象限， ∴，解得：，原选项正确，不符合题意； 、∵点， ∴点关于轴的对称点的坐标为，原选项正确，不符合题意； 、∵点在第二象限， ∴点到轴的距离等于，点到轴的距离等于， ∴点到两坐标轴的距离之和等于，原选项正确，不符合题意； 、∵点， ∴点向上平移个单位，再向左平移个单位后所得点的坐标为，即，原选项错误，符合题意； 故选：． 2．（2025·湖南常德·一模）如图，已知直线过点，点，若抛物线（a为常数，）与线段有两个不同的公共点，则a的取值范围是（    ）    A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】先令，根据有两个交点求出a的取值范围，再分和两种情况讨论．本题考查了二次函数和一次函数的综合问题，涉及到函数的图像和性质，灵活运用所学知识是解题关键． 【详解】解：令， 整理得：， 由题意得：， 解得：， 当时，如图所示，      此时函数的对称轴在y轴左侧， 当抛物线过点A时，为两个函数有两个交点的临界点， 将点A的坐标代入抛物线得：， 解得：， 故； 当时，如图所示，    此时函数的对称轴在y轴右侧， 当抛物线过点B时，为两个函数有两个交点的临界点， 将点B的坐标代入抛物线得：， 解得：， 故， ∴， 综上所述：或， 故选：B． 3．（2025·湖南张家界·一模）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）1米，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是（　　） A．6米 B．5米 C．4米 D．1米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．用待定系数法求出二次函数解析式，再令，算出x的值，即可解答． 【详解】解：由图可知抛物线的顶点为， 设水流形成的抛物线为， 将点代入可得 ∴抛物线为 当时，， 解得（舍去）或， ∴水流喷射的最远水平距离是5米， 故选：B． 4．（2025·湖南岳阳·一模）我们约定：在平面直角坐标系中，与轴有交点的函数称为“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”．例如：函数与轴的交点坐标是，所以函数是“零点函数”， 是该函数的“零点”．则下列结论正确的是（  ） ①对于反比例函数，存在实数使得该函数是零点函数； ②对于一次函数，不论为何值，该函数始终存在唯一的零点； ③若二次函数的两个零点互为相反数，则且； ④若二次函数的两个零点为，，且，则 A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查了新定义——“零点函数”，“零点”．熟练掌握新定义，一次函数，二次函数，反比例函数的图象和性质，一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键． 根据“零点函数”，“零点”的意义，一次函数，二次函数，反比例函数的图象和性质，一元二次方程根与系数的关系，逐一判断，即得． 【详解】解：①∵反比例函数与x轴不相交， ∴不存在零点， ∴不存在实数使得该函数是零点函数； ∴①不正确； ②∵时，， ∴一次函数的零点为； ∴②正确； ③设二次函数与x轴的两个交点为， ∵二次函数的两个零点互为相反数， ∴， ∴且互为相反数； ∴③不正确； ④∵二次函数的两个零点为，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴④正确． 故选：D． 5．（2025·湖南娄底·一模）在2025年春晚上，舞蹈节目《秧》由16台人形机器人与16名新疆艺术学院的舞蹈演员共同表演，大放异彩．如图所示，机器人小数在平面直角坐标系中从A点开始，按顺序沿循环舞动跳8字舞，它舞动的路径由两个全等菱形拼接而成，已知菱形的边长为1米，，点B的坐标为．若机器人小数从点出发，舞动了100米时所在位置的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，点坐标规律探究，数形结合是解答本题的关键．作于点H，求出舞动了100米时所在位置是点E．求出米，米，进而可求出点E的坐标． 【详解】解：作于点H， ∵， ∴舞动了100米时所在位置是点E． ∵菱形的边长为1米，， ∴米， ， ∴米，米， ∴点E的横坐标为，纵坐标为， ∴点E的坐标为， ∴舞动了100米时所在位置的坐标是． 故答案为：． 6．（2025·湖南张家界·一模）在泡菜腌制的过程中，亚硝酸盐的含量会随着时间的推移而发生变化．一般来说，腌制初期亚硝酸盐含量较低，到达一个峰值后又逐渐下降．这个变化曲线近似于抛物线．假设腌制时间（单位：天）与亚硝酸盐含量（单位：毫克/千克）之间的关系可以用函数来表示，其中是腌制时间，是对应的亚硝酸盐含量．根据实验数据，我们得到以下结论： ①腌制开始（第天）时，亚硝酸盐含量为毫克/千克； ②腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克； ③腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克． 因此，泡菜腌制过程中第 天亚硝酸盐含量最高． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是求出二次函数的解析式．先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：将点、、代入中得： ， 解得：， ， ， 当时，有最大值为，即泡菜腌制过程中第天亚硝酸盐含量最高， 故答案为：． 7．（2025·湖南岳阳·一模）如图，这是某校的平面示意图，如以正东为轴正方向，正北为轴正方向建立平面直角坐标系后，得到初中楼的坐标是，实验楼的坐标是． (1)坐标原点应为______的位置． (2)在图中画出此平面直角坐标系；（只需画出轴，轴，标出原点） (3)图书馆的坐标是______； (4)若宿舍楼的坐标是，请在图上标出点． 【答案】(1)高中楼 (2)见解析 (3) (4)见解析 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，正确建立坐标系是解题的关键． （1）根据初中楼和实验楼的坐标，建立坐标系即可得到答案； （2）由（1）即可得到答案； （3）根据坐标系中的位置即可得到答案， （4）根据坐标系解答即可． 【详解】（1）解：∵初中楼的坐标是，实验楼的坐标是， ∴坐标原点在初中楼右边4个单位，下方2个单位处，即坐标原点应为高中楼的位置， 故答案为：高中楼 （2）解：根据坐标原点在高中楼，建立平面直角坐标系，如图所示： （3）解：由坐标系可知，图书馆的坐标为， 故答案为： （4）解：宿舍楼如图所示： 8．（2025·湖南常德·一模）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售高于1750千克时，均以固定价格42.5元销售．设一次性销售利润为y元，一次性销售量为x千克． (1)当一次性销售量为800千克时，求利润为多少元？ (2)当一次性销售量为时，求一次性销售利润y的最大值． 【答案】(1)16000元 (2)22500元 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据等量关系列出函数解析式是解题的关键． （1）根据利润的表示方法代数求解即可； （2）根据题意表示出一次性销售量时的利润，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，当时，， 当一次性销售量为800千克时利润为16000元； （2）一次性销售量时， 销售价格为， ， ，， 当时，有最大值，最大值为， 一次性销售量时的最大利润为22500元． 9．（2025·湖南长沙·一模）定义：象限内到两坐标轴距离相等的点，我们称为“等距点”.比如：，， 都是“等距点”. (1)求反比例函数. 图象上的“等距点”坐标； (2) A、B是一次函数 图象上的“等距点”，O为坐标原点，若 的面积为3，求一次函数的解析式； (3)二次函数 (a、b、c为常数,) 的图象经过点 且其图象上有且仅有三个“等距点”，它们的横坐标依次记为 求 的值或取值范围. 【答案】(1) (2)或； (3)当时，；当时， 【分析】（1）设“等距点”的坐标为，根据反比例函数解析式得出，求出或（舍去），即可得出答案； （2）设，，根据函数解析式得出，，求出，，求出直线与x轴交点C的坐标为，根据，求出m的值即可得出答案． （3）根据二次函数 (a、b、c为常数,) 的图象经过点 ，求出，，根据二次函数图象上有且仅有三个“等距点”，得出，，求出或，比较大小得出，分三种情况：当时，当时，当时，确定、，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数. 图象在第一象限， ∴设“等距点”的坐标为， ∴， 解得：或（舍去）， ∴反比例函数. 图象上的“等距点”坐标为； （2）解：设，，则： ，， 解得：，， ∴，， 把代入得：， 解得：， ∴直线与x轴交点C的坐标为， 即， 解得：， ∴一次函数解析式为：或； （3）解：∵二次函数 (a、b、c为常数,) 的图象经过点 ， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴二次函数解析式为：， 当“等距点”的坐标横纵坐标相同时，， 整理得：， 此时， 当“等距点”的坐标横纵坐标互为相反数时，， 整理得：， 此时， ∵， ∴， ∵二次函数图象上有且仅有三个“等距点”， ∴，， ∴， ∴， ∴方程的解为： 或， 方程的解为： ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ， 当时，，即， 此时，， ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，，，，只存在两个“等距点”，不符合题意； 当时，，即， 此时，， ， ∴当时，； 综上分析可知：当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，一次函数的应用，反比例函数的应用，新定义，解题的关键是掌握新定义，注意进行分类讨论． 10．（2025·湖南长沙·一模）为全面贯彻落实“双减”政策，减轻学生负担，提高学生思维能力，数学学科命名一种“双减点”，定义如下：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点，则称点P为函数图象上的“双减点”． (1)判断直线上是否有“双减点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由． (2)若反比例函数的图象上存在两个“双减点”C、D，且，请求出k的值． (3)已知抛物线上存在唯一的“双减点”，且当时，n的最小值为t，求t值． 【答案】(1)有，“双减点” (2) (3)或 【分析】本题为函数综合题，考查了二次函数的性质，反比例函数与一次函数，利用二次函数的性质分类讨论是解题的关键． （1）利用“双减点”的概念，代入，解方程即可； （2）由题意得“双减点”P在直线上，设点C、D坐标分别为，，列方程，用根与系数的关系即可解答； （3）列方程，根据根的判别式，可得之间的关系，即可解答． 【详解】（1）解：令， 解得， ， 存在“双减点”； （2）解：“双减点”P在直线上， 设点C、D坐标分别为，， 令化简得， ，且直线与轴的夹角为， ， 由根与系数的关系可得，， ， ， 解得：，此时的， ； （3）解：令，由于“双减点”唯一， 此方程，， 即，n为m的二次函数 当时，n的最小值为t， 若，则，此时t无解； 若，则，解得：， 若，则，解得：，（不合题意舍去）， 综上，或. 11．（2025·湖南长沙·一模）某网店购进水果后再销售．甲种水果每件的进价是乙种水果每件的进价的倍，花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件． (1)求甲、乙两种水果每件的进货单价； (2)若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价每件60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由． 【答案】(1)乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元 (2)购进甲种水果件，购进乙种水果件，最大利润为元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用，理解题意，正确列出分式方程，求出一次函数的解析式是解此题的关键． （1）设乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可得解； （2）设购进甲种水果件，则购进乙种水果件，由题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出，设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为元，则，再由一次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：设乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， ∴乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元； （2）解：设购进甲种水果件，则购进乙种水果件， 由题意可得：， 解得：， 设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为元， 由题意可得：， 则， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时， ∴利润最大的进货方案为：购进甲种水果件，购进乙种水果件，最大利润为元． 12．（2025·湖南长沙·一模）若直线与函数的图象存在至少一个交点，则称该函数是直线的“关联函数”，它们的交点叫做“关联点”．已知点的坐标为． (1)若直线为：，它的“关联函数”的图象也是一条直线：，求“关联点”点的坐标； (2)若直线，它的“关联函数”为：，且“关联点”只有一个恰好是点，求和的值； (3)若抛物线，满足：对于抛物线上的任意两点，，当时，始终成立．且抛物线是直线的“关联函数”，“关联点”也是点和另一点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求的值． 【答案】(1)； (2)，或，； (3)． 【分析】（）联立，然后解出方程的解即可； （）联立联立，得，然后分当时和当时两种情况，求出的值即可； （）由时，始终成立，则抛物线的对称轴为直线，即，由关联点的坐标为，则抛物线解析式为，直线解析式为，联立，求出点的坐标为，设圆的半径为，又圆恰好与轴相切，则，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：联立， 解得:， ∴； （2）∵直线的“关联函数”为且“关联点”只有一个恰好是点， ∴， ∴，， 联立， 得， 当时， ∴， 当时， ∴， ∴； ∴， 综上可知：，或，； （3）解：∵当时，始终成立， ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∴， ∵关联点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵抛物线解析式为，直线解析式为， 联立， 整理得， ∵， ∴解得：，， ∴点的坐标为， 设圆的半径为， ∵以为直径的圆，点的坐标为， ∴，圆心坐标为， ∵圆恰好与轴相切， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义下的二次函数的综合运用，理解新定义，切线的性质，二次函数与一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 13．（2025·湖南长沙·一模）定义：若一次函数和反比例函数交于两点和，满足，则称为一次函数和反比例函数的“属合成”函数． (1)试判断一次函数与是否存在“属合成”函数？若存在，求出的值及“属合成”函数；若不存在，请说明理由； (2)已知一次函数与反比例函数交于两点，它们的“属合成”函数为，若点在直线上，求的解析式； (3)如图，若与的“2属合成”函数的图象与轴交于两点（在点左侧），它的顶点为，为第三象限的抛物线上一动点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，射线与射线交于点，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1)存在，，“属合成”函数解析式为 (2)的解析式为或 (3) 【分析】（1）根据“属合成”函数的定义，联立方程组求解即可； （2）设两函数图象的交点横坐标为和，根据一元二次方程根与系数的关系得到，根据存在“属合成”函数为，得到，即，可求出，再分类讨论计算即可； （3）根据题意，结合（2）的计算方法得到，“2属合成”函数解析式为，根据二次函数顶点坐标可得，，如图，作垂线和，可证，设，可求得，可证，求出，，点在以为圆心，为半径的圆上，设，根据数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：根据“属合成”函数的定义，联立方程组得， 解得，或， ∴两函数图象的交点为和， ∵， ∴， ∴， ∴它们存在“属合成”函数， ∵， ∴“属合成”函数解析式为． （2）解：设一次函数与反比例函数的两个交点为， ∴的解为和，即， ∴， ∵存在“属合成”函数为， ∴，即， ∴， ∴． ①当时， 联立， 解得， ∴， 把点代入解得（舍）， ∴； ②当时， 联立， 解得或， ∴， 把点代入，解得或（舍）， ∴， 综上，的解析式为或． （3）解：∵与存在“2属合成”函数， ∴根据（2）的计算可得，则，设其两个根为， ∴， ∴，则， ∴， ∴“2属合成”函数解析式为， ∵的顶点为， ∴， ∴， 如图，分别过点和作轴和轴的垂线和，相交于点，则 ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， 又， ∴， 设，可求得， 由可求得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， 设， ， 解得或（舍）， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，定义新运算，二元一次方程组求解，一元二次方程根与系数的关系，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，数形结合分析思想是解题的关键． 14．（2025·湖南长沙·一模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上位于直线上方的动点，过点作的垂线，垂足为，交于点． ①求的最大值； ②连接，若与相似，求点坐标； ③若点运动到抛物线顶点位置，过点作的垂线，垂足为．过点的直线与抛物线交于两点，直线分别交轴于点．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②或；③是定值，16 【分析】（1）两点式设出函数解析式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）①求出直线的解析式，设出点坐标，将的长转化为二次函数求最值即可； ②易得为等腰直角三角形，根据相似得到也为等腰直角三角形，分两种情况进行讨论求解即可； ③求出的坐标，设过点的直线为：，联立直线和抛物线的解析式，求出的坐标，设过点的直线的解析式为，分别求出点的坐标，进而求出的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点， ∴设抛物线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∴； （2）设， ①∵，， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，得值最大为：； ②∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴当与相似时，也为等腰直角三角形： 当时，则：， ∴轴， 即：关于对称轴对称， ∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴； 当时，过点作，则：， 由①知：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 综上：或； ③是定值： ∵， ∴， ∴，， 由②可知：， 设过点的直线为：， 联立 ，解得： 或， 不妨设，， 设过点的直线解析式为：， 当时，， 把代入，得：， 解得：， ∴， 同理：当点在上时， ∴， 由题意可知：点分别在点的两旁， 不妨设点在点的左边，点在点的右边， 则：，， ∴； ∴是定值，为16． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，求二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，求函数与坐标轴的交点问题等知识点，综合性强，计算量大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数 题型概览 题型01 一次函数的图象、性质与应用 题型02 反比例函数的图象与性质 题型03 反比例函数与一次函数的综合 题型04 反比例函数的应用 题型05 二次函数的图象、性质与应用 题型06 二次函数的综合 ( 题型0 1 ) 一次函数的图象、性质与应用 1．（2025·湖南株洲·一模）已知点是直线上一点，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 2．（2025·湖南长沙·一模）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南长沙·一模）已知一次函数的图象经过点，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 4．（2025·湖南岳阳·一模）点、是直线上的两点，则 （填“”或“”或“”）． 5．（2025·湖南·一模）湖南茶陵是中华茶文化的发源地之一，茶陵县也是中国历史上唯一以茶命名的行政县，相传炎帝神农氏在这里发现了茶，并被称为“茶祖”，湖南不仅在茶文化上有重要地位，其茶叶品种也非常丰富，其所产的君山银针和古丈毛尖更是享誉全国，某茶庄主要经营的茶类有君山银针和古丈毛尖，其中君山银针卖得比较好的是A规格的，古丈毛尖卖得比较好的是B规格的，它们的进价和售价如下表： 种类 君山银针A规格 古丈毛尖B规格 进价（元/斤） 160 500 售价（元/斤） 200 600 该茶庄计划购进这两种规格的茶共100斤． (1)若该茶庄购进这两种规格的茶共花费29600元，求该茶庄购进A，B两种规格的茶各多少斤？ (2)根据市场销售分析，A规格茶的进货量不低于B规格茶进货量的3倍．问：该茶庄如何进货才能使本次购进的茶全部销售完获得的利润最大？最大利润是多少元？ 6．（2025·湖南长沙·一模）为了进一步抓好“三农”工作，助力乡村振兴，某经销商计划从建档贫困户家购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品3件，B种农产品2件，共需660元；购进A种农产品4件，B种农产品1件，共需630元． (1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 7．（2025·湖南·一模）如图，在矩形中，点A，C的坐标分别为，点B，D在x轴上，O是坐标原点，直线与相交于点E． (1)求直线，的解析式； (2)求的值． ( 题型0 2 ) 反比例函数的图象与性质 1．（2025·湖南·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南娄底·一模）关于反比例函数 ，下列说法错误的是（   ） A．图像经过点 B．图像位于第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， ( 题型0 3 ) 反比例函数与一次函数的综合 1．（2025·湖南岳阳·一模）如图，反比例函数的图象经过，两点，直线与轴相交于点，是线段上一点．连接，记，的面积分别为，，若，且，则的值为（   ） A．18 B．17 C．15 D．16 2．（2025·湖南衡阳·一模）如图，直线与双曲线在第一象限内交于点，过点作轴于点，若，则的值为 ． ( 题型0 4 ) 反比例函数的应用 1．（2025·河北沧州·一模）力作用于物体，产生的压强与物体受力面积之间满足，在某次实验中，当一定时，关于的函数图象如图所示．若压强由40增压至60，则物体受力面积（   ） A．减小了 B．增大了 C．减小了 D．增大了 2．（2025·湖南湘潭·一模）已知近视眼镜的度数（度）与镜片焦距满足反比例函数，当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为，则 ． 3．（2025·湖南张家界·一模）验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，眼镜度数为500度，经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距变为米，此时眼镜的度数为 度． 4．（2025·湖南岳阳·一模）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数，）．若某乐器的弦长l为米，振动频率f为200赫兹，则k的值为 ． 5．（2025·湖南郴州·一模）一辆客车从地出发前往地，平均速度（千米小时）与所用时间（小时）的函数关系如图所示，其中． (1)求与的函数关系式； (2)客车上午点从地出发，客车需在当天点至点分（含点与点分）间到达地，求客车行驶速度的取值范围． ( 题型0 5 ) 二次函数的图象、性质与应用 1．（2025·湖南株洲·一模）对于二次函数的图像性质，下列说法不正确的是（   ） A．开口向上 B．过定点 C．有最小值 D．与轴一定有交点 2．（2025·湖南岳阳·一模）对于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．函数的最大值是5 C．顶点坐标 D．当时，随的增大而增大 3．（2025·湖南郴州·一模）把抛物线向右平移个单位再向下平移个单位，得到的抛物线的表达式为 ． 4．（2025·湖南长沙·一模）北京时间2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水女子10米台决赛的较量中，中国选手全红婵以425.60分夺得金牌．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系式． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下表： 水平距离/m 6 7 7.5 竖直高度/m 10 10 6.25 根据上述数据，求出与的函数关系式； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，设她平时训练时入水点与原点的水平距离为m，比赛当天入水点与原点的水平距离为m，请比较与的大小． ( 题型 06 ) 二次函数的综合 1．（2025·湖南长沙·一模）如图，在菱形中，，点分别是上的动点，满足，连接与交于点． (1)求的度数； (2)填空： ①______________，②______________，③______________； (3)记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为． ①若，求的值； ②试判断的值是否存在最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． 2．（2025·湖南株洲·一模）二次函数与轴相交于，两点，与轴交于点，它的对称轴是直线． (1)求此二次函数的解析式和点的坐标； (2)如图1，是轴右侧的抛物线上一点，连接与拋线线的对称轴交于点，过点作于点，连接．是否存在点，使与全等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)如图2，连接，是轴上正半轴上一点，以为半径作，若与线段只有一个公共点，求的取值范围． 3．（2025·湖南衡阳·一模）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一动点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，连接，并延长交轴于点，连接，交轴于点．点在运动过程中，的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． (3)将该抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到如图2所示的抛物线刚好经过点，点为抛物线对称轴上一点．在平面内确定一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形． 4．（2025·湖南·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，设的对称轴为直线． (1)求的值； (2)设与轴的交点为，，曲线是与关于轴对称的抛物线，若，求的解析式及顶点坐标； (3)在（2）的条件下，设在的对称轴左侧有直线轴，且与和分别交于点，另有一条直线轴，且与和分别交于点，当四边形是正方形时，求点的坐标及正方形的边长． 5．（2025·湖南岳阳·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，过平面上一点作任意一条直线交抛物线于两点，过点作直线，分别交轴于两点，试探究与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 6．（2025·湖南湘西·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交点，连接．若点P是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接交于点，当时，求点P的坐标； (3)设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，设．求出关于的函数解析式 7．（2025·湖南湘潭·一模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点为第四象限抛物线上的点，连接、、、，且和相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标． (3)如图2，设点，是直线下方抛物线上的两动点，且，过点作轴，交于点，过点作，交于点．求的最大值． 8．（2025·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点和点 B， 与y轴交于点 C． (1)求a的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，， 求点M的坐标； (3)在直线上方的抛物线上有一动点 P，过点P作于点E， 作交于点 F．当的周长有最大值时，求点 P 的坐标和的周长． 1．（2025·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，下列结论错误的是（   ） A． B．点关于轴的对称点的坐标为 C．点到两坐标轴的距离之和等于 D．点向上平移个单位，再向左平移个单位后所得点 的坐标为 2．（2025·湖南常德·一模）如图，已知直线过点，点，若抛物线（a为常数，）与线段有两个不同的公共点，则a的取值范围是（    ）    A． B．或 C．或 D． 3．（2025·湖南张家界·一模）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）1米，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是（　　） A．6米 B．5米 C．4米 D．1米 4．（2025·湖南岳阳·一模）我们约定：在平面直角坐标系中，与轴有交点的函数称为“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”．例如：函数与轴的交点坐标是，所以函数是“零点函数”， 是该函数的“零点”．则下列结论正确的是（  ） ①对于反比例函数，存在实数使得该函数是零点函数； ②对于一次函数，不论为何值，该函数始终存在唯一的零点； ③若二次函数的两个零点互为相反数，则且； ④若二次函数的两个零点为，，且，则 A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 5．（2025·湖南娄底·一模）在2025年春晚上，舞蹈节目《秧》由16台人形机器人与16名新疆艺术学院的舞蹈演员共同表演，大放异彩．如图所示，机器人小数在平面直角坐标系中从A点开始，按顺序沿循环舞动跳8字舞，它舞动的路径由两个全等菱形拼接而成，已知菱形的边长为1米，，点B的坐标为．若机器人小数从点出发，舞动了100米时所在位置的坐标是 ． 6．（2025·湖南张家界·一模）在泡菜腌制的过程中，亚硝酸盐的含量会随着时间的推移而发生变化．一般来说，腌制初期亚硝酸盐含量较低，到达一个峰值后又逐渐下降．这个变化曲线近似于抛物线．假设腌制时间（单位：天）与亚硝酸盐含量（单位：毫克/千克）之间的关系可以用函数来表示，其中是腌制时间，是对应的亚硝酸盐含量．根据实验数据，我们得到以下结论： ①腌制开始（第天）时，亚硝酸盐含量为毫克/千克； ②腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克； ③腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克． 因此，泡菜腌制过程中第 天亚硝酸盐含量最高． 7．（2025·湖南岳阳·一模）如图，这是某校的平面示意图，如以正东为轴正方向，正北为轴正方向建立平面直角坐标系后，得到初中楼的坐标是，实验楼的坐标是． (1)坐标原点应为______的位置． (2)在图中画出此平面直角坐标系；（只需画出轴，轴，标出原点） (3)图书馆的坐标是______； (4)若宿舍楼的坐标是，请在图上标出点． 8．（2025·湖南常德·一模）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售高于1750千克时，均以固定价格42.5元销售．设一次性销售利润为y元，一次性销售量为x千克． (1)当一次性销售量为800千克时，求利润为多少元？ (2)当一次性销售量为时，求一次性销售利润y的最大值． 9．（2025·湖南长沙·一模）定义：象限内到两坐标轴距离相等的点，我们称为“等距点”.比如：，， 都是“等距点”. (1)求反比例函数. 图象上的“等距点”坐标； (2) A、B是一次函数 图象上的“等距点”，O为坐标原点，若 的面积为3，求一次函数的解析式； (3)二次函数 (a、b、c为常数,) 的图象经过点 且其图象上有且仅有三个“等距点”，它们的横坐标依次记为 求 的值或取值范围. 10．（2025·湖南长沙·一模）为全面贯彻落实“双减”政策，减轻学生负担，提高学生思维能力，数学学科命名一种“双减点”，定义如下：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点，则称点P为函数图象上的“双减点”． (1)判断直线上是否有“双减点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由． (2)若反比例函数的图象上存在两个“双减点”C、D，且，请求出k的值． (3)已知抛物线上存在唯一的“双减点”，且当时，n的最小值为t，求t值． 11．（2025·湖南长沙·一模）某网店购进水果后再销售．甲种水果每件的进价是乙种水果每件的进价的倍，花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件． (1)求甲、乙两种水果每件的进货单价； (2)若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价每件60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由． 12．（2025·湖南长沙·一模）若直线与函数的图象存在至少一个交点，则称该函数是直线的“关联函数”，它们的交点叫做“关联点”．已知点的坐标为． (1)若直线为：，它的“关联函数”的图象也是一条直线：，求“关联点”点的坐标； (2)若直线，它的“关联函数”为：，且“关联点”只有一个恰好是点，求和的值； (3)若抛物线，满足：对于抛物线上的任意两点，，当时，始终成立．且抛物线是直线的“关联函数”，“关联点”也是点和另一点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求的值． 13．（2025·湖南长沙·一模）定义：若一次函数和反比例函数交于两点和，满足，则称为一次函数和反比例函数的“属合成”函数． (1)试判断一次函数与是否存在“属合成”函数？若存在，求出的值及“属合成”函数；若不存在，请说明理由； (2)已知一次函数与反比例函数交于两点，它们的“属合成”函数为，若点在直线上，求的解析式； (3)如图，若与的“2属合成”函数的图象与轴交于两点（在点左侧），它的顶点为，为第三象限的抛物线上一动点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，射线与射线交于点，连接，若，求点的坐标． 14．（2025·湖南长沙·一模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上位于直线上方的动点，过点作的垂线，垂足为，交于点． ①求的最大值； ②连接，若与相似，求点坐标； ③若点运动到抛物线顶点位置，过点作的垂线，垂足为．过点的直线与抛物线交于两点，直线分别交轴于点．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$