专题02 方程（组）与不等式（组）（6题型）（湖南专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题02 方程（组）与不等式（组） 题型概览 题型01 一次方程（组）的概念与解法 题型02 一次方程（组）的应用 题型03 分式方程的概念、解法与应用 题型04 一元二次方程的概念、解法与应用 题型05 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 题型06 一元一次不等式（组） ( 题型01 ) 一次方程（组）的概念与解法 1．（2025·湖南衡阳·一模）方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南岳阳·一模）已知是方程组的解，则的值为（  ） A．3 B．2 C．-2 D．-3 3．（2025·湖南岳阳·一模）已知方程组的解为，则方程组的解为 ． 4．（2025·湖南岳阳·一模）（1）解方程：     （2）解方程组： 5．（2025·湖南湘西·一模）解方程组： 6．（2025·湖南·一模）解方程组：． ( 题型02 ) 一次方程（组）的应用 1．（2025·湖南长沙·一模）如图，某小区进行项目改造：在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮，如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边； (1)求通道的宽是多少m? (2)如果通道造价为40元/，草坪造价为100元/，只考虑通道和草坪的造价，不考虑人工等其他费用的前提下，完成该项目需要多少钱? 2．（2025·湖南·一模）湖南茶陵是中华茶文化的发源地之一，茶陵县也是中国历史上唯一以茶命名的行政县，相传炎帝神农氏在这里发现了茶，并被称为“茶祖”，湖南不仅在茶文化上有重要地位，其茶叶品种也非常丰富，其所产的君山银针和古丈毛尖更是享誉全国，某茶庄主要经营的茶类有君山银针和古丈毛尖，其中君山银针卖得比较好的是A规格的，古丈毛尖卖得比较好的是B规格的，它们的进价和售价如下表： 种类 君山银针A规格 古丈毛尖B规格 进价（元/斤） 160 500 售价（元/斤） 200 600 该茶庄计划购进这两种规格的茶共100斤． (1)若该茶庄购进这两种规格的茶共花费29600元，求该茶庄购进A，B两种规格的茶各多少斤？ (2)根据市场销售分析，A规格茶的进货量不低于B规格茶进货量的3倍．问：该茶庄如何进货才能使本次购进的茶全部销售完获得的利润最大？最大利润是多少元？ 3．（2025·湖南衡阳·一模）《哪吒2》以细腻的笔触生动描绘了哪吒的成长历程，情感真挚而动人，故事情节跌宕起伏，扣人心弦．在电影的热潮中，哪吒与敖丙玩具也火热登场．已知：购买2个哪吒玩具和1个敖丙玩具需要80元，购买1个哪吒玩具和2个敖丙玩具需要70元，问： (1)哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是多少元？ (2)若小军现有200元，他想购买哪吒和敖丙玩具共8个，则小军最多可以购买哪吒玩具多少个？ 4．（2025·湖南长沙·一模）为了进一步抓好“三农”工作，助力乡村振兴，某经销商计划从建档贫困户家购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品3件，B种农产品2件，共需660元；购进A种农产品4件，B种农产品1件，共需630元． (1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ ( 题型03 ) 分式方程的概念、解法与应用 1．（2025·湖南湘潭·一模）方程的解为 ． 2．（2025·湖南常德·一模）若，则 ． 3．（2025·湖南株洲·一模）某商场准备采购智能手表和蓝牙耳机进行促销，智能手表的单价是蓝牙耳机的4倍，用2400元单独购买智能手表比单独购买蓝牙耳机少12个． (1)求智能手表和蓝牙耳机的单价； (2)若计划采购两种产品共60个，且智能手表数量不少于蓝牙耳机的，如何采购可使总成本最低？最低成本是多少元？ 4．（2025·湖南湘潭·一模）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在中国哈尔滨市刚刚落幕，中国代表团以32金27银26铜取得了金牌和奖牌双第一名的优异成绩．本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某批发市场门店销售“滨滨”和“妮妮”两种纪念品，若一个“妮妮”纪念品的价格比一个“滨滨”纪念品的价格多30元，且用600元购买“滨滨”纪念品的数量与用900元购买“妮妮”纪念品的数量相等． (1)“滨滨”和“妮妮”两种纪念品的单价分别是多少元？ (2)某商店计划购进“滨滨”和“妮妮”两种纪念品共30个，若进货总支出不超过2000元，求最多可以购进“妮妮”纪念品多少个？ 5．（2025·湖南岳阳·一模）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．已知种植1亩甲作物所需学生比种植1亩乙作物所需学生多1人，且25名学生种植甲作物的亩数与20名学生种植乙作物的亩数相等．根据以上信息，解答下列问题： (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过44人，最多种植甲作物多少亩？ 6．（2025·湖南·一模）今年我市的阳光玫瑰葡萄喜获丰收，阳光玫瑰葡萄一上市，水果店的王老板用2000元购进一批阳光玫瑰葡萄，很快售完；王老板又用3200元购进第二批阳光玫瑰葡萄，所购数量是第一批的2倍，但进价比第一批每千克少了2元． (1)第一批阳光玫瑰葡萄每千克的进价是多少元？ (2)王老板以每千克12元的价格销售第二批阳光玫瑰葡萄，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批阳光玫瑰葡萄的销售利润不少于1200元，剩余的阳光玫瑰葡萄每千克的售价最低打几折？（结果保留整数） ( 题型0 4 ) 一元二次方程的概念、解法与应用 1．（2025·湖南岳阳·一模）是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南岳阳·一模）某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（2025·湖南岳阳·一模）若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值是 ． 4．（2025·湖南岳阳·一模）解方程： 5．（2025·湖南衡阳·一模2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某玩具商店推出促销活动，已知吉祥物公仔每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， (1)若“巳升升”吉祥物的销售单价为45元，则当天销售量为_________件； (2)当该吉祥物公仔的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元； (3)该吉祥物公仔的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． ( 题型0 5 ) 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 1．（2025·湖南长沙·一模）已知关于x的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（   ） A． B．2 C．5 D． 2．（2025·湖南岳阳·一模）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 3．（2025·湖南衡阳·一模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 4．（2025·湖南·一模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，请你写出一个符合条件的整数k的值为 ． 5．（2025·湖南娄底·一模）已知方程的两个解分别为a，b，则 ． 6．（2025·湖南娄底·一模）若 的两个根为，则 ． 7．（2025·湖南岳阳·一模）定义：若关于的一元二次方程（）的两个实数根分别为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ( 题型0 6 ) 一元一次不等式（组） 1．（2025·湖南长沙·一模）不等式组的解集是 ． 2．（2025·湖南株洲·一模）已知点在轴上方，则的取值范围是 ． 3．（2025·湖南岳阳·一模）解不等式组，并在数轴上表示它的解集．    4．（2025·湖南永州·一模）解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得_______； (2)解不等式②，得_______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来． 5．（2025·湖南长沙·一模）解不等式组并写出它的非负整数解． 6．（2025·湖南长沙·一模）某网店购进水果后再销售．甲种水果每件的进价是乙种水果每件的进价的倍，花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件． (1)求甲、乙两种水果每件的进货单价； (2)若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价每件60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由． 1．（2025·湖南岳阳·一模）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南娄底·一模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南永州·一模）某校组织师生春游，如果单独租用45座的客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座的客车，可少租一辆，且余30个空座位，设全校师生共x人，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，下列结论错误的是（   ） A． B．点关于轴的对称点的坐标为 C．点到两坐标轴的距离之和等于 D．点向上平移个单位，再向左平移个单位后所得点 的坐标为 5．（2025·湖南岳阳·一模）我们约定：在平面直角坐标系中，与轴有交点的函数称为“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”．例如：函数与轴的交点坐标是，所以函数是“零点函数”， 是该函数的“零点”．则下列结论正确的是（  ） ①对于反比例函数，存在实数使得该函数是零点函数； ②对于一次函数，不论为何值，该函数始终存在唯一的零点； ③若二次函数的两个零点互为相反数，则且； ④若二次函数的两个零点为，，且，则 A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 6．（2025·湖南长沙·一模）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，..，，，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上(如图)，这五张卡片分别记为，，，，，张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大.下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是 (填，，，，) 卡片编号 两数的和 7．（2025·湖南邵阳·一模）在党的二十大报告中，强调了教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑．某校为提升教学质量，计划购买、两种型号的教学设备．已知购买台型设备和台型设备共需万元；购买台型设备和台型设备共需万元． (1)求型、型设备每台各是多少万元； (2)根据该校的实际情况，需购买、两种型号的教学设备共台，要求购买的总费用不超过万元，并且型设备的数量不少于型设备数量的，那么该校共有几种购买方案？ 8．（2025·湖南张家界·一模）如图是2023年一月份的日历： (1)若将“H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，请求出“H”形框中的七个数的和（用含x的代数式表示）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数，若不能，请说明理由； (3)用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是　　　　． 9．（2025·湖南岳阳·一模）仔细阅读下列材料． “分数均可化为有限小数或无限循环小数”．反之，“有限小数或无限循环小数均可化为分数” 例如：，或，， 反之，，或，那么怎么化为呢？ 解： 不妨设，则上式变为，解得即 根据以上材料，回答下列问题． (1)将“分数化为小数”：__________；__________． (2)将“小数化为分数”：__________；__________． (3)将小数化为分数，需写出推理过程． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 方程（组）与不等式（组） 题型概览 题型01 一次方程（组）的概念与解法 题型02 一次方程（组）的应用 题型03 分式方程的概念、解法与应用 题型04 一元二次方程的概念、解法与应用 题型05 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 题型06 一元一次不等式（组） ( 题型01 ) 一次方程（组）的概念与解法 1．（2025·湖南衡阳·一模）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． 利用解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【详解】解：， ， ； 故选：C． 2．（2025·湖南岳阳·一模）已知是方程组的解，则的值为（  ） A．3 B．2 C．-2 D．-3 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求参数，解题的关键是掌握方程组解的定义． 将代入方程组即可求的值． 【详解】解：将代入中的②式得： 解得 故选：A． 3．（2025·湖南岳阳·一模）已知方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据方程组的特点，理解整体思想是解题关键．先将方程变形为，根据方程组的解为得到，即可求出． 【详解】解：变形为， ∵方程组的解为， ∴， ∴． 故答案为： 4．（2025·湖南岳阳·一模）（1）解方程：     （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，熟知相关解方程和解方程组的方法是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可得到答案； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1） 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：； （2） 整理得： 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴原方程组的解为． 5．（2025·湖南湘西·一模）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，先消去求解，再求解即可． 【详解】解：， 得：③ 得：， 把代入①得：， 方程组的解：． 6．（2025·湖南·一模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，涉及加减消元法解二元一次方程组，将①②消去解得，从而代入②得到即可．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①②得； 将代入②得， 解得； 原方程组的解为． ( 题型02 ) 一次方程（组）的应用 1．（2025·湖南长沙·一模）如图，某小区进行项目改造：在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮，如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边； (1)求通道的宽是多少m? (2)如果通道造价为40元/，草坪造价为100元/，只考虑通道和草坪的造价，不考虑人工等其他费用的前提下，完成该项目需要多少钱? 【答案】(1)通道的宽是 (2)完成该项目需要20880元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设通道的宽为，由题意根据可列方程进行求解； （2）由（1）可得，然后得出通道和草坪面积，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设通道的宽为，由题意得： ， 解得：； 答：通道的宽是． （2）解：由（1）得：， ∴草坪的面积为，通道面积为， ∴（元）； 答：完成该项目需要20880元． 2．（2025·湖南·一模）湖南茶陵是中华茶文化的发源地之一，茶陵县也是中国历史上唯一以茶命名的行政县，相传炎帝神农氏在这里发现了茶，并被称为“茶祖”，湖南不仅在茶文化上有重要地位，其茶叶品种也非常丰富，其所产的君山银针和古丈毛尖更是享誉全国，某茶庄主要经营的茶类有君山银针和古丈毛尖，其中君山银针卖得比较好的是A规格的，古丈毛尖卖得比较好的是B规格的，它们的进价和售价如下表： 种类 君山银针A规格 古丈毛尖B规格 进价（元/斤） 160 500 售价（元/斤） 200 600 该茶庄计划购进这两种规格的茶共100斤． (1)若该茶庄购进这两种规格的茶共花费29600元，求该茶庄购进A，B两种规格的茶各多少斤？ (2)根据市场销售分析，A规格茶的进货量不低于B规格茶进货量的3倍．问：该茶庄如何进货才能使本次购进的茶全部销售完获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)该茶庄购进A规格的茶60斤，B规格的茶40斤； (2)该茶庄购进A规格的茶75斤，B规格的茶25斤时，全部销售完获得的利润最大，最大利润是5500元． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答 （1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元-次方程组，从而可以求得该茶庄购进4，B两种规格的茶各多少斤； （2）根据题意和表格中的数据，可以得到利润和购进A规格茶叶数量的函数关系式，然后根据A规格的进货量不低于B规格的3倍，可以得到购进A规格茶叶数量的取值范围，再根据最后根据一次函数的性质确定最大值． 【详解】（1）解：设该茶庄购进A规格的茶x斤，购进B规格的茶y斤，根据题意得． 根据题意，得 解得 答：该茶庄购进A规格的茶60斤，B规格的茶40斤． （2）设该茶庄购进A规格的茶m斤，则购进B规格的茶斤． 因为A规格茶的进货量不低于B规格茶进货量的3倍， 所以， 解得． 设该茶庄本次购进的茶全部销售完获得的利润为W元． 根据题意，得． 因为， 所以w随m的增大而减小． 又， 所以当时，w取得最大值，最大值为． 此时． 答：该茶庄购进A规格的茶75斤，B规格的茶25斤时，全部销售完获得的利润最大，最大利润是5500元． 3．（2025·湖南衡阳·一模）《哪吒2》以细腻的笔触生动描绘了哪吒的成长历程，情感真挚而动人，故事情节跌宕起伏，扣人心弦．在电影的热潮中，哪吒与敖丙玩具也火热登场．已知：购买2个哪吒玩具和1个敖丙玩具需要80元，购买1个哪吒玩具和2个敖丙玩具需要70元，问： (1)哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是多少元？ (2)若小军现有200元，他想购买哪吒和敖丙玩具共8个，则小军最多可以购买哪吒玩具多少个？ 【答案】(1)哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是30元和20元． (2)小军最多可以购买哪吒玩具4个． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是x元和y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设小军可以购买哪吒玩具m个，则购进敖丙玩具个，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是x元和y元， 由题意得：， 解得：， ∴哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是30元和20元． （2）解：设小军可以购买哪吒玩具m个，则购进敖丙玩具个， 由题意得：， 解得， ∴小军最多可以购买哪吒玩具4个． 4．（2025·湖南长沙·一模）为了进一步抓好“三农”工作，助力乡村振兴，某经销商计划从建档贫困户家购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品3件，B种农产品2件，共需660元；购进A种农产品4件，B种农产品1件，共需630元． (1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 【答案】(1)种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元 (2)当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数解析式，是解题的关键： （1）设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）购进件种农产品，则购进件种农产品，根据题意列出一元一次不等式组，求出，设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则，再由一次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 答：种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元； （2）解：购进件种农产品，则购进件种农产品， 根据题意得：， 解得：． 设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则 ，即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，此时． 答：当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多． ( 题型03 ) 分式方程的概念、解法与应用 1．（2025·湖南湘潭·一模）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的求解方法及步骤，注意去分母要两边同乘以，等式移项要变号． 根据分式方程的解题思路与方法直接解答即可． 【详解】解：方程 去分母得：， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 故答案为：． 2．（2025·湖南常德·一模）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 把整理得，解得，经检验是原方程的解，即可得到答案． 【详解】解： 整理得， 解得， 经检验是原方程的解， 故答案为：． 3．（2025·湖南株洲·一模）某商场准备采购智能手表和蓝牙耳机进行促销，智能手表的单价是蓝牙耳机的4倍，用2400元单独购买智能手表比单独购买蓝牙耳机少12个． (1)求智能手表和蓝牙耳机的单价； (2)若计划采购两种产品共60个，且智能手表数量不少于蓝牙耳机的，如何采购可使总成本最低？最低成本是多少元？ 【答案】(1)耳机单价150元，手表单价600元 (2)采购智能手表12个、蓝牙耳机48个时采购成本最低，最低成本为14400元 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用等，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键． （1）设蓝牙耳机单价为元，智能手表单价为元．依据“元单独买智能手表比单独买蓝牙耳机少个”这一条件列方程，求解并检验得出蓝牙耳机单价，进而求出智能手表单价． （2）设采购智能手表个，则蓝牙耳机个．先根据“智能手表数量不少于蓝牙耳机的”列不等式确定的取值范围，再根据单价列出总成本关于的函数表达式，利用一次函数性质求出最小值及对应的采购数量． 【详解】（1）解：设蓝牙耳机单价为x元，则智能手表的单价为元，根据题意得 解得： 经检验：是所列方程的解． 元， 答：蓝牙耳机单价为150元，智能手表单价为600元． （2）设采购智能手表m个，则蓝牙耳机采购个，根据题意得 ∵蓝牙耳机单价150元，智能手表单价600元； 设采购总成本为W元，则 ，， （元） 采购智能手表12个、蓝牙耳机48个时采购成本最低，最低成本为14400元． 4．（2025·湖南湘潭·一模）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在中国哈尔滨市刚刚落幕，中国代表团以32金27银26铜取得了金牌和奖牌双第一名的优异成绩．本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某批发市场门店销售“滨滨”和“妮妮”两种纪念品，若一个“妮妮”纪念品的价格比一个“滨滨”纪念品的价格多30元，且用600元购买“滨滨”纪念品的数量与用900元购买“妮妮”纪念品的数量相等． (1)“滨滨”和“妮妮”两种纪念品的单价分别是多少元？ (2)某商店计划购进“滨滨”和“妮妮”两种纪念品共30个，若进货总支出不超过2000元，求最多可以购进“妮妮”纪念品多少个？ 【答案】(1)“滨滨”纪念品单价为60元，“妮妮”纪念品的单价为90元 (2)最多可以购进“妮妮”纪念品6个 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确列出方程和不等关系是解题关键． （1）一个“滨滨”纪念品的价格为元，利用一个“妮妮”纪念品的价格比“一个“滨滨”纪念品价格多30元”得“妮妮”的单价为“”元，利用“用600元购买“滨滨”纪念品的数量与用900元购买“妮妮”纪念品的数量相等．”列出方程求解即可． （2）设购进设购买“妮妮”纪念品个，则购买“滨滨”纪念品个．根据此次进货的总资金不超过2000元，可列出不等式求解． 【详解】（1）设“滨滨”纪念品单价为元，则“妮妮”纪念品的单价为元． 根据题意得： 解得：， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， 则． 答：“滨滨”纪念品单价为60元，“妮妮”纪念品的单价为90元． （2）设购买“妮妮”纪念品个，则购买“滨滨”纪念品个． 根据题意得： 解得：． 因为为整数 所以的最大值为6． 答：最多可以购进“妮妮”纪念品6个． 本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，列不等式求最大值问题的运用，正确不等关系是解题关键． 5．（2025·湖南岳阳·一模）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．已知种植1亩甲作物所需学生比种植1亩乙作物所需学生多1人，且25名学生种植甲作物的亩数与20名学生种植乙作物的亩数相等．根据以上信息，解答下列问题： (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过44人，最多种植甲作物多少亩？ 【答案】(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、4名学生； (2)最多种植甲作物4亩 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用， （1）设种植1亩甲作物需要学生名，则种植1亩乙作物需要学生名，根据“25名学生种植甲作物的亩数与20名学生种植乙作物的亩数相等”列分式方程求解并检验即可； （2）设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，根据“所需学生人数不超过44人”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设种植1亩甲作物需要学生名，则种植1亩乙作物需要学生名， 根据题意，得 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意． 则（名） 答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、4名学生； （2）解：设种植甲作物亩，则种植乙作物亩， 根据题意，得： 解得， 答：最多种植甲作物4亩． 6．（2025·湖南·一模）今年我市的阳光玫瑰葡萄喜获丰收，阳光玫瑰葡萄一上市，水果店的王老板用2000元购进一批阳光玫瑰葡萄，很快售完；王老板又用3200元购进第二批阳光玫瑰葡萄，所购数量是第一批的2倍，但进价比第一批每千克少了2元． (1)第一批阳光玫瑰葡萄每千克的进价是多少元？ (2)王老板以每千克12元的价格销售第二批阳光玫瑰葡萄，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批阳光玫瑰葡萄的销售利润不少于1200元，剩余的阳光玫瑰葡萄每千克的售价最低打几折？（结果保留整数） 【答案】(1)第一批阳光玫瑰葡萄每千克的进价是元． (2)剩余的葡萄每件售价最少打8折 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设第一批葡萄每千克进价x元，则第二批葡萄的进价为元，然后根据“用3200元购进第二批阳光玫瑰葡萄，所购数量是第一批的2倍” 列出方程求解即可； （2）设剩余的葡萄每千克的售价打y折，根据总利润（售价进价）千克数列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设第一批葡萄每千克进价x元，则第二批葡萄的进价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， 答：第一批阳光玫瑰葡萄每千克的进价是元． （2）解：设剩余的葡萄每千克售价打y折．根据题意，得 得到． 答：剩余的葡萄每千克的售价最少打8折． ( 题型0 4 ) 一元二次方程的概念、解法与应用 1．（2025·湖南岳阳·一模）是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∴； 故选A． 2．（2025·湖南岳阳·一模）某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先把进行移项，再把二次项系数化1，然后配方，再解出的值，即可作答． 【详解】解：依题意，， 移项得， 整理得， ∴ ∴， ∴ ∴． 观察以及对比，得出错误是从乙同学负责的步骤开始出现的， 故选：B 3．（2025·湖南岳阳·一模）若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】2026 【分析】把代入得，再代入进行计算，即可作答．本题考查了一元二次方程的根的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的解， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 4．（2025·湖南岳阳·一模）解方程： 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法成为解题的关键． 直接运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， 或． 所以该方程组的解为：或． 5．（2025·湖南衡阳·一模2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某玩具商店推出促销活动，已知吉祥物公仔每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， (1)若“巳升升”吉祥物的销售单价为45元，则当天销售量为_________件； (2)当该吉祥物公仔的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元； (3)该吉祥物公仔的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】(1)230 (2)当该吉祥物公仔的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元． (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，根据题意知单价增加5元，则销量减少50件可得结果； （2）设销售单价为x元，则每件的销售利润为（x-30）元，每天可销售件，利用总利润=每件的销售利润×每天的销售量，可列出关于x的一元二次方程求解即可； （3）根据题意设该吉祥物公仔的销售单价为y元（），则当天的销售量为件，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该吉祥物的当天利润不能达到3700元． 【详解】（1）解：（件）． 故答案为：230． （2）解：设该吉祥物公仔的销售单价为x元（），则当天的销售量为件，依题意，得： ，    整理，得， 解得（不合题意，舍去），．    答：当该吉祥物公仔的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元． （3）解：不能，理由如下： 设该吉祥物公仔的销售单价为y元（），则当天的销售量为件， 依题意，得，   整理，得． 因为， 所以该方程无实数根，即该吉祥物公仔的当天销售利润不能达到3700元． ( 题型0 5 ) 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 1．（2025·湖南长沙·一模）已知关于x的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（   ） A． B．2 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．也考查了一元一次方程的解法．首先设方程的一根为，则另一根为，根据利用根与系数的关系求得值即可． 【详解】解：设方程的一根为，则另一根为， ， 解得：， 又， ， 解得：， 故选：C． 2．（2025·湖南岳阳·一模）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，根据方程有两个不相等的实数根求解即可得到答案； 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（2025·湖南衡阳·一模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得，进行计算即可得． 【详解】解：若关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 故答案为：1． 4．（2025·湖南·一模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，请你写出一个符合条件的整数k的值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．先求出的取值范围，再写出一个符合条件的的值即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴的值可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 5．（2025·湖南娄底·一模）已知方程的两个解分别为a，b，则 ． 【答案】2024 【分析】本题考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．根据一元二次方程的解及根与系数的关系得出，，变形后代入，即可求解． 【详解】解：方程的两个实数根为a、b， ，， ∴， 故答案为：2024． 6．（2025·湖南娄底·一模）若 的两个根为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若、是关于的方程的两个实数根，则．根据一元二次方程根与系数的关系得到即可得到答案． 【详解】解：∵、是关于的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2025·湖南岳阳·一模）定义：若关于的一元二次方程（）的两个实数根分别为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查了解一元二次方程、根的判别式，解题关键是理解题意并正确计算． （1）根据题意解出方程的两个根，再根据衍生点的定义即可求出M点坐标． （2）①利用根的判别式即可证明； ②先运用因式分解法整理得，再根据衍生点的定义即可写出M点坐标，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴两个根为， 根据题意衍生点的定义为横坐标和纵坐标得到点得的衍生点为． 故答案为：． （2）解：①证明：∵ ∴ ， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②， ∴， 解得：， ∴方程的衍生点M为； ( 题型0 6 ) 一元一次不等式（组） 1．（2025·湖南长沙·一模）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解不等式组，解题的关键在于准确解出每个不等式，找到公共的解集．先解第一个不等式，再解第二个不等式，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”这个规律求出不等式组的解集便可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 因此，原不等式组的解集为， 故答案为：． 2．（2025·湖南株洲·一模）已知点在轴上方，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了坐标系中点的坐标符号特点和一元一次不等式的解法，熟练掌握坐标轴上的点的坐标特点和各象限内的点的坐标特点是解题的关键． 根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式求解即可． 【详解】解：∵点在轴上方， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（2025·湖南岳阳·一模）解不等式组，并在数轴上表示它的解集．    【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，再确定公共部分即可． 【详解】解：， 由①得，， 解得，； 由②得，， 解得：， 在数轴上表示两个不等式的解集为   原不等式组的解为：． 4．（2025·湖南永州·一模）解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得_______； (2)解不等式②，得_______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来． 【答案】(1) (2) (3)数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． （1）根据移项合并同类项解一元一次不等式即可求解； （2）根据不等式的性质解不等式即可求解； （3）先根据（1）（2）求出不等式组的解集，再将不等式的解集在数轴上表示． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：， 解得：， 故答案为：； （3）解：由上可得，不等式组的解集为：， ∴数轴表示为： 5．（2025·湖南长沙·一模）解不等式组并写出它的非负整数解． 【答案】，不等式组的非负整数解为0，1 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，进而求出非负整数解即可． 【详解】解： 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为 ∴不等式组的非负整数解为0，1． 6．（2025·湖南长沙·一模）某网店购进水果后再销售．甲种水果每件的进价是乙种水果每件的进价的倍，花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件． (1)求甲、乙两种水果每件的进货单价； (2)若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价每件60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由． 【答案】(1)乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元 (2)购进甲种水果件，购进乙种水果件，最大利润为元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用，理解题意，正确列出分式方程，求出一次函数的解析式是解此题的关键． （1）设乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可得解； （2）设购进甲种水果件，则购进乙种水果件，由题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出，设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为元，则，再由一次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：设乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， ∴乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元； （2）解：设购进甲种水果件，则购进乙种水果件， 由题意可得：， 解得：， 设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为元， 由题意可得：， 则， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时， ∴利润最大的进货方案为：购进甲种水果件，购进乙种水果件，最大利润为元． 1．（2025·湖南岳阳·一模）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐个判断即可，能熟记只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：A．方程含有两个未知数，所以不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．化简后得，是一元一次方程，故本选项不符合题意； C．是分式方程，故本选项不符合题意； D．是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（2025·湖南娄底·一模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式，把解集在数轴上表示即可． 【详解】解：使二次根式在实数范围内有意义， 则， 解得：， 则x的取值范围在数轴上表示为： 故选：C． 3．（2025·湖南永州·一模）某校组织师生春游，如果单独租用45座的客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座的客车，可少租一辆，且余30个空座位，设全校师生共x人，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，设全校师生共有x人，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设全校师生共有x人， 由题意得：， 故选：C． 4．（2025·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，下列结论错误的是（   ） A． B．点关于轴的对称点的坐标为 C．点到两坐标轴的距离之和等于 D．点向上平移个单位，再向左平移个单位后所得点 的坐标为 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，坐标确定位置，解元一次不等式组，根据第二象限内点的坐标特征列出不等式组是解题的关键． 根据第二象限内点的坐标特征列出不等式组，求出的取值范围，即可判断；根据关于轴对称的点的坐标特征即可判断；根据点到坐标轴的距离的定义即可判断，根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减即可判断． 【详解】解：、∵点在第二象限， ∴，解得：，原选项正确，不符合题意； 、∵点， ∴点关于轴的对称点的坐标为，原选项正确，不符合题意； 、∵点在第二象限， ∴点到轴的距离等于，点到轴的距离等于， ∴点到两坐标轴的距离之和等于，原选项正确，不符合题意； 、∵点， ∴点向上平移个单位，再向左平移个单位后所得点的坐标为，即，原选项错误，符合题意； 故选：． 5．（2025·湖南岳阳·一模）我们约定：在平面直角坐标系中，与轴有交点的函数称为“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”．例如：函数与轴的交点坐标是，所以函数是“零点函数”， 是该函数的“零点”．则下列结论正确的是（  ） ①对于反比例函数，存在实数使得该函数是零点函数； ②对于一次函数，不论为何值，该函数始终存在唯一的零点； ③若二次函数的两个零点互为相反数，则且； ④若二次函数的两个零点为，，且，则 A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查了新定义——“零点函数”，“零点”．熟练掌握新定义，一次函数，二次函数，反比例函数的图象和性质，一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键． 根据“零点函数”，“零点”的意义，一次函数，二次函数，反比例函数的图象和性质，一元二次方程根与系数的关系，逐一判断，即得． 【详解】解：①∵反比例函数与x轴不相交， ∴不存在零点， ∴不存在实数使得该函数是零点函数； ∴①不正确； ②∵时，， ∴一次函数的零点为； ∴②正确； ③设二次函数与x轴的两个交点为， ∵二次函数的两个零点互为相反数， ∴， ∴且互为相反数； ∴③不正确； ④∵二次函数的两个零点为，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴④正确． 故选：D． 6．（2025·湖南长沙·一模）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，..，，，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上(如图)，这五张卡片分别记为，，，，，张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大.下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是 (填，，，，) 卡片编号 两数的和 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的应用，熟练掌握等式的性质和不等式的应用是解答本题的关键． 由题意得到关于的方程，然后作差利用不等式的性质，最后根据题意得结论． 【详解】解：设，，，，卡片上对应的数分别为，，，，， 则，，，，， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， 所以，且， 所以卡片上的数最大， 故答案为：． 7．（2025·湖南邵阳·一模）在党的二十大报告中，强调了教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑．某校为提升教学质量，计划购买、两种型号的教学设备．已知购买台型设备和台型设备共需万元；购买台型设备和台型设备共需万元． (1)求型、型设备每台各是多少万元； (2)根据该校的实际情况，需购买、两种型号的教学设备共台，要求购买的总费用不超过万元，并且型设备的数量不少于型设备数量的，那么该校共有几种购买方案？ 【答案】(1)型设备每台万元，型设备每台万元 (2)一共有种购买方案 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式组的应用； （1）设型设备万元台，型设备万元台，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设型设备购买台，则购买型设备台，根据题意列出不等式组，求得整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设型设备万元台，型设备万元台， 依题意得： 解得 答：型设备每台万元，型设备每台万元． （2）设型设备购买台，则购买型设备台， 依题意得： 解得：， 又因为为正整数，所以的取值为，， 答：一共有种购买方案． 8．（2025·湖南张家界·一模）如图是2023年一月份的日历： (1)若将“H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，请求出“H”形框中的七个数的和（用含x的代数式表示）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数，若不能，请说明理由； (3)用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是　　　　． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)140 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含的代数式表示其它六个数． （1）设“”形框中的七个数中最中间一个数是，则其它六个数是，，，，，，相加即可得到答案； （2）设“”形框中的七个数中最中间一个数是，得：，解得，最大的数是，而日历中没有32，故“”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168； （3）当，即时，框出的七个数的和的最大，最大为． 【详解】（1）解：设“”形框中的七个数中最中间一个数是，则其它六个数是，，，，，， 七个数的和是； （2）解：“”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168，理由如下： 设“”形框中的七个数中最中间一个数是， 根据题意得：， 解得， 此时最大的数是， 而日历中没有32， “”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168； （3）解：年二月份的日历中最大的数是28，且它在第3列， 当，即时，框出的七个数的和的最大，最大为， 故答案为：140． 9．（2025·湖南岳阳·一模）仔细阅读下列材料． “分数均可化为有限小数或无限循环小数”．反之，“有限小数或无限循环小数均可化为分数” 例如：，或，， 反之，，或，那么怎么化为呢？ 解： 不妨设，则上式变为，解得即 根据以上材料，回答下列问题． (1)将“分数化为小数”：__________；__________． (2)将“小数化为分数”：__________；__________． (3)将小数化为分数，需写出推理过程． 【答案】(1)； (2)； (3)，过程见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解决此类阅读型题目的关键是认真阅读，理清题目中的解题思路是关键． （1）仿照题意求解即可； （2）设，则，则可求出，据此可得答案；设，则，，则可求出，据此可得答案； （3）设，则，则可求出，据此可得答案． 【详解】（1）解：，； （2）解：设， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$