专题01 数与式（7题型）（湖南专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题01 数与式 题型概览 题型01 实数的概念、分类与性质 题型02 科学记数法 题型03 实数的大小比较与计算 题型04 整式的相关运算题型 题型05 因式分解 题型06 分式的相关概念与化简求值 题型07 二次根式的概念、性质与运算 ( 题型01 ) 实数的概念、分类与性质 1．（2025·湖南永州·一模）在，，，，，各数中，负数的个数是（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2．（2025·湖南常德·一模）下列各数为负数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南长沙·一模）人体的正常体温大约为，如果低于正常体温记作，那么高于正常体温应该记作（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南衡阳·一模）实数的相反数是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南衡阳·一模）如图，数轴上表示的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 6．（2025·湖南长沙·一模）若，则 . ( 题型0 2 ) 科学记数法 1．（2025·湖南岳阳·一模）据统计，2024年我国新能源汽车产量超过13160000辆，其中13160000用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南衡阳·一模）生物学家发现了某种花粉的直径约为毫米，数据用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南永州·一模）祁阳以“字在浯溪、祁阳有戏”为品牌内核，通过“科技+文化”“产业+生态”“节会+消费”多维度发力，交出了一份亮眼的“文旅答卷”．2024年祁阳市接待旅客900万人次，实现旅游总收入亿元，同比分别增长，“热辣滚烫”的数字展示着区域发展新活力、文旅融合新成果，将900万用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南株洲·一模）据悉，国家将在2035年前建成以北斗系统为核心的综合时空体系，以提供安全、便捷、高效的定位导航授时服务．截止目前，北斗产品应用总量已超过1550万台／套．数据15500000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南·一模）2024年国庆档10部新片中的《志愿军：存亡之战》《危机航线》《出入平安》三部影片率先开映，《749局》《浴火之路》等七部影片于次日上映．根据国家电影局统计，2024年国庆档（2024年10月1日至7日）全国电影票房为亿元，观影人次为5209万．用科学记数法表示5209万时，下列写法正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南娄底·一模）仅上映28天，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房突破135亿元人民币、超越《头脑特工队》登顶全球动画电影票房榜，13500000000用科学记数法可表示为，则a的值是（   ） A．135 B． C． D． 7．（2025·湖南衡阳·一模）在人工智能技术迅猛发展的浪潮中，DeepSeek作为一款新兴应用迅速崛起．根据数据分析平台QuestMobile的数据，自上线以来至2025年2月9日，DeepSeek App的累计下载量已突破次，数据“”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·湖南长沙·一模）湖南自古就有“湖广熟、天下足”的美誉，2024年全省粮食播种面积稳定在71000000亩以上，实现播种面积、单产、总产“三增”．该数据用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·湖南长沙·一模）《哪吒2：魔童闹海》在春节档上映后票房火爆，在2025年2月17日突破了120亿元票房，进入全球票房榜前10名．其数据12000000000用科学记数法表示为 ． ( 题型0 3 ) 实数的大小比较与计算 1．（2025·湖南衡阳·一模）下列各实数中，最小的是（    ） A． B．0 C． D．3.14 2．（2025·湖南·一模）下面各数中，最小的有理数是（   ） A． B． C． D．3 3．（2025·湖南长沙·一模）下列实数中，最大的是（   ） A． B． C．2 D． 4．（2025·湖南长沙·一模）下列实数中，比小的是（   ） A． B．0 C． D． 5．（2025·湖南株洲·一模）下列所示气温最低的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南·一模）计算：． 7．（2025·湖南长沙·一模）计算：． 8．（2025·湖南湘潭·一模）计算：． 9．（2025·湖南衡阳·一模）计算：． 10．（2025·湖南永州·一模）计算： ． 11．（2025·陕西西安·一模）计算： 12．（2025·湖南长沙·一模）计算： 13．（2025·湖南·一模）计算． 14．（2025·湖南长沙·一模）计算:    15．（2025·湖南长沙·一模）计算： 16．（2025·湖南长沙·一模）计算： 17．（2025·湖南长沙·一模）计算：． 18．（2025·湖南娄底·一模）计算：． 19．（2025年湖南省长沙市湖南师大附中教育集团联考一模数学试题）计算：． ( 题型0 4 ) 整式的相关运算 1．（2025·湖南株洲·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南娄底·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南娄底·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南岳阳·一模）如图，已知A，B，C三个车站的位置如图所示，则B，C间的距离等于 ． 5．（2025·湖南岳阳·一模）若与是同类项，则的值为 ． 6．（2025·湖南岳阳·一模）若，则 ． 7．（2025·湖南湘潭·一模）数学家高斯在小的时候就发现：，，从而得到．等边三角形有着数学的美，将多个等边三角形拼接在一起，仿佛是大自然精心设计的镶嵌艺术，展现出等边三角形在空间组合上的奇妙规律．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ．（结果用含的代数式表示） 8．（2025·湖南长沙·一模）小华整理三叠数量相同的练习本（每叠至少本），操作如下： 第一步：从左叠拿本放入中间； 第二步：从右叠拿本放入中间； 第三步：左叠现有几本，就从中间拿回几本放入左叠． 请问最终中间叠剩下的练习本数量为 ． 9．（2025·湖南岳阳·一模）若（且是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求x的值． (2)若，，用含x的代数式表示y． 10．（2025·湖南衡阳·一模）先化简，再求值：，其中． 11．（2025·湖南衡阳·一模）先化简，再求值：（a+b）2+b（a﹣b）﹣4ab，其中a=2，b=﹣． 12．（2025·湖南张家界·一模）如图是2023年一月份的日历： (1)若将“H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，请求出“H”形框中的七个数的和（用含x的代数式表示）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数，若不能，请说明理由； (3)用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是　　　　． ( 题型0 5 ) 因式分解 1．（2025·湖南常德·一模）因式分解： ． 2．（2025·湖南永州·一模）因式分解： ． 3．（2025·湖南长沙·一模）分解因式： ． 4．（2025·湖南岳阳·一模）因式分解： ． ( 题型0 6 ) 分式的相关概念与化简求值 1．（2025·湖南永州·一模）要使分式有意义，则的取值范围是 ． 2．（2025·湖南常德·一模）若分式有意义，则的取值范围是 ． 3．（2025·湖南衡阳·一模）化简的结果为 ． 4．（2025·湖南长沙·一模）先化简，再从，1，2，0四个数中选一个喜欢的数作为x的值代入求值． 5．（2025·湖南湘西·一模）先化简再求值： ，其中． 6．（2025·湖南株洲·一模）先化简，再求值：，其中． 7．（2025·湖南常德·一模）先化简，再求值：，其中． 8．（2025·湖南长沙·一模）已知，求代数式的值． 9．（2025·湖南娄底·一模）先化简， 再求值：其中． 10．（2025·湖南长沙·一模）先化简，再求值：，其中. ( 题型 07 ) 二次根式的概念、性质与运算 1．（2025·湖南娄底·一模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南衡阳·一模）下列各式在实数范围内因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南娄底·一模）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 5．（2025·湖南湘潭·一模） ． 6．（2025·湖南永州·一模）计算： ． 1．（2025·湖南长沙·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南·一模）下面分式在时有意义的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南株洲·一模）定义：如果一个正整数的平方可以分割为两个数字，且这两个数字相加后等于，那么就是“雷公数”．“雷公数”是自然数的一类．如：，所以2025是一个“雷公数”．对于“雷公数”的描述，下列结论错误的是（   ） A．81是最小的雷公数 B．当是正整数时，一定是雷公数 C．若是雷公数，则 D．除100外，三位数中，不存在其他的雷公数 4．（2025·湖南张家界·一模）圆周率精确到， ；精确到万分位， ． 5．（2025·湖南·一模）若，则代数式的值为 ． 6．（2025·湖南湘西·一模）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第二项的系数为 ． 【答案】2025 7．（2025·湖南长沙·一模）有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6，把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下： ①左至右，按数字从小到大的顺序排列； ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则标注字母的卡片写有数字 ． 8．（2025·湖南·一模）阅读理解：记表示不超过的最小整数，如，，应用：已知，且，则的值为 ． 9．（2025·湖南常德·一模）先化简，再求值：，其中． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数与式 题型概览 题型01 实数的概念、分类与性质 题型02 科学记数法 题型03 实数的大小比较与计算 题型04 整式的相关运算题型 题型05 因式分解 题型06 分式的相关概念与化简求值 题型07 二次根式的概念、性质与运算 ( 题型01 ) 实数的概念、分类与性质 1．（2025·湖南永州·一模）在，，，，，各数中，负数的个数是（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查负数的判断，根据相反数的概念、绝对值的性质、负数的奇数次幂等相关知识点正确判断是解题关键． 根据负数的相反数为正、绝对值的意义、幂的运算等相关原则，进行计算分析即可． 【详解】解：，为正数； ，为负数； ，既不是正数，也不是负数； ，为负数； ，为负数； ，为负数； 所以负数个数为4个， 故选：C． 2．（2025·湖南常德·一模）下列各数为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值的性质，相反数的定义，根据有理数的乘方、绝对值的性质及相反数的定义分别对各选项进行计算，再根据结果判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、，是正数，该选项不合题意； 、，是负数，该选项符合题意； 、，是正数，该选项不合题意； 、，是正数，该选项不合题意； 故选：． 3．（2025·湖南长沙·一模）人体的正常体温大约为，如果低于正常体温记作，那么高于正常体温应该记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的运用，掌握正负表示相反意义的量是关键． 根据低于正常体温记作，则高于用正数，由此即可求解． 【详解】解：∵低于正常体温记作， ∴高于正常体温应该记作， 故选：B ． 4．（2025·湖南衡阳·一模）实数的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数，解题的关键是掌握：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．据此解答即可． 【详解】解：实数的相反数是． 故选：B． 5．（2025·湖南衡阳·一模）如图，数轴上表示的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数大小的估算，在数轴上表示无理数等知识点，解题的关键是正确估算无理数的取值． 利用无理数的估算方法进行估值，介于整数2和3之间即可得出答案． 【详解】解： 即 故选：D． 6．（2025·湖南长沙·一模）若，则 . 【答案】0 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由可知：， ∴， ∴， ∴； 故答案为0． ( 题型0 2 ) 科学记数法 1．（2025·湖南岳阳·一模）据统计，2024年我国新能源汽车产量超过13160000辆，其中13160000用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，13160000用科学记数法表示为， 故选：C． 2．（2025·湖南衡阳·一模）生物学家发现了某种花粉的直径约为毫米，数据用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据用科学记数法可以把一个绝对值小于1的非零数表示成，其中，n是一个负整数，n的绝对值等于原数中的第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零），即可解答． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟知概念是解题的关键． 3．（2025·湖南永州·一模）祁阳以“字在浯溪、祁阳有戏”为品牌内核，通过“科技+文化”“产业+生态”“节会+消费”多维度发力，交出了一份亮眼的“文旅答卷”．2024年祁阳市接待旅客900万人次，实现旅游总收入亿元，同比分别增长，“热辣滚烫”的数字展示着区域发展新活力、文旅融合新成果，将900万用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：900万， 故选C． 4．（2025·湖南株洲·一模）据悉，国家将在2035年前建成以北斗系统为核心的综合时空体系，以提供安全、便捷、高效的定位导航授时服务．截止目前，北斗产品应用总量已超过1550万台／套．数据15500000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数；当原数的绝对值小于1时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：D． 5．（2025·湖南·一模）2024年国庆档10部新片中的《志愿军：存亡之战》《危机航线》《出入平安》三部影片率先开映，《749局》《浴火之路》等七部影片于次日上映．根据国家电影局统计，2024年国庆档（2024年10月1日至7日）全国电影票房为亿元，观影人次为5209万．用科学记数法表示5209万时，下列写法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：5209万， 故选C． 6．（2025·湖南娄底·一模）仅上映28天，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房突破135亿元人民币、超越《头脑特工队》登顶全球动画电影票房榜，13500000000用科学记数法可表示为，则a的值是（   ） A．135 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：； ∴， 故选：C 7．（2025·湖南衡阳·一模）在人工智能技术迅猛发展的浪潮中，DeepSeek作为一款新兴应用迅速崛起．根据数据分析平台QuestMobile的数据，自上线以来至2025年2月9日，DeepSeek App的累计下载量已突破次，数据“”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 利用科学记数法的表示方法进行求解即可． 【详解】解： 故选：D． 8．（2025·湖南长沙·一模）湖南自古就有“湖广熟、天下足”的美誉，2024年全省粮食播种面积稳定在71000000亩以上，实现播种面积、单产、总产“三增”．该数据用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故选：C． 9．（2025·湖南长沙·一模）《哪吒2：魔童闹海》在春节档上映后票房火爆，在2025年2月17日突破了120亿元票房，进入全球票房榜前10名．其数据12000000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：其数据12000000000用科学记数法表示为； 故答案为：． ( 题型0 3 ) 实数的大小比较与计算 1．（2025·湖南衡阳·一模）下列各实数中，最小的是（    ） A． B．0 C． D．3.14 【答案】A 【分析】根据实数的大小比较法则．正数大于零，零大于负数，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小，由此得到答案． 【详解】解：∵， ∴所给的实数中，最小的是． 故选：A． 2．（2025·湖南·一模）下面各数中，最小的有理数是（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查实数分类、有理数比较大小等知识，先判断、是无理数，再由正数负数即可得到答案，熟记实数分类及正数负数是解决问题的关键． 【详解】解：、是无理数， 只需要比较和的大小， ， 最小的有理数是， 故选：C． 3．（2025·湖南长沙·一模）下列实数中，最大的是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，先把绝对值求出，再比较大小，关键要熟记：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 4．（2025·湖南长沙·一模）下列实数中，比小的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数大小的比较；根据两个负数相比较，绝对值大的反而小，零大于一切负数，即可完成． 【详解】解：∵， 且， ∴， 故选：D． 5．（2025·湖南株洲·一模）下列所示气温最低的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于0，0大于负数，负数的绝对值越大的数反而越小，据此进行作答即可． 【详解】解：∵且， ∴， 故选：A． 6．（2025·湖南·一模）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂，绝对值，算术平方根，负整指数幂等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据零指数幂，绝对值，算术平方根的性质进行运算即可． 【详解】解：原式 ． 7．（2025·湖南长沙·一模）计算：． 【答案】3 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 8．（2025·湖南湘潭·一模）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查了实数的运算，掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零次幂是解题的关键．根据负整数指数幂，绝对值、特殊角的三角函数值、零次幂计算即可． 【详解】解： ． 9．（2025·湖南衡阳·一模）计算：． 【答案】5 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，求一个数的绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂等知识点，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 运用以上法则进行计算求解即可． 【详解】解： ． 10．（2025·湖南永州·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先求算术平方根，立方根，化简绝对值，再计算乘除法，最后再计算加减法即可． 【详解】解： 11．（2025·陕西西安·一模）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幂及负指数幂，二次根式的乘法是解题的关键．根据零指数幂及负指数幂，二次根式的乘法法则即可求解． 【详解】解：原式 12．（2025·湖南长沙·一模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质及立方根的定义分别计算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 13．（2025·湖南·一模）计算． 【答案】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算立方根，零次幂，代入特殊角的三角函数值，负整数指数幂，再计算乘法运算，最后合并即可． 【详解】解： ； 14．（2025·湖南长沙·一模）计算:    【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、立方根、二次根式化简、有理数的乘方，熟练掌握运算顺序和运算法则是解答本题的关键．先根据特殊角的三角函数值、立方根、二次根式化简、有理数的乘方化简，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 15．（2025·湖南长沙·一模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，先把每一项算出，再加减即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：原式． 16．（2025·湖南长沙·一模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及算术平方根、负整数指数幂、实数的绝对值及乘方的计算，掌握这些知识，并正确计算是关键；依次计算乘方、算术平方根、负整数指数幂、实数的绝对值，最后进行加法运算即可． 【详解】解： ． 17．（2025·湖南长沙·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数值的运算， 根据，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 18．（2025·湖南娄底·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题涉及绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，二次根式．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、二次根式等考点的运算． 【详解】解： 19．（2025年湖南省长沙市湖南师大附中教育集团联考一模数学试题）计算：． 【答案】3 【分析】本题主要考查零指数幂，绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式． ( 题型0 4 ) 整式的相关运算 1．（2025·湖南株洲·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，负整数指数幂及合并同类项，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．分别根据运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意； B、，故B正确，符合题意； C、，故C错误，不符合题意； D、，故D错误，不符合题意， 故选：B． 2．（2025·湖南娄底·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，单项式的乘法，根据以上运算法则逐项分析即可． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意；      B、，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意；     D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 3．（2025·湖南娄底·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘除，积的乘方，合并同类项．根据同底数幂的乘除法则，积的乘方法则，合并同类项法则求解即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 4．（2025·湖南岳阳·一模）如图，已知A，B，C三个车站的位置如图所示，则B，C间的距离等于 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查整式的加减，根据题意列出算式，再去括号、合并同类项即可． 【详解】解：根据题意，知B，C间的距离为： 故答案为： 5．（2025·湖南岳阳·一模）若与是同类项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴． 故答案为：． 6．（2025·湖南岳阳·一模）若，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入法进行计算求值即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：9． 7．（2025·湖南湘潭·一模）数学家高斯在小的时候就发现：，，从而得到．等边三角形有着数学的美，将多个等边三角形拼接在一起，仿佛是大自然精心设计的镶嵌艺术，展现出等边三角形在空间组合上的奇妙规律．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ．（结果用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律，找到规律得出，及模仿题意求和思路求解是解题的关键．根据题意得出及模仿题意规律能求和，进而即可求解． 【详解】解：解：依题意得：，，，，， 故答案为：． 8．（2025·湖南长沙·一模）小华整理三叠数量相同的练习本（每叠至少本），操作如下： 第一步：从左叠拿本放入中间； 第二步：从右叠拿本放入中间； 第三步：左叠现有几本，就从中间拿回几本放入左叠． 请问最终中间叠剩下的练习本数量为 ． 【答案】本 【分析】本题了列代数式，认真审题理解各种语句间的数量关系是解题的关键． 根据题意设练习本共有本，则每堆练习本本（），再根据题要求，步步列出数据数值解答即可． 【详解】解：由分布左、中、右三堆练习本，每堆牌不少于本，且各堆练习本的本数相同， 设练习本共有本，则每堆练习本本（）， 第一步：从左叠拿本放入中间， 则左：（本），中：（本），右本； 第二步：从右叠拿本放入中间， 则左：（本），中：（本），右（本）； 第三步：左叠现有几本，就从中间拿回几本放入左叠， 则左：（本），中：（本），右（本）； 所以，中间一堆练习本现有的本数为（本）， 故答案为：本． 9．（2025·湖南岳阳·一模）若（且是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求x的值． (2)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用； （1）把左边都换成以为底数的幂，再根据底数相同指数相等列方程计算即可； （2）根据计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴． 10．（2025·湖南衡阳·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值．先根据多项式的乘法运算展开，进而合并同类项化简，最后整体代入求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 11．（2025·湖南衡阳·一模）先化简，再求值：（a+b）2+b（a﹣b）﹣4ab，其中a=2，b=﹣． 【答案】5． 【详解】分析：首先计算完全平方，计算单项式乘以多项式，然后再合并同类项，化简后，再代入a、b的值，进而可得答案． 详解：原式=a2+2ab+b2+ab-b2-4ab=a2-ab， 当a=2，b=-时，原式=4+1=5． 点睛：此题主要考查了整式的混合运算--化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值． 12．（2025·湖南张家界·一模）如图是2023年一月份的日历： (1)若将“H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，请求出“H”形框中的七个数的和（用含x的代数式表示）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数，若不能，请说明理由； (3)用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是　　　　． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)140 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含的代数式表示其它六个数． （1）设“”形框中的七个数中最中间一个数是，则其它六个数是，，，，，，相加即可得到答案； （2）设“”形框中的七个数中最中间一个数是，得：，解得，最大的数是，而日历中没有32，故“”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168； （3）当，即时，框出的七个数的和的最大，最大为． 【详解】（1）解：设“”形框中的七个数中最中间一个数是，则其它六个数是，，，，，， 七个数的和是； （2）解：“”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168，理由如下： 设“”形框中的七个数中最中间一个数是， 根据题意得：， 解得， 此时最大的数是， 而日历中没有32， “”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168； （3）解：年二月份的日历中最大的数是28，且它在第3列， 当，即时，框出的七个数的和的最大，最大为， 故答案为：140． ( 题型0 5 ) 因式分解 1．（2025·湖南常德·一模）因式分解： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解，根据完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（2025·湖南永州·一模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（2025·湖南长沙·一模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，掌握因式分解的方法是解题关键．提公因式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（2025·湖南岳阳·一模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用公式法进行因式分解，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． ( 题型0 6 ) 分式的相关概念与化简求值 1．（2025·湖南永州·一模）要使分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2025·湖南常德·一模）若分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不等于解答即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 3．（2025·湖南衡阳·一模）化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．先通分，再加减，最后约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（2025·湖南长沙·一模）先化简，再从，1，2，0四个数中选一个喜欢的数作为x的值代入求值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，涉及完全平方公式、分式有意义的条件和平方差公式，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可． 【详解】解：原式 且， ∴当时，原式． 5．（2025·湖南湘西·一模）先化简再求值： ，其中． 【答案】；1 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算，得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 6．（2025·湖南株洲·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】；2026 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则．先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据进行求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式=． 7．（2025·湖南常德·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，5 【分析】本题考查分式的化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式、提公因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．利用完全平方公式、平方差公式、提公因式等方法，将式子因式分解，约分化为最简，再代入数值计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 8．（2025·湖南长沙·一模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，由已知得，再根据分式的性质和运算法则对代数式进行化简，最后把代入化简后的结果中即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式 ． 9．（2025·湖南娄底·一模）先化简， 再求值：其中． 【答案】． 【分析】此题考查了分式的化简求值，利用分式的除法和减法运算化简，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 10．（2025·湖南长沙·一模）先化简，再求值：，其中. 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题可根据分式的运算进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式 ； 当时，则原式． ( 题型 07 ) 二次根式的概念、性质与运算 1．（2025·湖南娄底·一模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式，把解集在数轴上表示即可． 【详解】解：使二次根式在实数范围内有意义， 则， 解得：， 则x的取值范围在数轴上表示为： 故选：C． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘法公式，幂的运算，整式的减法，二次根式的乘法．分别利用幂的乘方、积的乘方，完全平方公式，合并同类项法则计算判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．（2025·湖南衡阳·一模）下列各式在实数范围内因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握公式法和提公因式法进行因式分解． 利用公式法或提公因式法进行因式分解逐项判断即可． 【详解】解：A. ，该选项正确，故符合题意； B. ，该选项错误，故不符合题意； C. ，该选项错误，故不符合题意； D. ，该选项错误，故不符合题意； 故选：A． 4．（2025·湖南娄底·一模）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得． 【详解】解：∵在实数范围内有意义，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2025·湖南湘潭·一模） ． 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根定义，直接由算术平方根定义求解即可．熟练掌握算术平方根定义，是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：3． 6．（2025·湖南永州·一模）计算： ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握相关运算法则是解题关键．先计算除法，再计算乘法即可． 【详解】解： 故答案为：． 1．（2025·湖南长沙·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方、二次根式的加法及完全平方公式，掌握这些基础知识是解题的关键；根据上述知识，逐项计算即可． 【详解】解：A、，故计算正确，符合题意； B、不是同类二次根式，不能合并，故计算错误，不符合题意； C、，故计算错误，不符合题意； D、，故计算错误，不符合题意； 故选：A． 2．（2025·湖南·一模）下面分式在时有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，涉及二次根式有意义的条件，将代入选项中的分式，检验分母是否为零、二次根式被开方数是否非负即可得到答案．熟记分式有意义的条件、二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：A、当时，分母，分式有意义，符合题意； B、当时，分母，分式无意义，不符合题意； C、当时，分母，分式无意义，不符合题意； D、当时，分母，分式无意义，不符合题意； 故选：A． 3．（2025·湖南株洲·一模）定义：如果一个正整数的平方可以分割为两个数字，且这两个数字相加后等于，那么就是“雷公数”．“雷公数”是自然数的一类．如：，所以2025是一个“雷公数”．对于“雷公数”的描述，下列结论错误的是（   ） A．81是最小的雷公数 B．当是正整数时，一定是雷公数 C．若是雷公数，则 D．除100外，三位数中，不存在其他的雷公数 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义“雷公数”，理解和应用新定义是解题的关键． 利用“雷公数”的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，所以81是雷公数，且16，25,36,49,64都不是雷公数，所以81是最小的雷公数，该选项正确，故不符合题意； B. ，可以看作和两部分，当是正整数时，两部分都是正整数， ∴一定是雷公数，该选项正确，故不符合题意； C.当时，，， ∴该选项错误，故符合题意； D.通过计算剩余三位数121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529,576,625,676, 729,784,841,900,961，都不是雷公数，该选项正确，故不符合题意； 故选：C． 4．（2025·湖南张家界·一模）圆周率精确到， ；精确到万分位， ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，熟练掌握四舍五入法是解题的关键； 根据四舍五入法，精确到即把万分位上的数字进行四舍五入，精确到万分位，即把小数点后第5位为进行四舍五入求解即可． 【详解】解：圆周率，精确到，；精确到万分位， 故答案为：，． 5．（2025·湖南·一模）若，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入的思想是解题的关键． 将代数式变形为，再将整体代入求值即可． 【详解】解：． 故答案为2025． 6．（2025·湖南湘西·一模）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第二项的系数为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了通过观察、分析、 归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．根据图形中的规律即可求出的展开式中第二项的系数． 【详解】解：∵的第二项系数为； 的第二项系数为； 的第二项系数为； 的第二项系数为； ∴的第二项系数为； ∴第二项系数为， 故答案为：． 7．（2025·湖南长沙·一模）有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6，把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下： ①左至右，按数字从小到大的顺序排列； ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则标注字母的卡片写有数字 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案． 【详解】解：由题意知，第一行中与第二行中肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片， ∴白卡片数字1摆在了标注字母的位置， ∴黑卡片数字1摆在了标注字母的位置， ∵第一行中与第二行中肯定有一张为白2，若第二行中为白2，则只能是黑1，黑2，而为黑1，矛盾， ∴第一行中为白2； ∵第一行中与第二行中肯定有一张为白3，若第一行中为白3，则，只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾， ∴第二行中为白3， ∴第二行中为黑2，为黑3； ∵ 第一行中与第二行中肯定有一张为白4，若第一行中为白4，则，只能是黑3，黑4，与为黑3矛盾， ∴第二行中为白4． 故答案为：4． 8．（2025·湖南·一模）阅读理解：记表示不超过的最小整数，如，，应用：已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查取整函数，理解表示不超过的最小整数，由题意得到，，进而确定，，，解不等式组得到即可由定义得到答案．理解取整函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：，，， ，， 则，，， 解得， ， 故答案为：． 9．（2025·湖南常德·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确化简是解答本题的关键．先根据分式的混合运算法则化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式， ， 当时，原式． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$