专题07 圆（5题型）（湖南专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题07 圆 题型概览 题型01圆心角、圆周角定理及其推论 题型02 垂径定理 题型03 切线的性质与判定 题型04 弧长与扇形面积 题型05 圆的综合 ( 题型01 ) 圆心角、圆周角定理及其推论 1．（2025·湖南长沙·一模）如图，的半径与弦互相垂直平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，连接，可得，即得，进而由圆周角定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵的半径与弦互相垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（2025·湖南张家界·一模）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 3．（2025·湖南株洲·一模）如图，在以为直径的上有一点，以为对角线作正方形，恰好点在直径上，连接并延长交于点，连接． (1)求的值； (2)若的半径为2，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，正方形的性质，解直角三角形，熟知直角三角形中各边之间与三角函数对应的关系是解题的关键． （1）设正方形的边长为a，利用正方形的性质即可解答； （2）设，利用勾股定理列方程求得，即可解答． 【详解】（1）解：设正方形的边长为a， 则圆O的半径， ， ； （2）解：为的直径， ， 半径， ， ， 设， 则， ， ． 4．（2025·湖南长沙·一模）如图，点在上，，则 ． 【答案】/102度 【分析】本题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据题意得到，再根据三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ， ． 故答案为：． ( 题型0 2 ) 垂径定理 1．（2025·湖南·一模）如图，已知是圆O的直径，A，B是圆O上的两点，交于点C，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，圆周角定理的应用，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，连接，证明，结合三角形的内角和定理可得，证明为等边三角形；从而可得答案. 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； ∴； 故选：D． 2．（2025·湖南娄底·一模）如图，是的弦， 点 P在弦 上，，则的半径长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，过O作于H，连接，由垂径定理得到，由勾股定理求出，，得到圆的半径长． 【详解】解：过O作于H，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的半径长是5． 故选：A． 3．（2025·湖南永州·一模）如图，点C是以为直径的半圆O上的动点，连结，作圆心O关于的对称点，射线交半圆O于点D，连结，与交于点E． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的值； (3)当，时，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)的面积为或． 【分析】（1）连接，利用轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，圆周角定理和平行四边形的判定定理解答即可； （2）连接，利用直角三角形的边角关系定理得到，设，则，则，，利用平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质求得，代入运算即可得出结论； （3）过点D作于点F，交于点H，设，则，利用勾股定理列出方程求得x值，利用直角三角形的边角关系定理求得，则，利用直角三角形的边角关系定理求得，再利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵圆心O与点关于对称， ∴垂直平分， ∴， ∴． ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴平分， ∴与互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：连接，如图， ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 由（1）知：，四边形为平行四边形， ∴，． ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴； （3）解：过点D作于点F，交于点H，如图， ∵，， ∴，， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 当点在线段的延长线上时， 延长交于点N，过点C作于点M，连接，如图， ∵，圆心O关于的对称点， ∴， ∴， ∴． 由（1）知：四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 综上，的面积为或． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，轴对称的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等腰三角形的性质，连接直径所对的圆周角，作出垂线段构造直角三角形是解题的关键． ( 题型0 3 ) 切线的性质与判定 1．（2025·湖南株洲·一模）如图，是的切线，是切点，是上一点，连接并延长交切线于点，已知，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，根据，可得，则，即可求得，熟练利用相关性质是解题的关键． 【详解】解：是的切线，是切点， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．（2025·湖南长沙·一模）如图，是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质定理，根据题意利用四边形的内角和，即可解答，熟知切线的性质是解题的关键． 【详解】解：是的切线， ， ， ， 故选：C． 3．（2025·湖南永州·一模）如图，D是以为直径的上一点，过点D的切线交的延长线于点E，过点B作交的延长线于点C，垂足为点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长是． 【分析】（1）连接，根据圆的切线的性质，推出，得到，进而得到，再利用等角对等边的性质即可证明结论； （2）连接，根据圆的直径所对的圆周角是直角，得到，再根据正弦函数值，求出，然后利用等腰三角形三线合一的性质，证明，可求出的长，再证明，据此即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，连接， 是的直径， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． ∴的长是． 【点睛】本题考查了切线的性质定理，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的基本性质是解题关键． 4．（2025·湖南常德·一模）已知，如图，是的直径，点C为上一点，于点F，交于点E，与交于点H，点D为的延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)连接，求证：； (3)若的半径为10，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)15 【分析】（1）先由圆周角定理和已知条件说明，再证，进而证得即可证明结论； （2）如图：连接，由垂径定理得出得出、，再由公共角可得，由相似三角形的性质可得即可得出结论； （3）如图：连接，由圆周角定理得出，由三角函数求出，再根据勾股定理求出，得出，由（2）的结论求出，然后根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ，即， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴； （3）解：如图：连接BE， ∵是⊙O的直径， ∴， ∵⊙O的半径为10， ∴AB=20，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系定理，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造三角形相似成为解答本题的关键． 5．（2025·湖南湘西·一模）如图，以为直径的经过点C，过点C作的切线交的延长线于点P，D是上的点，且，弦的延长线交切线于点E，连接． (1)求的度数； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，证明，，推出，根据平行线的性质得到．根据切线的性质即可得到结论； （2）运用三角函数值在中求得，然后在中求得即可． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线，C为切点， ∴． ∴； （2）解：在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 6．（2025·湖南长沙·一模）如图，为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点，连接，过点C作，交的延长线于点E，连接、． (1)若，求证：是的切线． (2)连接，若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定，解直角三角形的应用，掌握圆周角的相关性质是解题关键． （1）连接，根据圆周角定理，得到，则，即可证明结论； （2）由直径可得，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，从而得出，然后利用勾股定理求出，即可得到的半径长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； （2）解：是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径长为． 7．（2025·湖南岳阳·一模）请从下列备选关系式：“①，②．”中选择一个你认为合适的作为下面问题的已知条件，将其序号填写在横线上，并解决问题：已知为半圆的直径，是的切线，过圆心作分别交直线于点D、E，___________，如图． (1)求证：是的切线； (2)若，求与的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键． （1）选择①，根据切线的性质得到，则由平行线的性质可得，据此可证明结论；选择②，导角证明即可证明结论； （2）由切线的性质得到，由勾股定理求出，则，根据，，分别解直角三角形即可求出答案． 【详解】（1）选择①， 证明：是的直径，是的切线， ， 又∵， ， ∵经过半径的外端， 是的切线； 选择②， 证明：， ， ， 又∵， ． ， ∵经过半径的外端， 是的切线； （2）解：是的切线， ， 在中，， ， ， ， ． ， ． 8．（2025·湖南·一模）如图，是半圆的直径，圆心为．，是劣弧上一点，过点作的切线交的延长线于点，与交于点． (1)求证：； (2)设，过点作交半圆于点，请用含的代数式表示的长，并求出当是多少时，点与点重合． 【答案】(1)证明见解析 (2)；当时，点与点重合 【分析】（1）连接，如图所示，由切线性质得到，再结合圆中半径相等确定，进而由得到，最后由对顶角相等确定，即可得证； （2）先由题意求出，再结合平行性质得到，进而由垂径定理确定，，从而由得到，则判断出，利用相似比列方程求解即可得到答案；再根据当点与点重合时，是等腰直角三角形，表示出，与前面求得的建立方程求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 是的切线， ，则， ， ， ， ， ，， ， ， ，则； （2）解：如图所示： ， ， ，， ， 由垂径定理可知，， ， ， ， ，则， ，解得， 则； 当点与点重合，如图所示： ，， 是等腰直角三角形，则， 由上面求解过程可知，则， 解得． 【点睛】本题考查圆综合，涉及圆的基本性质、切线性质、互余、等腰三角形的判定与性质、对顶角相等、平行线的性质、垂径定理、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解方程等知识，熟练掌握圆的相关知识是解决问题的关键． ( 题型0 4 ) 弧长与扇形面积 1．（2025·湖南长沙·一模）在半径为的中，的圆心角所对的弧长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了弧长计算公式，正确的代入数据并进行正确的计算是解题的关键．根据弧长公式计算即可． 【详解】解：在半径为的中，的圆心角所对的弧长是： ， 故选：B． 2．（2025·湖南长沙·一模）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（   ） A． B． C．60 D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是解题的关键． 根据圆锥侧面展开式扇形，由扇形面积的计算方法“扇形弧长扇形半径”即可求解． 【详解】解：圆锥的底面半径为， ∴底面圆的周长为， ∴圆锥侧面展开图的扇形弧长为， ∴扇形面积， 故选：B ． 3．（2025·湖南·一模）如图所示的扇形中，若，，的长为40，则的长为 ． 【答案】120 【分析】先在小扇形中利用扇形弧长公式求出圆心角度数，再在大扇形中利用弧长公式求解即可 【详解】解：设扇形圆心角度数为， ∵ ，， ∴在扇形中，， 解得：， ∴在扇形中，， ； 故答案为：120． 4．（2025·湖南长沙·一模）如图，将绕点逆时针旋转至，若，则点旋转到点所经过的路径长为 . 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，弧长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据旋转的性质得到：，，再根据弧长公式计算即可解答． 【详解】解：根据旋转的性质得：，， 则点旋转到点所经过的路径长， 故答案为：． 5．（2025·湖南·一模）如图是一顶用竹篾编制的圆锥形斗笠，若斗笠高为厘米，斗笠底部边沿的周长为厘米，则这个斗笠的表面积是 平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，根据扇形面积公式等于弧长半径，进行计算是解题的关键．先利用勾股定理，计算出圆锥的母线长为，再利用扇形面积公式计算，即可求解． 【详解】解：斗笠底部边沿的周长为厘米， 斗笠底部半径为， 圆锥的母线长为， 这个斗笠的表面积． 故答案为：． 6．（2025·湖南郴州·一模）如图，在中，，弦的长为，求扇形的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了垂径定理，解直角三角形以及扇形的面积，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形； 先过点过点O作，根据垂径定理，可得出的长，再由余弦函数求得的长；再利用扇形的面积公式即可解答； 【详解】解：过点O作， ∵， ∴． ，， ， 在中， ， ． 故答案为：． 7．（2025·湖南衡阳·一模）如图，，为的直径，连接，，延长至点，使，连接． (1)求证：所在的直线与相切； (2)若直径，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再证明是的中位线，推出，即可证明所在的直线与相切； （2）根据阴影部分的面积，代入数据计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的直径，， ∴，即， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴所在的直线与相切； （2）解：∵，为的直径，， ∴， ∵， ∴，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了切线的判定，求扇形的面积，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． ( 题型0 5 ) 圆的综合 1．（2025·湖南湘潭·一模）如图，是的直径，过点作的切线，点在右半圆上移动（点与点，不重合），过点作，垂足为；点在射线上移动（点在点的右边），且在移动过程中保持． (1)若，的延长线相交于点，判断是否存在点，使得点恰好在上？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由； (2)连接交于点，设，试问：的值是否随点的移动而变化？证明你的结论． 【答案】(1) (2)值不随点的移动而变化．证明见解析 【分析】（1）当点在上时，设与交于点，证明，即可得到； （2）由于是右半圆上的任意一点，且，由两直线平行，同位角相等知，由是的切线，由切线的性质知，，已知中有，即，得到，，又有，，故由，可知，又因为，则即得到，即，所以有，即值不随点的移动而变化． 【详解】（1）解：当点在上时，设与交于点， ∵， ． ∵， ． ． 又，， 即， ． （2）值不随点的移动而变化．理由是： ∵是右半圆上的任意一点，且， ． ∵是的切线， ． 又∵， ． ． ． ． 又∵，， ． ． 又∵， 即． 即． ． 即值不随点的移动而变化． 【点睛】本题利用了切线的性质，垂径定理、平行线的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形和全等三角形的判定和性质是关键． 2．（2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长； (2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题： 如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 【答案】(1)3 (2)，证明见解析； (3)或． 【分析】本题考查了圆周角，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，理解阿基米德折弦定理是解题关键． （1）根据阿基米德折弦定理求解即可； （2）在上取，连接、、、，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，即可得出结论； （3）先利用圆周角和勾股定理，求得，再分两种情况讨论：当点在上方时，过点作于点，连接、；②当点在下方时，过点作于点，结合上述结论分别求解即可． 【详解】（1）解：由阿基米德折弦定理可知，， ， ， ， ； （2）解：，证明如下： 如图3，在上取，连接、、、， 点M是中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，即； （3）解：是的直径， ， 的半径为10， ， ， 由勾股定理得：， ， ①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， ， ， ； ②当点在下方时，如图，过点作于点， ，， ， ，即点是的中点， 由（2）可知，， ， 在中，， 综上可知，长为或． 3．（2025·湖南岳阳·一模）如图1，非直径的弦，在上运动，连接，，，． (1)如图2，当点，重合时，若，，则______． (2)如图3，当弦在弦所对的优弧上时，延长，交于点，，，． ①求证； ②求半径． (3)如图4，在（2）条件下，连接，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)①见详解；② (3) 【分析】（1）先求出的度数，然后根据圆周角定理求解即可； （2）①连接，由圆周角定理得，，然后利用三角形外角的性质求解即可； ②取上一点，使得，连接，，．证明为等边三角形，作于点．在求出和，进而可求出，然后可求半径； （3）先判断在运动过程中形状不变，当为直径时，最大，然后求出的长即可求出的最大值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴． 故答案为：； （2）解：① 如图1，连接． ∵，， ∴， 又， ∴； ②如图2，取上一点，使得，连接，，． ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴为等边三角形 作于点． ∵ ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴ （3）解：∵为定值， ∴是定值， ∴是定值， ∵， ∴在运动过程中形状不变，当为直径时，最大． ∴， ∴， ∴， 即最大值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，以及锐角三角函数的知识，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 4．（2025·湖南娄底·一模）【问题背景】 如图，是的外接圆，为直径， 的度数为， 点是的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点，连接． (1)【初步感知】 图中， 当时，_______； (2)【问题探究】 如图，连接，，当等于多少度时，四边形是菱形？请说明理由； 如图，若的半径为， ，求阴影部分的面积（结果用含和根号的式子表示）． 【答案】(1) (2)当时，四边形是菱形，理由见解析； ． 【分析】连接，根据圆周角定理可知，根据切线的定义可知，从而可得，根据可得，根据点是的内心，可得，从而可得； 连接，当时，可证是等边三角形，所以可得，所以可得根据圆周角定理可知，根据同位角相等两直线平行可证，所以可证四边形是平行四边形，再根据可证四边形是菱形； 连接，，根据为直径，，可得：，根据扇形的面积公式可得，根据可得，根据三角形的面积公式可得，用的面积减去扇形的面积，即可得阴影面积． 【详解】（1）解：如下图所示，连接， 是的直径， ， 又是的切线， ， ， ， ， 又， ， 又 点是的内心， 平分， ， ， 故答案为：； （2）解：当时，四边形是菱形， 理由如下： 点是的内心，， ， ， ， 连接，则是等边三角形， ，， 四边形是菱形； 如下图所示，连接，， 为直径，， ，，，， ， 是的切线， ， 在中，，， ， ， ， 阴影部分的面积． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、菱形的判定与性质、扇形的面积公式、锐角三角函数，本题的综合性较强，需要根据圆的基本性质找边和角之间的关系，再根据边和角之间的关系求解． 5．（2025·湖南长沙·一模）如图一，⊙O与坐标轴相交于点，点，过两点作直线． (1)①请分别写出、关于直线的对称点坐标 ， ； ②若C是平面内一点，且，则C点横坐标的最大值为 ． (2)如图二，若P是外一点，已知圆上一点，连接PA和PM，且直线和中一条经过点O，另一条是的切线，求点P的坐标． (3)如图三，已知点，，对于线段上一点F，存在的弦，连接，，使得直线和中一条经过点O，另一条是切线，记的长为t，当点F在线段上运动时，求出t的取值范围． 【答案】(1)①，；②4 (2)， (3)或 【分析】（1）①根据轴对称的性质画图，即可得到坐标； ②根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半，需要画出以线段为弦的两个圆，并且所对的圆心角是，画出如图，即可得到答案； （2）根据题意分两种情况讨论，即可解决问题； （3）此小问要想求出t的取值范围，需要充分理解题意，可以设G为切点也可以是H为切点都是一样的，我们不妨设G为切点，再进行讨论点F的位置，即可求得答案； 【详解】（1）①由轴对称的性质可作图，即可得到、关于直线的对称点坐标，； 故答案为：，； ②如图，要使，点C是两个圆上优弧上任意一点（除A、B之外），即可得到横坐标最大值为4， 故答案为∶4． （2）解：由题意分以下两种情况讨论： ①如图，若为切线，则点P是直线与直线的交点．此时． ②如图，若为切线，则，点P是直线（y轴）与直线的交点． 易得的解析式为．此时 综上所述，，． （3）解：不妨设G为切点，和为直线与的两个交点，且为短弦，为长弦 共有2种临界情况，分别位于点D和经过点O的的垂线上． ①    当F位于点时，为的切线，连结，，， ， ，； ②    当F位于经过点O的的垂线上时， 如图： ，， ， ， ∴， 由题易得：， ， ， 在直角三角形中， ∴ 解的：， 在两种情况下，最小值在内，最大值在， 综上所述，t的取值范围为或 【点睛】本题主要考查了轴对称的定义，图形与坐标，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，解决此题的关键是要充分理解题意，读懂题意． 6．（2025·湖南株洲·一模）二次函数与轴相交于，两点，与轴交于点，它的对称轴是直线． (1)求此二次函数的解析式和点的坐标； (2)如图1，是轴右侧的抛物线上一点，连接与拋线线的对称轴交于点，过点作于点，连接．是否存在点，使与全等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)如图2，连接，是轴上正半轴上一点，以为半径作，若与线段只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)存在点 (3)或 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，勾股定理，直线与圆位置关系等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据点在函数图象上，对称轴是直线，运用待定系数法求解即可． （2）分为①当时，②当时，结合图象和全等三角形判定求解即可． （3）先算出①当与线段相切时，②当经过点时，③当经过点时，对应的临界值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， 二次函数解析式为：， ， 令，解得：或4， 令，则， ，， 故此抛物线的解析式为：，． （2）解：如图，对称轴是直线， ①当时，P在第一象限，， ，代入中， ， ， ， 设直线解析式为， 则，解得：， ， ， ， ． ②当时，P在第四象限，显然与不全等； （或者， ，代入中， ， ， ， 设直线解析式为， 则，解得：， ， ， ， 与不全等） 综上所述，存在点，使与全等． （3）解：依题意知：的半径， ①当与线段相切时，如图所示， 设切点为H，连接，则，，， ，， ， ， ， ； ②当经过点时，M为中点，． ③当经过点时，如图， ，，， ， ， ， ， 当与线段只有一个公共点时，m的取值范围是：或． 1．（2025·湖南永州·一模）如图，是的直径，弦于点E，过延长线上一点F作的切线交的延长线于点G，切点为M，连接交于点N． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接，利用圆的切线的性质定理，垂直的性质，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，对顶角线段，同角的余角相等的性质得到，再利用等腰三角形的判定定理解答即可； （2）连接，，利用相似三角形的判定与性质求得，利用（1）的结论求得线段，，利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质求得，设，则，利用相似三角形的判定与性质求得k值，则结论可求． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的 性质定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 2．（2025·湖南长沙·一模）如图，是以为直径的上一点，为的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求线段的长； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，扇形面积的计算等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键． （1）连接，如图，根据垂径定理由为的中点，得到为的垂直平分线，所以，证明，得出，根据切线的判定定理得与相切； （2）设的半径为，则，，得出，解得，求出的长； （3）由扇形的面积公式可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴， 是的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为，则， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴， ∵， , ， ∴； （3）解：∵， ∴在中，， ∴． 3．（2025·湖南衡阳·一模）如图，在中，直径，弦，点在的延长线上，线段交于点，过点作分别交，于点，，连结． (1)求证：． (2)当为等腰三角形时，求的长． (3)当当，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2)长为6或4或 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据同弧所对的圆周角相等，得出，即可得证； （2）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据（1）的结论分别分析讨论即可求解； （3）由（1）得．进而得出，是等腰直角三角形，根据，得出，，证明，求得，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴ 当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时， ∴． 连接，则，根据等腰三角形三线合一得． ②当时， ∴． ∵， ∴， ∴． ③当时， ∴． 连接，∵， ∴由等腰三角形三线合一得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上可得，当为等腰三角形时，长为6或4或． （3）解：由（1）得． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵ ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 4．（2025·湖南长沙·一模）若直线与函数的图象存在至少一个交点，则称该函数是直线的“关联函数”，它们的交点叫做“关联点”．已知点的坐标为． (1)若直线为：，它的“关联函数”的图象也是一条直线：，求“关联点”点的坐标； (2)若直线，它的“关联函数”为：，且“关联点”只有一个恰好是点，求和的值； (3)若抛物线，满足：对于抛物线上的任意两点，，当时，始终成立．且抛物线是直线的“关联函数”，“关联点”也是点和另一点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求的值． 【答案】(1)； (2)，或，； (3)． 【分析】（）联立，然后解出方程的解即可； （）联立联立，得，然后分当时和当时两种情况，求出的值即可； （）由时，始终成立，则抛物线的对称轴为直线，即，由关联点的坐标为，则抛物线解析式为，直线解析式为，联立，求出点的坐标为，设圆的半径为，又圆恰好与轴相切，则，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：联立， 解得:， ∴； （2）∵直线的“关联函数”为且“关联点”只有一个恰好是点， ∴， ∴，， 联立， 得， 当时， ∴， 当时， ∴， ∴； ∴， 综上可知：，或，； （3）解：∵当时，始终成立， ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∴， ∵关联点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵抛物线解析式为，直线解析式为， 联立， 整理得， ∵， ∴解得：，， ∴点的坐标为， 设圆的半径为， ∵以为直径的圆，点的坐标为， ∴，圆心坐标为， ∵圆恰好与轴相切， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义下的二次函数的综合运用，理解新定义，切线的性质，二次函数与一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 圆 题型概览 题型01圆心角、圆周角定理及其推论 题型02 垂径定理 题型03 切线的性质与判定 题型04 弧长与扇形面积 题型05 圆的综合 ( 题型01 ) 圆心角、圆周角定理及其推论 1．（2025·湖南长沙·一模）如图，的半径与弦互相垂直平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南张家界·一模）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 3．（2025·湖南株洲·一模）如图，在以为直径的上有一点，以为对角线作正方形，恰好点在直径上，连接并延长交于点，连接． (1)求的值； (2)若的半径为2，求弦的长． 4．（2025·湖南长沙·一模）如图，点在上，，则 ． ( 题型0 2 ) 垂径定理 1．（2025·湖南·一模）如图，已知是圆O的直径，A，B是圆O上的两点，交于点C，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南娄底·一模）如图，是的弦， 点 P在弦 上，，则的半径长为 ． 3．（2025·湖南永州·一模）如图，点C是以为直径的半圆O上的动点，连结，作圆心O关于的对称点，射线交半圆O于点D，连结，与交于点E． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的值； (3)当，时，求的面积． ( 题型0 3 ) 切线的性质与判定 1．（2025·湖南株洲·一模）如图，是的切线，是切点，是上一点，连接并延长交切线于点，已知，则的大小是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·一模）如图，是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南永州·一模）如图，D是以为直径的上一点，过点D的切线交的延长线于点E，过点B作交的延长线于点C，垂足为点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．（2025·湖南常德·一模）已知，如图，是的直径，点C为上一点，于点F，交于点E，与交于点H，点D为的延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)连接，求证：； (3)若的半径为10，，求的长． 5．（2025·湖南湘西·一模）如图，以为直径的经过点C，过点C作的切线交的延长线于点P，D是上的点，且，弦的延长线交切线于点E，连接． (1)求的度数； (2)若的半径为3，，求的长． 6．（2025·湖南长沙·一模）如图，为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点，连接，过点C作，交的延长线于点E，连接、． (1)若，求证：是的切线． (2)连接，若，，求的半径长． 7．（2025·湖南岳阳·一模）请从下列备选关系式：“①，②．”中选择一个你认为合适的作为下面问题的已知条件，将其序号填写在横线上，并解决问题：已知为半圆的直径，是的切线，过圆心作分别交直线于点D、E，___________，如图． (1)求证：是的切线； (2)若，求与的长． 8．（2025·湖南·一模）如图，是半圆的直径，圆心为．，是劣弧上一点，过点作的切线交的延长线于点，与交于点． (1)求证：； (2)设，过点作交半圆于点，请用含的代数式表示的长，并求出当是多少时，点与点重合． ( 题型0 4 ) 弧长与扇形面积 1．（2025·湖南长沙·一模）在半径为的中，的圆心角所对的弧长是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·一模）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（   ） A． B． C．60 D． 3．（2025·湖南·一模）如图所示的扇形中，若，，的长为40，则的长为 ． 4．（2025·湖南长沙·一模）如图，将绕点逆时针旋转至，若，则点旋转到点所经过的路径长为 . 5．（2025·湖南·一模）如图是一顶用竹篾编制的圆锥形斗笠，若斗笠高为厘米，斗笠底部边沿的周长为厘米，则这个斗笠的表面积是 平方厘米． 6．（2025·湖南郴州·一模）如图，在中，，弦的长为，求扇形的面积是 ． 7．（2025·湖南衡阳·一模）如图，，为的直径，连接，，延长至点，使，连接． (1)求证：所在的直线与相切； (2)若直径，求阴影部分的面积． ( 题型0 5 ) 圆的综合 1．（2025·湖南湘潭·一模）如图，是的直径，过点作的切线，点在右半圆上移动（点与点，不重合），过点作，垂足为；点在射线上移动（点在点的右边），且在移动过程中保持． (1)若，的延长线相交于点，判断是否存在点，使得点恰好在上？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由； (2)连接交于点，设，试问：的值是否随点的移动而变化？证明你的结论． 2．（2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长； (2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题： 如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 3．（2025·湖南岳阳·一模）如图1，非直径的弦，在上运动，连接，，，． (1)如图2，当点，重合时，若，，则______． (2)如图3，当弦在弦所对的优弧上时，延长，交于点，，，． ①求证； ②求半径． (3)如图4，在（2）条件下，连接，直接写出的最大值． 4．（2025·湖南娄底·一模）【问题背景】 如图，是的外接圆，为直径， 的度数为， 点是的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点，连接． (1)【初步感知】 图中， 当时，_______； (2)【问题探究】 如图，连接，，当等于多少度时，四边形是菱形？请说明理由； 如图，若的半径为， ，求阴影部分的面积（结果用含和根号的式子表示）． 5．（2025·湖南长沙·一模）如图一，⊙O与坐标轴相交于点，点，过两点作直线． (1)①请分别写出、关于直线的对称点坐标 ， ； ②若C是平面内一点，且，则C点横坐标的最大值为 ． (2)如图二，若P是外一点，已知圆上一点，连接PA和PM，且直线和中一条经过点O，另一条是的切线，求点P的坐标． (3)如图三，已知点，，对于线段上一点F，存在的弦，连接，，使得直线和中一条经过点O，另一条是切线，记的长为t，当点F在线段上运动时，求出t的取值范围． 6．（2025·湖南株洲·一模）二次函数与轴相交于，两点，与轴交于点，它的对称轴是直线． (1)求此二次函数的解析式和点的坐标； (2)如图1，是轴右侧的抛物线上一点，连接与拋线线的对称轴交于点，过点作于点，连接．是否存在点，使与全等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)如图2，连接，是轴上正半轴上一点，以为半径作，若与线段只有一个公共点，求的取值范围． 1．（2025·湖南永州·一模）如图，是的直径，弦于点E，过延长线上一点F作的切线交的延长线于点G，切点为M，连接交于点N． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 2．（2025·湖南长沙·一模）如图，是以为直径的上一点，为的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求线段的长； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 3．（2025·湖南衡阳·一模）如图，在中，直径，弦，点在的延长线上，线段交于点，过点作分别交，于点，，连结． (1)求证：． (2)当为等腰三角形时，求的长． (3)当当，求的值． 4．（2025·湖南长沙·一模）若直线与函数的图象存在至少一个交点，则称该函数是直线的“关联函数”，它们的交点叫做“关联点”．已知点的坐标为． (1)若直线为：，它的“关联函数”的图象也是一条直线：，求“关联点”点的坐标； (2)若直线，它的“关联函数”为：，且“关联点”只有一个恰好是点，求和的值； (3)若抛物线，满足：对于抛物线上的任意两点，，当时，始终成立．且抛物线是直线的“关联函数”，“关联点”也是点和另一点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求的值． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$