精品解析：浙江省杭州市北斗联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题

绝密★考试结束前 2024学年第二学期杭州北斗联盟期中联考 高二数学学科试题卷 命题：萧山八中、临平实验中学 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题纸． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ）． A. R B. C. D. 2. 已知复数，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 3. 已知直线，圆，则“”是“直线上存在点，使点在圆内”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 北京有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客每天分别从北京烤鸭、炸酱面、糖火烧、豆汁、老北京涮羊肉、爆肚这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（ ） A. 15 B. 90 C. 270 D. 540 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数在处的切线为，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，A为C的左支上一点，与C的一条渐近线平行.若，则C的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 8. 数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线：，当时，是我们熟知的圆；当时，曲线是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，常用于超轻材料的设计．则下列关于曲线说法错误的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线上的点到轴，轴的距离之积不超过 C. 曲线与有8个交点 D. 曲线所围成图形的面积小于2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知展开式中二项式系数之和为64，则（ ） A. B. 展开式的各项系数之和是1 C. 展开式中第4项的二项式系数最大 D. 展开式中常数项为240 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 若，且，则函数的最小正周期为 C. 若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3 D. 若在上恰有4个零点，则的取值范围为 11. 在正四棱柱中，，，是棱上一动点，则下列结论正确的有（ ） A. 与所成角的余弦的最大值为 B. C. 若为棱的中点，则三棱锥外接球的表面积的最小值为 D. 若为棱上动点，则三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是_____． 13. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，8为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等.如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为________________. 14. 已知函数在上存在极值，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在锐角中，内角的对边分别为，且满足 （1）求； （2）若，点在延长线上，且，求． 16. 公差不为0的等差数列满足：，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点. （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 18. 已知抛物线的准线与椭圆相交所得线段长为. （1）求抛物线的方程； （2）设圆过，且圆心在抛物线上，是圆在轴上截得的弦.当在抛物线上运动时，弦的长是否有定值？说明理由； （3）过作互相垂直的两条直线交抛物线于、、、，求四边形的面积最小值. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，求k的值； （3）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★考试结束前 2024学年第二学期杭州北斗联盟期中联考 高二数学学科试题卷 命题：萧山八中、临平实验中学 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题纸． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ）． A. R B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集计算和二次不等式以及指数函数的不等式解法即可求解. 【详解】, , , 故选：B. 2. 已知复数，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求得，再求复数的模即可. 【详解】由题意， 则. 故选：D. 3. 已知直线，圆，则“”是“直线上存在点，使点在圆内”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由直线与圆相交可求得，则通过判断与的关系可得答案. 【详解】由直线上存在点，使点在圆内，得直线与圆相交，即1， 解得，即， 因为不一定能得到，而可推出， 所以“1”是“直线上存在点，使点在圆内”的必要不充分条件. 故选：B 4. 北京有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客每天分别从北京烤鸭、炸酱面、糖火烧、豆汁、老北京涮羊肉、爆肚这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（ ） A. 15 B. 90 C. 270 D. 540 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：分析每天游客的选择可能性，结合分步乘法计数原理运算求解；解法二：利用分堆法，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】解法一：该游客第一天从6种美食中随机选择2种品尝，有种选法； 第二天从剩余的4种美食中随机选择2种品尝，有种选法； 第三天只能品尝最后剩余的2种美食，有种选法． 故该游客在这三天中选择美食的不同选法种数为； 解法二：先将6种美食平均分成3组，有种不同的分法， 该游客每天选择其中一组美食进行品尝，有种不同的选法， 所以这三天他选择美食的不同选法种数为． 故选：B. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合两角和的余弦公式可求得结果. 【详解】由已知条件可得，解得， 因此，. 故选：D. 6. 函数在处的切线为，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到且，由在处的切线为，得到且，联立得到，即可求得的值. 【详解】由函数，可得，则且， 因为函数在处的切线为，可得，且， 所以，可得，所以. 故选：A. 7. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，A为C的左支上一点，与C的一条渐近线平行.若，则C的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线，由平行关系求出，再结合双曲线定义及等腰三角形性质列式求出离心率. 【详解】由对称性，不妨取双曲线的渐近线，令的半焦距为c， 依题意，，则，而， 则，，解得， 所以C的离心率为. 故选：C 8. 数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线：，当时，是我们熟知的圆；当时，曲线是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，常用于超轻材料的设计．则下列关于曲线说法错误的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线上的点到轴，轴的距离之积不超过 C. 曲线与有8个交点 D. 曲线所围成图形的面积小于2 【答案】C 【解析】 【分析】对A，在方程中，以替代方程不变，可判断；对B，由基本不等式求解判断；对C，易得曲线在的内部，作出图象判断交点个数；对D，易求围成的正方形面积为2，又曲线在的内部，得解. 【详解】对于A，在方程中，以替代方程不变，所以曲线关于轴对称， 同理，以；替代方程均不变，所以曲线关于轴，坐标原点对称，如图，故A正确； 对于B，曲线上点到轴的距离为，到轴的距离为， 由，当且仅当时取等号， ，故B正确； 对于C，在第一象限内，，所以曲线在直线的下方， 所以两者有4个交点，分别为，故C错误； 对于D，如图，围成的正方形面积为， 所以曲线围成图形的面积小于2，故D正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据方程分析曲线在第一象限的性质. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知展开式中二项式系数之和为64，则（ ） A. B. 展开式的各项系数之和是1 C. 展开式中第4项的二项式系数最大 D. 展开式中常数项为240 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式系数之和得到，再根据二项式及展开式通项、组合数、赋值法判断各项的正误. 【详解】A，由题设，二项式系数之和，A错； B，所以时各项系数之和为，B对； C，由组合数的性质知，，即时二项式系数最大，C对； D，对于，则，， 令，则常数项为，D对. 故选：BCD 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 若，且，则函数的最小正周期为 C. 若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3 D. 若在上恰有4个零点，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，将代入求出的范围，再结合图象即可判断； 对于B，由可知一个为函数的最大值，一个为函数的最小值.又因为，可知取得最大最小值最近的两个点之间横坐标的距离即为半个周期，即可判断. 对于C，根据题给条件平移得到新的函数，再根据其关于轴对称，令，此时的函数值应为最值，对应的，即可求得，再给赋值即可求得的最小值. 对于D，整体代入得的范围，再结合图象即可判断从而确定的取值范围. 【详解】对于A，当时，，则，由图象可知在上单调递增，A正确； 对于B，由可知一个为函数的最大值，一个为函数的最小值.又因为，则当且仅当，，函数的最小正周期为，B错误； 对于C，若的图象向左平移个单位长度后，得到的函数解析式为，其图象关于轴对称，则 ，所以，又因为，则的最小值为，C错误； 对于D，，，则，若在上恰有4个零点，则当且仅当，得，D正确. 故选：AD. 11. 在正四棱柱中，，，是棱上一动点，则下列结论正确的有（ ） A. 与所成角的余弦的最大值为 B. C. 若为棱的中点，则三棱锥外接球的表面积的最小值为 D. 若为棱上动点，则三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由异面直线所成角可得与所成角即与所成角，即，在中，求出得解；对B，利用反证法，设，推理找出矛盾；对C，分别取的中点，由球的截面性质可得球心在线段上，设，则，由可得，由此求出外接球半径的得解；对D，由题可得的面积为定值，点到平面的距离为定值，可得解. 【详解】对于A，如图，在正四棱柱中，因为， 所以与所成角即与所成角，则即为所求角， 在中，，因为， 所以，即与所成角即与所成角的余弦的最大值为 ，故A正确； 对于B，如图，在正四棱柱中，易得平面，则， 若，又是平面内的两条相交直线，所以平面， 又平面，则，可得侧面为正方形，这与矛盾， 故假设错误，故B错误； 对于C，如图，分别取的中点，因为是的中点，易得， 又，则是等腰直角三角形，则是外接圆圆心， 而平面平面，所以由球的截面性质可得球心在线段上， 设，则，设三棱锥的外接球半径为， ，又，所以，即， 解得，则， 故三棱锥的外接球的表面积.故C正确； 对于D， 如图，因为点在上，所以，又点在棱上， 平面，所以点到平面的距离为1，即三棱锥的高为1， 所以，故三棱锥的体积为定值，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据点在函数上得出点，再写出向量坐标进而得出模长即可. 【详解】因为点在函数的图象上，所以，所以， 点的坐标是，则， 那么． 故答案为：. 13. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，8为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等.如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为________________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先发现斐波那契数的规律，并计算接下来的圆弧所在圆的半径和圆弧长，进而可得所求圆锥的底面半径. 【详解】由斐波那契数可知，从第3项起，每一个数都是前面两个数的和， 所以接下来的一段圆弧所在圆的半径是，对应的弧长是， 设圆锥的底面半径是， ，解得：. 故答案为：. 14. 已知函数在上存在极值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，再探讨并求出极值点，列式求出范围. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，，无极值点；当时，由，得， 当时，，当时，，则是函数的极值点， 依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在锐角中，内角的对边分别为，且满足 （1）求； （2）若，点在延长线上，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将角化为边，再用余弦定理即可求出角B的值 （2）利用正弦定理先求出，进而得到，再利用余弦定理即可求得结果. 【小问1详解】 由正弦定理，得， 由余弦定理，得，所以． 因为为三角形内角，所以． 【小问2详解】 在中，由正弦定理，得， 所以． 因为为锐角三角形，所以．所以． 在中，由余弦定理，得， 所以，所以． 所以． 16. 公差不为0的等差数列满足：，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差，等比定义即可解题； （2）利用分类讨论，并项求和，结合等差数列求和公式即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则，, 因为，所以可解得，即. 【小问2详解】 因为， 所以， 因为 当为偶数时， ； 当为奇数时， ． 综上所述：. 17. 如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点. （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1）证明：，，所以 又，， 又，，，. （2）证明：在直四棱柱中，平面，又平面，所以，， ，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，，. ，，， 设为平面的一个法向量， 令，得，. 设平面的一个法向量，则，取. ，又平面与平面不重合， 平面平面. （3）. 【解析】 【分析】（1）求出，即可得到，结合，即可得到，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，即可证明； （3）设，即可表示出的坐标，设直线与平面所成角为，利用向量法求出，再根据二次函数的性质求出的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，为平面的一个法向量，， 则， 设， ，， 设直线与平面所成角为， ， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 18. 已知抛物线的准线与椭圆相交所得线段长为. （1）求抛物线的方程； （2）设圆过，且圆心在抛物线上，是圆在轴上截得的弦.当在抛物线上运动时，弦的长是否有定值？说明理由； （3）过作互相垂直的两条直线交抛物线于、、、，求四边形的面积最小值. 【答案】（1） （2）假设在抛物线上运动时弦的长为定值，理由如下： 设在抛物线上，可知到轴距离为， 根据圆的弦长公式可知：， 由已知，， 所以， 则在抛物线上运动时弦的长的定值为. （3） 【解析】 【分析】（1）求出抛物线准线与椭圆相交一个交点为，将该点的坐标代入椭圆方程，求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）设在抛物线上，可知到轴距离为，可知，利用两点间的距离公式结合勾股定理可求得的值； （3）分析可知，过点且相互垂直，且与抛物线都有交点的两条直线的斜率都存在且不为零，设这两条直线的方程分别为、，其中，设直线交抛物线于点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式可求得，进而可得出，再利用四边形的面积公式结合基本不等式可求得四边形面积的最小值. 【小问1详解】 解：由已知，抛物线的准线与椭圆相交线段的一个端点坐标是， 把代入椭圆方程化简得，解得. 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：若过点且相互垂直的两条直线分别与两条坐标轴垂直， 则其中与轴重合的直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设过的的两条直线的方程分别为、，其中， 设直线交抛物线于点、， 由得， ， 由韦达定理可得，则， 同理可得， 所以，四边形的面积 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即四边形的面积的最小值为. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，求k的值； （3）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数几何意义求出切线的斜率，再求出切点坐标，写出切线方程即可； （2）利用导数研究的最值，由最小值为0，进一步利用导数研究方程的根即可； （3）应用（2）的结论，结合数列求和知识研究m的取值范围，进而求得最小值. 【小问1详解】 当时，，， 所以，所以切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为， 当时，， 所以在上单调递增， 又因为，与不符； 当时，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以，所以， 设， 则， 由，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以有唯一解，且. 【小问3详解】 由（2）知当时，， 当且仅当时，. 所以当且时，， 则. 取（），所以， 所以，，， 所以. 所以 所以 于是对于任意正整数n，， 只需，又因为，所以， 则m的最小值为. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $