第十六章 分式章末重点题型复习（18大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（华东师大版）

（华东师大版）八年级下册数学 第16章：分式章末重点题型复习 题型一 分式的定义 1．（2024秋•平南县期中）下列各式中，属于分式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•潍城区期中）下列代数式中，不是分式的为（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•深圳校级期中）下列四个式子：，x2+x，m，，其中分式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024秋•南岗区校级期中）下列各式：，，5，中，分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024秋•林州市月考）下列各式：（1﹣x），，，x，，其中是分式的有 　 　个． 题型二 分式有无意义的条件 1．（2024秋•越秀区期末）若分式有意义，则x的取值应满足（　　） A．x≠0 B． C． D．且x≠0 2．（2024春•青岛期末）当x＝1时，下列分式无意义的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•正定县期中）下列各式中，不论x取何值分式都有意义的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•凤阳县校级期末）当x＝2时，下列各项中哪个无意义（　　） A． B． C． D． 5．（1）当x为何值时，分式无意义？ （2）当x为何值时，分式有意义？ 题型三 分式的值为0的条件 1．（2024秋•平谷区期末）如果分式的值为0，那么x的值是（　　） A．x＝﹣2 B． C． D．x≠﹣2 2．（2024秋•巢湖市期末）当x＝2时，下列分式的值为0的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•长沙期末）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．±2 B．﹣2 C．0 D．2 4．（2024秋•新华区校级月考）对于分式下列说法不正确的是（　　） A．x＝0时，分式值为0 B．x＝3时，分式无意义 C．x＜0时，分式值为负数 D．x＞3时，分式的值为正数 5．（2024秋•昌黎县期中）当x＝　 　时，分式的值是0． 题型四 分式的基本性质 1．（2024春•泉港区期末）下列等式从左到右的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•桂阳县期中）若把分式中x，y都扩大3倍，则分式的值（　　） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．扩大到原来的9倍 D．缩小到原来的 3．（2024秋•建水县期末）下列各式中，从左到右的变形正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•振兴区校级模拟）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024春•越城区期末）不改变分式的值，把它的分式和分母中的各项的系数都化为整数，则所得结果为　 　． 题型五 最简分式的判断 1．（2024秋•莱西市期中）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•七星区校级期中）下列各式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•宁德期末）下列分式中，不是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•高唐县期中）下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024春•东坡区期末）分式，，，中，最简分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型六 分式的约分与通分 1．（2024秋•迁安市期中）下列分式约分正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•滨城区校级月考）把，，通分过程中，不正确的是（　　） A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2 B． C． D． 3．（2024春•兴化市校级月考）计算． （1）约分：； （2）通分：，． 4．（2024春•梁溪区校级月考）约分 （1） （2）． 5．（2024春•宿城区校级期中）通分： （1），； （2），． 题型七 分式的乘除、乘方运算 1．（2024秋•正定县期中）若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（　　） A．y﹣x B．y+x C． D．3x 2．（2024秋•任城区校级月考）计算： （1）； （2）． 3．（2024秋•丰城市校级月考）计算： （1）； （2）． 4．（2024秋•张店区校级月考）如图，小琪的作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若把污染的部分记为代数式A，若该题化简的结果为． 化简：的结果为_____ （1）求代数式A； （2）该题化简的结果能等于吗？为什么？ 5．（2024春•镇平县月考）老师在黑板上书写了一个代数式的正确演算结果，随后用手掌捂住了一部分，形式如下： （ （1）求所捂部分化简后的结果； （2）若x2﹣x﹣1＝0，求（1）所得代数式的值． 题型八 分式的加减法 1．（2024秋•桂平市期中）计算的结果是（　　） A．﹣c B．c C． D． 2．（2024春•衡阳县期末）已知：，则的值等于（　　） A．6 B．﹣6 C． D． 3．（2024•南开区一模）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•石景山区校级期中）计算： （1）； （2）． 5．（2024春•邗江区校级月考）计算： （1）； （2）． 题型九 分式的实际应用 1．（2024秋•顺义区期末）已知公式，其中R，R1，R2均不为零，且R1+R2≠0．若用含有R1，R2的式子表示R，则R为（　　） A．R1+R2 B． C． D． 2．（2024春•思明区校级期末）生活中有这么一个现象：“糖水加糖就更甜”．设有一杯b克的糖水里含有a克糖，如果在这杯糖水里再加入m克糖（仍不饱和），b＞a＞0，m＞0，则糖水更甜了．根据这一现象，下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 3．有甲、乙两筐水果，甲筐水果重（x﹣1）2千克，乙筐水果重（x2﹣1）千克（其中x＞1），若两筐水果都卖了50元． （1）哪筐水果的单价卖的低？ （2）高的单价是低的单价的多少倍？ 4． 商店通常用以下方法来确定两种糖果混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/kg，B种糖的单价为b元/kg，则m kg A种糖和n kg B种糖混合而成的什锦糖的单价为元/kg．现有甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种单价不同的糖混合而成．其中甲种什锦糖由10kg A种糖和10kg B种糖混合而成，乙种什锦糖由价值100元的A种糖和价值100元的B种糖混合而成．你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？ 5．A、B两港之间的距离为150千米． （1）若从A港口到B港口为顺流航行，且轮船在静水中的速度比水流速度快15千米/时，顺流所用时间比逆流少用4小时，求水流的速度； （2）若轮船在静水中的速度为v千米/时，水流速度为u千米/时，该船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返回到A港所用的时间为t1；若轮船从A港航行到B港再返回到A港均为静水航行，且所用时间为t2，请比较t1与t2的大小，并说明理由． 题型十 分式的混合运算 1．（2024•河北）已知A为整式，若计算的结果为，则A＝（　　） A．x B．y C．x+y D．x﹣y 2．（2024秋•商州区期末）阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示），■表示破损的部分．则破损部分的式子可能是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•定陶区期中）计算： （1）； （2）． 4．（2024秋•文登区校级期中）计算 （1）； （2）． 5．（2024秋•云阳县期末）计算： （1）； （2）． 题型十一 分式的化简求值 1．（2024•莘县一模）如果a2﹣2a﹣1＝0，那么代数式的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 2．（2024春•新会区校级月考）已知a+b＝2，ab＝﹣5，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•东城区期末）先化简，再求值：，其中x＝﹣1． 4．（2024秋•寻乌县期末）先化简：（），然后从﹣3＜m＜1的范围内选取一个合适的整数作为m的值代入求值． 5．（2024秋•张店区校级月考）化简求值：，其中x，y满足|x﹣1|+（y+2）2＝0． 题型十二 整数指数幂 1．计算（﹣2022）﹣1的正确结果是（　　） A．2022 B．﹣2022 C． D． 2．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如果代数式（x﹣1）﹣1有意义，则x应该满足（　　） A．x≠±1 B．x≠﹣1 C．x≠0 D．x≠1 3．（2024•盘龙区二模）在，﹣1，（﹣6）0，0这四个数中，最小的数是（　　） A． B．﹣1 C．（﹣6）0 D．0 4．（2024春•邯郸期末）若a＝0.42，b＝﹣4﹣2，，，则（　　） A．b＜a＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．c＜d＜a＜b D．c＜a＜d＜b 5．计算： （1）3a﹣2b•2ab﹣2； （2）． （3）4xy2z÷（﹣2x﹣2yz﹣1） （4）（2xy﹣1）2•xy÷（﹣2x﹣2y） （5） （a﹣3b﹣2）﹣2•（ab3）﹣3． （6）（m3n）﹣2•（2m﹣2n﹣3）﹣2． 题型十三 科学记数法表示绝对值小于1的数 1．（2024秋•巩义市期末）肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为700纳米，已知1纳米＝10﹣9米，那么700纳米用科学记数法可表示为（　　） A．7×10﹣8 B．7×10﹣7 C．70×10﹣8 D．0.7×10﹣7 2．（2024秋•宁远县期中）某新型纤维的直径约为0.000028米，将该新型纤维的半径用科学记数法表示是（　　） A．2.8×10﹣4米 B．2.8×10﹣5米 C．1.4×10﹣4米 D．1.4×10﹣5米 3．奥密克戎是一种新型冠状病毒，它的直径约为60～140纳米（1纳米＝0.000000001米）．其中“140纳米”用科学记数法表示为（　　） A．1.4×10﹣11米 B．1.4×10﹣7米 C．14×10﹣8米 D．0.14×10﹣10米 4．5G是第五代移动通信技术，应用5G网络下载一个1000KB的文件只需要0.00076秒，则数据0.00076用科学记数法可表示为 　 　． 5．近几年我国芯片产业出现被卡脖子的情况，其实中国半导体的芯片设计能力已经很强，主要问题和难点在制造环节．目前我国只能做到0.000000014米的制程，用科学记数法将0.000000014可表示为 　 　． 题型十四 分式方程的定义 1．（2024春•渠县校级期末）下列各式中为分式方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•西丰县期末）下列方程中，是分式方程的是（　　） A．1 B．x2 C．2x＝x﹣5 D．x﹣4y＝1 3．（2024秋•高唐县校级月考）下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列方程：①2，②3，③，④5，⑤1＝0中，关于x的分式方程有（填写序号）：　 　． 5．（2024春•宜宾月考）在方程，，，中，分式方程有 　 　个． 题型十五 解分式方程 1．（2024春•南岸区期末）解分式方程的过程如下： 解：方程两边都乘x（x﹣2）， 得x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣1① 去括号，得x2﹣x＝x2﹣2x﹣1② 解这个方程，得x＝1③ 检验：将x＝1代入x（x﹣2），x（x﹣2）≠0，所以x＝1是原方程的根．④ 以上解答过程中，开始出错的一步是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 2．（2024春•长宁区期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（　　） A．y2﹣3y﹣4＝0 B．y2+3y﹣4＝0 C． D． 3．（2024秋•昌黎县期中）分式与互为相反数，则x的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 4．（2024秋•河东区期末）解分式方程 （1）； （2）． 5．（2024秋•大祥区期末）解方程：（1）； （2）． 题型十六 分式方程的增根 1．（2024秋•慈利县期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 2．（2024秋•芝罘区期末）若关于x的分式方程有增根，则m为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣1或2 3．（2024秋•娄星区校级期中）若关于x的分式方程有增根，求m的值． 4．（2024春•濉溪县校级月考）已知关于x的方程． （1）当k＝1时，求该方程的解； （2）若方程有增根，求k的值． 5．（2024秋•永兴县校级月考）（1）已知关于x的分式方程有增根，求a的值． （2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值． 题型十七 分式方程有解与无解问题 1． （2024秋•东安县期中）已知关于x的方程无解，则k的值为 　 ． 2．（2024秋•海阳市期中）若分式方程无解，则k的值为（　　） A．±1 B．2 C．1或2 D．﹣1或2 3．（2024•夏津县二模）已知关于x的分式方程的解为正数，则实数m的取值范围是（　　） A．m＞﹣6 B．m＜6 C．m＜6且m≠3 D．m＞﹣6且m≠3 4．（2024春•潜山市期末）已知关于x的分式方程1无解，关于y的不等式组的整数解有且仅有3个，求n的取值范围． 5．（2023秋•高安市期末）已知关于x的分式方程． （1）若这个方程的解是正数，请求出m取值范围； （2）若这个方程无解，请你直接写出m的值． 题型十八 分式方程的应用 1．（2024•拱墅区模拟）随着快递业务量的增加，某快递公司为快递员更换快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每天300件提高到420件，平均每人每天比原来多投递8件．若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每天投递快件多少件？设原来平均每人每天投递快件x件，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．（2024•大连模拟）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程（　　） A． B． C． D． 3．（2024•榆阳区校级开学）某文具店的一种笔记本只在节假日期间按8折优惠出售．某同学发现，同样花12元钱购买这种笔记本，节假日期间正好比节假日前多买一本．这种笔记本节假日期间每本的售价是（　　） A．2.4元 B．2元 C．3元 D．1.6元 4．（2024秋•桂平市期中）某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比爽．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套少10元，用400元在甲商店租用服装的数量与用500元在乙商店租用服装的数量相等． （1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？ （2）租用100套以上服装，乙商店给以每套打八折后再减200元的优惠，若该参赛队伍准备花费5000元租用一定数量的服装，则在哪家店租的套数更多？请说明理由． 5．（2024秋•双辽市期末）某书店在世界读书日这天举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的活动，掀起了一股读书热潮．在活动中书店老板发现A，B两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本．已知B种图书每本的进价比A种图书贵6元，用2100元购进A种图书和用2520元购进B种图书的本数相同． （1）A，B两种图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店老板第二次购进两种书共200本，已知每本A种图书的利润为3元，每本B种图书的利润为9元，若销售完后所获利润不少于1600元，则至多购进A种图书多少本？ 6．（2024•东莞市校级二模）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （华东师大版）八年级下册数学 第16章：分式章末重点题型复习 题型一 分式的定义 1．（2024秋•平南县期中）下列各式中，属于分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意； B．分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意； C．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意； D．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】此题考查了分式的定义，解题的关键是熟记定义并正确判断． 2．（2024秋•潍城区期中）下列代数式中，不是分式的为（　　） A． B． C． D． 【分析】如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．根据分式的定义分析判断即可． 【解答】解：，，是分式，是单项式，属于整式． 故选：D． 【点评】本题考查了分式的定义，分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． 3．（2024秋•深圳校级期中）下列四个式子：，x2+x，m，，其中分式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据分式的定义可得． 【解答】解：分母上含有字母的式子是分式，题目中所给的式子中只有，两个分母中都含有字母，所以这两个是分式， 故选：B． 【点评】本题考查的是分式的定义，解题的关键是看分母上有没有字母． 4．（2024秋•南岗区校级期中）下列各式：，，5，中，分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据分式的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：下列各式：，，5，中，分式有：，，，共有3个． 故选：C． 【点评】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 5．（2024秋•林州市月考）下列各式：（1﹣x），，，x，，其中是分式的有 　 　个． 【分析】根据分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式进行分析即可． 【解答】解：（1﹣x），是多项式，属于整式； ，是单项式，属于整式； ，是多项式，属于整式； 分式有x，，共2个． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了分式定义，关键是掌握分式分母中必须含有字母． 题型二 分式有无意义的条件 1．（2024秋•越秀区期末）若分式有意义，则x的取值应满足（　　） A．x≠0 B． C． D．且x≠0 【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，列不等式求解即可． 【解答】解：由题意得：3x+5≠0， 解得：x． 故选：C． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是：分母不为零是解题的关键． 2．（2024春•青岛期末）当x＝1时，下列分式无意义的是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案． 【解答】解：A、当x＝1时，分式有意义，不符合题意； B，当x＝1时，分式有意义，不符合题意； C、当x＝1时，x﹣1＝0，分式无意义，符合题意； D、当x＝1时，x+1≠0，分式有意义，不符合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 3．（2024秋•正定县期中）下列各式中，不论x取何值分式都有意义的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式有意义，分母不等于0对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A．无论x取何值，2x2+1＞0，分式都有意义，故本选项符合题意； B．x时，2x+1＝0，分式无意义，故本选项不符合题意； C．x时，3x﹣1＝0，分式无意义，故本选项不符合题意； D．x＝0时，2x2＝0，分式无意义，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零． 4．（2024春•凤阳县校级期末）当x＝2时，下列各项中哪个无意义（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式无意义的条件是分母等于零进行判断即可． 【解答】解：当x＝2时，x2﹣4＝0， 所以当x＝2时，无意义． 故选：A． 【点评】本题考查了分式无意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，分式无意义的条件是分母等于零． 5．（1）当x为何值时，分式无意义？ （2）当x为何值时，分式有意义？ 【分析】（1）根据分式无意义，可得3x﹣2＝0，进一步求解即可； （2）根据分式有意义，可得x﹣1≠0且x+2≠0，进一步求解即可． 【解答】解：（1）要使分式无意义， 则3x﹣2＝0， 解得x； （2）要使分式有意义， 则x﹣1≠0且x+2≠0， ∴x≠1且x≠﹣2． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 题型三 分式的值为0的条件 1．（2024秋•平谷区期末）如果分式的值为0，那么x的值是（　　） A．x＝﹣2 B． C． D．x≠﹣2 【分析】根据分式的值为零即分子为0且分母不为0计算即可． 【解答】解：根据题意得，0， ∴2x﹣3＝0且x+2≠0， ∴x， 故选：B． 【点评】本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键． 2．（2024秋•巢湖市期末）当x＝2时，下列分式的值为0的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零判断即可． 【解答】解：A、当x＝2时，分式无意义，分式的值不为0，不符合题意； B、当x＝2时，分式的值为0，符合题意； C、当x＝2时，分式无意义，分式的值不为0，不符合题意； D、当x＝2时，分式无意义，分式的值不为0，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键． 3．（2024秋•长沙期末）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．±2 B．﹣2 C．0 D．2 【分析】根据分式值为零条件可得x2﹣4＝0，且x﹣2≠0，再解即可． 【解答】解：根据分式值为零条件：x2﹣4＝0，且x﹣2≠0， 解得：x＝﹣2， 故选：B． 【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 4．（2024秋•新华区校级月考）对于分式下列说法不正确的是（　　） A．x＝0时，分式值为0 B．x＝3时，分式无意义 C．x＜0时，分式值为负数 D．x＞3时，分式的值为正数 【分析】根据分式的分子与分母的不同取值，进行判断即可． 【解答】解：A、x＝0时，分式，A正确，但不符合题意； B、x＝3时，分式的分母为0，故分式无意义，B正确，但不符合题意； C、x＜0时，x﹣3＜0，则分式，分式值为正数，C不正确，但符合题意； D、x＞3时，x﹣3＞0，且x＞0，于是，D正确，但不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了分式的值为0、为正数、为负数、无意义的条件，解题的关键是熟知分式在分母为0时无意义． 5．（2024秋•昌黎县期中）当x＝　 　时，分式的值是0． 【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案． 【解答】解：∵分式的值是0， ∴1﹣x2＝0，且|x﹣1|≠0， 解得：x＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关定义是解题关键． 题型四 分式的基本性质 1．（2024春•泉港区期末）下列等式从左到右的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，分析求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【解答】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、a+1，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查了分式的基本性质．此题比较简单，注意熟练掌握性质是关键． 2．（2024秋•桂阳县期中）若把分式中x，y都扩大3倍，则分式的值（　　） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．扩大到原来的9倍 D．缩小到原来的 【分析】根据分式的基本性质计算即可． 【解答】解：把分式中x，y都扩大3倍，则： ， 分式的值不变． 故选：B． 【点评】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质解决此题． 3．（2024秋•建水县期末）下列各式中，从左到右的变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变，然后进行逐项判断． 【解答】解：A、原变形错误，故不符合题意； B、原变形错误，故不符合题意； C、原变形错误，故不符合题意； D、原变形正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟记分式的基本性质并运用是解决此题的关键． 4．（2024•振兴区校级模拟）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质分别计算后判断即可． 【解答】解：A．分子分母同时加上同一个数，分式不一定成立，故原选项错误，不符合题意； B．，故原选项正确，符合题意． C．，故原选项错误，不符合题意； D．，故原选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 5．（2024春•越城区期末）不改变分式的值，把它的分式和分母中的各项的系数都化为整数，则所得结果为　 　． 【分析】根据分式的基本性质把分子和分母都乘以10即可． 【解答】解：． 故答案为． 【点评】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同乘以或除以一个不为0的数（或式），分式的值不变． 题型五 最简分式的判断 1．（2024秋•莱西市期中）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简分式的概念判断即可． 【解答】解：A、，所以不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是最简分式的概念，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 2．（2024秋•七星区校级期中）下列各式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据整式的定义对A选项和D选项进行判断；根据最简分式的定义对B选项和C选项进行判断． 【解答】解：A． 为整式，不是分式，所以A选项不符合题意； B． 是最简分式，所以B选项符合题意； C． ，所以C选项不符合题意； D． 为整式，不是分式，所以D选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．也考查了整式． 3．（2024春•宁德期末）下列分式中，不是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简分式的概念判断即可． 【解答】解：A、，不是最简分式，符合题意； B、，是最简分式，不符合题意； C、，是最简分式，不符合题意； D、，是最简分式，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是最简分式的概念，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 4．（2024秋•高唐县期中）下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简分式的概念判断即可． 【解答】解：A、b﹣a，不是最简分式，不符合题意； B、1，不是最简分式，不符合题意； C、，是最简分式，符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 5．（2024春•东坡区期末）分式，，，中，最简分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【解答】解：分子分母有公因式x2﹣1， ；；这三个是最简分式． 故选：C． 【点评】最简分式就是分子和分母没有可以约分的公因式． 题型六 分式的约分与通分 1．（2024秋•迁安市期中）下列分式约分正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质分别进行化简，即可得出答案． 【解答】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、不能约分，故本选项不符合题意； D、x，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了分式的约分，正确根据分式的基本性质得出是解题关键． 2．（2024秋•滨城区校级月考）把，，通分过程中，不正确的是（　　） A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2 B． C． D． 【分析】按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案． 【解答】解：A、最简公分母为最简公分母是（x﹣2）（x+3）2，正确； B、，通分正确； C、，通分正确； D、通分不正确，分子应为2×（x﹣2）＝2x﹣4； 故选：D． 【点评】根据分数的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．通分保证（1）各分式与原分式相等；（2）各分式分母相等． 3．（2024春•兴化市校级月考）计算． （1）约分：； （2）通分：，． 【分析】（1）分别把分子和分母分解因式，然后约去公因式即可得到答案； （2）先把两个分式的分母分解因式，再找到两个分式的公分母，再进行通分即可． 【解答】解：（1） ； （2）∵，， ∴， ， 【点评】本题主要考查了分式的约分和通分，熟知约分和通分的计算法则是解题的关键． 4．（2024春•梁溪区校级月考）约分 （1） （2）． 【分析】（1）根据约分的方法可以解答本题； （2）根据完全平方公式和平方差公式先对题目中式子的分子分母分解因式，即可解答本题． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查约分，解答本题的关键是明确约分的方法． 5．（2024春•宿城区校级期中）通分： （1），； （2），． 【分析】（1）根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案； （2）根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案． 【解答】解：（1），， ∵最简公分母是a2b2， ∴， ； （2）∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），x2+xy＝x（x+y）， ∴最简公分母是x（x+y）（x﹣y）， ∴， ． 【点评】此题考查了通分，掌握通分的定义即通分：将异分母分式转化成同分母的分式是解题的关键． 题型七 分式的乘除、乘方运算 1．（2024秋•正定县期中）若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（　　） A．y﹣x B．y+x C． D．3x 【分析】根据分式的乘除法法则进行解题即可． 【解答】解： ∵运算的结果为整式， ∴□中式子一定含有x的单项式， 故只有D项符合． 故选：D． 【点评】本题考查分式的乘除法和整式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 2．（2024秋•任城区校级月考）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）按分式的除法法则运算即可； （2）按分式的乘法法则运算即可． 【解答】解：（1）原式＝3ab2• ； （2）原式• ． 【点评】本题主要考查了分式的乘除法，将结果化成最简分式是解题的关键． 3．（2024秋•丰城市校级月考）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可； （2）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可； 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】此题了考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 4．（2024秋•张店区校级月考）如图，小琪的作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若把污染的部分记为代数式A，若该题化简的结果为． 化简：的结果为_____ （1）求代数式A； （2）该题化简的结果能等于吗？为什么？ 【分析】（1）先化简，再根据化简结果为进行求解即可； （2）若，可解得x＝4，得到A＝x﹣4＝0，此时没有意义，由此即可得到结论． 【解答】解：（1）， ∵该题化简的结果为， ∴， ∴； （2）该题的化简结果不能等于，理由如下： 当时，则x+3＝7，解得x＝4， 经检验x＝4是方程的解， ∵当x＝4时，A＝x﹣4＝0，即分式，此时没有意义， ∴该题的化简结果不能等于． 【点评】本题主要了分式的除法计算，解分式方程，正确计算是解题的关键． 5．（2024春•镇平县月考）老师在黑板上书写了一个代数式的正确演算结果，随后用手掌捂住了一部分，形式如下： （ （1）求所捂部分化简后的结果； （2）若x2﹣x﹣1＝0，求（1）所得代数式的值． 【分析】（1）根据被除数＝除数乘以商，列式计算即可； （2）根据x2﹣x﹣1＝0，变形得x2＝x+1，整体代入解答即可． 【解答】解：（1）根据题意，得所捂部分为： ． （2）根据x2﹣x﹣1＝0， 变形得x2＝x+1， 故． 【点评】本题考查了分式化简混合计算，求分式的值，熟练掌握化简的基本方法，整体代入求值是解题的关键． 题型八 分式的加减法 1．（2024秋•桂平市期中）计算的结果是（　　） A．﹣c B．c C． D． 【分析】先变形，再根据同分母的分式相加减的法则计算即可． 【解答】解： ＝c， 故选：B． 【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．（2024春•衡阳县期末）已知：，则的值等于（　　） A．6 B．﹣6 C． D． 【分析】根据条件得到a﹣b＝﹣4ab，然后整体代入到代数式中求值即可． 【解答】解：∵4， ∴4， ∴a﹣b＝﹣4ab， ∴原式 ＝6． 故选：A． 【点评】本题考查了分式的加减法，掌握整体代入到代数式中求值是关键． 3．（2024•南开区一模）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式减法运算法则直接求解即可得到答案． 【解答】解： ． 故选：A． 【点评】本题考查分式减法运算，涉及因式分解、通分、约分等知识，熟练掌握分式减法运算法则是解决问题的关键． 4．（2024秋•石景山区校级期中）计算： （1）； （2）． 【分析】利用分式的加减法则计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 x+1 ． 【点评】本题考查分式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 5．（2024春•邗江区校级月考）计算： （1）； （2）． 【分析】根据分式的加减运算法则，先通分，然后再把分子部分合并同类项． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是用最简公分母进行“通分”． 题型九 分式的实际应用 1．（2024秋•顺义区期末）已知公式，其中R，R1，R2均不为零，且R1+R2≠0．若用含有R1，R2的式子表示R，则R为（　　） A．R1+R2 B． C． D． 【分析】先计算等式右边，再取倒数即可． 【解答】解：∵， ∴R，故选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了分式的加减，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．、 2．（2024春•思明区校级期末）生活中有这么一个现象：“糖水加糖就更甜”．设有一杯b克的糖水里含有a克糖，如果在这杯糖水里再加入m克糖（仍不饱和），b＞a＞0，m＞0，则糖水更甜了．根据这一现象，下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出b克的糖水里含有a克糖，糖占糖水的百分比和加入m克糖后糖占糖水的百分比，再列出算式，根据分式的减法法则进行计算，再根据求出的结果的正负比较大小即可． 【解答】解：根据题意得：b克的糖水里含有a克糖，糖占糖水的百分比是，加入m克糖后糖占糖水的百分比是， ∵ ， ∵b＞a＞0，m＞0，糖水更甜了， ∴a﹣b＜0，b+m＞0， ∴0， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了分式的混合运算，能根据题意列出算式是解此题的关键． 3．有甲、乙两筐水果，甲筐水果重（x﹣1）2千克，乙筐水果重（x2﹣1）千克（其中x＞1），若两筐水果都卖了50元． （1）哪筐水果的单价卖的低？ （2）高的单价是低的单价的多少倍？ 【分析】（1）根据题意列出算式，计算即可得到结果； （2）根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题意得：0， 则乙筐水果价格低； （2）根据题意得：•． 【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．商店通常用以下方法来确定两种糖果混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/kg，B种糖的单价为b元/kg，则m kg A种糖和n kg B种糖混合而成的什锦糖的单价为元/kg．现有甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种单价不同的糖混合而成．其中甲种什锦糖由10kg A种糖和10kg B种糖混合而成，乙种什锦糖由价值100元的A种糖和价值100元的B种糖混合而成．你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？ 【分析】根据单价＝总价÷数量分别求出甲糖单价和乙糖单价，再根据作差法比较大小即可求解． 【解答】解：甲糖单价为：（10a+10b）÷20（a+b）（元）， 乙糖单价为：（100+100）÷（）（元）， （a+b）， ∵甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种单价不同的糖混合而成， ∴0， ∴甲糖的单价较高． 【点评】本题考查了列代数式（分式），分式的加减法．注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替． 5．A、B两港之间的距离为150千米． （1）若从A港口到B港口为顺流航行，且轮船在静水中的速度比水流速度快15千米/时，顺流所用时间比逆流少用4小时，求水流的速度； （2）若轮船在静水中的速度为v千米/时，水流速度为u千米/时，该船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返回到A港所用的时间为t1；若轮船从A港航行到B港再返回到A港均为静水航行，且所用时间为t2，请比较t1与t2的大小，并说明理由． 【分析】（1）设水流的速度为x千米/时，则轮船在静水中的速度为（x+15）千米/时，利用时间差列方程得4，然后解方程，再进行检验得到x的值即可； （2）利用速度公式得到t1•v，t2，然后利用求差法比较大小即可． 【解答】解：（1）设水流的速度为x千米/时，则轮船在静水中的速度为（x+15）千米/时， 根据题意得4，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的解， 答：水流的速度为5千米/时； （2）t1•v，t2， t1﹣t2•v•[v2﹣（v﹣u）（v+u）]•u2， 因为u＞0， 所以t1﹣t2＞0， 即t1＞t2． 【点评】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．解决本题的关键是表示轮船顺水和逆水中的速度． 题型十 分式的混合运算 1．（2024•河北）已知A为整式，若计算的结果为，则A＝（　　） A．x B．y C．x+y D．x﹣y 【分析】由可得Ax＝（x﹣y）（x+y）+y2，故Ax＝x2，从而A＝x． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴Ax＝（x﹣y）（x+y）+y2， ∴Ax＝x2， ∴A＝x； 故选：A． 【点评】本题考查分式混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和等式的性质． 2．（2024秋•商州区期末）阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示），■表示破损的部分．则破损部分的式子可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意残损部分的式子为•，再计算即可． 【解答】解：残损部分的式子为• ， 故选：A． 【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 3．（2024秋•定陶区期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先计算括号，然后利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，最后进行除法运算即可； （2）利用平方差公式进行因式分解，然后进行乘除运算即可． 【解答】解：（1）原式 • ； （2）原式． 【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键． 4．（2024秋•文登区校级期中）计算 （1）； （2）． 【分析】（1）先根据乘方运算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （2）先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可． 【解答】解：（1） ； （2）原式 ＝a（a﹣2） ＝a2﹣2a． 【点评】本题考查了分式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的． 5．（2024秋•云阳县期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再进行同分母的加法运算，然后约分即可； （2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，约分得到原式，然后通分后进行同分母的加法运算，最后把结果写成最简分式． 【解答】解：（1）原式• • ； （2）原式 • ． 【点评】本题考查了分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 题型十一 分式的化简求值 1．（2024•莘县一模）如果a2﹣2a﹣1＝0，那么代数式的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【分析】先化简所求的式子，再根据a2﹣2a﹣1＝0，可以得到2a﹣a2＝﹣1，然后代入化简后的式子即可． 【解答】解： • • ＝a（2﹣a） ＝2a﹣a2， ∵a2﹣2a﹣1＝0， ∴2a﹣a2＝﹣1， ∴原式＝﹣1， 故选：B． 【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 2．（2024春•新会区校级月考）已知a+b＝2，ab＝﹣5，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据异分母分式先通分和完全平方公式可以将所求式子化简，然后将a+b＝2，ab＝﹣5代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解： ， 当a+b＝2，ab＝﹣5时，原式， 故选：C． 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确异分母分式化简的方法． 3．（2024秋•东城区期末）先化简，再求值：，其中x＝﹣1． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝[] • ， 当x＝﹣1时， 原式． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 4．（2024秋•寻乌县期末）先化简：（），然后从﹣3＜m＜1的范围内选取一个合适的整数作为m的值代入求值． 【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件得出m不能为﹣2，2和0，取m＝﹣1，最后代入求出答案即可． 【解答】解：（） ＝m﹣6， 要使分式有意义，必须m+2≠0且m﹣2≠0且m≠0， 所以m不能为﹣2、2、0， ∵m是满足﹣3＜m＜1的整数， ∴取m＝﹣1， ∴原式＝﹣1﹣6＝﹣7． 【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 5．（2024秋•张店区校级月考）化简求值：，其中x，y满足|x﹣1|+（y+2）2＝0． 【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出x、y，代入计算即可． 【解答】解：原式＝（）• • ， ∵|x﹣1|+（y+2）2＝0， ∴x﹣1＝0，y+2＝0， ∴x＝1，y＝﹣2， 则原式1． 【点评】本题考查的是分式的化简求值、非负数的性质，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 题型十二 整数指数幂 1．计算（﹣2022）﹣1的正确结果是（　　） A．2022 B．﹣2022 C． D． 【分析】根据负整数指数幂的计算方法进行计算即可． 【解答】解：（﹣2022）﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查负整数指数幂，掌握负整数指数幂的计算方法是正确判断的前提． 2．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如果代数式（x﹣1）﹣1有意义，则x应该满足（　　） A．x≠±1 B．x≠﹣1 C．x≠0 D．x≠1 【分析】直接利用负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数），进而得出答案． 【解答】解：代数式（x﹣1）﹣1有意义， 则x﹣1≠0， 解得：x≠1． 故选：D． 【点评】此题主要考查了负整数指数幂，正确掌握相关定义是解题关键． 3．（2024•盘龙区二模）在，﹣1，（﹣6）0，0这四个数中，最小的数是（　　） A． B．﹣1 C．（﹣6）0 D．0 【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简，进而比较得出答案． 【解答】解：∵2，﹣1，（﹣6）0＝1，0， ∴﹣1＜0＜（﹣6）0＜（）﹣1， 则这四个数中，最小的数是﹣1． 故选：B． 【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键． 4．（2024春•邯郸期末）若a＝0.42，b＝﹣4﹣2，，，则（　　） A．b＜a＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．c＜d＜a＜b D．c＜a＜d＜b 【分析】分别进行化简，然后再进行比较，即可得到答案． 【解答】解：∵a＝0.42＝0.16，，，， ∴b＜a＜d＜c，故B正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，乘方的运算，以及有理数的比较大小，解题的关键是熟练掌握运算法则正确的进行化简． 5．计算： （1）3a﹣2b•2ab﹣2； （2）． （3）4xy2z÷（﹣2x﹣2yz﹣1） （4）（2xy﹣1）2•xy÷（﹣2x﹣2y） （5）（a﹣3b﹣2）﹣2•（ab3）﹣3． （6）（m3n）﹣2•（2m﹣2n﹣3）﹣2． 【分析】根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数和分式的乘除法运算法则进行计算即可得解． 【解答】解： （1）3a﹣2b•2ab﹣2＝6a﹣1b﹣1＝； （2）x4y•（x﹣2y）﹣3÷（）2 ＝x4y•（x6y﹣3）•y2 ＝x10． （3）4xy2z÷（﹣2x﹣2yz﹣1）＝﹣2x3yz2． （4）原式＝4x2y﹣2•xy÷（﹣2x﹣2y） ＝4x3y﹣1÷（﹣2x﹣2y）， ＝﹣2x5y﹣2， ． （5）（2a6b）﹣1÷（a﹣2b）3 a﹣6b﹣1÷（a﹣6b3） b﹣4 ． （6）（m3n）﹣2•（2m﹣2n﹣3）﹣2 ＝m﹣6n﹣2•m4n6， m﹣2n4， ． 【点评】本题主要考查了负整数指数幂，解题的关键是熟记负整数幂的法则及同底数幂的乘除法则． 题型十三 科学记数法表示绝对值小于1的数 1．（2024秋•巩义市期末）肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为700纳米，已知1纳米＝10﹣9米，那么700纳米用科学记数法可表示为（　　） A．7×10﹣8 B．7×10﹣7 C．70×10﹣8 D．0.7×10﹣7 【分析】根据科学记数法的一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【解答】解：700纳米＝700×10﹣9米＝7×10﹣7米， 故选：B． 【点评】本题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．（2024秋•宁远县期中）某新型纤维的直径约为0.000028米，将该新型纤维的半径用科学记数法表示是（　　） A．2.8×10﹣4米 B．2.8×10﹣5米 C．1.4×10﹣4米 D．1.4×10﹣5米 【分析】根据科学记数法定义处理：把一个绝对值小于1的数表示成a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n等于原数第一个不为零的数字前零的个数． 【解答】解：； 故选：D． 【点评】本题考查科学记数法；熟练科学记数定义，确定指数是解题的关键． 3．奥密克戎是一种新型冠状病毒，它的直径约为60～140纳米（1纳米＝0.000000001米）．其中“140纳米”用科学记数法表示为（　　） A．1.4×10﹣11米 B．1.4×10﹣7米 C．14×10﹣8米 D．0.14×10﹣10米 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：140×0.000000001＝0.00000014（米）， 则“140纳米”用科学记数法表示为1.4×10﹣7米； 故选：B． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4．5G是第五代移动通信技术，应用5G网络下载一个1000KB的文件只需要0.00076秒，则数据0.00076用科学记数法可表示为 　 　． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：0.00076＝7.6×10﹣4． 故答案为：7.6×10﹣4． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键． 5．近几年我国芯片产业出现被卡脖子的情况，其实中国半导体的芯片设计能力已经很强，主要问题和难点在制造环节．目前我国只能做到0.000000014米的制程，用科学记数法将0.000000014可表示为 　 　． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【解答】解：0.000000014＝1.4×10﹣8． 故答案为：1.4×10﹣8． 【点评】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 题型十四 分式方程的定义 1．（2024春•渠县校级期末）下列各式中为分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断． 【解答】解：A、不是方程，故本选项错误； B、方程的分母中含未知数x，所以它是分式方程．故本选项正确； C、方程分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误； D、方程的分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误； 故选：B． 【点评】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 2．（2024秋•西丰县期末）下列方程中，是分式方程的是（　　） A．1 B．x2 C．2x＝x﹣5 D．x﹣4y＝1 【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、该方程符合分式方程的定义，故本选项符合题意； C、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； D、该方程是二元一次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是分式方程的定义，即分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 3．（2024秋•高唐县校级月考）下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据分式方程的定义逐个分析判断即可． 【解答】解：（1）关于x的方程分母中含有未知数，（1）是分式方程； （2）关于x的方程分母中不含有未知数，（2）不是分式方程； （3）关于x的方程分母b是常数，分母中不含有未知数，（3）不是分式方程； （4）关于x的方程分母a是常数，分母中不含有未知数，（4）不是分式方程； （5）关于x的方程分母中π是常数，不含有未知数，（5）不是分式方程． 综上所述：是分式方程的有1个． 故选：A． 【点评】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 4．下列方程：①2，②3，③，④5，⑤1＝0中，关于x的分式方程有（填写序号）：　 　． 【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：方程①2、②3、③、④5的分母中都不含未知数，不是分式方程， ⑤1＝0的分母中含有未知数，是分式方程， 所以分式方程有⑤． 故答案为：⑤． 【点评】本题考查了分式方程的定义，能熟记分式方程的定义（分母中含有未知数的方程叫分式方程）是解此题的关键． 5．（2024春•宜宾月考）在方程，，，中，分式方程有 　 　个． 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断． 【解答】解：在方程，，，中，分式方程有，，，一共有3个． 故答案为：3． 【点评】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 题型十五 解分式方程 1．（2024春•南岸区期末）解分式方程的过程如下： 解：方程两边都乘x（x﹣2）， 得x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣1① 去括号，得x2﹣x＝x2﹣2x﹣1② 解这个方程，得x＝1③ 检验：将x＝1代入x（x﹣2），x（x﹣2）≠0，所以x＝1是原方程的根．④ 以上解答过程中，开始出错的一步是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答． 【解答】解：， 方程两边都乘x（x﹣2）， 得：x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）①， 以上解答过程中，开始出错的一步是：①， 故选：A． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 2．（2024春•长宁区期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（　　） A．y2﹣3y﹣4＝0 B．y2+3y﹣4＝0 C． D． 【分析】原方程可变为（）24＝0，若设方程可变为y2+3y﹣4＝0即可． 【解答】解：原方程可变为（）24＝0， 设，原方程变为： y2+3y﹣4＝0， 故选：B． 【点评】本题考查换元法解分式方程，理解换元法的定义是正确解答的关键． 3．（2024秋•昌黎县期中）分式与互为相反数，则x的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 【分析】根据互为相反数的两个数的和为零，可得关于x的分式方程，解分式方程即可． 【解答】解：由题意得， 去分母3x+2（1﹣x）＝0， 解得x＝﹣2． 经检验得x＝﹣2是原方程的解． 故选：C． 【点评】本题考查了相反数的意义及解分式方程，记忆解分式方程的步骤是解题关键．结果要检验． 4．（2024秋•河东区期末）解分式方程 （1）； （2）． 【分析】（1）根据解分式方程的方法，先方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，最后检验即可； （2）根据解分式方程的方法，先方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，最后检验即可． 【解答】解：（I）， 方程两边同乘最简公分母（x﹣2），得1＝x﹣1﹣3（x﹣2）， 去括号，得1＝x﹣1﹣3x+6， 移项、合并同类项，得﹣2x＝﹣4， 将系数化为1，得x＝2， 检验，把x＝2代入x﹣2＝0，则x＝2是分式方程的增根， 所以分式方程无解； （2）， 方程两边同乘最简公分母（1+x）（1﹣x），得1﹣x2﹣x（1﹣x）＝2x， 去括号，得1﹣x2﹣x+x2＝2x， 移项、合并同类项，得3x＝1， 解得：， 检验，把代入（1+x）（1﹣x）≠0， 所以是分式方程的解． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 5．（2024秋•大祥区期末）解方程：（1）； （2）． 【分析】（1）方程两边同乘（x+1）（x﹣2），将分式方程化为整式方程求解即可； （2）方程两边同乘x﹣3，将分式方程化为整式方程求解即可． 【解答】解：（1）， 方程两边同乘（x+1）（x﹣2），得x﹣2＝4（x+1）， 解得x＝﹣2， 检验：当x＝﹣2时，（x+1）（x﹣2）≠0， 所以分式方程的解是x＝﹣2； （2）， 方程可化为， 方程两边同乘x﹣3，得2﹣x+3（x﹣3）＝﹣2， 解得x， 检验：当x时，x﹣3≠0， 所以分式方程的解是x． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 题型十六 分式方程的增根 1．（2024秋•慈利县期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x﹣4＝0，得到x＝4． 【解答】解：分式方程两边同时乘x﹣4去分母，得 2＝3（x﹣4）﹣m， 由分式方程的最简公分母是x﹣4， ∴分式方程的增根是x＝4． 把x＝4代入2＝3（x﹣4）﹣m， ∴m＝﹣2． 故选：D． 【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 2．（2024秋•芝罘区期末）若关于x的分式方程有增根，则m为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣1或2 【分析】增根就是分母为零的x值，所以对分式方程去分母，得m＝x﹣3，将增根x＝2代入即可解得m值． 【解答】解：分式方程去分母，得：1＝﹣m+2﹣x， ∴m＝x﹣3， ∵方程有增根， ∴x﹣2＝0，解得：x＝2， 将x＝2代入m＝x﹣3中，得： m＝2﹣3＝﹣1， 故选：A． 【点评】本题考查分式方程的解，解答的关键是理解分式方程有增根的原因． 3．（2024秋•娄星区校级期中）若关于x的分式方程有增根，求m的值． 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值． 【解答】解：方程两边都乘x（x+1），得 x2﹣（m+1）＝（x+1）（x+1） ∵原方程增根为x＝0或x＝﹣1， ∴把x＝0代入整式方程，得m＝﹣2， 把x＝﹣1代入整式方程，得m＝0． 【点评】本题考查了整式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 4．（2024春•濉溪县校级月考）已知关于x的方程． （1）当k＝1时，求该方程的解； （2）若方程有增根，求k的值． 【分析】（1）把k＝1代入方程计算即可求出解； （2）由分式方程有增根求出x的值，分式方程去分母后代入计算即可求出k的值． 【解答】解：（1）把k＝1代入方程得：， 去分母得：1﹣5（x+1）＝7（x﹣1）， 解得：x， 经检验x是分式方程的解； （2）分式方程去分母得：k﹣5（x+1）＝7（x﹣1）， 由分式方程有增根，得到x﹣1＝0或x+1＝0，即x＝±1， 把x＝1代入方程得：k﹣10＝0，解得：k＝10； 把x＝﹣1代入方程得：k＝﹣14． 故k的值为10或﹣14． 【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 5．（2024秋•永兴县校级月考）（1）已知关于x的分式方程有增根，求a的值． （2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值． 【分析】（1）解分式方程得到x＝a﹣2，求出增根x＝1，则a﹣2＝1，即可求得a的值； （2）解方程得到，根据分式方程有整数解得到2﹣m＝±1或2﹣m＝±2且，进一步求解即可得到整数m的值． 【解答】解：（1）， 去分母得：a﹣3＝x﹣1， 解得：x＝a﹣2， 由题意得：x﹣1＝0， 解得：x＝1， ∴a﹣2＝1， 解得：a＝3， ∴a的值为3； （2）， 去分母得：mx﹣1﹣1＝2（x﹣2）， 解：， ∵有整数解， ∴2﹣m＝±1或2﹣m＝±2且， 解得：m＝1或3或0或4且m≠1， ∴此时整数m的值为3或0或4． 【点评】此题考查了分式方程的解法、增根问题、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的解法和增根问题是解题的关键． 题型十七 分式方程有解与无解问题 1． （2024秋•东安县期中）已知关于x的方程无解，则k的值为 　 ． 【分析】分两种情况，整式方程无解，分式方程产生增根无解． 【解答】解：， x﹣4﹣k（x﹣3）﹣4（x﹣3）＝﹣k， ∴（k+3）x＝4k+8， 分两种情况： 当k+3＝0时，k＝﹣3， 当x﹣3＝0时，x＝3， 把x＝3代入（k+3）x＝4k+8中可得： 3（k+3）＝4k+8， ∴k＝1， 综上所述：k的值为：﹣3或1， 故答案为：﹣3或1． 【点评】本题考查了分式方程的解，分两种情况讨论是解题的关键． 2．（2024秋•海阳市期中）若分式方程无解，则k的值为（　　） A．±1 B．2 C．1或2 D．﹣1或2 【分析】先去分母，方程两边同时乘x﹣2，解方程把x的值用k表示出来，然后根据各个选项中的k值，进行判断方程有解无解，从而得到正确的答案． 【解答】解：， 去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1， 2x﹣4+1﹣kx＝﹣1， 2x﹣kx＝2， （2﹣k）x＝2， ∵分式方程无解， ∴x﹣2＝0，x＝2， 2﹣k＝0，k＝2， 当k＝1时，原方程为：， 2（x﹣2）+1﹣x＝﹣1， 2x﹣4+1﹣x+1＝0， x＝2， 检验：当x＝2时，x﹣2＝0， ∴k＝1时，原方程无解； 综上可知：分式方程无解时，k的值为1或2， 故选：C． 【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程有解和无解的判断方法． 3．（2024•夏津县二模）已知关于x的分式方程的解为正数，则实数m的取值范围是（　　） A．m＞﹣6 B．m＜6 C．m＜6且m≠3 D．m＞﹣6且m≠3 【分析】根据分式方程的解答得到x＝6﹣m，再根据分式方程的解为正数即可解答． 【解答】解：， 方程两边同乘以x﹣3，得， x+m﹣2m＝2（x﹣3）， 解得：x＝6﹣m， ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴， ∴解得：m＜6且m≠3， 故选：C． 【点评】本题考查了分式方程的解法，解一元一次不等式组，理解分式方程的最简公分母不能为0是解题的关键． 4．（2024春•潜山市期末）已知关于x的分式方程1无解，关于y的不等式组的整数解有且仅有3个，求n的取值范围． 【分析】先由分式方程1无解求出m的值，代入不等式组，求出不等式组的解集，根据整数解有且仅有3个，列出不等式，即可求解． 【解答】解：分式方程1转化为整式方程得：m﹣2＝x﹣3， ∴x＝m+1， ∵原方程无解， ∴x﹣3＝0， ∴x＝3， ∴m+1＝3， ∴m＝2， ∴不等式组为， 解得， ∵该不等式组的整数解有且仅有3个， ∴4＜4+n≤5， ∴0＜n≤1． 【点评】本题考查了额分式方程和一元一次不等式组的解，解题的关键是能够根据分式方程无解求出m的值，根据不等式组只有三个整数解列出不等式． 5．（2023秋•高安市期末）已知关于x的分式方程． （1）若这个方程的解是正数，请求出m取值范围； （2）若这个方程无解，请你直接写出m的值． 【分析】（1）先解分式方程，根据方程的解是正数，列出不等式，即可求解； （2）由题意得：m﹣3＝0或，解关于m的方程，即可求解． 【解答】解：（1）方程两边同乘以（x+3）（x﹣3） 得：2（x+3）+mx＝5（x﹣3）， 解得： 由题意得： ∴m＜3且m≠﹣4； （2）由（1）得：2（x+3）+mx＝5（x﹣3）， 由题意得：m﹣3＝0或， 解得：m＝3或m＝10或m＝﹣4， 故答案为：3或10或﹣4． 【点评】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法． 题型十八 分式方程的应用 1．（2024•拱墅区模拟）随着快递业务量的增加，某快递公司为快递员更换快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每天300件提高到420件，平均每人每天比原来多投递8件．若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每天投递快件多少件？设原来平均每人每天投递快件x件，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】设原来平均每人每天投递快件x件，则更换快捷的交通工具后平均每人每天投递快件（x+8）件，根据该快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：设原来平均每人每天投递快件x件，则更换快捷的交通工具后平均每人每天投递快件（x+8）件， 依题意得：． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 2．（2024•大连模拟）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【分析】设第一次分钱的人数为x人，则第二次分钱的人数为（x+6）人，利用人均分得钱数＝总钱数÷参与分钱的人数，结合两次每人分得的钱数相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：设第一次分钱的人数为x人，则第二次分钱的人数为（x+6）人， 依题意得：， 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 3．（2024•榆阳区校级开学）某文具店的一种笔记本只在节假日期间按8折优惠出售．某同学发现，同样花12元钱购买这种笔记本，节假日期间正好比节假日前多买一本．这种笔记本节假日期间每本的售价是（　　） A．2.4元 B．2元 C．3元 D．1.6元 【分析】求的是单价，总价明显，一定是根据数量来列等量关系．本题的关键描述语是：“12元钱购买这种笔记本，节日期间正好可比节日前多买一本”；等量关系为：现在12元买的数量﹣原来12元买的数量＝1． 【解答】解：设这种笔记本节日前每本的售价是x元． 根据题意得：， 解得：x＝3． 经检验，x＝3是原方程的解． ∴0.8x＝0.8×3＝2.4． 答：这种笔记本节日期间每本的售价是2.4元． 故选：A． 【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 4．（2024秋•桂平市期中）某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比爽．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套少10元，用400元在甲商店租用服装的数量与用500元在乙商店租用服装的数量相等． （1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？ （2）租用100套以上服装，乙商店给以每套打八折后再减200元的优惠，若该参赛队伍准备花费5000元租用一定数量的服装，则在哪家店租的套数更多？请说明理由． 【分析】（1）设在甲商店租用的服装每套x元，则在乙商店租用的服装每套（x+10）元，根据用400元在甲商店租用服装的数量与用500元在乙商店租用服装的数量相等．列出分式方程，解方程即可； （2）求出在乙商店租的套和在甲商店租的套数，再比较即可． 【解答】解：（1）设在甲商店租用的服装每套x元，则在乙商店租用的服装每套（x+10）元， 由依意得：， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是该分式方程的解，且符合题意， ∴x+10＝40+10＝50， 答：在甲商店租用的服装每套40元，在乙商店租用的服装每套50元； （2）在乙商店租的套数更多，理由如下： 在甲商店租的套数为：5000÷40＝125（套）， 在乙商店租的套数为：5000÷（50×0.8）+200÷50＝125+4＝129（套）， ∵124＜129， ∴在乙商店租的套数更多． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 5．（2024秋•双辽市期末）某书店在世界读书日这天举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的活动，掀起了一股读书热潮．在活动中书店老板发现A，B两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本．已知B种图书每本的进价比A种图书贵6元，用2100元购进A种图书和用2520元购进B种图书的本数相同． （1）A，B两种图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店老板第二次购进两种书共200本，已知每本A种图书的利润为3元，每本B种图书的利润为9元，若销售完后所获利润不少于1600元，则至多购进A种图书多少本？ 【分析】（1）设A种图书进价为x元，则B种图书进价为（x+6）元，根据“用2100元购进A种图书和用2520元购进B种图书的本数相同”列方程求解即可； （2）设购进A种图书m本，则购进B种图书（200﹣m）本，根据“销售完后所获利润不少于1600元”列不等式即可求解． 【解答】解：（1）设A种图书进价为x元，则B种图书进价为（x+6）元， 由题意得：， 解得：x＝30， 检验：当x＝30时是原分式方程的根且符合实际， ∴x+6＝30+6＝36， ∴A种图书进价为30元，则B种图书进价为36元； （2）设购进A种图书m本，则购进B种图书（200﹣m）本， 由题意得：3m+9（200﹣m）≥1600， 解得：， ∵m为整数， ∴m的最大整数为33， ∴至多购进A种图书33本． 【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． 6．（2024•东莞市校级二模）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要10天完成，可得出方程解答即可； （2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可． 【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得： （）×151． 解得：x＝30． 经检验x＝30是原分式方程的解． 答：这项工程的规定时间是30天． （2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（）＝22.5（天）， 则该工程施工费用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）． 答：该工程的费用为225000元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$