第五章 分式与分式方程（单元检测）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

第五章 分式与分式方程单元检测 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在代数式，，，中，属于分式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，一般地，如果（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，熟练掌握此定义是解题的关键． 【详解】解：、分母中含有字母，故是分式，，分母中不含有字母，故不是分式， 故属于分式的有2个， 故选：B． 2．函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了零次幂，二次根式有意义，分式有意义，根据零次幂的底数不能为0、分母不能为0，被开方数为非负数进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， 解得且， 故选：C 3．下列说法正确的是（  ） A．分式是最简分式 B．若分式的值为0，则 C．根据分式的基本性质，等式成立 D．将分式中的x，y都扩大到原来的3倍，分式的值不变 【答案】A 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件以及分式的基本性质，最简分式的定义，正确掌握相关定义是解题关键． 直接利用分式的值为零的条件以及分式的基本性质，最简分式的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A，分式是最简分式，正确； B，分式的值为零，则的值为2，故此选项错误； C，根据分式的基本性质，当时，等式成立，故此选项错误； D，将分式中的都扩大3倍，分式的值扩大为3倍，故此选项错误； 故选：A． 4．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘法和除法，分式的乘方运算，正确分解因式是解题的关键．根据各个运算法则逐项计算即可得解． 【详解】解：A. ，计算正确，该选项不符合题意； B. ，计算正确，该选项不符合题意； C. ，计算正确，该选项不符合题意； D. ，计算错误，该选项符合题意； 故选：D． 5．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系，列出方程即可； 【详解】解：由题意可知：装裱后的宽度（单位：米）为：， 装裱后的长度（单位：米）为：， ∵装裱后，整幅图画宽与长的比是， ∴， 故选：D 6．已知分式（为常数）满足表格中的信息，则的积是（    ） 的取值 4 6 分式的值 无意义 0 A． B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式的求值，解分式方程，代数式求值等等，分式无意义的条件是分母为，据此可求出的值；根据当时，分式的值为，可求出的值，进而得到关于的方程，解方程求出的值，再求出的值即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵当时分式无意义， ∴， ∴； ∵当时，分式的值为， ∴， ∴； ∴分式为， ∴根据表格可知：，， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴， 故选：D． 7．如果，那么代数式的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是分式的混合运算．根据分式的混合运算顺序进行化简，再代入值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴． 故选：A． 8．老师出了一道题：化简． 小明的解法：原式； 小亮的解法：原式； 小芳的解法：原式． 对于这三名同学的解法，你的判断是（   ） A．小明的解法正确 B．小亮的解法正确 C．小芳的解法正确 D．三名同学的解法都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了异分母分式加法计算，根据异分母分式加法计算法则求解即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∴小芳的解法正确， 故选：． 9．如图1，这是某地的平地扶梯，图2是其示意图，扶梯的长为120米，小康在地面上行走的速度为60米/分，小明在地面上行走的速度为40米/分．若两人在平地扶梯上行走，扶梯向前移动，两人保持原来在地面上行走的速度同时从处出发，当小康到达处，小明还剩米，则平地扶梯每分钟移动（   ）    A．25米 B．28米 C．30米 D．32米 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设平地扶梯每分钟移动x米，根据小康到达处所用时间等于小明剩下米所用时间，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设平地扶梯每分钟移动x米，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 即平地扶梯每分钟移动30米． 故选：C． 10．若关于的一元一次不等式组有解且最多有4个整数解，且关于的分式方程的解为整数．则符合条件的的值和为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式组，先解不等式组结合不等式组有解且最多有4个整数解得出，再解分式方程得出，结合分式方程的解为整数．且得出或或或或，求和即可得解． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②得：， ∵关于的一元一次不等式组有解且最多有4个整数解， ∴， 解得：， 解分式方程得：， ∵关于的分式方程的解为整数．且， ∴或或或或， ∴符合条件的的值和为， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．从，，中任选两个代数式，组成一个最简分式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，进行求解即可，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 【详解】解：解：根据最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式， ∴组成一个最简分式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 12．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，掌握分式的性质，分式的混合运算法则是解题的关键． 先通分，再计算，化成最简分式即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 13．化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂和分式乘法计算，先计算负整数指数幂，再计算分式乘法即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．如图，老师在黑板上写了一个等式，随后用手遮住了其中的一部分，则老师用手遮住的代数式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是分式加减乘除混合运算，解题的关键是利用加法与减法，乘法与除法是互为逆运算，把除法转化为乘法，减法转化为加法；根据题意和运算法则直接列式计算即可． 【详解】解：由题意得： ． 答：老师捂住的部分为． 故答案为：． 15．对于分式，我们把分式叫做P的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的定义，规律问题．根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，然后发现每4个为一循环，再让，根据结果即可确定． 【详解】解：， ， ， ， ， ，，， 个一循环， ， ， 故答案为：． 16．已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的解，根据分式方程无解，分两种情况求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 整理得：， 当，方程无解， ∴， ∴原分式方程无解， 当时，，若分式方程无解，则， ∴， 综上，的值为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，分母有理化，先通分括号内，再运算除法，化简得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ． ∵， ∴． 18．根据如图所示的程序，求输出的化简结果． 【答案】 【分析】根据题意列式，再结合分式混合运算法则进行计算即可．本题考查分式的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【详解】解：依题意： ． ∴输出的化简结果为 19．长为的春游队伍，以的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进． (1)求甲这次往返的时间，；（用含的代数式表示） (2)求甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程． 【答案】(1)， (2)甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为 【分析】本题考查了列分式及分式运算，读懂题目，列出式子是解题关键． （1）根据路程速度和时间，列出方程即可求解； （2）由甲这次往返队伍的过程中队伍行进的时间为，结合路程速度和时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∴，； （2）， ． 所以甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为． 20．已知关于的分式方程 (1)若该方程有增根，求的值； (2)若该方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查了根据分式方程的根的情况求参数，通过解方程求出方程的根是解题的关键． （1）先解方程求出方程的根，再根据方程有增根，即求出的方程的根满足分母为0建立方程求解即可； （2）根据方程的根为非负数，结合（1）所求建立不等式求解即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 解得， ∵关于的分式方程有增根， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得， 解得， 又∵原方程不能有增根， ∴，即， ∴， ∴且． 21．如图，“优选1号”水稻的实验田是边长为a米（）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分；“优选2号”水稻的实验田是边长为（）米的正方形，两块试验田的水稻都收了．（补充知识：单位面积产量=） (1)优选1号水稻的单位面积产量是 ；优选2号水稻的单位面积产量是 ． (2)“优选2号”水稻的单位面积产量是“优选1号”水稻的单位面积产量的多少倍？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了分式运算的实际应用，正确列式并计算是解题的关键． （1）根据题意分别求出两种水稻的单位产量，比较即可得到结果； （2）根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意得：“优选1号”面积为， 则“优选1号”水稻单位面积产量为； “优选2号”面积为， 则“优选2号”水稻单位面积产量为； （2）根据题意得：， 则“优选2号”水稻的单位面积产量是“优选1号”水稻的单位面积产量的倍． 22．某商场销售甲乙两种产品，甲产品的售价为每个210元，乙产品的售价为每个150元，每个甲产品的进价比乙产品的进价多40元，商场用6400元购进甲产品的数量与用4800元购进乙产品的数量相等． (1)求甲乙两种产品的进价： (2)现计划购进甲乙两种产品共150个，设购进甲产品x个，两种产品全部售完，商场获利y元．要求购进甲产品的数量不高于乙产品的2倍，总利润不低于5700元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润； (3)在（2）的条件下，商场对甲产品每个售价降低m元，乙产品每个售价增加n元，两个产品进价不变，且，若销售完这批产品的总利润不受进货方案的影响，求m的值． 【答案】(1)甲乙两种产品的进价分别为160元，120元 (2)共有41种方案，其中购进甲100个，乙50个，获得最大利润6500元； (3)13 【分析】本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及与字母无关的问题，理解题意是解答本题的关键． （1）如果设每个乙种产品进价为x元，由“每个甲种产品的进价比每个乙种产品的进价多40元”，可知每个甲种产品进价为元．题中有等量关系：用6400元购进甲产品的数量与用4800元购进乙产品的数量相等，据此列出方程； （2）根据题意得、，求得，故得41种方案，当时可得最大利润； （3）根据题意列式，根据与无关，则，求出 【详解】（1）解：设每个乙种产品进价为x元，则每个甲种产品进价为元，根据题意得， ， 解得，， 经检验，是原方程的根， ∴ 答：甲乙两种产品的进价分别为160元，120元； （2）解：根据题意得，， 解得，； ， ∴， ∴， ∴（种） 当时，有最大值，为， 所以，共有41种方案，其中购进甲100个，乙50个，获得最大利润6500元； （3）解：∵， ∴， 根据题意得： ∵销售完这批产品的总利润不受进货方案的影响， ∴ ∴ 23．（1）【生活观察】甲、乙两人买水果，甲习惯买一定质量的水果，乙习惯买一定金额的水果，两人每次买水果的单价相同，例如： 第一次： 水果单价4元/千克 质量 金额 甲 5千克 __________元 乙 __________千克 30元 第二次： 水果单价6元/千克 质量 金额 甲 5千克 30元 乙 5千克 30元 计算甲两次买水果的均价和乙两次买水果的均价．（均价总金额总质量） （2）【数学思考】设甲每次买质量为千克的水果，乙每次买金额为元的水果，两次的单价分别是元/千克、元/千克，用含有、、、的式子，分别表示出甲、乙两次买水果的均价、，比较、的大小并说明理由． （3）【知识迁移】某船在相距为的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为，所需时间为；如果水流速度为时，所需时间为．请借鉴上面的研究经验，比较、的大小，并说明理由． 【答案】（1）甲两次买菜的均价为元/千克，乙两次买菜的均价为元/千克；（2），理由见解析；（3），理由见解析． 【分析】本题考查了均价总金额总质量的基本计算方法，分式的加减运算，完全平方公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用均价总金额总质量可求甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价； （2）分别表示出、，然后求差，即可求解； （3）分别表示出、，然后求差，即可求解； 【详解】解：（1）第二次甲买水果费用为：元，乙买水果质量为：千克， 甲两次买水果的均价为：元千克， 乙两次买水果的均价为：元千克， ∴甲两次买菜的均价为元/千克，乙两次买菜的均价为元千克； （2），， ∴， ∴； （3），， ∴， ∵， ∴， ∴． 试卷第2页，共16页 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 分式与分式方程单元检测 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在代数式，，，中，属于分式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3．下列说法正确的是（  ） A．分式是最简分式 B．若分式的值为0，则 C．根据分式的基本性质，等式成立 D．将分式中的x，y都扩大到原来的3倍，分式的值不变 4．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 5．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知分式（为常数）满足表格中的信息，则的积是（    ） 的取值 4 6 分式的值 无意义 0 A． B．6 C．4 D．2 7．如果，那么代数式的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．老师出了一道题：化简． 小明的解法：原式； 小亮的解法：原式； 小芳的解法：原式． 对于这三名同学的解法，你的判断是（   ） A．小明的解法正确 B．小亮的解法正确 C．小芳的解法正确 D．三名同学的解法都不正确 9．如图1，这是某地的平地扶梯，图2是其示意图，扶梯的长为120米，小康在地面上行走的速度为60米/分，小明在地面上行走的速度为40米/分．若两人在平地扶梯上行走，扶梯向前移动，两人保持原来在地面上行走的速度同时从处出发，当小康到达处，小明还剩米，则平地扶梯每分钟移动（   ）    A．25米 B．28米 C．30米 D．32米 10．若关于的一元一次不等式组有解且最多有4个整数解，且关于的分式方程的解为整数．则符合条件的的值和为（   ） A． B．0 C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．从，，中任选两个代数式，组成一个最简分式 ． 12．计算的结果是 ． 13．化简 ． 14．如图，老师在黑板上写了一个等式，随后用手遮住了其中的一部分，则老师用手遮住的代数式是 ． 15．对于分式，我们把分式叫做P的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于 ． 16．已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为 ． 三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．先化简，再求值，其中． 18．根据如图所示的程序，求输出的化简结果． 19．长为的春游队伍，以的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进． (1)求甲这次往返的时间，；（用含的代数式表示） (2)求甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程． 20．已知关于的分式方程 (1)若该方程有增根，求的值； (2)若该方程的解为非负数，求的取值范围． 21．如图，“优选1号”水稻的实验田是边长为a米（）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分；“优选2号”水稻的实验田是边长为（）米的正方形，两块试验田的水稻都收了．（补充知识：单位面积产量=） (1)优选1号水稻的单位面积产量是 ；优选2号水稻的单位面积产量是 ． (2)“优选2号”水稻的单位面积产量是“优选1号”水稻的单位面积产量的多少倍？ 22．某商场销售甲乙两种产品，甲产品的售价为每个210元，乙产品的售价为每个150元，每个甲产品的进价比乙产品的进价多40元，商场用6400元购进甲产品的数量与用4800元购进乙产品的数量相等． (1)求甲乙两种产品的进价： (2)现计划购进甲乙两种产品共150个，设购进甲产品x个，两种产品全部售完，商场获利y元．要求购进甲产品的数量不高于乙产品的2倍，总利润不低于5700元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润； (3)在（2）的条件下，商场对甲产品每个售价降低m元，乙产品每个售价增加n元，两个产品进价不变，且，若销售完这批产品的总利润不受进货方案的影响，求m的值． 23．（1）【生活观察】甲、乙两人买水果，甲习惯买一定质量的水果，乙习惯买一定金额的水果，两人每次买水果的单价相同，例如： 第一次： 水果单价4元/千克 质量 金额 甲 5千克 __________元 乙 __________千克 30元 第二次： 水果单价6元/千克 质量 金额 甲 5千克 30元 乙 5千克 30元 计算甲两次买水果的均价和乙两次买水果的均价．（均价总金额总质量） （2）【数学思考】设甲每次买质量为千克的水果，乙每次买金额为元的水果，两次的单价分别是元/千克、元/千克，用含有、、、的式子，分别表示出甲、乙两次买水果的均价、，比较、的大小并说明理由． （3）【知识迁移】某船在相距为的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为，所需时间为；如果水流速度为时，所需时间为．请借鉴上面的研究经验，比较、的大小，并说明理由． 试卷第2页，共16页 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$