第十七章 函数及其图象章末重点题型复习（20大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（华东师大版）

（华东师大版）八年级下册数学 第17章：函数及其图象章末重点题型复习 题型一 变量与函数 1．（2024春•蕉城区期中）一本笔记本5元，买x本共付y元，则5和y分别是（　　） A．都是常量 B．都是变量 C．5是常量，y是变量 D．5是变量，y是常量 2．（2024春•邯郸期中）下列关系式中y不是x的函数的是（　　） A．y2＝x B．y＝x C．y＝x2 D．y＝﹣x 3．（2024秋•济宁期末）下列各曲线中表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•安次区期末）在下列各图象中，y是x的函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025春•珠海期中）要使函数y有意义，则自变量x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x＞﹣2 C．x≠2 D．x＞0 6．（2024春•沙坪坝区校级期中）按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是﹣4，则输出y的值是﹣6，若输入x的值是6，则输出y的值是（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 题型二 实际问题中的函数图象 1．（2024•滨州模拟）苹果熟了，从树上落下来．下面可以大致刻画出苹果下落过程中（即落地前）的速度变化情况的图象是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•武昌区月考）睡觉前小红在浴缸内缓缓放入温水，10分钟后关闭水龙头，小红洗澡时浴缸里的水还是溢出了一些，23分钟后泡澡结束，小红离开浴缸．下面正确反映出浴缸水位变化情况的图是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•西城区校级模拟）如图，将一圆柱形水杯杯底固定在大圆柱形容器底面中央，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，则水杯内水面的高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：s）的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 4．（2024•北京模拟）小明晚饭后出门散步，从家点O出发，最后回到家里，行走的路线如图所示．则小明离家的距离h与散步时间t之间的函数关系可能是（　　） A． B． C． D． 5．（2024春•开封期末）小明某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为S（m），所经过的时间为t（min），下列选项中的图象，能近似刻画S与t之间的关系是（　　） A． B． C． D． 题型三 从函数图象中获取信息解决问题 1．（2024秋•利辛县校级期末）在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（　　） A．小汽车共行驶240km B．小汽车中途停留0.5h C．小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时 D．小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 2．（2024春•兴国县期末）碳酸钠的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．当温度为60℃时，碳酸钠的溶解度为49g B．碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．当温度为40℃时，碳酸钠的溶解度最大 D．要使碳酸钠的溶解度大于43.6g，温度只能控制在40℃～80℃ 3．（2024秋•和平区校级期中）甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，甲车提前出发，以60km/h的速度匀速行驶一段时间后，乙车沿同一路线匀速行驶，设甲、乙两车相距为s（km），甲车行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：①甲车提前1h出发，乙车出发2h后追上甲车；②乙车行驶的速度是90km/h；③A、B两地相距450km；④甲车比乙车晚到；其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024秋•瑶海区期中）一辆快车从实验中学开往锦绣中学，一辆慢车从锦绣中学开往实验中学，两车同时出发，设快车离锦绣中学的距离为y1（km），慢车离锦绣中学的距离为y2（km），行驶时间为x（h），两车之间的距离为s（km）．y1，y2与x的函数关系图象如图1所示，s与x的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中a＝3；②当x时，两车相遇；③当x时，两车相距60km；④当x或时，两车相距200km．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 5．（2024秋•大观区校级期末）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是　 米． （2）小明在书店停留了　 　分钟． （3）本次上学途中，小明一共行驶了　 米，一共用了　 　分钟． （4）在整个上学的途中在　 　（时间段）小明骑车速度最快，最快的速度是多少米分？ 题型四 正比例函数的定义 1．（2024春•凤山县期末）下列式子中，哪个表示y是x的正比例函数（　　） A．y＝﹣0.1x B．y C．y＝2x2 D．y2＝4x 2．（2024•杭州模拟）下列函数（1）y＝﹣x；（2）y＝5x+2；（3）；（4）y＝x2﹣4中，是正比例函数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2024春•丰都县校级月考）若函数y＝（m+1）x|m|﹣5是一次函数，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0 4．（2024秋•阜阳月考）若函数y＝（m+1）是正比例函数，则m的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 5．（2024秋•江苏期末）已知y关于x的函数y＝4x+m﹣3． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若m＝7，求该函数图象与x轴的交点坐标． 题型五 正比例函数的图象与性质 1．对于正比例函数y＝﹣3x，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 2．在下列各图象中，表示函数y＝﹣kx（k＜0）的图象的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•樊城区期末）已知y＝（2m﹣1）是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么这个函数的解析式为（　　） A．y＝﹣5x B．y＝5x C．y＝3x D．y＝﹣3x 4．已知正比例函数yx，下列结论：①y随x的增大而增大；②y随x的减小而减小；③当x＞0时，y＞0；④当x＞1时，y＞1．其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024秋•龙岗区校级期中）已知正比例函数y＝kx（k≠0），求： （1）k为何值时，函数图象经过第一、三象限； （2）k为何值时，y随x的增大而减小； （3）k为何值时，点（1，3）在该函数图象上． 题型六 一次函数的定义 1．（2024春•渝中区校级期中）下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C．y＝3x+5 D． 2．下列函数①y＝﹣x+3；②y；③y＝x2﹣1；④y＝x（x﹣1）﹣x2，是关于x的一次函数的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024春•应城市期末）已知函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+3是一次函数，则m的值是 　 　． 4．（2024春•微山县期末）已知函数y＝（m﹣3）4是关于x的一次函数，则m的值是 　 　． 5．（2024春•大武口区期末）已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7． （1）当m为何值时，y是x的一次函数？ （2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？ 题型七 一次函数的图象 1．（2024秋•迎泽区校级月考）已知一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则该函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•福州期中）若k＞0，b＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A．B． C．D． 3．（2024秋•兰州期末）直线y＝ax+b（a，b为常数，且ab≠0）经过第一、二、四象限，则直线y＝bx+a可能是（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•源城区期末）在同一平面直角坐标系内作一次函数y1＝ax+b和y2＝﹣bx+a图象，可能是（　　） A． B． C． D． 题型八 一次函数的性质 1．若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A．k＞2 B．k＜2 C．k＞0 D．k＜0 2．一次函数y＝kx+m（k＜0）的图象过点A（1，a），B（1，b），C（﹣1，c），则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c 3．已知一次函数y＝kx﹣3，若y随x的增大而减小，则它的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 4．（2024秋•义乌市校级月考）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（﹣2，7），（2，3），则下列结论正确的是（　　） A．该函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0） B．将该函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象 C．若点（1，y1）、（3，y2）均在该函数图象上，则y1＜y2 D．该函数的图象经过第一、二、四象限 5．（2024春•亳州月考）已知关于x的一次函数y＝mx+2m﹣10（m≠0）． （1）当m为何值时，这个函数为正比例函数？ （2）当m为何值时，这个函数y的值随着x值的增大而减小？ （3）若该一次函数的图象经过第一、三、四象限，直接写出m的取值范围． 题型九 一次函数的平移 1．（2024春•江门期末）在平面直角坐标系中，把直线y＝2x﹣1沿y轴向下平移2个单位长度后，得到的直线的函数关系式为（　　） A．y＝2x+3 B．y＝2x﹣3 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣1 2．（2024•滑县二模）在平面直角坐标系中，将y＝﹣2x+1向下平移3个单位，所得函数图象过（a，3），则a的值为 　 ． 3．（2025春•杨浦区校级月考）已知直线l经过（2，0）和（0，﹣3），把直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线l′，则直线l′的解析式为 　 　 ． 4．（2024春•萨尔图区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B． （1）根据图象，求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式； （2）将直线AB向下平移5个单位后经过点（m，﹣5），求m的值． 题型十 一次函数与几何变换 1．已知直线y＝2x+m与直线y＝nx+4（n≠0）关于y轴对称，则直线y＝mx+n与坐标轴围成的三角形的面积为（　　） A． B．1 C． D．2 2．在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x+2关于平行于y轴的一条直线对称后得到直线AB，若直线AB恰好过点（6，2），则直线AB的表达式为（　　） A．y＝2x﹣10 B．y＝﹣2x+14 C．y＝2x+2 D．yx+5 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+3分别与x轴y轴交于点A和点B，将直线AB绕点A顺时针旋转90°后，所得直线与y轴的交点坐标为（　　） A．（0，﹣1） B．（0，） C．（0，） D．（0，） 4．（204秋•小店区月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB是长方形，A（9，0），B（9，3），C（0，3），将△OAB沿直线OB折叠，此时点A落在点D处，OD与BC交于点E，且OE＝BE，则OD所在直线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 题型十一 一次函数的实际应用 1．（2024秋•市南区期末）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（元）与销售量x（kg）之间的关系如图所示． （1）求出甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式； （2）求点B的坐标，并写出点B表示的实际意义； （3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg（a＞30）时，它们的利润和为1695元，求a的值． 2．快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）请直接写出快、慢两车的速度； （2）求快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式； （3）两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？ 3．为深入贯彻习近平总书记关于劳动教育的重要论述，全面落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某学校计划购买A，B两种型号的劳动教育教学设备．已知购买1台A型设备和1台B型设备需5500元，购买2台A型设备和1台B型设备需8500元． （1）求A，B型设备单价分别是多少元？ （2）该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的，设购买a台A型设备，购买A、B型两种设备的总费用为w元，求w关于a的函数表达式，并求出购买两种设备的总费用最少需要多少元？ 4．（2024春•福田区校级月考）宝安公明腊肠是深受当地民众喜爱的一种美食，其制作技艺至今已有百余年历史，该项目2017年被列入宝安区区级非物质文化遗产保护名录．某腊肠制作坊计划购买A，B两种香料制作腊肠．已知购买1千克A种香料和1千克B种香料共需60元，购买3千克A种香料和4千克B种香料共需220元． （1）求A，B两种香料的单价； （2）该小吃店计划购买两种香料共20千克，其中购买A种香料的重量不超过B种香料重量的3倍，当A，B两种香料分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 5．（2024秋•兴宁市期末）为扎实推进“百县千镇万村高质量发展工程”，某镇已将区域内特色农产品：水晶梨和鹰嘴桃发展成品牌农业，形成“专业合作+基地+农户”产销一条龙服务的产业经营模式，促进农民增收．甲商场从该镇购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元，已知水晶梨的单价比鹰嘴桃的单价少1元． （1）水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是多少元？ （2）因为市场销量非常好，该商场决定再次购买这两种水果1000斤，总共用了5400元，那么再次购买了这两种水果各多少斤？ （3）若该商场一次性购买这两种水果1200斤，并且在一天内分别以水晶梨每斤8元，鹰嘴桃每斤10元的价格全部售出，经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元，求w关于n的函数关系式，并求出购买的鹰嘴桃为多少斤时，商场的利润最大，最大利润为多少元． 题型十二 一次函数与图象的面积 1．（2024秋•榆中县期末）如图所示，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，4）． （1）求过A，B两点直线的函数表达式； （2）过点B作直线BP与x轴交于点P，且使OP＝2OA，求△ABP的面积． 2．（2024秋•海陵区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（2，0），（0，4）． （1）求直线AB的函数表达式； （2）若P为直线AB上一动点，△AOP的面积为6，求点P的坐标． 3．（2024秋•碑林区校级月考）如图，直线y＝x+3与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点C（﹣2，1）． （1）直接写出点B的坐标为 　 　； （2）求出△OBC的面积； （3）在直线BC上是否存在点M，使S△OBM＝2S△COB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 4．（2024春•正定县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝4x﹣5上，过点A的另一条直线交y轴于点B（0，6）． （1）求直线AB的函数表达式； （2）求△ABC的面积； （3）若点P（t，y1）在线段AB上（可与点A，B重合），点Q（t﹣1，y2）在直线y＝4x﹣5上，求y1﹣y2的最小值． 题型十三 一次函数与动点运动问题 1．（2024•茌平区一模）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则AC的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 2．（2024•郑州模拟）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，△ABC的高，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则点F的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．如图1，AH＝BC＝10cm，GF＝DE，点P从点A出发保持匀速运动，沿长方形凹槽A→B→C→D→E→F→G→H的路线运动，到点H停止；如图2是△APH的面积S（cm2）和运动时间x（s）的图象． （1）求图1中的AB的长度； （2）设点P运动的路程为y（cm），请写出y（cm）与运动时间x（s）之间的关系式，写出x的取值范围． 4．如图1，在长方形ABCD中，AB：AD＝3：5，点P从点A出发以2cm/秒的速度沿A→B→C→D的路线匀速移动．随着点P的移动，三角形APD的面积会不断发生变化，它的面积变化情况如图2所示． （1）点P从点A出发，经过多少秒后到达点D？ （2）点P从点A出发，经过多少秒后三角形APD的面积恰好是25cm2？ 题型十四 反比例函数的定义 1．（2024秋•正定县期末）在下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A．y＝3x B． C． D． 2．（2024秋•鲁山县期末）在下列函数的表达式中，x均表示自变量：①；②；③；④xy＝﹣1；⑤；⑥，其中y是x的反比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024秋•广饶县期中）函数y＝（k2+2k）xk2+k﹣1是反比例函数，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0或﹣1 D．±1 4．（2023秋•电白区校级期末）若函数y＝（m+2）x|m|﹣3是反比例函数，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．1 题型十五 反比例函数的图象与性质 1．（2024•茅箭区校级模拟）正比例函数y＝kx和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则点（m，k）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024秋•西和县期末）如图，函数y1＝x+1与函数y2的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＜y2，则x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．0＜x＜1或x＜﹣2 3．（2024•双峰县模拟）在平面直角坐标系xOy中，若点A（x1，2）和B（x2，4）在反比例函数图象上，则下列关系式正确的是（　　） A．x1＞x2＞0 B．x2＞x1＞0 C．x1＜x2＜0 D．x2＜x1＜0 4．（2024•新城区校级模拟）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是同一个反比例函数图象上的两点，若x1+x2＝0，且x1y2＝4，则这个反比例函数的表达式为 　 　． 5．（2024秋•天桥区月考）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是y1和y2，设点M在y1上，MA⊥x轴于点A，交y2于点N，若△MON的面积为1，则k的值为 　 　． 6．（2023秋•安新县期末）如图，一次函数yx﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B，P为AB上一点且PC为△AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数y（k＞0）的图象于Q，S△OQC，则k的值是　 　；Q点的坐标分别为　 　． 题型十六 反比例函数的实际应用 1．（2024秋•西安期末）物理课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm，当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，则该液体的密度ρ为（　　） A．2.5g/cm3 B．1.2g/cm3 C．1g/cm3 D．0.8g/cm3 2．（2024秋•白云区期中）已知闭合电路的电压为定值，电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例关系，根据下表，则a＝（　　） 电流I 10 2.4 2 1.2 电阻R a 50 60 100 A．20 B．16 C．12 D．10 3．小明要把一篇27000字的调查报告录入电脑，则其录入的时间t（分）与录入文字的平均速度v（字/分）之间的函数表达式应为t＝　 　（v＞0）． 4．（2024•同心县模拟）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．如图所示，药物燃烧阶段，教室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分）成正比例；燃烧后，y与x成反比例．若y＞1.6，则x的取值范围是 　 　． 5．（2024秋•灞桥区校级期末）为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求该反比例函数的表达式．（不用写自变量取值范围） （2）当气球的气体体积为3m3时，气体压强是多少？ （3）当气球内的气体压强大于150kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应不小于多少？ 题型十七 反比例函数与一次函数的综合 1．（2024秋•秦都区期末）如图，点A（1，6），B（m，n）在反比例函数图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，CD＝5． （1）求出反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）在反比例函数图象上是否存在点E，使△CDE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025•青秀区校级开学）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（1，6），B（n，2），与x轴，y轴分别交于C，D两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，求出点P的坐标． 3．（2024秋•湘潭期末）如图，反比例函数和一次函数y2＝ax+b的图象相交于点A和点D，且点A的横坐标为1，点D的纵坐标为﹣1，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）若一次函数y2＝ax+b的图象与x轴相交于点C，求∠ACO的度数． （3）当y1≥y2时，x的取值范围为　 　． 4．（2024秋•定州市期末）已知一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y的图象相交于A（﹣4，n），B（2，﹣4）两点，连接OA、OB，直线AB与x轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求点C的坐标和△OAB的面积； （3）直接写出不等式kx+b的解集． 题型十八 一次函数与方程 1．若关于x的方程﹣2x+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2x+b一定经过点（　　） A．（2，0） B．（0，3） C．（4，0） D．（2，5） 2．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（　　） A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20 3．在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 4．已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5与直线l2：yx﹣1的交点坐标为（　　） A．（4，1） B．（1，﹣4） C．（﹣1，﹣4） D．（﹣4，1） 5．如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P（﹣4，﹣2），则关于x，y的二元一次方程组的解是　 ． 题型十九 一次函数与不等式 1．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+b与两坐标轴的交点分别为（2，0），（0，3），则不等式ax+b＞0的解为（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3 2．如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，1）两点，则不等式﹣kx﹣b＜0的解集为（　　） A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2 3．一次函数y1＝kx﹣1（k≠0）与y2＝﹣x+2的图象如图所示，当x＜1时，y1＜y2，则满足条件的k的取值范围是（　　） A．k＞﹣1，且k≠0 B．﹣1≤k≤2，且k≠0 C．k＜2，且k≠0 D．k＜﹣1或k＞2 4．如图，已知一次函数y1＝﹣2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C为线段AB的中点，一次函数y2＝x+b与x轴交于点D． （1）当一次函数y2＝x+b经过点C时，若y1≤y2，请直接与写出x的取值范围； （2）当x＜3时，若y1＞y2，结合图象直接写出b的取值范围． 题型二十 一次函数的综合题 1．如图1，一次函数yx+3的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点D是直线AB上的一个动点，CD⊥x轴于点C，点P是射线CD上的一个动点． （1）求点A，B的坐标； （2）如图2，当点D在第一象限，且点D的横坐标为4时，将△ACP沿着AP翻折，当点C的对应点C′落在直线AB上时，求点P的坐标； （3）点D在运动过程中，当△OCD的面积是△OAD面积的2倍时，请直接写出点D的坐标． 2．（2024秋•高新区校级月考）如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C在y轴上，一次函数yx+3的图象经过点B、C． （1）点C的坐标为 　 　，点B的坐标为 　 　； （2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O′与O关于直线l对称，连接CO′并延长，交射线AB于点D． ①求证：△CMD是等腰三角形； ②当CD＝5时，求直线l的函数表达式． 3．（2024秋•凌海市期中）如图，直线y＝kx﹣3与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中OB＝1． （1）求k的值； （2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y＝kx﹣3上的一个动点，当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式； （3）探索： ①点D是直线y＝kx﹣3上的一个动点，当△OBD的面积是3时，求点D的坐标； ②在①的条件下，且点D在第一象限，问：x轴上是否存在一点P，使△POD等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2024春•新洲区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于点A（﹣a，a），与y轴交于点B（0，b），且（a﹣2）20． （1）求直线l2的解析式； （2）若第二象限有一点P（m，8），使得S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标； （3）线段OA上是否存在一个点M，使得∠ABO+∠MBO＝45°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+3与直线AC：相交于点A，直线AB分别交x轴，y轴于点B，E，直线AC分别交x轴，y轴于点C，D． （1）求点A的坐标； （2）在y轴左侧作直线FG∥y轴，分别交直线AB，直线AC于点F，G，当FG＝2DE时，过点G作直线GH⊥y轴于点H．能否在直线GH上找一点P，使PF+PD的值最小，求出P点的坐标； （3）在第二象限是否存在点R，使得△ACR为等腰直角三角形，存在，求出所有点R的坐标；不存在，说明理由． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （华东师大版）八年级下册数学 第17章：函数及其图象章末重点题型复习 题型一 变量与函数 1．（2024春•蕉城区期中）一本笔记本5元，买x本共付y元，则5和y分别是（　　） A．都是常量 B．都是变量 C．5是常量，y是变量 D．5是变量，y是常量 【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，所以5是常量，x、y是变量，据此判断即可． 【解答】解：一本笔记本5元，买x本共付y元，则5是常量，x、y是变量． 故选：C． 【点评】此题主要考查了常量与变量问题，要熟练掌握常量和变量的定义是解题的关键． 2．（2024春•邯郸期中）下列关系式中y不是x的函数的是（　　） A．y2＝x B．y＝x C．y＝x2 D．y＝﹣x 【分析】根据函数的定义，在一个变化的过程中，有两个变量y与x，若x每取一个值，y都有唯一的一个值与它相对应，则y是x的函数，逐项进行判断即可． 【解答】解：选项B、C、D中，每一个x值都有一个y值与它对应， ∴选项B、C、D中y是x的函数， 选项A中，给x一个正值，y有两个值与之对应， ∴选项A中y不是x的函数， 故选：A． 【点评】本题考查了函数的定义，解此类题的关键是掌握，在一个变化的过程中，有两个变量y与x，若x每取一个值，y都有唯一的一个值与它相对应，则y是x的函数． 3．（2024秋•济宁期末）下列各曲线中表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数的意义进行判断即可． 【解答】解：在某个变化过程中，有两个变量x、y，一个量变化，另一个量也随之变化，当x每取一个值，y就有唯一的值与之相对应，这时我们就把x叫做自变量，y叫做因变量，y是x的函数， 只有选项B中的“x每取一个值，y才有唯一值与之相对应”，其它选项中的都不是“唯一相对应”的， 故选：B． 【点评】本题考查函数的定义，理解“自变量x每取一个值，因变量y都有唯一值与之相对应”是正确判断的关键． 4．（2024春•安次区期末）在下列各图象中，y是x的函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用函数定义进行解答即可． 【解答】解：第一个、第二个、第三个图象y都是x的函数，第四个不是，共3个， 故选：C． 【点评】此题主要考查了函数概念，关键是掌握设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数． 5．（2025春•珠海期中）要使函数y有意义，则自变量x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x＞﹣2 C．x≠2 D．x＞0 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得x+2＞0， 解得x＞﹣2． 故选：B． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 6．（2024春•沙坪坝区校级期中）按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是﹣4，则输出y的值是﹣6，若输入x的值是6，则输出y的值是（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 【分析】先代入x＝﹣4，求得b的值，再输入x＝6计算即可． 【解答】解：若输入x的值是﹣4，则输出y的值是﹣6， ∵﹣4＜2， ∴﹣6＝2×（﹣4）+4b， 解得：， 若输入x的值是6， ∵6＞2， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查代数式求值与程序流程图，函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 题型二 实际问题中的函数图象 1．（2024•滨州模拟）苹果熟了，从树上落下来．下面可以大致刻画出苹果下落过程中（即落地前）的速度变化情况的图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】苹果在下落的过程中，速度由0开始，随时间的增大速度越来越大． 【解答】解：苹果在下落的过程中，速度由0开始，随时间的增大速度越来越大． 故选：C． 【点评】本题考查函数的图象，正确理解速度与时间的关系，并且在读函数图象时首先要理解坐标轴表示的意义． 2．（2024秋•武昌区月考）睡觉前小红在浴缸内缓缓放入温水，10分钟后关闭水龙头，小红洗澡时浴缸里的水还是溢出了一些，23分钟后泡澡结束，小红离开浴缸．下面正确反映出浴缸水位变化情况的图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意10分钟关闭水龙头，说明从0至10分钟这段时间内，浴缸里的水从0开始逐渐升高；23分钟后泡澡结束，说明泡澡的时间大于放温水的时间；小红离开浴缸后，水位会下降一些． 【解答】解：A：图象说明泡澡的时间小于放入温水的时间，故A选项不符合题意； B：图象说明浴缸里的水不是从0开始逐渐升高的，故B选项不符合题意； C：图象说明浴缸里的水从0开始逐渐升高，泡澡的时间大于放入温水的时间，小红离开浴缸后，水位高度下降了一些，故C选项符合题意； D：图象说明浴缸里的水不是从0开始逐渐升高的，小红离开浴缸后，水位高度没有下降，故D选项不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查了信息识别和判定函数图象，读图中有关信息时，一定要分析横轴与纵轴分别表示什么． 3．（2024•西城区校级模拟）如图，将一圆柱形水杯杯底固定在大圆柱形容器底面中央，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，则水杯内水面的高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：s）的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度h（cm）与注水时间t（s）的函数图象． 【解答】解：当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高度前，水杯内水面的高度为0，故选项A、C不合题意； 当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高后，水杯内水面的高度逐渐增大，当水杯内水面的高度达到水杯高度时，水杯内水面的高度不再增加，故选项B符合题意，选项D不合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小． 4．（2024•北京模拟）小明晚饭后出门散步，从家点O出发，最后回到家里，行走的路线如图所示．则小明离家的距离h与散步时间t之间的函数关系可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据小明的行走路线，判断小明离家的距离，由此再得出对应的函数图象即可． 【解答】解：根据函数图象可知，小明距离家先逐渐远去，有一段时间离家距离不变说明他走的是一段弧线，之后逐渐离家越来越近直至回家，分析四个选项只有C符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力．要理解函数图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准确的信息． 5．（2024春•开封期末）小明某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为S（m），所经过的时间为t（min），下列选项中的图象，能近似刻画S与t之间的关系是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据小明步行5分钟行驶了400米到达凉亭，然后休息5分钟，又步行5分钟行驶了400米到达公园，即可作答． 【解答】解：∵小明步行5分钟行驶了400米到达凉亭，然后休息5分钟，又步行5分钟行驶了400米到达公园， ∴A图象符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查函数的图象，读懂题意是解题的关键． 题型三 从函数图象中获取信息解决问题 1．（2024秋•利辛县校级期末）在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（　　） A．小汽车共行驶240km B．小汽车中途停留0.5h C．小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时 D．小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 【分析】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 【解答】解：根据题意和图象可知： 小汽车共行驶：2×120＝240（km），故选项A说法正确，不符合题意； 小汽车中途停留0.5h，故选项B说法正确，不符合题意； 小汽车出发后前3小时的平均速度为：120÷3＝40（千米/时），故选项C说法正确，不符合题意； 小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度不变，故选项D说法错误，符合题意． 故选：D． 【点评】此题考查了函数的图象以及学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”． 2．（2024春•兴国县期末）碳酸钠的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．当温度为60℃时，碳酸钠的溶解度为49g B．碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．当温度为40℃时，碳酸钠的溶解度最大 D．要使碳酸钠的溶解度大于43.6g，温度只能控制在40℃～80℃ 【分析】根据函数图象解答即可． 【解答】解：由图象可知： 当温度为60℃时，碳酸钠的溶解度小于49g，故选项A说法错误，不符合题意； 0°C至40°C时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大，40°C至80°C时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而减少，故选项B说法错误，不符合题意； 当温度为40℃时，碳酸钠的溶解度最大，说法正确，故选项C符合题意； 要使碳酸钠的溶解度大于43.6g，温度可控制在接近40℃至80℃，故选项D说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了函数的图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 3．（2024秋•和平区校级期中）甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，甲车提前出发，以60km/h的速度匀速行驶一段时间后，乙车沿同一路线匀速行驶，设甲、乙两车相距为s（km），甲车行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：①甲车提前1h出发，乙车出发2h后追上甲车；②乙车行驶的速度是90km/h；③A、B两地相距450km；④甲车比乙车晚到；其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据函数图象和甲车行驶的速度，可得甲车1小时行驶的路程为60km，由此即可判断①；根据在乙出发2h后追上甲，结合甲的速度即可判断②；根据乙车的速度，然后根据乙车在甲车出发6小时后到达B地，求出两地的距离即可判断③；根据乙到达B地时，甲距离B地还有90km，求出甲车比乙车晚到的时间，即可判断④． 【解答】解：∵甲车的速度为60km/h， ∴甲车先出发1h， ∵甲出发3h后，乙追上甲， ∴甲车提前1h出发，乙车出发2h后追上甲车，故①正确； 乙车的速度为：，故②正确； 根据图可知，乙出发后6﹣1＝5（h），到达B点， ∴A，B两地相距90×5＝450（km），故③正确； 根据图可知，乙车到达B地时，甲车距离B地还有90km， ∴甲车比乙车晚到的时间为：，故④正确； 所以正确的有4个， 故选：D． 【点评】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确读懂函数图象是解题的关键． 4．（2024秋•瑶海区期中）一辆快车从实验中学开往锦绣中学，一辆慢车从锦绣中学开往实验中学，两车同时出发，设快车离锦绣中学的距离为y1（km），慢车离锦绣中学的距离为y2（km），行驶时间为x（h），两车之间的距离为s（km）．y1，y2与x的函数关系图象如图1所示，s与x的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中a＝3；②当x时，两车相遇；③当x时，两车相距60km；④当x或时，两车相距200km．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【分析】由图象可知两地相距300千米，且当x＝3时，快车到达终点，即可判断①；分别求出快车和慢车的速度，即可求出相遇时的时间，可判断②；求出时，两车的路程即可判断③；分两车相遇之前和当两车相遇之后，两种情况解答，即可判断④． 【解答】解：①当x＝3时，快车到达实验中学， ∴a＝3，故①正确； ②V快车，V慢车， 相遇时即100x+60x＝300， 解得：，故②正确； ③当时，快车行驶的路程为，慢车行驶的路程为， ∴两车相距300﹣150﹣90＝60km，故③正确； ④当两车相遇之前，相距200km，即100x+200+60x＝300， 解得：； 当两车相遇之后，相距200km，即100x+60x﹣200＝300， 解得：， ∴此时快车早已到达，故不合题意， ∴当时，两车相距200km，故④错误． 综上可知①②③正确． 故选：A． 【点评】本题考查从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，理解题意，看懂图象是解题关键． 5．（2024秋•大观区校级期末）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是　 米． （2）小明在书店停留了　 　分钟． （3）本次上学途中，小明一共行驶了　 米，一共用了　 　分钟． （4）在整个上学的途中在　 　（时间段）小明骑车速度最快，最快的速度是多少米分？ 【分析】（1）根据小明本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图可得，小明家到学校的路程； （2）观察图象即可得小明在书店停留的时间； （3）观察小明本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图可得，本次上学途中，小明一共行驶的路程，从离家至到达学校一共用的时间； （4）在整个上学的途中12分钟至14分钟小明骑车速度最快，根据路程除以时间即可求出最快的速度． 【解答】解：（1）小明家到学校的路程是1500米； 故答案为：1500． （2）小明在书店停留了12﹣8＝4（分钟）； 故答案为：4． （3）本次上学途中，小明一共行驶了1200+600+（1500﹣600）＝2700（米），一共用了14分钟； 故答案为：2700；14． （4）在整个上学的途中12分钟至14分钟小明骑车速度最快，最快的速度为：（米/分）； ∴在整个上学的途中12分钟至14分钟小明骑车速度最快，最快的速度为：450米/分． 故答案为：12分钟至14分钟． 【点评】本题考查了函数的图象，解决本题的关键是数形结合思想的熟练运用． 题型四 正比例函数的定义 1．（2024春•凤山县期末）下列式子中，哪个表示y是x的正比例函数（　　） A．y＝﹣0.1x B．y C．y＝2x2 D．y2＝4x 【分析】根据正比例函数的定义（形如y＝kx，其中k≠0，k为常数）解决此题． 【解答】解：A．根据正比例函数的定义，y＝﹣0.1x是正比例函数，故A符合题意． B．根据正比例函数的定义，y是反比例函数，不是正比例函数，故B不符合题意． C．根据正比例函数的定义，y＝2x2是二次函数，不是正比例函数，故C不符合题意． D．根据正比例函数的定义，y2＝4x不是正比例函数，故D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查正比例函数，熟练掌握正比例函数的定义是解决本题的关键． 2．（2024•杭州模拟）下列函数（1）y＝﹣x；（2）y＝5x+2；（3）；（4）y＝x2﹣4中，是正比例函数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据正比例的定义进行解答． 【解答】解：（1）y＝﹣x是正比例函数，故正确； （2）y＝5x+2是一次函数，故错误； （3）是正比例函数，故正确； （4）y＝x2﹣4的次数为二，不是一次函数，故错误； 故选：C． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的一般形式是y＝kx（k≠0）是解题的关键． 3．（2024春•丰都县校级月考）若函数y＝（m+1）x|m|﹣5是一次函数，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0 【分析】由一次函数的定义可知|m|＝1且m+1≠0，从而可求得m的值． 【解答】解：∵y＝（m+1）x|m|﹣5是一次函数， ∴|m|＝1且m+1≠0， 解得m＝±1且m≠﹣1， ∴m＝1． 故选：A． 【点评】此题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数定义是解题的关键． 4．（2024秋•阜阳月考）若函数y＝（m+1）是正比例函数，则m的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 【分析】根据正比例函数的定义可得m2＝1且m+1≠0，即可求解． 【解答】解：∵函数y＝（m+1）是正比例函数， ∴m2＝1且m+1≠0， 由m2＝1可得m＝±1， 由m+1≠0可得m≠﹣1， 则m＝1， 故选：C． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟记正比例函数的定义（一般地，形如y＝kx的函数，其中k是常数，且k≠0，叫作正比例函数）是解题关键． 5．（2024秋•江苏期末）已知y关于x的函数y＝4x+m﹣3． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若m＝7，求该函数图象与x轴的交点坐标． 【分析】（1）根据正比例函数的定义即可得出m的值； （2）当m＝7时，函数为一次函数，令y＝0，即可得出图象与x轴的交点坐标． 【解答】解：（1）∵y关于x的函数y＝4x+m﹣3，y是x的正比例函数， ∴m﹣3＝0， 解得m＝3； （2）当m＝7时，该函数的表达式为y＝4x+4， 令y＝0，得4x+4＝0， 解得x＝﹣1， ∴当m＝7时，函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）． 【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数是解题的关键． 题型五 正比例函数的图象与性质 1．对于正比例函数y＝﹣3x，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 【分析】根据题意，可以先出x＝a时的函数值，然后再写出x＝a+1时的函数值，再作差，即可得到当自变量x的值增加1时，函数y的值增加多少，本题得以解决． 【解答】解：当x＝a时，y＝﹣3a， 当x＝a+1时，y＝﹣3（a+1）， ∵﹣3（a+1）﹣（﹣3a）＝﹣3a﹣3+3a＝﹣3， ∴当自变量x的值增加1时，函数y的值增加﹣3， 故选：A． 【点评】本题考查正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答． 2．在下列各图象中，表示函数y＝﹣kx（k＜0）的图象的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由于正比例函数的图象是一条经过原点的直线，由此即可确定选择项． 【解答】解：∵k＜0， ∴﹣k＞0， ∴函数y＝﹣kx（k＜0）的值随自变量x的增大而增大，且函数为正比例函数， 故选：C． 【点评】此题比较简单，主要考查了正比例函数的图象特点：是一条经过原点的直线． 3．（2024春•樊城区期末）已知y＝（2m﹣1）是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么这个函数的解析式为（　　） A．y＝﹣5x B．y＝5x C．y＝3x D．y＝﹣3x 【分析】根据正比例函数的定义和性质列出关于m的不等式组，求出m的值即可． 【解答】解：由题意知m2﹣3＝1且2m﹣1＜0， 解得m＝±2，且， ∴m＝﹣2． ∴y＝﹣5x． 故选：A． 【点评】本题考查的是正比例函数的定义和性质，熟记形如y＝kx（k≠0）的函数叫正比例函数是关键． 4．已知正比例函数yx，下列结论：①y随x的增大而增大；②y随x的减小而减小；③当x＞0时，y＞0；④当x＞1时，y＞1．其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】正比例函数y＝kx，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小，进而判断①②是否正确；再运用上述正比例函数的单调性即可得到当x＞0时与当x＞1时，y的取值范围，进而再判断③④是否正确． 【解答】解：∵正比例函数yx中0， ∴y随x的增大而增大，y随x的减小而减小，故①正确，②正确； ③当x＞0时，y＞0，正确；④当x＞1时，y，错误， ∴正确的是①②③， 故选：C． 【点评】本题考查正比例函数的性质应用，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 5．（2024秋•龙岗区校级期中）已知正比例函数y＝kx（k≠0），求： （1）k为何值时，函数图象经过第一、三象限； （2）k为何值时，y随x的增大而减小； （3）k为何值时，点（1，3）在该函数图象上． 【分析】（1）根据正比例函数的性质得k＞0，然后解不等式即可； （2）根据正比例函数的性质得k＜0，然后解不等式即可； （3）利用一次函数图象上点的坐标特征，把（1，3）代入y＝kx中可求出k的值． 【解答】解：（1）根据题意，得k＞0； （2）根据题意，得k＜0； （3）把（1，3）代入y＝kx，得k＝3， 即k为3时，函数图象经过点（1，3）． 【点评】本题考查了正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．也考查了一次函数的性质． 题型六 一次函数的定义 1．（2024春•渝中区校级期中）下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C．y＝3x+5 D． 【分析】根据一次函数的定义即可即可． 【解答】解：A、此函数是二次函数，故此选项不符合题意； B、此函数是反比例函数，故此选项不符合题意； C、此函数是一次函数，故此选项符合题意； D、此函数不是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数．解题的关键是掌握一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 2．下列函数①y＝﹣x+3；②y；③y＝x2﹣1；④y＝x（x﹣1）﹣x2，是关于x的一次函数的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据一次函数的定义进行判断即可． 【解答】解：由“形如y＝kx+b（k≠0）的函数，y是x的一次函数”可知， ①y＝﹣x+3，y是x的一次函数； ②y，y是x的反比例函数； ③y＝x2﹣1，y是x的二次函数； ④y＝x（x﹣1）﹣x2＝﹣x，y是x的一次函数； 因此是一次函数的有①④，共2个， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的定义，理解“形如y＝kx+b（k≠0）的函数，y是x的一次函数”是正确判断的关键． 3．（2024春•应城市期末）已知函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+3是一次函数，则m的值是 　 　． 【分析】根据一次函数的定义求解即可． 【解答】解：∵函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+3是一次函数， ∴m﹣2≠0且1＝1， 解得：m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 4．（2024春•微山县期末）已知函数y＝（m﹣3）4是关于x的一次函数，则m的值是 　 　． 【分析】根据一次函数的定义得出m2﹣8＝1且m﹣3≠0，再求出m即可． 【解答】解：∵函数y＝（m﹣3）4是关于x的一次函数， ∴m2﹣8＝1且m﹣3≠0， 解得：m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了一次函数的定义，能根据一次函数的定义得出m2﹣8＝1且m+3≠0是解此题的关键，注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫一次函数． 5．（2024春•大武口区期末）已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7． （1）当m为何值时，y是x的一次函数？ （2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？ 【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，可得答案； （2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【解答】解：（1）由y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数，得 ， 解得m＝﹣2． 故当m＝﹣2时，y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数； （2）当y＝3时，3＝﹣4x+5，解得x， 故当x时，y的值为3． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 题型七 一次函数的图象 1．（2024秋•迎泽区校级月考）已知一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则该函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，3＞0， ∴k＞0， ∴此函数的图象经过一、二、三象限． 故选：A． 【点评】本题考查的是一次函数的图象，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答此题的关键． 2．（2024春•福州期中）若k＞0，b＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A．B． C．D． 【分析】直接根据一次函数图象与系数的关系判断即可． 【解答】解：∵k＞0，b＜0， ∴y＝kx+b的图象在一、三、四象限， 故选B． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y＝kx+b（k为常数，k≠0）， 当k＞0，b＞0，y＝kx+b的图象在一、二、三象限； 当k＞0，b＜0，y＝kx+b的图象在一、三、四象限； 当k＜0，b＞0，y＝kx+b的图象在一、二、四象限； 当k＜0，b＜0，y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 3．（2024秋•兰州期末）直线y＝ax+b（a，b为常数，且ab≠0）经过第一、二、四象限，则直线y＝bx+a可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据直线经过的象限，判断出a，b的符号，进而判断出另一条直线的图象经过的象限即可． 【解答】解：∵直线y＝ax+b（a，b为常数，且ab≠0）经过第一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0， ∴直线y＝bx+a的图象经过一，三，四象限， 故选：A． 【点评】本题考查一次函数图象和系数之间的关系，根据题意判断出a＜0，b＞0是解题的关键． 4．（2024秋•源城区期末）在同一平面直角坐标系内作一次函数y1＝ax+b和y2＝﹣bx+a图象，可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】先由一次函数y1＝ax+b图象得到字母系数的符号，再与一次函数y2＝﹣bx+a的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一、二、三象限， ∴a＞0，b＞0， ∴﹣b＜0， ∴一次函数y2＝﹣bx+a图象应该经过一、二、四象限，故不符合题意； B、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0， ∴﹣b＜0， ∴一次函数y2＝﹣bx+a图象应该经过二、三、四象限，故不符合题意； C、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过二、三、四象限， ∴a＜0，b＜0， ∴﹣b＞0； ∴一次函数y2＝﹣bx+a图象应该经过一、三、四象限，故不符合题意； D、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过二、三、四象限， ∴a＜0，b＜0， ∴﹣b＞0， ∴一次函数y2＝﹣bx+a图象应该经过一、三、四象限，与函数图象一致，符合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 题型八 一次函数的性质 1．若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A．k＞2 B．k＜2 C．k＞0 D．k＜0 【分析】根据一次函数的性质，可得答案． 【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大， ∴k﹣2＞0， 解得k＞2， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的性质，y＝kx+b，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大． 2．一次函数y＝kx+m（k＜0）的图象过点A（1，a），B（1，b），C（﹣1，c），则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c 【分析】由k＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣1＜11，即可得出c＞a＞b． 【解答】解：∵k＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵一次函数y＝kx+m的图象过点A（1，a），B（1，b），C（﹣1，c），且﹣1＜11， ∴c＞a＞b． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 3．已知一次函数y＝kx﹣3，若y随x的增大而减小，则它的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【分析】先根据一次函数y＝kx﹣3中，y随x的增大而减小判断出k的符号，再根据一次函数的性质判断出此函数的图象所经过的象限，进而可得出结论． 【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣3中，y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∴此函数图象必过二、四象限； ∵b＝﹣3＜0， ∴此函数图象与y轴相交于负半轴， ∴此函数图象经过二、三、四象限． 故选：D． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0时，此函数图象经过二、四象限；当b＜0时，此函数图象交y轴于负半轴． 4．（2024秋•义乌市校级月考）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（﹣2，7），（2，3），则下列结论正确的是（　　） A．该函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0） B．将该函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象 C．若点（1，y1）、（3，y2）均在该函数图象上，则y1＜y2 D．该函数的图象经过第一、二、四象限 【分析】由表格数据可求得函数解析式为y＝﹣x+5，与x轴交点应为（5，0），所以A选项错误；函数图象向上平移4个单位长度得到的应该是y＝﹣x+9的图象，所以B选项错误；若点（1，y1）、（3，y2）均在该函数图象上，由函数增减性可知，y1＞y2，所以C选项错误；由解析式可知函数经过一、二、四象限，所以D正确． 【解答】解：由题意得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5， A、∵当y＝0时，x＝5，∴该函数的图象与x轴的交点坐标是（5，0），原说法错误，不符合题意； B、将该函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣x+1的图象，原说法错误，不符合题意； C、∵﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，∴若点（1，y1）、（3，y2）均在该函数图象上，则y1＞y2，原说法错误，不符合题意； D、∵﹣1＜0，5＞0，∴该函数的图象经过第一、二、四象限，正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换与一次函数的性质，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 5．（2024春•亳州月考）已知关于x的一次函数y＝mx+2m﹣10（m≠0）． （1）当m为何值时，这个函数为正比例函数？ （2）当m为何值时，这个函数y的值随着x值的增大而减小？ （3）若该一次函数的图象经过第一、三、四象限，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）根据正比例函数的性质得出2m﹣10＝0，求出方程的解即可； （2）根据一次函数的性质得出不等式m＜0； （3）根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，列出关于m的不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：（1）y＝mx+2m﹣10（m≠0）． ∵函数为正比例函数， ∴2m﹣10＝0， 解得：m＝5， 答：当m＝5时，这个函数为正比例函数， （2）一次函数y＝mx+2m﹣10（m≠0）， ∵函数y的值随着x值的增大而减小， ∴m＜0， 答：当m＜0时，函数y的值随着x值的增大而减小． （3）∵一次函数y＝mx+2m﹣10（m≠0）的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解得：0＜m＜5， 答：当0＜m＜5时，函数的图象经过第一、三、四象限． 【点评】本题主要考查对解一元一次方程，一元一次不等式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据一次函数的性质和已知得出不等式或方程是解此题的关键． 题型九 一次函数的平移 1．（2024春•江门期末）在平面直角坐标系中，把直线y＝2x﹣1沿y轴向下平移2个单位长度后，得到的直线的函数关系式为（　　） A．y＝2x+3 B．y＝2x﹣3 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣1 【分析】根据平移法则可得出平移后的解析式． 【解答】解：把直线y＝2x﹣1沿y轴向下平移2个单位长度后，得到的直线的函数关系式为y＝2x﹣1﹣2，即y＝2x﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移法则“左加右减，上加下减”是解题的关键． 2．（2024•滑县二模）在平面直角坐标系中，将y＝﹣2x+1向下平移3个单位，所得函数图象过（a，3），则a的值为 　 ． 【分析】先得到平移后的函数表达式，再代入（a，3），解方程即可得到答案． 【解答】解：将y＝﹣2x+1向下平移3个单位得到y＝﹣2x﹣2，把（a，3）代入得到 3＝﹣2a﹣2， 解得， 故答案为：． 【点评】此题考查了一次函数的平移和求自变量的的值，熟练掌握平移规律是解题的关键． 3．（2025春•杨浦区校级月考）已知直线l经过（2，0）和（0，﹣3），把直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线l′，则直线l′的解析式为 　 　 ． 【分析】设直线l的表达式为y＝kx+b（k≠0），将（2，0）和（0，﹣3）分别代入y＝kx+b（k≠0）中，求出直线l的表达式，进而得出答案． 【解答】解：设直线l的表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将（2，0）和（0，﹣3）分别代入y＝kx+b（k≠0）中， 即， 解得：， 则直线l的表达式为yx﹣3， ∵直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线l′， ∴直线l′的表达式为y（x+2）﹣3﹣1， 即直线l′的表达式为yx﹣1． 故答案为：yx﹣1． 【点评】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式、坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握用待定系数法求一次函数的表达式是解题的关键． 4．（2024春•萨尔图区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B． （1）根据图象，求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式； （2）将直线AB向下平移5个单位后经过点（m，﹣5），求m的值． 【分析】（1）根据待定系数法求得即可； （2）求得平移后的直线的解析式，代入点（m，﹣5），即可求得m的值． 【解答】解：（1）由图象可知，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，6）、B（﹣4，﹣3）， ∴， 解得， 所以一次函数的表达式为：yx+3； （2）将直线AB向下平移5个单位后得到yx+3﹣5，即yx﹣2， ∵经过点（m，﹣5）， ∴﹣5m﹣2， 解得m＝﹣2． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 题型十 一次函数与几何变换 1．已知直线y＝2x+m与直线y＝nx+4（n≠0）关于y轴对称，则直线y＝mx+n与坐标轴围成的三角形的面积为（　　） A． B．1 C． D．2 【分析】根据对称性求得m、n的值，进而求得直线y＝mx+n与坐标轴的交点，然后利用三角形面积公式即可求得． 【解答】解：∵直线y＝2x+m与直线y＝nx+4（n≠0）关于y轴对称， ∴m＝4，0， ∴m＝4，n＝﹣2， ∴直线y＝mx+n的解析式为y＝4x﹣2， 令x＝0，则y＝﹣2； 令y＝0，则x， ∴直线y＝mx+n与坐标轴的交点为（，0）和（0，﹣2）， ∴直线y＝mx+n与坐标轴围成的三角形的面积为：， 故选：A． 【点评】此题考查了一次函数的图象与几何变换，关键是能准确理解题意，运用对称性求得m、n的值是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x+2关于平行于y轴的一条直线对称后得到直线AB，若直线AB恰好过点（6，2），则直线AB的表达式为（　　） A．y＝2x﹣10 B．y＝﹣2x+14 C．y＝2x+2 D．yx+5 【分析】根据题意可知它们的k值互为相反数，得到直线AB的解析式为y＝2x+b，把点（6，2）代入求得b的值，即可求得． 【解答】解：由题意得，直线AB的解析式为y＝2x+b， ∵直线AB恰好过点（6，2）， ∴2＝2×6+b，解得b＝﹣10， ∴直线AB的表达式为y＝2x﹣10， 故选：A． 【点评】此题主要考查了一次函数的图象和性质，解题关键是利用对称得到它们的k值互为相反数． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+3分别与x轴y轴交于点A和点B，将直线AB绕点A顺时针旋转90°后，所得直线与y轴的交点坐标为（　　） A．（0，﹣1） B．（0，） C．（0，） D．（0，） 【分析】设B旋转后的对应点为B′，作B′D⊥x轴于D，通过三角形全等即可求得B′D＝OA＝2，AD＝OB＝3，得到B′的坐标，进而全等直线AB′，进一步全等C点的坐标． 【解答】解：如图，设B旋转后的对应点为B′，作B′D⊥x轴于D， ∵直线yx+3分别与x轴y轴交于点A和点B， ∴A（2，0），B（0，3）， ∴OA＝2，OB＝3， ∴B′D＝OA＝2，AD＝OB＝3， ∵AB⊥AC， ∴∠OAB+∠DAB′＝90°＝∠OAB+∠OBA， ∴∠DAB′＝∠OBA， ∵AB＝B′A， ∵∠ADB′＝∠BOA＝90°， ∴△AOB≌△DB′A（AAS）， ∴B′D＝OA＝2，AD＝OB＝3， ∴B′（﹣1，﹣2）， ∴直线AB′yx， ∴C（0，）， 故选：B． 【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟知三角形全等是解题的关键． 4．（204秋•小店区月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB是长方形，A（9，0），B（9，3），C（0，3），将△OAB沿直线OB折叠，此时点A落在点D处，OD与BC交于点E，且OE＝BE，则OD所在直线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【分析】设点E的坐标为（m，3），则OE＝BE＝9﹣m，CE＝m，利用勾股定理即可求出m值，再根据点E的坐标，利用待定系数法即可求出OD所在直线的解析式． 【解答】解：∵四边形AOCB是长方形，A（9，0），B（9，3），C（0，3）， ∴AB＝OC＝3，AO＝BC＝9， 设点E的坐标为（m，3），则OE＝BE＝9﹣m，CE＝m， 在Rt△OCE中，OC＝3，CE＝m，OE＝9﹣m， ∴（9﹣m）2＝32+m2， ∴m＝4， ∴点E的坐标为（4，3）， 设OD所在直线的解析式为y＝kx， 将点E（4，3）代入y＝kx中， 得3＝4k，解得：， ∴OD所在直线的解析式为． 故选：C． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、勾股定理，利用勾股定理求出点E的坐标是解题的关键． 题型十一 一次函数的实际应用 1．（2024秋•市南区期末）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（元）与销售量x（kg）之间的关系如图所示． （1）求出甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式； （2）求点B的坐标，并写出点B表示的实际意义； （3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg（a＞30）时，它们的利润和为1695元，求a的值． 【分析】（1）根据图象可知：甲种苹果销售额y甲与销售量x符合正比例函数，然后根据图象中的数据，即可计算出甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式； （2）求出AB段对应的函数解析式，然后与（1）中的函数关系式联立方程组，然后即可得到点B的坐标，再写出点B表示的实际意义即可； （3）根据利润＝（售价﹣进价）×销售量，然后列出相应的方程，求解即可． 【解答】解：（1）设甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式是y甲＝kx， ∵点（120，2400）在该函数图象上， ∴2400＝120k， 解得k＝20， 即甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式是y甲＝20x； （2）当30≤x≤120时，设乙对应的函数解析式为y＝mx+n， ∵点（30，750），（120，2100）在该函数图象上， ∴， 解得， 即当30≤x≤120时，乙对应的函数解析式为y＝15x+300， 由可得， 即点B的坐标为（60，1200），点B表示的实际意义是当销售量为60kg时，甲和乙的销售额相同，都是1200元； （3）由图象可得， 甲种苹果的销售单价为：2400÷120＝20（元）， 当x＞30时，乙种苹果的销售单价为：（2100﹣750）÷（120﹣30）＝15（元）， 由题意可得：（20﹣8）a+（15﹣12）a＝1695， 解得a＝113， 即a的值为113． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2．快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）请直接写出快、慢两车的速度； （2）求快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式； （3）两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？ 【分析】（1）根据路程与相应的时间，求得慢车的速度，再根据慢车速度是快车速度的一半，求得快车速度； （2）先求得点C的坐标，再根据点D的坐标，运用待定系数法求得CD的解析式； （3）分三种情况：在两车相遇之前；在两车相遇之后；在快车返回之后，分别求得时间即可． 【解答】解：（1）慢车的速度＝180÷（）＝60千米/时， 快车的速度＝60×2＝120千米/时； （2）快车停留的时间：2（小时）， 2（小时），即C（2，180）， 设CD的解析式为：y＝kx+b，则 将C（2，180），D（，0）代入，得 ， 解得， ∴快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式为y＝﹣120x+420（2≤x）； （3）相遇之前：120x+60x+90＝180， 解得x； 相遇之后：120x+60x﹣90＝180， 解得x； 快车从甲地到乙地需要180÷120小时， 快车返回之后：60x＝90+120（x） 解得x，综上所述，两车出发后经过或或小时相距90千米的路程． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式．求一次函数y＝kx+b，需要两组x，y的值或图象上两个点的坐标．在解题时注意分类思想的运用． 3．为深入贯彻习近平总书记关于劳动教育的重要论述，全面落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某学校计划购买A，B两种型号的劳动教育教学设备．已知购买1台A型设备和1台B型设备需5500元，购买2台A型设备和1台B型设备需8500元． （1）求A，B型设备单价分别是多少元？ （2）该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的，设购买a台A型设备，购买A、B型两种设备的总费用为w元，求w关于a的函数表达式，并求出购买两种设备的总费用最少需要多少元？ 【分析】（1）设A型设备单价是x元，B型设备单价是y元，根据购买1台A型设备和1台B型设备需5500元，购买2台A型设备和1台B型设备需8500元得：，即可解得答案； （2）由A型设备数量不少于B型设备数量的，可得：a≥15，由题意可得w＝3000a+2500（60﹣a）＝500a+150000，再根据一次函数性质可得答案． 【解答】解：（1）设A型设备单价是x元，B型设备单价是y元， 根据题意得：， 解得：， ∴A型设备单价是3000元，B型设备单价是2500元； （2）∵A型设备数量不少于B型设备数量的， ∴a（60﹣a）， 解得：a≥15， 根据题意得： w＝3000a+2500（60﹣a）＝500a+150000， ∵500＞0， ∴w随a的增大而增大， ∴a＝15时，w取最小值，最小值为500×15+150000＝157500（元）， 答：w关于a的函数表达式是w＝500a+150000，购买两种设备的总费用最少需要157500元． 【点评】本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． 4．（2024春•福田区校级月考）宝安公明腊肠是深受当地民众喜爱的一种美食，其制作技艺至今已有百余年历史，该项目2017年被列入宝安区区级非物质文化遗产保护名录．某腊肠制作坊计划购买A，B两种香料制作腊肠．已知购买1千克A种香料和1千克B种香料共需60元，购买3千克A种香料和4千克B种香料共需220元． （1）求A，B两种香料的单价； （2）该小吃店计划购买两种香料共20千克，其中购买A种香料的重量不超过B种香料重量的3倍，当A，B两种香料分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【分析】（1）设A，B两种香料的单价分别为x元，y元，然后根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买A种香料a千克，则购买B种香料（20﹣a）千克，总费用为w元．根据题意列不等式可求得a≤15，再列出函数关系式w＝﹣20a+800，然后根据一次函数的性质即可解答． 【解答】解：（1）设A，B两种香料的单价分别为x元，y元， 根据题意得：，解得：． 答：A种香料的单价为20元，B种香料的单价为40元． （2）设购买A种香料a千克，则购买B种香料（20﹣a）千克，总费用为w元． 由题意可得：a≤3（20﹣a）， ∴a≤15， 由题意可得w＝20a+40（20﹣a）＝﹣20a+800， ∵﹣20＜0，∴w随a的增大而减小， ∴当a＝15时，w最小，wmin＝﹣300+800＝500（元）． 答：购买A种香料15千克，购买B种香料5千克，总费用最小，为500元． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意正确列出方程组、不等式以及一次函数的解析式成为解题的关键． 5．（2024秋•兴宁市期末）为扎实推进“百县千镇万村高质量发展工程”，某镇已将区域内特色农产品：水晶梨和鹰嘴桃发展成品牌农业，形成“专业合作+基地+农户”产销一条龙服务的产业经营模式，促进农民增收．甲商场从该镇购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元，已知水晶梨的单价比鹰嘴桃的单价少1元． （1）水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是多少元？ （2）因为市场销量非常好，该商场决定再次购买这两种水果1000斤，总共用了5400元，那么再次购买了这两种水果各多少斤？ （3）若该商场一次性购买这两种水果1200斤，并且在一天内分别以水晶梨每斤8元，鹰嘴桃每斤10元的价格全部售出，经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元，求w关于n的函数关系式，并求出购买的鹰嘴桃为多少斤时，商场的利润最大，最大利润为多少元． 【分析】（1）设鹰嘴桃的单价为x元，则水晶梨的单价为（x﹣1）元，根据“购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元”即可列式计算； （2）设再次购买了鹰嘴桃y斤，则水晶梨为（1000﹣y）斤，根据“再次购买这两种水果1000斤，总共用了5400元，”即可列式计算； （3）依题意，得w＝（8﹣5）×（1200﹣n）+（10﹣6）n＝n+3600，因为1＞0，w随着n的增大而增大，结合n≤600，即可作答． 【解答】解：（1）设鹰嘴桃的单价为x元，则水晶梨的单价为（x﹣1）元， 依题意，得500×（x﹣1）+300x＝4300， 解得x＝6， 则6﹣1＝5（元）， 水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是5，6元； （2）设再次购买了鹰嘴桃y斤，则水晶梨为（1000﹣y）斤， 依题意，得6y+5×（1000﹣y）＝5400， 解得y＝400， 则100﹣400＝600（千克）， ∴那么再次购买了鹰嘴桃400斤，水晶梨为600斤； （3）∵若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元， ∴购买水晶梨的数量为（1200﹣n）斤， 依题意，得w＝（8﹣5）×（1200﹣n）+（10﹣6）n＝n+3600， 则w随着n的增大而增大， ∵经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤， ∴n≤600， ∴w关于n的函数关系式w＝n+3600（n≤600）， 则当n＝600时，w由最大值，且为w＝600+3600＝4200， ∴购买的鹰嘴桃为600斤时，商场的利润最大，最大利润为4200元． 【点评】本题考查了一次函数的实际应用、一元一次方程的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型十二 一次函数与图象的面积 1．（2024秋•榆中县期末）如图所示，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，4）． （1）求过A，B两点直线的函数表达式； （2）过点B作直线BP与x轴交于点P，且使OP＝2OA，求△ABP的面积． 【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法，可求出过A，B两点直线的函数表达式； （2）由点A，B的坐标，可得出OA，OB的长，结合OP＝2OA，可求出AP的长，再利用三角形的面积公式，即可求出结论． 【解答】解：（1）设过A，B两点直线的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将A（﹣1，0），B（0，4）代入y＝kx+b（k≠0）得： ， 解得：， ∴过A，B两点直线的函数表达式为y＝4x+4； （2）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，4）， ∴OA＝1，OB＝4． ∵OP＝2OA， ∴OP＝2， ∴AP＝OP﹣OA＝2﹣1＝1或AP＝OP+OA＝2+1＝3， ∴S△ABPAP•OB1×4＝2或S△ABPAP•OB3×4＝6． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式，求出△ABP的面积． 2．（2024秋•海陵区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（2，0），（0，4）． （1）求直线AB的函数表达式； （2）若P为直线AB上一动点，△AOP的面积为6，求点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求直线AB的解析式； （2）设P（t，﹣2t+4），利用三角形面积公式得到2×|﹣2t+4|＝6，然后解方程求出t，从而得到P点坐标． 【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（2，0），B（0，4）分别代入得， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4； （2）设P（t，﹣2t+4）， ∵△AOP的面积为6， ∴2×|﹣2t+4|＝6， 解得t＝﹣1或t＝5， ∴P点坐标为（﹣1，6）或（5，﹣6）． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 3．（2024秋•碑林区校级月考）如图，直线y＝x+3与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点C（﹣2，1）． （1）直接写出点B的坐标为 　 　； （2）求出△OBC的面积； （3）在直线BC上是否存在点M，使S△OBM＝2S△COB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得B的坐标； （2）根据题意得出C的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）根据在直线BC上是否存在点M，设M（m，m+3），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）在y＝x+3中，令x＝0，则y＝3， ∴B（0，3）， 故答案为：（0，3）； （2）∵点C（﹣2，1）， ∴△OBC的面积OB•∁x3×2＝3； （3）存在； ∵在直线BC上是否存在点M， ∴设M（m，m+3）， ∵S△OBM＝2S△COB， ∴OB•|Mx|＝2OB•∁x ∴|m|＝2×2， ∴m＝±4， ∴M（4，7）或（﹣4，﹣1）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想． 4．（2024春•正定县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝4x﹣5上，过点A的另一条直线交y轴于点B（0，6）． （1）求直线AB的函数表达式； （2）求△ABC的面积； （3）若点P（t，y1）在线段AB上（可与点A，B重合），点Q（t﹣1，y2）在直线y＝4x﹣5上，求y1﹣y2的最小值． 【分析】（1）待定系数法求出直线AB解析式即可； （2）先求出线段BC长，再根据三角形面积公式计算即可； （3）根据题意列出y1﹣y2的函数解析式，由t的取值范围和一次函数性质确定最值即可． 【解答】解：（1）∵点A（2，m）在直线y＝4x﹣5上， ∴m＝8﹣5＝3， ∴A（2，3）， 设直线AB的解析式为y＝kx+6，将点A（2，3）代入解析式得：3＝2k+6， 解得k， ∴直线AB的解析式为y． （2）在直线y＝4x﹣5中，C（0，﹣5）， ∴BC＝6+5＝11， ∴S△ABC11． （3）∵点P（t，y1）在线段AB上， ∴0≤t≤2， 根据题意，y1．，y2＝4（t﹣1）﹣5＝4t﹣9， ∴y1﹣y24t+9t+15， ∵0， ∴函数值随t增大而减小， 当t＝2时．y1﹣y2取最小值，最小值为4． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及三角形面积问题，解决问题的关键是求出y1﹣y2的表达式，利用t的最值求出答案． 题型十三 一次函数与动点运动问题 1．（2024•茌平区一模）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则AC的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【分析】当点P运动到点C处时，y＝5，即BC＝5，当点P运动到点A处时，y＝5，即AB＝5，即BC＝AB，作BH⊥AC，由三线合一得CH＝AH，根据勾股定理解出HC，即可解答． 【解答】解：当点P运动到点C处时，y＝5， ∴BC＝5， 当点P运动到点A处时，y＝5， ∴AB＝5， ∴BC＝AB， 作BH⊥AC，如图， ∴CH＝AH， 则BH为BP的最小值，此时y＝3，即BH＝3， ∴CH4， ∴AC＝8． 故选：D． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 2．（2024•郑州模拟）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，△ABC的高，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则点F的坐标为（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出AB和BC，作AQ⊥BC，利用等面积法求出AQ，再用勾股定理求出BQ，即可求出点F坐标． 【解答】解：当点P运动到点B处时，x＝8，即AB＝8， 当点P运动到点C处时，x＝15，即BC＝7， 作AQ⊥BC，如图， 当点P运动到点Q处时，AP最短， 由等面积得AB•CG＝BC•AQ， ∴AQ＝4， ∴点F纵坐标为4， 在Rt△ABQ中，AB2＝AQ2+BQ2， ∴BQ＝4， ∴AB+BQ＝12， ∴点F的横坐标为12， ∴点F坐标（12，4）． 故选：D． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键． 3．如图1，AH＝BC＝10cm，GF＝DE，点P从点A出发保持匀速运动，沿长方形凹槽A→B→C→D→E→F→G→H的路线运动，到点H停止；如图2是△APH的面积S（cm2）和运动时间x（s）的图象． （1）求图1中的AB的长度； （2）设点P运动的路程为y（cm），请写出y（cm）与运动时间x（s）之间的关系式，写出x的取值范围． 【分析】（1）根据图2可知，当运动时间为10s时，△APH的面积S＝100cm2，即可求出AB的长度； （2）由（1）可知点P运动的速度为2cm/s，再求出GF＝DE＝2×（22﹣20）＝4cm，所以运动时间x的范围为0≤x≤29，即可求出答案． 【解答】解：（1）根据图2可知，当运动时间为10s时，△APH的面积S＝100cm2， 即P运动到B点时AH×AB＝100， ∵AH＝10cm， ∴AB＝20（cm）， 答：AB的长度20cm； （2）由（1）可知点P运动的速度为2（cm/s）， ∴GF＝DE＝2×（22﹣20）＝4（cm）， ∴从点A到点H的路程为20+10+20+4+4＝58cm， ∴运动时间x的范围为0≤x，即0≤x≤29， ∴y＝2x（0≤x≤29）． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 4．如图1，在长方形ABCD中，AB：AD＝3：5，点P从点A出发以2cm/秒的速度沿A→B→C→D的路线匀速移动．随着点P的移动，三角形APD的面积会不断发生变化，它的面积变化情况如图2所示． （1）点P从点A出发，经过多少秒后到达点D？ （2）点P从点A出发，经过多少秒后三角形APD的面积恰好是25cm2？ 【分析】（1）由图2可知，点P运动3秒到达点B，再由点P的运动速度和AB：AD＝3：5，即可解决问题． （2）由（1）中求得的数据，可知矩形的面积，进而可得出点P在BC上运动时，△APD的面积为定值30，再对点P的位置再AB和CD上进行分类即可． 【解答】解：（1）由图2知， 点P运动3秒时到达B点， 又点P的运动速度是2cm/秒， 所以AB＝2×3＝6cm． 又AB：AD＝3：5， 则AD＝10cm． 又四边形ABCD是长方形， 所以CD＝AB＝6cm． 则AB+BC+CD＝6+10+6＝22cm， 所以22÷2＝11秒． 故点P从点A出发，经过11秒后到达点D． （2）由（1）知， ， 则当点P在BC上运动时， △ADP的面积恒为：60÷2＝30cm2． 又25＜30， 则当点P在边AB上时， 25×2÷10＝5cm， 5÷2＝2.5秒． 当点P在边CD上时， 6+10+6﹣5＝17cm， 17÷2＝8.5秒． 综上所述，经过2.5秒或8.5秒后三角形APD的面积恰好是25cm2． 【点评】本题考查动点运动的函数图象问题，能根据图2得出AB的长进而求出AD是解题的关键． 题型十四 反比例函数的定义 1．（2024秋•正定县期末）在下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A．y＝3x B． C． D． 【分析】根据反比例函数的定义对题目中的四个选项进行逐一分析即可得出答案． 【解答】解：对于选项A， ∵函数y＝3x不符合反比例函数的定义， ∴该选项不符合题意； 对于选项B， ∵函数不符合反比例函数的定义， ∴该选项不符合题意； 对于选项C， ∵函数符合反比例函数的定义， ∴该选项符合题意； 对于选项D， ∵函数不符合反比例函数的定义， ∴该选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了反比例函数的定义，正确理解反比例函数的定义是解决问题的关键． 2．（2024秋•鲁山县期末）在下列函数的表达式中，x均表示自变量：①；②；③；④xy＝﹣1；⑤；⑥，其中y是x的反比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，据此进行判断即可． 【解答】解：，，xy＝﹣1符合反比例函数的定义，它们是反比例函数，共3个， 故选：C． 【点评】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．（2024秋•广饶县期中）函数y＝（k2+2k）xk2+k﹣1是反比例函数，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0或﹣1 D．±1 【分析】根据反比例函数的定义列出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可． 【解答】解：∵函数y＝（k2+2k）xk2+k﹣1是反比例函数， ∴，解得k＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查的是反比例函数的定义，熟知形如y（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数是解答此题的关键． 4．（2023秋•电白区校级期末）若函数y＝（m+2）x|m|﹣3是反比例函数，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．1 【分析】根据反比例函数的定义．即y（k≠0），只需令|m|﹣3＝﹣1，m+2≠0即可． 【解答】解：∵y＝（m+2）x|m|﹣3是反比例函数， ∴， 解得：m＝2． 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，特别要注意不要忽略k≠0这个条件． 题型十五 反比例函数的图象与性质 1．（2024•茅箭区校级模拟）正比例函数y＝kx和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则点（m，k）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】利用函数得图象确定字母的正负号，再根据正负号确定点所在象限． 【解答】解：根据函数的图象得：k＜0，m＞0． 所以（m，k）在第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查了函数得图象和系数的关系，掌握函数的图象和性质是解决问题的关键． 2．（2024秋•西和县期末）如图，函数y1＝x+1与函数y2的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＜y2，则x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．0＜x＜1或x＜﹣2 【分析】观察函数图象得到当x＜﹣2或0＜x＜1时，一次函数图象都在反比例函数图象的下方，即y1＜y2． 【解答】解：由图象可知，y1＜y2时的x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1， 故选：D． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键． 3．（2024•双峰县模拟）在平面直角坐标系xOy中，若点A（x1，2）和B（x2，4）在反比例函数图象上，则下列关系式正确的是（　　） A．x1＞x2＞0 B．x2＞x1＞0 C．x1＜x2＜0 D．x2＜x1＜0 【分析】直接把点A（x1，2）和B（x2，4）代入反比例函数，求出x1，x2的值，再比较大小即可． 【解答】解：∵点A（x1，2）和B（x2，4）在反比例函数y的图象上， ∴2，4， ∴x1＝1，x2 ∵10， ∴x1＞x2＞0． 故选：A． 【点评】本题主要考查反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是明确题意，利用反比函数的性质或反比例函数图象上点的坐标特征解决问题． 4．（2024•新城区校级模拟）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是同一个反比例函数图象上的两点，若x1+x2＝0，且x1y2＝4，则这个反比例函数的表达式为 　 　． 【分析】根据题意可知x1•y1＝x2•y2，再由x1+x2＝0得出x1与x2互为相反数，所以y1与y2互为相反数，再根据x1y2＝4即可得出结论． 【解答】解：∵（x1，y1），B（x2，y2）是同一个反比例函数图象上的两点， ∴x1•y1＝x2•y2， ∵x1+x2＝0， ∴x1与x2互为相反数，y1与y2互为相反数， ∴x1•y1＝﹣x1•y2， ∵x1y2＝4， ∴x1•y1＝﹣4， ∴这个反比例函数的表达式为y． 故答案为：y． 【点评】本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意得出x1与x2互为相反数，y1与y2互为相反数是解题的关键． 5．（2024秋•天桥区月考）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是y1和y2，设点M在y1上，MA⊥x轴于点A，交y2于点N，若△MON的面积为1，则k的值为 　 　． 【分析】根据反比例函数（k≠0）系数k的几何意义得到S△MOA5，S△NOA|k|，然后利用S△AON＝S△AOM﹣S△NOM进行计算即可． 【解答】解：∵MA⊥x轴于点A，交y2于点N， ∴S△MOA5，S△NOA|k|， ∵△MON的面积为1， ∴S△AON＝5|k|＝1， ∵k＞0， ∴k＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了反比例函数（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 6．（2023秋•安新县期末）如图，一次函数yx﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B，P为AB上一点且PC为△AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数y（k＞0）的图象于Q，S△OQC，则k的值是　 　；Q点的坐标分别为　 　． 【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征求出A（4，0），再根据三角形中位线性质得PC∥OB，C（2，0），接着根据反比例函数系数k的几何意义得到|k|，可解得k＝3，则反比例函数解析式为y，由于Q点的横坐标为2，则计算出x＝2时，y，于是得到Q点的坐标为（2，）． 【解答】解：当y＝0时，x﹣2＝0，解得x＝4，则A（4，0）， ∵PC为△AOB的中位线， ∴PC∥OB，C（2，0）， ∵S△OQC|k|， 而k＞0， ∴k＝3， ∴反比例函数解析式为y， 当x＝2时，y， ∴Q点的坐标为（2，）． 故答案为3，（2，）． 【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了三角形中位线性质． 题型十六 反比例函数的实际应用 1．（2024秋•西安期末）物理课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm，当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，则该液体的密度ρ为（　　） A．2.5g/cm3 B．1.2g/cm3 C．1g/cm3 D．0.8g/cm3 【分析】设h关于ρ的函数解析式为h，把ρ＝1，h＝20代入求出解析式，把h＝25代入解析式即可得到结论． 【解答】解：设h关于ρ的函数解析式为h， 把ρ＝1，h＝20代入解析式， 得k＝1×20＝20， ∴h关于ρ的函数解析式为h， 把h＝25 代入h，得25， 解得：ρ＝0.8， 答：该液体的密度ρ为 0.8g/cm3． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 2．（2024秋•白云区期中）已知闭合电路的电压为定值，电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例关系，根据下表，则a＝（　　） 电流I 10 2.4 2 1.2 电阻R a 50 60 100 A．20 B．16 C．12 D．10 【分析】根据两个量的乘积一定，则这两个量成反比可得10a＝2×60，再进一步解答即可． 【解答】解：由题意可得：10a＝2×60， 解得：a＝12， 故选：C． 【点评】本题考查的是反比例关系的含义，正确进行计算是解题关键． 3．小明要把一篇27000字的调查报告录入电脑，则其录入的时间t（分）与录入文字的平均速度v（字/分）之间的函数表达式应为t＝　 　（v＞0）． 【分析】根据录入的时间＝录入总量÷录入速度即可得出函数关系式． 【解答】解：由录入的时间＝录入总量÷录入速度， 可得t（v＞0）． 故答案为：． 【点评】本题考查了根据实际问题列函数关系式的知识，比较简单，解答本题的关键是掌握关系式录入的时间＝录入总量÷录入速度． 4．（2024•同心县模拟）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．如图所示，药物燃烧阶段，教室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分）成正比例；燃烧后，y与x成反比例．若y＞1.6，则x的取值范围是 　 　． 【分析】先求得反比例函数和正比例函数的解析式，然后把y＞分别代入正比例和反比例函数解析式，求出相应的x取值范围即可． 【解答】解：当0≤x≤10时，设每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分）的函数解析式为y＝kx， 把（10，8）代入解析式得：10k＝8， 解得k， ∴每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分）的函数解析式为yx， 当y＞1.6时，x＞1.6， 解得x＞2； 当x＞10时，y与x的函数解析式为y， 把（10，8）代入解析式得：m＝80， ∴y与x的函数解析式为y， 当y＞1.6时，1.6， 解得x＜50， ∴y＞1.6x的取值范围是2＜x＜50． 故答案为：2＜x＜50． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 5．（2024秋•灞桥区校级期末）为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求该反比例函数的表达式．（不用写自变量取值范围） （2）当气球的气体体积为3m3时，气体压强是多少？ （3）当气球内的气体压强大于150kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应不小于多少？ 【分析】（1）设P与V的函数关系式为p（k≠0），由点A（1.5，120）在反比例函数图象上，可求出k值，进而可得出这一函数的表达式； （2）把V＝3代入P即可得到结论； （3）代入P＝150kPa，求出V值即可． 【解答】解：（1）设P与V的函数关系式为p（k≠0）， ∵点A（1.5，120）在反比例函数图象上， ∴120， ∴k＝120×1.5＝180， ∴这一函数的表达式为p； （2）把V＝3代入P得；p60， 答：当气球的气体体积为3m3时，气体压强是60kPa； （3）当P＝150时，150， 解得：V＝1.2， ∴当气球内的气体压强大于150kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应不小于1.2m3． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，根据给定点的坐标，求出反比例函数的解析式是解题的关键． 题型十七 反比例函数与一次函数的综合 1．（2024秋•秦都区期末）如图，点A（1，6），B（m，n）在反比例函数图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，CD＝5． （1）求出反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）在反比例函数图象上是否存在点E，使△CDE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据CD等于5及点A坐标得出点B的横坐标，据此求出点B坐标即可． （2）根据题意求出点E的纵坐标，再将所得纵坐标代入（1）中所求解析式即可解决问题． 【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y， 将点A（1，6）代入y得，k＝6， 所以反比例函数的表达式为y． 因为CD＝5， 所以xD＝1+5＝6， 因为BD⊥x轴， 所以xB＝xD＝6． 将x＝6代入y得，y＝1， 所以点B的坐标为（6，1）． （2）因为△CDE的面积等于5， 所以|yE|＝5， 解得yE＝±2． 将y＝2代入y得，x＝3， 所以点E的坐标为（3，2）； 将y＝﹣2代入y得，x＝﹣3， 所以点E的坐标为（﹣3，﹣2）， 综上所述，点E的坐标为（3，2）或（﹣3，﹣2）． 【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及反比例函数的图象与性质是解题的关键． 2．（2025•青秀区校级开学）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（1，6），B（n，2），与x轴，y轴分别交于C，D两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，求出点P的坐标． 【分析】（1）根据已知条件列方程求得m＝6，得到反比例函数的表达式为，求得B（3，2），解方程组即可得到结论； （2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接EB交y轴于P，则此时，△PAB的周长最小，根据轴对称的性质得到E（﹣1，6），得到直线BE的解析式为y＝﹣x+5，当x＝0时，y＝5，于是得到点P的坐标为（0，5）． 【解答】解：（1）∵一次函数与反比例函数的图象交于点A（1，6），B（n，2）， ∴， ∴m＝6， ∴， 把B（n，2）代入反比例函数解析式得， ， ∴n＝3， ∴B（3，2）， 把A（1，6），B（3，2）代入y＝kx+b得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+8； （2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接EB交y轴于P， 此时，△PAB的周长最小， ∵点A（1，6）， ∴E（﹣1，6）， 设直线BE的解析式为y＝mx+c， ∴， 解得， ∴直线BE的解析式为y＝﹣x+5， 当x＝0时，y＝5， ∴点P的坐标为（0，5）． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，待定系数法求函数的解析式，轴对称﹣最短路径问题，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 3．（2024秋•湘潭期末）如图，反比例函数和一次函数y2＝ax+b的图象相交于点A和点D，且点A的横坐标为1，点D的纵坐标为﹣1，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）若一次函数y2＝ax+b的图象与x轴相交于点C，求∠ACO的度数． （3）当y1≥y2时，x的取值范围为　 ． 【分析】（1）设A（1，m），D（n，﹣1），由△AOB的面积为1，得到A（1，2），解出反比例函数解析式为，可得到D（﹣2，﹣1），运用待定系数法把点A（1，2），D（﹣2，﹣1）代入一次函数解析式即可求解； （2）根据一次函数与坐标轴的交点可得C（﹣1，0），则有BC＝AB＝2，在Rt△ACB中，即可求解； （3）由图象的性质，根据交点求不等式的解集即可． 【解答】解：（1）∵点A的横坐标为1，点D的纵坐标为﹣1，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1， 设A（1，m），D（n，﹣1）， ∴， ∴m＝2， ∴A（1，2）， 反比例函数和一次函数y2＝ax+b的图象相交于点A和点D，将点A的坐标代入中，得：k＝2， ∴， 将点D的坐标代入中，解得：n＝﹣2， ∴D（﹣2，﹣1）， 将点A，点D的坐标代入y2＝ax+b中，得： ， 解得， ∴y2＝x+1； （2）在y2＝x+1中，令y2＝0，解得：x＝﹣1， ∴C（﹣1，0）， ∵AB⊥x轴于点B，且BC＝AB＝2， 在Rt△ACB中，∠ACO＝∠BAC＝45°； （3）∵点A（1，2），D（﹣2，﹣1）， ∴当x≤﹣2或0＜x≤1时，y1≥y2， 故答案为：x≤﹣2或0＜x≤1． 【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握几何图形面积、待定系数法求解析，函数与几何图形、坐标的综合，根据交点求不等式的解集的方法是解题的关键． 4．（2024秋•定州市期末）已知一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y的图象相交于A（﹣4，n），B（2，﹣4）两点，连接OA、OB，直线AB与x轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求点C的坐标和△OAB的面积； （3）直接写出不等式kx+b的解集． 【分析】（1）把A（﹣4，n），B（2，﹣4）分别代入一次函数y＝kx+b和反比例函数y，运用待定系数法分别求其解析式； （2）把三角形AOB的面积看成是三角形AOC和三角形OCB的面积之和进行计算； （3）由图象观察函数y的图象在一次函数y＝kx+b图象的下方，对应的x的范围． 【解答】解：（1）∵B（2，﹣4）在反比例函数y的图象上， ∴m＝2×（﹣4）＝﹣8． ∴反比例函数的解析式为y． ∵点A（﹣4，n）在y上， ∴n＝2． ∴A（﹣4，2）． ∵y＝kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4）， ∴． 解得． ∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2． （2）∵C是直线AB与x轴的交点， ∴当y＝0时，x＝﹣2． ∴点C（﹣2，0）． ∴OC＝2． ∴S△OAB＝S△ACO+S△BCO2×22×4＝6． （3）不等式kx+b的解集为：x＜﹣4或0＜x＜2． 【点评】本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式；要能够熟练借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积．同时间接考查函数的增减性，从而来解不等式． 题型十八 一次函数与方程 1．若关于x的方程﹣2x+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2x+b一定经过点（　　） A．（2，0） B．（0，3） C．（4，0） D．（2，5） 【分析】根据方程可知当x＝2，y＝0，从而可判断直线y＝﹣2x+b经过点（2，0）． 【解答】解：由方程的解可知：当x＝2时，﹣2x+b＝0，即当x＝2，y＝0， ∴直线y＝﹣2x+b的图象一定经过点（2，0）， 故选：A． 【点评】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键． 2．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（　　） A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到方程x+5＝ax+b的解，本题得以解决． 【解答】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴x+5＝ax+b的解是x＝20， 即方程x+5＝ax+b的解是x＝20， 故选：A． 【点评】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1）， ∴关于x，y的方程组的解是． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 4．已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5与直线l2：yx﹣1的交点坐标为（　　） A．（4，1） B．（1，﹣4） C．（﹣1，﹣4） D．（﹣4，1） 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解答即可． 【解答】解：∵二元一次方程组的解为， ∴直线l1：y＝x+5与直线l2：yx﹣1的交点坐标为（﹣4，1）． 故选：D． 【点评】本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 5．如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P（﹣4，﹣2），则关于x，y的二元一次方程组的解是　 ． 【分析】直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案． 【解答】解：∵直线y＝ax+b和直线y＝kx交点P的坐标为（﹣4，﹣2）， ∴关于x，y的二元一次方程组组的解为． 故答案为． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 题型十九 一次函数与不等式 1．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+b与两坐标轴的交点分别为（2，0），（0，3），则不等式ax+b＞0的解为（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3 【分析】根据直线y＝ax+b与y轴交于点A（2，0），以及函数的增减性，即可求出不等式ax+b＞0的解集． 【解答】解：∵直线y＝ax+b与两坐标轴交点分别为（2，0），（0，3），且y随x的增大而减小， ∴不等式ax+b＞0的解集是x＜2． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合是解题的关键． 2．如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，1）两点，则不等式﹣kx﹣b＜0的解集为（　　） A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2 【分析】写出直线在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：由图可知：当x＞﹣2时，y＞0，即kx+b＞0，即﹣kx﹣b＜0， 所以不等式﹣kx﹣b＜0的解集为x＞﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 3．一次函数y1＝kx﹣1（k≠0）与y2＝﹣x+2的图象如图所示，当x＜1时，y1＜y2，则满足条件的k的取值范围是（　　） A．k＞﹣1，且k≠0 B．﹣1≤k≤2，且k≠0 C．k＜2，且k≠0 D．k＜﹣1或k＞2 【分析】计算出x＝1对应的y2的函数值，然后根据x＜1时，一次函数y1＝kx﹣1（k为常数，k≠0）的图象在直线y2＝﹣x+2的下方确定k的范围． 【解答】解：当x＝1时，y＝﹣1+2＝1， 把（1，1）代入y1＝kx﹣1得k﹣1＝1， 解得：k＝2， 当y1与y2平行，即k＝﹣1时，y1＜y2， ∴由图象可知当﹣1≤k≤2且k≠0，y1＜y2． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系以及一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 4．如图，已知一次函数y1＝﹣2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C为线段AB的中点，一次函数y2＝x+b与x轴交于点D． （1）当一次函数y2＝x+b经过点C时，若y1≤y2，请直接与写出x的取值范围； （2）当x＜3时，若y1＞y2，结合图象直接写出b的取值范围． 【分析】（1）先求A、B的坐标，再根据待定系数法求解； （2）先求出当x＝3时，y1的值，再结合图形求解． 【解答】解：（1）当x＝0时，则y1＝8， ∴B（0，8）， 当﹣2x+8＝0时，则x＝4， ∴A（4，0）， ∵点C为线段AB的中点， ∴C（2，4）， 根据图象可得：当y1≤y2时，x≥2； （2）当x＝3时，y1＝2， 当（3，2）在y2上时，3+b＝2， 解得：b＝﹣1， 所以当y1＞y2时，b＜﹣1． 【点评】本题考查了一次函数与不等式的关系，理解数形结合思想是解题的关键． 题型二十 一次函数的综合题 1．如图1，一次函数yx+3的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点D是直线AB上的一个动点，CD⊥x轴于点C，点P是射线CD上的一个动点． （1）求点A，B的坐标； （2）如图2，当点D在第一象限，且点D的横坐标为4时，将△ACP沿着AP翻折，当点C的对应点C′落在直线AB上时，求点P的坐标； （3）点D在运动过程中，当△OCD的面积是△OAD面积的2倍时，请直接写出点D的坐标． 【分析】（1）利用坐标轴上点的特点建立方程即可得出结论； （2）先求出C（4，0），D（4，6），进而求出AC＝8，CD＝6，AD＝10，由折叠知，AC'＝8，C'D＝2，再用勾股定理即可得出结论； （3）利用三角形面积关系求出点C坐标，即可得出结论． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3， ∴B（0，3）， 令y＝0，则x+3＝0， ∴x＝﹣4， ∴A（﹣4，0）； （2）∵点D的横坐标为4， ∴C（4，0）， ∵CD⊥x轴， ∴x＝4时，y＝6， ∴D（4，6）， ∴AC＝8，CD＝6，AD＝10， 由折叠知，AC'＝AC＝8， ∴C'D＝AD﹣AC'＝2， 设PC＝a， ∴PC'＝a，DP＝6﹣a， 在Rt△DC'P中，a2+4＝（6﹣a）2， ∴a， ∴P（4，）； （3）∵△OCD的面积是△OAD面积的2倍， ∴OC＝2OA， ∵A（﹣4，0）， ∴OC＝8， ∴C（8，0）或（﹣8，0）， ∴D（8，9）或（﹣8，﹣3）． 【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，轴对称的性质，勾股定理，三角形的面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 2．（2024秋•高新区校级月考）如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C在y轴上，一次函数yx+3的图象经过点B、C． （1）点C的坐标为 　 　，点B的坐标为 　 　； （2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O′与O关于直线l对称，连接CO′并延长，交射线AB于点D． ①求证：△CMD是等腰三角形； ②当CD＝5时，求直线l的函数表达式． 【分析】（1）设点C的坐标为（0，y），把x＝0代入yx+3中得y＝3，即可求出C点的坐标；设点B的坐标为（﹣4，y），把x＝﹣4代入yx+3中得y＝2，即可求出B点的坐标； （2）①根据对称的性质和平行线的性质，推知∠CMD＝∠MCD，故MD＝CD，所以CMD是等腰三角形； ②如图②，过点D作DP⊥y轴于点P．利用勾股定理求得CP的长度，然后结合坐标与图形的性质求得点M的坐标，利用待定系数法求得直线l的解析式即可． 【解答】（1）解：∵A（﹣4，0），AB∥y轴，直线yx+3经过点B、C， 设点C的坐标为（0，y），把x＝0代入yx+3中得y＝3， ∴C（0，3）； 设点B的坐标为（﹣4，y），把x＝﹣4代入yx+3中得y＝2， ∴B（﹣4，2）； 故答案为：（0，3）；（﹣4，2）； （2）①证明：∵AB∥y轴， ∴∠OCM＝∠CMD． ∵∠OCM＝∠MCD， ∴∠CMD＝∠MCD， ∴MD＝CD， ∴CMD是等腰三角形； ②解：如图②，过点D作DP⊥y轴于点P． 在直角△DCP中，由勾股定理得到：CP3， ∴OP＝AD＝CO+CP＝3+3＝6， ∴AM＝AD﹣DM＝6﹣5＝1， ∴点M的坐标是（﹣4，1）． 设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0）． 把M（﹣4，1）、C（0，3）分别代入，得， ， 解得， 故直线l的解析式为yx+3． 当D与A重合时，y＝2x+3． ∴直线l的函数表达式为yx+3或y＝2x+3． 【点评】此题考查了一次函数综合题，需要综合利用勾股定理，等腰三角形的判定与性质，对称的性质以及待定系数法求一次函数解析式等知识点，难度不是很大，但是需要学生对所学知识有一个系统的掌握． 3．（2024秋•凌海市期中）如图，直线y＝kx﹣3与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中OB＝1． （1）求k的值； （2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y＝kx﹣3上的一个动点，当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式； （3）探索： ①点D是直线y＝kx﹣3上的一个动点，当△OBD的面积是3时，求点D的坐标； ②在①的条件下，且点D在第一象限，问：x轴上是否存在一点P，使△POD等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由OB＝1可得出点B坐标，将点B的坐标代入直线解析式中即可得出k； （2）直接利用三角形的面积公式即可得出结论； （3）①当△OBD的面积是3时，则△OBD的高为6，即点D到x轴距离为6，据此求解即可； ②设出点P的坐标，进而利用两点间的距离公式求出OD2，OP2，DP2，分三种情况用两边相等建立方程求解即可． 【解答】解：（1），直线y＝kx﹣3与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中OB＝1， ∴B（1，0）， 交点B的坐标代入y＝kx﹣3中，得： k﹣3＝0， 解得k＝3， ∴y＝3x﹣3， ∴k的值为3； （2）∵点A（x，y）是第一象限内的直线y＝3x﹣3上的一个动点， ∴△AOB的面积； （3）①∵△OBD的面积是3，OB＝1， ∴△OBD的高为6， ∴点D到x轴距离为6， ∵点D是直线y＝3x﹣3上的一个动点， ∴y＝3x﹣3＝6时，x＝3， y＝3x﹣3＝﹣6时，x＝﹣1， ∴点D的坐标为（3，6）或（﹣1，﹣6）； ②x轴上存在一点P，使△POD等腰三角形；理由如下： ∵在①的条件下，且点D在第一象限， ∴点D的坐标为（3，6）， 设点P（m，0）， ∴OD2＝32+62＝45，OP2＝m2，DP2＝（m﹣3）2+36， ∵△DOP为等腰三角形， ∴当OD＝OP时，OD2＝OP2，即：45＝m2， 解得， 此时点P坐标为，； 当OD＝DP时，OD2＝DP2，即：45＝（m﹣3）2+36， 解得m＝0（此时和点A重合，舍去）或m＝6， 此时点P坐标为（6，0）； 当OP＝DP时，OP2＝DP2，即：m2＝（m﹣3）2+36， 解得， 此时点P坐标为； 即：满足条件的P点坐标为，，（6，0），． 【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 4．（2024春•新洲区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于点A（﹣a，a），与y轴交于点B（0，b），且（a﹣2）20． （1）求直线l2的解析式； （2）若第二象限有一点P（m，8），使得S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标； （3）线段OA上是否存在一个点M，使得∠ABO+∠MBO＝45°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）运用非负数的性质求得a＝2，b＝6，可得A（﹣2，2），B（0，6），再运用待定系数法即可求得答案； （2）作点B关于x轴的对称点B′（0，﹣6），根据同底等高的三角形面积相等，可知点P在经过点B或B′与OA平行的直线上，运用待定系数法可得BP的解析式为y＝﹣x+6，直线B′P′的解析式为y＝﹣x﹣6，将P（m，8）代入解析式即可求得答案； （3）先求得直线AB交x轴于点H（﹣3，0），作点H关于y轴的对称点H′（3，0），连接BH′，以BH′为直角边向BH′下方作等腰直角三角形BEH′，使∠BH′E＝90°，过点E作EF⊥x轴等于F，再证得△BH′O≌△H′EF（AAS），可求得E（﹣3，﹣3），运用待定系数法求得直线BE和OA的解析式，联立BE、OA的解析式即可求得点M的坐标． 【解答】解：（1）∵（a﹣2）20， ∴a﹣2＝0，b﹣6＝0， ∴a＝2，b＝6， ∴A（﹣2，2），B（0，6）， 设直线l2的解析式为y＝kx+n，则， 解得：， ∴直线l2的解析式为y＝2x+6； （2）作点B关于x轴的对称点B′（0，﹣6）， ∵S△AOP＝S△AOB， ∴点P在经过点B或B′与OA平行的直线上， ∵A（﹣2，2）， ∴直线OA的解析式为y＝﹣x， 过点B作OA的平行线BP，则BP的解析式为y＝﹣x+c， 把B（0，6）代入得：c＝6， ∴BP的解析式为y＝﹣x+6， 把P（m，8）代入得：8＝﹣m+6， 解得：m＝﹣2， ∴P（﹣2，8）； 同理可得直线B′P′的解析式为y＝﹣x﹣6， 把P（m，8）代入得：8＝﹣m﹣6， 解得：m＝﹣14， ∴P′（﹣14，8）； 综上所述，当S△AOP＝S△AOB时，点P的坐标为（﹣2，8）或（﹣14，8）； （3）存在．理由如下： 由（1）知直线AB的解析式为y＝2x+6， 当y＝0时，2x+6＝0， 解得x＝﹣3， ∴直线AB交x轴于点H（﹣3，0）， 作点H关于y轴的对称点H′（3，0），连接BH′，以BH′为直角边向BH′下方作等腰直角三角形BEH′，使∠BH′E＝90°，过点E作EF⊥x轴等于F，如图， ∵△BEH′是等腰直角三角形， ∴BH′＝EH′，∠BOH′＝∠EFH′＝90°，∠EBH′＝∠H′BO+∠MBO＝45°， ∴∠ABO+∠MBO＝∠H′BO+∠MBO＝45°， ∵∠H′BO+∠BH′O＝90°，∠EH′F+∠BH′O＝90°， ∴∠H′BO＝∠EH′F， 在△BH′O和△H′EF中， ， ∴△BH′O≌△H′EF（AAS）， ∴EF＝OH′＝3，FH′＝OB＝6， ∴OF＝FH′﹣OH′＝6﹣3＝3， ∴E（﹣3，﹣3）， 设直线BE的解析式为y＝k1x+b1，则， 解得， ∴直线BE的解析式为y＝3x+6， 同理可得直线OA的解析式为y＝﹣x， 联立得， 解得， ∴M（，）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的图象和性质，非负数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，两点间距离公式，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握待定系数法是解题关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+3与直线AC：相交于点A，直线AB分别交x轴，y轴于点B，E，直线AC分别交x轴，y轴于点C，D． （1）求点A的坐标； （2）在y轴左侧作直线FG∥y轴，分别交直线AB，直线AC于点F，G，当FG＝2DE时，过点G作直线GH⊥y轴于点H．能否在直线GH上找一点P，使PF+PD的值最小，求出P点的坐标； （3）在第二象限是否存在点R，使得△ACR为等腰直角三角形，存在，求出所有点R的坐标；不存在，说明理由． 【分析】（1）联立直线表达式，得到二元一次方程组，求出解即可得到点A坐标； （2）求出点D，E坐标，得到DE，设F（a，﹣a+3），根据FG＝2DE＝3，求出点G坐标，设F关于直线GH的对称点F'，连接DF'，求出DF'的表达式，令y＝3，即可得出点P坐标； （3）首先求出点C坐标，再分AC＝AR，AC＝CR，AR＝CR，三种情况，画出图形，结合全等三角形的判定和性质求解． 【解答】解：（1）联立：， 解得：， ∴点A的坐标为（﹣1，4）； （2）在y＝﹣x+3中，令x＝0，则y＝3，即E（0，3）， 在中，令x＝0，则，即， ∴， 设F（a，﹣a+3）， ∵FG＝2DE＝3， ∴G（a，﹣a），代入中， 解得：a＝﹣3，即F（﹣3，6），G（﹣3，3）， 设F关于直线GH的对称点F'，连接DF'， 则F'（﹣3，0）， 设直线DF'的表达式为：y＝kx+b， 将，F'（﹣3，0）代入，得： ， 解得：， ∴，令y＝3，得x＝﹣1， ∴点P的坐标为（﹣1，3）； （3）存在， 在中，令y＝0，则x＝﹣9，即C（﹣9，0）， 若AC＝AR， 如图，过点A作x轴的垂线，分别过点C和点R作y轴的垂线，分别交于E，D， 则∠CED＝∠D＝∠RAC＝90°， ∴∠DAR+∠CAE＝90°，∠DAR+∠DRA＝90°， ∴∠CAE＝∠DRA， 在△ADR和△CEA中， ， ∴△ADR≌△CEA（AAS）， ∴CE＝AD＝8，AE＝DR＝4， ∴R（﹣5，12）； 若AC＝CR， 过点A作x轴的垂线，垂足为E，过R作x轴的垂线，垂足为D， 同理可证：△ACE≌△CRD， ∴AE＝CD＝4，CE＝DR＝8， ∴R（﹣13，8）； 若AR＝CR， 过点R作y轴的垂线，分别过点A和点C作x轴的垂线，分别交于D，E， 同理可证：△ADR≌△REC， ∴AD＝ER，DR＝CE，设AD＝ER＝x， 则CE＝DF＝DR＝4+x， ∵xC＝﹣9， ∴4+x+x+1＝9，解得：x＝2， ∴DF＝DR＝6， ∴R（﹣7，6）； 综上：存在点R，使得△ACR为等腰直角三角形，点R的坐标为（﹣5，12）或（﹣13，8）或（﹣7，6）． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$