第16章 一元二次方程章末重点题型复习（16大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北京版）

（北京版）八年级下册数学 第16章：一元二次方程章末重点题型复习 题型一 一元二次方程的定义 1．（2024秋•宁强县期末）下列方程中的一元二次方程是（　　） A．x2+x0 B．x2﹣2x＝x2 C．x2+y﹣1＝0 D．x2﹣x﹣6＝0 2．下列方程中一元二次方程的个数为（　　） ①2x2﹣x+1＝0；②x（x﹣1）＝2x2；③；④ax2+bx+c＝0；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2024秋•东坡区期末）关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+mx﹣1＝0是一元二次方程，则（　　） A．m＝1 B．m≠1 C．m＝﹣3 D．m＝1或m＝﹣3 4．（2024秋•博罗县期末）若方程（m+2）x2﹣3x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣2 C．m＞﹣2 D．m＜﹣2 题型二 一元二次方程的一般形式 1．将方程4x2+8x＝25化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　） A．4，8，25 B．4，2，﹣25 C．4，8，﹣25 D．1，2，25 2．将一元二次方程（x+2）2＝5x﹣2化为一般形式后，对应的a，b，c的值分别是（　　） A．a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2 B．a＝1，b﹣1，c＝6 C．a＝1，b＝﹣5，c＝6 D．a＝1，b＝﹣5，c＝2 3．一元二次方程x2﹣（3x﹣2）＝8的一般形式是 　 　． 4．（2024秋•康县期中）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． （1）3x2﹣1＝2x； （2）x（x﹣2）＝4x2﹣3x； （3）关于x的方程mx2﹣nx+mx+nx2＝q﹣p（m+n≠0）． 题型三 解一元二次方程 1．（2024秋•颍州区期末）用配方法解方程： （1）x2+7x； （2）3x2+6x+2＝11． 2．用公式法解方程： （1）5x2﹣2x﹣1＝0； （2）13y+6＝﹣6y2． 3．用因式分解法解下列方程： （1）2x2+x（x﹣3）＝0；（2）（x﹣3）2+x2﹣9＝0； （3）2x（x﹣3）＝（3﹣x）2；（4）（2x﹣2）2＝x2+2x+1． 4．（2024春•南岗区校级期中）按要求解下列一元二次方程： （1）（x﹣2）2＝5（直接开平方）； （2）（配方法）； （3）x2+3x+1＝0（公式法）； （4）（x﹣2）2＝3（x﹣2）（因式分解法）． 题型四 用换元法解一元二次方程 1．若（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝12，则x2+y2的值为（　　） A．﹣3 B．4 C．﹣3或4 D．3或4 2．已知（a2+b2）（a2+b2﹣6）＝16，则a2+b2的值为 　 ． 3．（2024春•龙凤区期中）【例】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0． 解：设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0． 解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2； 当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5． 所以原方程的解为x1＝2，x2＝5． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程：（2x﹣5）2﹣（2x﹣5）﹣2＝0． 4．提出问题： 为解方程（x2﹣2）2﹣11（x2﹣2）+18＝0，我们可以将x2﹣2视为一个整体，然后可设x2﹣2＝y，则（x2﹣2）2＝y2，于是原方程可转化为y2﹣11y+18＝0，解此方程，得y1＝2，y2＝9． 当y1＝2时，x2﹣2＝2，x2＝4，∴x＝±2； 当y2＝9时，x2﹣2＝9，x2＝11，∴． ∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2，，． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题： （1）运用上述换元法解方程x4﹣3x2﹣4＝0． 延伸拓展： （2）已知实数m，n满足（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4，求4m+12n﹣3的值． 题型五 配方法的应用 1．用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0，若配方后结果为（x﹣m）2＝10，则m的值为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．6 2．（2024秋•江北区校级期末）已知a、b满足等式，x＝a2﹣6ab+9b2．y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（　　） A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y 3．已知实数m，n满足 m2﹣2am+a2﹣2a+4＝0，n2﹣2an+a2﹣2a+4＝0，则 （m+1）2+（n+1）2 的最小值是（　　） A．18 B．16 C．﹣6 D．﹣14 4．（阅读材料）把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式．利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式． 配方：x2﹣6x+8＝x2﹣6x+32﹣32+8＝（x﹣3）2﹣1 分解因式：x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）＝（x﹣2）（x﹣4） （解决问题）根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式； （2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式； （3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由； （4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数． 题型六 一元二次方程的解的应用 1．（2024秋•蓝山县期末）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的常数项为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．4或﹣2 2．（2024秋•铜仁市期末）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为﹣1，则a﹣b+c的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．不能确定 3．（2024秋•南川区期末）已知m为一元二次方程x2+5x﹣1024＝0的根，那么﹣2m2﹣10m的值为（　　） A．﹣2048 B．﹣1024 C．0 D．2048 4．（2024秋•化州市期末）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值． 题型七 利用根的判别式判断根的情况 1．（2024•淮南一模）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A．x2+4＝2x B．（x+1）2＝0 C．x2﹣2023x＝0 D．x2+2＝3x 2．（2024•福田区校级二模）一元二次方程（a﹣2）x2+ax+1＝0（a≠2）的实数根的情况是（　　） A．有两个不同实数根 B．有两个相同实数根 C．没有实数根 D．不能确定 3．（2025•黄石一模）一元二次方程x2﹣5x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．（2024秋•九龙坡区期末）观察关于x的方程mx2+（1﹣m）x﹣1＝0，思考下列对这个方程的根的描述，其中正确的是（　　） A．当m＝0时，方程无解 B．当m＝1时，方程只有一个实数解 C．当m＝﹣1时，方程有两个相等的实数解 D．当m≠0时，方程总有两个不相等的实数解 题型八 根的判别式的应用 1．（2024•唐河县模拟）关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0无实数解，则k的取值范围是（　　） A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1 2．（2024秋•崂山区期末）关于x的一元二次方程x2﹣5x+2k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2a﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围； （2）若a为正整数，求一元二次方程的解． 4．（2024秋•铜官区期末）已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0 （1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根； （2）若等腰三角形一边长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长． 题型九 一元二次方程根与系数的关系 1．（2024•河北区三模）方程x2﹣2x﹣1＝0的根为x1x2，则x1x2﹣（x1+x2）的值为（　　） A． B．1 C．﹣3 D． 2．（2024•日照二模）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，方程的两根分别是x1、x2，且，则m值是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•内乡县期末）已知关于x的一元二次方程x2+2（m+2）x+m2﹣1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足，求实数m的值． 4．（2024秋•惠城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0． （1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当一矩形ABCD的对角线长为AC，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长． 5．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+3+2k＝0． （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根为x1，x2．请解答下列问题： ①若x1＞0，x2＜0，求k的取值范围； ②请判断的值能否等于5，若能，请求出此时k的值；若不能说明理由． 题型十 由实际问题列一元二次方程 1．（2024秋•沙坪坝区校级期末）2024年以来，某厂生产的电子产品处于高速上升期，该厂生产一件产品起初的成本为256元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了31元，设每次技术改进产品的成本下降率均为x，则下列方程正确的是（　　） A．256（1﹣2x）＝256﹣31 B．（256﹣31）（1+x）2＝256 C．256（1﹣x）2＝31 D．256（1﹣x）2＝256﹣31 2．（2024秋•增城区期末）某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了1640张照片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　） A．x（x+1）＝1640 B． C．x（x﹣1）＝1640 D． 3．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（　　） A．（x+2）2+（x﹣4）2＝x2 B．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2 C．x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2 D．（x﹣2）2+x2＝（x+4）2 4．（2024•瑶海区校级期末）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x，则方程为（　　） A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4 B．x2+（x+4）2＝10x+x﹣4﹣4 C．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x﹣4 D．x2+（x+4）2＝10x+（x﹣4）﹣4 5．（2025•龙岗区校级开学）如图，小区物业规划在一个长60m，宽22m的矩形场地ABCD上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽x m的道路，中间是宽2x m的道路．如果阴影部分的总面积是600m2，那么x满足的方程是（　　） A．（60+2x）（22+2x）＝600 B．（60﹣2x）（22﹣2x）＝600 C．（60﹣2x）（22﹣x）＝600 D．60×22﹣（60﹣2x）（22﹣2x）＝600 题型十一 一元二次方程的实际应用---传播问题 1．（2024秋•鹿泉区校级期末）元旦班上数学兴趣小组的同学互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是（　　） A．9人 B．10人 C．18人 D．12人 2．（2024秋•开州区期末）在某个商品交易会上，参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了55份合同．则参加交易会的公司有（　　） A．8家 B．9家 C．10家 D．11家 3．2022年北京冬奥会冰壶混双项目在国家游泳中心“冰立方”开赛，中国混双球队参加了比赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场）． （1）如果有6支球队参加比赛，那么共进行 　 　场比赛； （2）如果一共进行45场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 4．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有64台电脑被感染． （1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过500台？ 题型十二 一元二次方程的实际应用---增长率问题 1．（2025•宣恩县校级模拟）某商品的价格为100元，连续两次降x%后的价格是81元，则x为（　　） A．9 B．10 C．19 D．8 2．（2025•江北区模拟）暑假期间，小青同学和小彬同学相约进行社会实践活动，他们购进了某种卡片进行销售，第一天销售256张．第二、三天该卡片十分畅销，销售量持续走高，第三天的销售量达到400张．则第二、三天平均的增长率为 　 ． 3．（2024春•华龙区校级月考）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议等多重利好因素，我国某汽车零部件生产企业的利润逐年增高，据统计，2019年利润为2亿元，2021年利润为2.88亿元． （1）求该企业从2019年至2021年利润的年均增长率； （2）若2022年保持前两年利润的年均增长率不变，该企业2022年的利润能否超过3.4亿元？ 4．（2025•敦化市一模）为了让学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买图书．已知2022年该学校用于购买图书的费用为5000元，2024年用于购买图书的费用是7200元． （1）求2022﹣2024年买图书资金的平均增长率； （2）按此增长率，计算2025年用于购买图书的费用． 题型十三 一元二次方程的实际应用---面积问题 1．（2024秋•三河市期末）如图，琪琪的爸爸用一段12m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6.5m）的矩形鸡舍ABCD，其面积为21m2．在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC长为（　　） A．6m或7m B．3m或3.5m C．3.5m D．6m 2．（2024秋•徐水区期末）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（图中单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为x m，则x的值为（　　） A． B． C．1 D． 3．如图，有一块长为30米，宽为20米的矩形场地，计划在该场地上修建两条 互相垂直的小道，横向小道与竖向小道的宽比为2：3，余下矩形场地建成草坪，草坪的面积为486平方米，请求出横向小道的宽． 4．（2024秋•丰台区期末）造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长100cm，宽40cm的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为640cm2，若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为x cm的彩色纸带，求彩色纸带的宽度． 5．（2024秋•宁强县期末）在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，养鸡场的面积是160平方米． （1）据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡320只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡500只，请求出这个增长率； （2）为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽AB为多少米？ 题型十四 一元二次方程的实际应用--数字问题 1．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是 　 ． 2．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？ 3．有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求这个两位数． 4．一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换一下后平方，所得数值比原来的两位数大138，求这原来的两位数． 5．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数，最大数与最小数的积为192，求这9个数的和． 题型十五 一元二次方程的实际应用---商品销售问题 1．（2024春•花山区校级期中）某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出（320﹣10a）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（　　） A．22元 B．24元 C．26元 D．28元 2．（2024秋•水城区期末）在樱桃上市期间，某樱桃基地樱桃成本价为10元/千克，樱桃售价为20元/千克，每天能售出240千克．为推广宣传，同时尽快售出樱桃，基地决定采取适当的降价措施．调查发现，如果樱桃售价每降价1元，那么平均每天可多售出40千克．基地想要每天盈利2520元，樱桃售价应降价多少元？ 3．（2024春•海曙区期末）第19届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件． （1）若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润； （2）要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？ 4．（2024秋•宿迁期末）某商店在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出　 　件； （2）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 5．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个．若在此基础上每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． （1）设售价在40元/个的基础上涨价x元，则月销售量为 　 　个，每个头盔的利润是 　 　元．（用x的代数式表示） （2）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ （3）要想使月销售利润达到13000元，问这个要求能否实现？请说说你的理由． 题型十六 一元二次方程的实际应用---动点运动问题 1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝7cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（　　） A．3.5s B．5s C．4s D．3s 2．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/秒的速度向点B移动，点Q从点B出发，沿BC边以2cm/秒的速度向点C移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当有一个点到达终点时另一个点也停止运动，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当△BPQ的面积为8cm2时，t的值（　　） A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或4 3．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，点Q到达点C后，点P停止运动． （1）经过ts后（t＞0），△PBQ的面积等于4cm2，求t的值； （2）经过ts后，（t＞0），PQ的长度为5cm，求t的值； （3）△PBQ的面积能否等于8cm2？ 4．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． （1）AP＝　 　，BP＝　 　，CQ＝　 　，DQ＝　 　（用含t的代数式表示）； （2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2； （3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm． 5．如图，在矩形ABCD中，BC＝24cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止． 已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm． （1）当x为何值时，以P、N两点重合？ （2）问Q、M两点能重合吗？若Q、M两点能重合，则求出相应的x的值；若Q、M两点不能重合，请说明理由． （3）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北京版）八年级下册数学 第16章：一元二次方程章末重点题型复习 题型一 一元二次方程的定义 1．（2024秋•宁强县期末）下列方程中的一元二次方程是（　　） A．x2+x0 B．x2﹣2x＝x2 C．x2+y﹣1＝0 D．x2﹣x﹣6＝0 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：A、不是整式方程，故错误． B、方程含有一个未知数，整理后未知数最高次数为1，故错误； C、方程含两个未知数，故错误； D、符合一元二次方程的定义，正确； 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2．下列方程中一元二次方程的个数为（　　） ①2x2﹣x+1＝0；②x（x﹣1）＝2x2；③；④ax2+bx+c＝0；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程． 【解答】解：①2x2﹣x+1＝0、⑤符合一元二次方程的定义，符合题意； ②由x（x﹣1）＝2x2得到：x2+x＝0，符合一元二次方程的定义，符合题意； ③是分式方程，不符合题意； ④当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是关于x的一元二次方程，不符合题意； 所以一元二次方程的个数为3个． 故选：D． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程． 3．（2024秋•东坡区期末）关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+mx﹣1＝0是一元二次方程，则（　　） A．m＝1 B．m≠1 C．m＝﹣3 D．m＝1或m＝﹣3 【分析】根据一元二次方程的定义得出|m+1|＝2且m﹣1≠0，即可求出m的值． 【解答】解：根据题意得|m+1|＝2且m﹣1≠0， 解得m＝﹣3， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，绝对值，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0），特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 4．（2024秋•博罗县期末）若方程（m+2）x2﹣3x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣2 C．m＞﹣2 D．m＜﹣2 【分析】由方程（m+2）x2﹣3x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，可得m+2≠0，再解不等式即可． 【解答】解：∵方程（m+2）x2﹣3x﹣1＝0是关于x的一元二次方程， ∴m+2≠0， ∴m≠﹣2． 故选：B． 【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握“一元二次方程的二次项的系数不为0”是解本题的关键． 题型二 一元二次方程的一般形式 1．将方程4x2+8x＝25化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　） A．4，8，25 B．4，2，﹣25 C．4，8，﹣25 D．1，2，25 【分析】将原方程化为一般形式，进而可得出a，b，c的值． 【解答】解：将原方程化为一般形式得：4x2+8x﹣25＝0， ∴a＝4，b＝8，c＝﹣25． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，牢记“一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式”是解题的关键． 2．将一元二次方程（x+2）2＝5x﹣2化为一般形式后，对应的a，b，c的值分别是（　　） A．a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2 B．a＝1，b﹣1，c＝6 C．a＝1，b＝﹣5，c＝6 D．a＝1，b＝﹣5，c＝2 【分析】按照要求将一元二次方程化成ax2+bx+c＝0的形式，然后确定a，b，c的值即可． 【解答】解：（x+2）2＝5x﹣2， x2+4x+4﹣5x+2＝0， x2﹣x+6＝0， ∴a＝1，b＝﹣1，c＝6． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c＝0（a＞0）． 3．一元二次方程x2﹣（3x﹣2）＝8的一般形式是 　 　． 【分析】先去掉括号，再移项、合并同类项，即可得出答案． 【解答】解：x2﹣（3x﹣2）＝8， x2﹣3x+2＝8， x2﹣3x﹣6＝0， 故答案为：x2﹣3x﹣6＝0． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）． 4．（2024秋•康县期中）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． （1）3x2﹣1＝2x； （2）x（x﹣2）＝4x2﹣3x； （3）关于x的方程mx2﹣nx+mx+nx2＝q﹣p（m+n≠0）． 【分析】（1）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （2）先去括号，再移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （3）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案． 【解答】解：（1）3x2﹣1＝2x， 移项，得3x2﹣2x﹣1＝0， 二次项系数为3，一次项系数为﹣2，常数项为﹣1； （2）x（x﹣2）＝4x2﹣3x， 去括号，得x2﹣2x＝4x2﹣3x， 移项、合并同类项，得﹣3x2+x＝0， 整理，得3x2﹣x＝0， 二次项系数为3，一次项系数为﹣1，常数项为0； （3）mx2﹣nx+mx+nx2＝q﹣p（m+n≠0）， 移项、合并同类项，得（m+n）x2+（m﹣n）x+p﹣q＝0， 二次项系数为（m+n），一次项系数为（m﹣n），常数项为（p﹣q）． 【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键． 题型三 解一元二次方程 1．（2024秋•颍州区期末）用配方法解方程： （1）x2+7x； （2）3x2+6x+2＝11． 【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）x2+7x， ， ， ， ，； （2）3x2+6x+2＝11， 3x2+6x﹣9＝0， x2+2x﹣3＝0， x2+2x+1＝4， （x+1）2＝4， x+1＝±2， x1＝1，x2＝﹣3． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键． 2．用公式法解方程： （1）5x2﹣2x﹣1＝0； （2）13y+6＝﹣6y2． 【分析】（1）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可； （2）先化成一元二次方程的一般形式，再求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可． 【解答】解：（1）5x2﹣2x﹣1＝0， 这里a＝5，b＝﹣2，c＝﹣1， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×5×（﹣1）＝24＞0， ∴x， ∴x1，x2； （2）13y+6＝﹣6y2， 6y2+13y+6＝0， 这里a＝6，b＝13，c＝6， ∵Δ＝b2﹣4ac＝132﹣4×6×6＝25＞0， ∴y， ∴y1，y2． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式（已知一元二次方程ax2+bx+c＝0，其中a、b、c为常数，a≠0，那么当b2﹣4ac≥0时，方程的解是x）是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 3．用因式分解法解下列方程： （1）2x2+x（x﹣3）＝0； （2）（x﹣3）2+x2﹣9＝0； （3）2x（x﹣3）＝（3﹣x）2； （4）（2x﹣2）2＝x2+2x+1． 【分析】（1）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可； （2）利用公式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可； （3）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可； （4）两边直接开平方即可． 【解答】解：（1）∵2x2+x（x﹣3）＝0， ∴x（3x﹣3）＝0， 则x＝0或3x﹣3＝0， 解得x1＝0，x2＝1； （2）∵（x﹣3）2+x2﹣9＝0， ∴2x（x﹣3）＝0， 则x＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝0，x2＝3； （3）∵2x（x﹣3）＝（3﹣x）2， ∴2x（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 则（x﹣3）（x+3）＝0， ∴x﹣3＝0或x+3＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣3； （4）∵（2x﹣2）2＝x2+2x+1， ∴（2x﹣2）2＝（x+1）2， 则2x﹣2＝x+1或2x﹣2＝﹣x﹣1， 解得x1＝3，x2＝1． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 4．（2024春•南岗区校级期中）按要求解下列一元二次方程： （1）（x﹣2）2＝5（直接开平方）； （2）（配方法）； （3）x2+3x+1＝0（公式法）； （4）（x﹣2）2＝3（x﹣2）（因式分解法）． 【分析】（1）两边直接开平方即可得出答案； （2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得； （3）利用求根公式计算即可； （4）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）∵（x﹣2）2＝5， ∴x﹣2＝±， ∴x1＝2，x2＝2； （2）∵x2x0， ∴x2x， ∴x2x，即（x）2＝1， ∴x±1， ∴x1，x2； （3）∵a＝1，b＝3，c＝1， ∴Δ＝9﹣4×1×1＝5＞0， 则x，即x1，x2； （4）∵（x﹣2）2＝3（x﹣2）， ∴（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0， 则（x﹣2）（x﹣5）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣5＝0， 解得x1＝2，x2＝5． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 题型四 用换元法解一元二次方程 1．若（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝12，则x2+y2的值为（　　） A．﹣3 B．4 C．﹣3或4 D．3或4 【分析】设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为t（t﹣1）＝12，然后利用因式分解法解该方程求得t的值即可． 【解答】解：设t＝x2+y2（t≥0），则： t（t﹣1）＝12． 整理，得（t﹣4）（t+3）＝0． 所以t﹣4＝0或t+3＝0． 所以t＝4或t＝﹣3（舍去）． 即x2+y2的值为4， 故选：B． 【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2．已知（a2+b2）（a2+b2﹣6）＝16，则a2+b2的值为 　 ． 【分析】设 a2+b2＝y，则原方程换元为 y（y﹣6）＝16，即y2﹣6y﹣16＝0，可得y1＝8，y2＝﹣2，即可求解． 【解答】解：设 a2+b2＝y，则原方程换元为 y（y﹣6）＝16，即y2﹣6y﹣16＝0 ∴（y﹣8）（y+2）＝0， 解得：y1＝8，y2＝﹣2， 即 a2+b2＝8或 a2+b2＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴a2+b2＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了解一元二次方程及换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键． 3．（2024春•龙凤区期中）【例】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0． 解：设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0． 解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2； 当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5． 所以原方程的解为x1＝2，x2＝5． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程：（2x﹣5）2﹣（2x﹣5）﹣2＝0． 【分析】根据“整体换元法”，设y＝2x﹣5，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【解答】解：设y＝2x﹣5，则原方程变形为y2﹣y﹣2＝0， ∴（y﹣2）（y+1）＝0， ∴y﹣2＝0或y+1＝0， 解得y1＝2，y2＝﹣1， 当y＝2时，即2x﹣5＝2，解得x＝3.5； 当y＝﹣1时，2x﹣5＝﹣1，解得x＝2． ∴原方程的解为x1＝3.5，x2＝2． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的方法，熟练掌握解一元二次方程的基本方法，利用整体换元法解方程是解答本题的关键． 4．提出问题： 为解方程（x2﹣2）2﹣11（x2﹣2）+18＝0，我们可以将x2﹣2视为一个整体，然后可设x2﹣2＝y，则（x2﹣2）2＝y2，于是原方程可转化为y2﹣11y+18＝0，解此方程，得y1＝2，y2＝9． 当y1＝2时，x2﹣2＝2，x2＝4，∴x＝±2； 当y2＝9时，x2﹣2＝9，x2＝11，∴． ∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2，，． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题： （1）运用上述换元法解方程x4﹣3x2﹣4＝0． 延伸拓展： （2）已知实数m，n满足（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4，求4m+12n﹣3的值． 【分析】（1）设x2＝y，则原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0，解该方程得到y的值，然后解关于x的一元二次方程即可； （2）设m+3n＝t，（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4可变形为t（t﹣2）＝2t﹣4，解此方程t＝2，则m+3n＝2，再将其整体代入即可求解． 【解答】解：（1）设x2＝y， 则原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0， 解得：y1＝4，y2＝﹣1， 当y1＝4时，x2＝4，∴x＝±2； 当y2＝﹣1，x2＝﹣1，此方程无解． ∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2； （2）∵（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4， ∴（m+3n）（m+3n﹣2）＝2（m+3n）﹣4， 设m+3n＝t， 则t（t﹣2）＝2t﹣4， 整理得：t2﹣4t+4＝（t﹣2）2＝0， 解得：t＝2， ∴m+3n＝2， ∴4m+12n﹣3＝4（m+3n）﹣3＝4×2﹣3＝5． 【点评】本题主要考查换元法解一元二次方程、代数式求值．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 题型五 配方法的应用 1．用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0，若配方后结果为（x﹣m）2＝10，则m的值为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．6 【分析】羡慕ab常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而得到m的值． 【解答】解：x2﹣6x﹣1＝0， x2﹣6x＝1， x2﹣6x+9＝10， （x﹣3）2＝10， 所以m＝3． 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 2．（2024秋•江北区校级期末）已知a、b满足等式，x＝a2﹣6ab+9b2．y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（　　） A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y 【分析】利用作差法判断即可． 【解答】解：∵x﹣y＝a2﹣6ab+9b2﹣（4a﹣12b﹣4）＝（a﹣3b）2﹣4（a﹣3b）+4＝[（a﹣3b）﹣2]2， ∴[（a﹣3b）﹣2]2≥0， ∴x≥y． 故选：D． 【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3．已知实数m，n满足 m2﹣2am+a2﹣2a+4＝0，n2﹣2an+a2﹣2a+4＝0，则 （m+1）2+（n+1）2 的最小值是（　　） A．18 B．16 C．﹣6 D．﹣14 【分析】根据一元二次方程判别式的意义得出a≥2，利用根与系数关系得到m+n和mn的值，代入（m﹣1）2+（n﹣1）2变形后的代数式，再利用配方法以及二次函数的性质即可求出最小值． 【解答】解：∵m、n满足m2﹣2am+a2﹣2a+4＝0，n2﹣2an+a2﹣2a+4＝0， ∴m、n是方程x2﹣2ax+a2﹣2a+4＝0的两个实数根， ∴Δ＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣2a+4）＝8a﹣16≥0，且m+n＝2a，mn＝a2﹣2a+4， ∴a≥2， ∴（m+1）2+（n+1）2 ＝m2+2m+1+n2+2n+1 ＝m2+n2+2（m+n）+2 ＝（m+n）2﹣2mn+2（m+n）+2 ＝4a2﹣2（a2﹣2a+4）+4a+2 ＝2a2+8a﹣6 ＝2（a+2）2﹣14， ∴a≥2， ∴当a＝2时，（m+1）2+（n+1）2的最小值是18， 故选：A． 【点评】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，配方法的运用，熟练掌握根和系数关系是解题关键． 4．（阅读材料）把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式．利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式． 配方：x2﹣6x+8＝x2﹣6x+32﹣32+8＝（x﹣3）2﹣1 分解因式：x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）＝（x﹣2）（x﹣4） （解决问题）根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式； （2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式； （3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由； （4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数． 【分析】（1）仿照题中例题进行配方求解； （2）仿照题中例题进行配方分解因式； （3）先仿照题中例题进行配方，再根据非负数的性质求出a，b，c的值进行判断； （4）先仿照题中例题进行配方，再根据非负数的性质进行判断． 【解答】（1）解：x2﹣4x﹣5， ＝x2﹣4x+22﹣22﹣5 ＝（x﹣2）2﹣9； （2）解：原式＝x2﹣2x+1﹣1﹣35， ＝（x﹣1）2﹣62 ＝（x﹣1+6）（x﹣1﹣6） ＝（x+5）（x﹣7）； （3）解：△ABC为等边三角形，理由如下： ∵a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0， ∴（a2﹣2ab+b2）+b2﹣2b+1+3（c2﹣2c+1）＝0， ∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+3（c﹣1）2＝0， ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，3（c﹣1）2≥0， ∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0， ∴a＝b，b＝1，c＝1， ∴a＝b＝c， △ABC为等边三角形； （4）证明：x2+y2+4x﹣6y+15， ＝x2+4x+4+y2﹣6y+9+2， ＝（x+2）2+（y﹣3）2+2， ∵（x+2）2≥0，（y﹣3）2≥0， ∴（x+2）2+（y﹣3）2+2≥2， ∴代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数． 【点评】本题主要考查了配方法，分解因式，等边三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型六 一元二次方程的解的应用 1．（2024秋•蓝山县期末）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的常数项为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．4或﹣2 【分析】由一元二次方程的定义可得k﹣2±0，由题意又知k2﹣4＝0，联立不等式组，求解可得答案． 【解答】解：根据题意可得： ， 解得k＝﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义的应用，关键是能根据题意得出方程k2﹣4＝0和k﹣2≠0． 2．（2024秋•铜仁市期末）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为﹣1，则a﹣b+c的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．不能确定 【分析】直接把x＝﹣1代入方程就看得到a﹣b+c的值． 【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0（a≠0）得a﹣b+c＝0． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 3．（2024秋•南川区期末）已知m为一元二次方程x2+5x﹣1024＝0的根，那么﹣2m2﹣10m的值为（　　） A．﹣2048 B．﹣1024 C．0 D．2048 【分析】根据一元二次方程解的定义得m2+5m＝1024，把代数式变形后整体代入求值即可． 【解答】解：由题意可知：m2+5m﹣1024＝0， 则m2+5m＝1024， ∴﹣2m2﹣10m＝﹣2（m2+5m）＝﹣2×1024＝﹣2048， 故选：A． 【点评】此题考查了一元二次方程解的定义和求代数式的值．熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（2024秋•化州市期末）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值． 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到2a2﹣7a﹣1＝0，则2a2﹣7a＝1，再把a（2a﹣7）+5变形为2a2﹣7a+5，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根， ∴2a2﹣7a﹣1＝0， ∴2a2﹣7a＝1， ∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6． 【点评】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 题型七 利用根的判别式判断根的情况 1．（2024•淮南一模）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A．x2+4＝2x B．（x+1）2＝0 C．x2﹣2023x＝0 D．x2+2＝3x 【分析】求出一元二次方程根的判别式，根据符号即可得到结论． 【解答】解：A、方程x2+4＝2x可化为x2﹣2x+4＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×4＝﹣12＜0， ∴方程无实数根，故本选项符合题意； B、∵方程（x+1）2＝0， ∴x1＝x2＝﹣1， ∴方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意； C、方程整理得x2﹣2023x＝0， ∵Δ＝20232﹣4×1×0＝20232＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； D、方程整理得x2﹣3x+2＝0， ∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系是解决问题的关键． 2．（2024•福田区校级二模）一元二次方程（a﹣2）x2+ax+1＝0（a≠2）的实数根的情况是（　　） A．有两个不同实数根 B．有两个相同实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【分析】先计算出Δ＝a2﹣4×1×（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4，判断出Δ的符号，进而可得出结论． 【解答】解：∵Δ＝a2﹣4×1×（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4≥4， ∴方程有两个不同实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac，正确记忆当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根是解题关键． 3．（2025•黄石一模）一元二次方程x2﹣5x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【分析】根据一元二次方程根的判别式判定方程根的情况即可． 【解答】解：Δ＝（﹣5）2﹣4×1×3＝25﹣12＝13＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系是解题的关键． 4．（2024秋•九龙坡区期末）观察关于x的方程mx2+（1﹣m）x﹣1＝0，思考下列对这个方程的根的描述，其中正确的是（　　） A．当m＝0时，方程无解 B．当m＝1时，方程只有一个实数解 C．当m＝﹣1时，方程有两个相等的实数解 D．当m≠0时，方程总有两个不相等的实数解 【分析】利用根的判别式解答即可． 【解答】解：A、当m＝0时，方程为一元一次方程，有解，此选项错误； B、当m＝1时，方程为x2﹣1＝0，x＝±1，方程有两个不相等的实数根，此选项错误； C、当m＝﹣1时，方程为﹣x2+2x﹣1＝0，方程有两个相等的实数根，此选项正确； D、当m≠0时，Δ＝（1﹣m）2﹣4×m×（﹣1）＝（1+m）2≥0，方程有两个实数根，此选项错误； 故选：C． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别与方程解的关系是解题的关键． 题型八 根的判别式的应用 1．（2024•唐河县模拟）关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0无实数解，则k的取值范围是（　　） A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1 【分析】关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0无实数解，则Δ＜0，列出不等式解出k的范围即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0无实数解， ∴Δ＜0， 即4﹣4k＜0， 解得k＞1． 故选：A． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法和根的判别式，熟记一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解与b2﹣4ac的关系：当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无解是解决问题的关键． 2．（2024秋•崂山区期末）关于x的一元二次方程x2﹣5x+2k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程x2﹣5x+2k＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝（﹣5）2﹣4×1×2k＞0， 解得k． 故选：B． 【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 3．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2a﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围； （2）若a为正整数，求一元二次方程的解． 【分析】（1）根据方程根的判别式Δ＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围； （2）由（1）可求得a的正整数，代入原方程，解之即可求出方程的根． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+2a﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4（2a﹣1）＞0， 解得a， ∴a的取值范围为a； （2）∵a，且a为正整数， ∴a＝1． 此时，方程为x2﹣3x+1＝0， 解得：x1，x2， ∴方程的根为x1，x2． 【点评】本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）熟记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）熟练掌握一元二次的解法—公式法． 4．（2024秋•铜官区期末）已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0 （1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根； （2）若等腰三角形一边长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝（m﹣3）2≥0，由此即可证出：无论m取何值，这个方程总有实数根； （2）分腰长为4和底边长度为4两种情况分别求解可得． 【解答】解：（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×2（m﹣1）＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2≥0， ∴无论m取何值，这个方程总有实数根； （2）若腰长为4，将x＝4代入原方程，得：16﹣4（m+1）+2（m﹣1）＝0， 解得：m＝5， ∴原方程为x2﹣6x+8＝0， 解得：x1＝2，x2＝4． 组成三角形的三边长度为2、4、4； 若底边长为4，则此方程有两个相等实数根， ∴Δ＝0，即m＝3， 此时方程为x2﹣4x+4＝0， 解得：x1＝x2＝2， 由于2+2＝4，不能构成三角形，舍去； 所以三角形另外两边长度为4和2． 【点评】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）代入x＝4求出m值． 题型九 一元二次方程根与系数的关系 1．（2024•河北区三模）方程x2﹣2x﹣1＝0的根为x1x2，则x1x2﹣（x1+x2）的值为（　　） A． B．1 C．﹣3 D． 【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入计算即可求出值． 【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根为x1，x2， ∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1， 则原式＝﹣1﹣2＝﹣3． 故选：C． 【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 2．（2024•日照二模）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，方程的两根分别是x1、x2，且，则m值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据韦达定理可知x1+x2＝2，x1•x2＝2m﹣1，利用完全平方公式可得（x1•x2）2，整体代入解方程即可． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，方程的两根分别是x1、x2， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝2m﹣1， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4（2m﹣1）＝8（1﹣m）≥0， ∴m≤1， ∵， ∴（x1•x2）2， ∴4﹣2（2m﹣1）＝（2m﹣1）2， 整理得：4m2＝5， 解得， ∵m≤1， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了根与系数的关系、解一元二次方程，掌握根与系数的关系并利用完全平方公式变形是解题关键． 3．（2024秋•内乡县期末）已知关于x的一元二次方程x2+2（m+2）x+m2﹣1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足，求实数m的值． 【分析】（1）根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出m的范围即可； （2）已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出m的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（m+2）x+m2﹣1＝0有实数根， ∴Δ≥0，即4（m+2）2﹣4（m2﹣1）≥0， 整理得：4m+5≥0， 解得：m， 故实数m的取值范围是m； （2）∵该方程的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣2（m+2），x1x2＝m2﹣1， ∵， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝58， ∴4（m+2）2﹣2（m2﹣1）＝58， 解得m＝2或﹣10， ∵m， ∴实数m的值为2． 【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2． 4．（2024秋•惠城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0． （1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当一矩形ABCD的对角线长为AC，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长． 【分析】（1）计算判别式的值得到Δ＝（2k﹣3）2+4，利用非负数的性质得到Δ＞0，从而根据判别式的意义得到结论； （2）利用根与系数的关系得到AB+BC＝2k+1，AB•BC＝4k﹣3，利用矩形的性质和勾股定理得到AB2+BC2＝AC2＝（）2，则（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，解得k1＝3，k2＝﹣2，利用AB、BC为正数得到k的值为3，然后计算AB+BC得到矩形ABCD的周长． 【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4（4k﹣3） ＝4k2+4k+1﹣16k+12 ＝4k2﹣12k+13 ＝（2k﹣3）2+4， ∵（2k﹣3）2≥0， ∴Δ＞0， ∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）根据题意得AB+BC＝2k+1，AB•BC＝4k﹣3， 而AB2+BC2＝AC2＝（）2， ∴（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31， 整理得k2﹣k﹣6＝0，解得k1＝3，k2＝﹣2， 而AB+BC＝2k+1＞0，AB•BC＝4k﹣3＞0， ∴k的值为3， ∴AB+BC＝7， ∴矩形ABCD的周长为14． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 5．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+3+2k＝0． （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根为x1，x2．请解答下列问题： ①若x1＞0，x2＜0，求k的取值范围； ②请判断的值能否等于5，若能，请求出此时k的值；若不能说明理由． 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝k2+4＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）①根据根与系数的关系得x1•x2＝3+2k，则3+2k＜0，然后解不等式即可； ②由于x1+x2＝k+4，x1•x2＝3+2k，所以（x1+x2）2﹣2x1x2＝（k+2）2+6，由于k＝﹣2时，有最小值6，从而可判断的值不能为5． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+4）2﹣4（3+2k） ＝k2+8k+16﹣12﹣8k ＝k2+4＞0， ∴此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：①根据根与系数的关系得x1•x2＝3+2k， ∵x1＞0，x2＜0， ∴3+2k＜0， 解得k， 即k的范围为k； ②的值不能为5． 理由如下： 根据根与系数的关系得x1+x2＝k+4，x1•x2＝3+2k， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2 ＝（k+4）2﹣2（3+2k） ＝k2+8k+16﹣6﹣4k ＝k2+4k+10 ＝（k+2）2+6， ∵k＝﹣2时，有最小值6， ∴的值不能为5． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系． 题型十 由实际问题列一元二次方程 1．（2024秋•沙坪坝区校级期末）2024年以来，某厂生产的电子产品处于高速上升期，该厂生产一件产品起初的成本为256元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了31元，设每次技术改进产品的成本下降率均为x，则下列方程正确的是（　　） A．256（1﹣2x）＝256﹣31 B．（256﹣31）（1+x）2＝256 C．256（1﹣x）2＝31 D．256（1﹣x）2＝256﹣31 【分析】可先表示出第一次降价后的价格为256（1﹣降低的百分率），那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝256﹣31，把相应数值代入即可列出方程． 【解答】解：根据题意得：256（1﹣x）2＝256﹣31． 故选：D． 【点评】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b． 2．（2024秋•增城区期末）某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了1640张照片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　） A．x（x+1）＝1640 B． C．x（x﹣1）＝1640 D． 【分析】根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程． 【解答】解：根据题意得：全班有 x名学生，每人要赠送（x﹣1）张相片， 则列方程得，x（x﹣1）＝1640， 故选：C． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人是解决问题的关键． 3．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（　　） A．（x+2）2+（x﹣4）2＝x2 B．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2 C．x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2 D．（x﹣2）2+x2＝（x+4）2 【分析】由题意可得门高（x﹣2）尺、宽（x﹣4）尺，长为对角线x尺，根据勾股定理可得的方程． 【解答】解：设门对角线的长为x尺，由题意得： （x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2， 故选：B． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 4．（2024•瑶海区校级期末）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x，则方程为（　　） A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4 B．x2+（x+4）2＝10x+x﹣4﹣4 C．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x﹣4 D．x2+（x+4）2＝10x+（x﹣4）﹣4 【分析】根据个位数与十位数的关系，可知十位数为x+4，那么这两位数为：10（x+4）+x，这两个数的平方和为：x2+（x+4）2，再根据两数的值相差4即可得出答案． 【解答】解：依题意得：十位数字为：x+4，这个数为：x+10（x+4） 这两个数的平方和为：x2+（x+4）2， ∵两数相差4， ∴x2+（x+4）2＝x+10（x+4）﹣4． 故选：C． 【点评】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解． 5．（2025•龙岗区校级开学）如图，小区物业规划在一个长60m，宽22m的矩形场地ABCD上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽x m的道路，中间是宽2x m的道路．如果阴影部分的总面积是600m2，那么x满足的方程是（　　） A．（60+2x）（22+2x）＝600 B．（60﹣2x）（22﹣2x）＝600 C．（60﹣2x）（22﹣x）＝600 D．60×22﹣（60﹣2x）（22﹣2x）＝600 【分析】根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位所在区域（阴影部分）可合成长为（60﹣2x）m，宽为（22﹣2x）m的矩形，结合阴影部分的总面积是600m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵停车位所在区域（阴影部分）可合成长为（60﹣2x）m，宽为（22﹣2x）m的矩形，阴影部分的总面积是600m2， ∴根据题意可列出方程（60﹣2x）（22﹣2x）＝600． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型十一 一元二次方程的实际应用---传播问题 1．（2024秋•鹿泉区校级期末）元旦班上数学兴趣小组的同学互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是（　　） A．9人 B．10人 C．18人 D．12人 【分析】设数学兴趣小组的人数为x人，根据每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：设数学兴趣小组的人数为x人， 根据题意得：x（x﹣1）＝90， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（2024秋•开州区期末）在某个商品交易会上，参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了55份合同．则参加交易会的公司有（　　） A．8家 B．9家 C．10家 D．11家 【分析】设参加交易会的公司有x家，则每个公司要签（x﹣1）份合同，签订合同共有x（x﹣1）份．根据所有公司共签订了55份合同，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设参加交易会的公司有x家， 根据题意得：x（x﹣1）＝55， 整理得：x2﹣x﹣110＝0， 解得：x1＝11，x2＝﹣10（不符合题意，舍去）． 即参加交易会的公司有11家， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．2022年北京冬奥会冰壶混双项目在国家游泳中心“冰立方”开赛，中国混双球队参加了比赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场）． （1）如果有6支球队参加比赛，那么共进行 　 　场比赛； （2）如果一共进行45场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 【分析】（1）利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可求出结论； （2）设有x支球队参加比赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论． 【解答】解：（1）6×（6﹣1）÷2＝15（场）， ∴如果有6支球队参加比赛，那么共进行15场比赛． 故答案为：15． （2）设有x支球队参加比赛， 根据题意得：x（x﹣1）＝45， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）． 答：有10支球队参加比赛． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有64台电脑被感染． （1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过500台？ 【分析】（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则第一轮传染中有x台电脑被感染，第二轮传染中有x（1+x）台电脑被感染，根据经过两轮感染后就会有64台电脑被感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用经过三轮感染后被感染的电脑数量＝经过两轮感染后被感染的电脑数量×（1+每轮感染中平均一台电脑感染电脑的数量），即可求出经过三轮感染后被感染的电脑数量，再将其与500比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则第一轮传染中有x台电脑被感染，第二轮传染中有x（1+x）台电脑被感染， 依题意得：1+x+x（1+x）＝64， 解得：x1＝7，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染7台电脑． （2）64×（1+7）＝512（台）． ∵512＞500， ∴3轮感染后，被感染的电脑会超过500台． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型十二 一元二次方程的实际应用---增长率问题 1．（2025•宣恩县校级模拟）某商品的价格为100元，连续两次降x%后的价格是81元，则x为（　　） A．9 B．10 C．19 D．8 【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次后的价格是100（1﹣x）2，据此即可列方程求解． 【解答】解：根据题意得：100（1﹣x%）2＝81， 解之，得x1＝190（舍去），x2＝10． 即平均每次降价率是10%． 故选：B． 【点评】本题考查了增长率问题的数量关系的运用，运用增长率的数量关系建立一元二次方程的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出平均增长率是关键． 2．（2025•江北区模拟）暑假期间，小青同学和小彬同学相约进行社会实践活动，他们购进了某种卡片进行销售，第一天销售256张．第二、三天该卡片十分畅销，销售量持续走高，第三天的销售量达到400张．则第二、三天平均的增长率为 　 ． 【分析】设第二、三天平均的增长率为x，利用第三天的销售量＝第一天的销售量×（1+第二、三天平均的增长率）2，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【解答】解：设第二、三天平均的增长率为x， 根据题意得：256（1+x）2＝400， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， 即第二、三天平均的增长率为25%， 故答案为：25%． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2024春•华龙区校级月考）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议等多重利好因素，我国某汽车零部件生产企业的利润逐年增高，据统计，2019年利润为2亿元，2021年利润为2.88亿元． （1）求该企业从2019年至2021年利润的年均增长率； （2）若2022年保持前两年利润的年均增长率不变，该企业2022年的利润能否超过3.4亿元？ 【分析】（1）设该企业从2019年至2021年利润的年均增长率为x，根据该企业2021年的利润＝该企业2019年利润×（1+该企业从2019年至2021年利润的年均增长率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用该企业2022年的利润＝该企业2021年的利润×（1+该企业从2019年至2021年利润的年均增长率），可求出该企业2022年的利润，再将其与3.45亿元比较后，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该企业从2019年至2021年利润的年均增长率为x， 根据题意得：2（1+x）2＝2.88， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该企业从2019年至2021年利润的年均增长率为20%； （2）∵2.88×（1+20%）＝3.456（亿元），3.456＞3.4， ∴该企业2022年的利润能超过3.4亿元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（2025•敦化市一模）为了让学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买图书．已知2022年该学校用于购买图书的费用为5000元，2024年用于购买图书的费用是7200元． （1）求2022﹣2024年买图书资金的平均增长率； （2）按此增长率，计算2025年用于购买图书的费用． 【分析】（1）设2022﹣2024年买书资金的平均增长率为x，利用2024年用于购买图书的费用＝2022年用于购买图书的费用×（1+2022﹣2024年买书资金的平均增长率）2，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）根据增长率不变，列式计算即可． 【解答】解：（1）设2022﹣2024年买书资金的平均增长率为x， 根据题意得：5000（1+x）2＝7200， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， 答：2022﹣2024年买书资金的平均增长率为20%； （2）由题意得：7200×（1+20%）＝8640（元）， 答：按此增长率，计025年用于购买图书的费用为8640元． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型十三 一元二次方程的实际应用---面积问题 1．（2024秋•三河市期末）如图，琪琪的爸爸用一段12m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6.5m）的矩形鸡舍ABCD，其面积为21m2．在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC长为（　　） A．6m或7m B．3m或3.5m C．3.5m D．6m 【分析】设BC＝x m，则AB m，根据矩形鸡舍ABCD的面积为21m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长6.5m，即可确定结论． 【解答】解：设BC＝x m，则AB m， 根据题意得：x•21， 整理得：x2﹣13x+42＝0， 解得：x1＝6，x2＝7， 又∵墙长6.5m， ∴x＝6， ∴BC长为6m． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（2024秋•徐水区期末）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（图中单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为x m，则x的值为（　　） A． B． C．1 D． 【分析】直接利用直角三角形面积的求法列出方程即可求解． 【解答】解：根据题意，利用直角三角形面积得：， 即（6﹣x）（5﹣x）＝20， 解得x＝1或x＝10（不符合题意，舍去）， 所以x的值为1， 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意弄清图形间的面积关系是解题的关键． 3．如图，有一块长为30米，宽为20米的矩形场地，计划在该场地上修建两条 互相垂直的小道，横向小道与竖向小道的宽比为2：3，余下矩形场地建成草坪，草坪的面积为486平方米，请求出横向小道的宽． 【分析】设横向小道的宽为2x米，则竖向小道的宽为3x米，根草坪面积＝（30﹣3x）（20﹣2x）列出方程并解答． 【解答】解：设横向小道的宽为2x米，则竖向小道的宽为3x米， 由题意，得（30﹣3x）（20﹣2x）＝486． 解得x1＝1，x2＝9（舍去）． 则2x＝2． 答：横向小道的宽为2米． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 4．（2024秋•丰台区期末）造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长100cm，宽40cm的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为640cm2，若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为x cm的彩色纸带，求彩色纸带的宽度． 【分析】将图中的四个名著平移在一起，则长为（100﹣5x）cm，宽为（40﹣2x）cm，然后根据每幅海报面积均为640cm2，可以列出方程（100﹣5x）（40﹣2x）＝640×4，再求解即可． 【解答】解：由题意可得， （100﹣5x）（40﹣2x）＝640×4， 解得x1＝4，x2＝36（不符合题意，舍去）， 答：彩色纸袋的宽度为4cm． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 5．（2024秋•宁强县期末）在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，养鸡场的面积是160平方米． （1）据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡320只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡500只，请求出这个增长率； （2）为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽AB为多少米？ 【分析】（1）设这个增长率为x，根据养鸡场今年养鸡320只，预估后年养鸡500只，列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设重建后的养鸡场的宽AB为y米，则BC的长为（40+2×2﹣3y）米，根据养鸡场的面积是160平方米．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设这个增长率为x， 由题意得：320（1+x）2＝500， 解得：x1＝﹣2.25（不合题意舍去），x2＝0.25＝25%， 答：这个增长率为25%； （2）设重建后的养鸡场的宽AB为y米，则BC的长为（40+2×2﹣3y）米， 由题意得：y（40+2×2﹣3y）＝160， 整理得：3y2﹣44y+160＝0， 解得：y1，y2＝8， 当y时，BC的长为：40+2×2﹣3y＝40+2×2﹣324（米）＞22米，不合题意，舍去； 当y＝8时，BC的长为：40+2×2﹣3y＝40+2×2﹣3×8＝20（米）＜22米，符合题意； ∴AB＝8米， 答：重建后的养鸡场的宽AB为8米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键》 题型十四 一元二次方程的实际应用--数字问题 1．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是 　 ． 【分析】等量关系为：原来的两位数﹣新两位数＝27，把相关数值代入计算可得各位上的数字，根据两位数的表示方法求得两位数即可． 【解答】解：设原两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为（x2﹣9）． ∴10（x2﹣9）+x﹣10x﹣（x2﹣9）＝27， 解得x1＝4，x2＝﹣3（不符合题意，舍去）． ∴x2﹣9＝7， ∴10（x2﹣9）+x＝74． 答：原两位数为74． 故答案为：74． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；得到两个两位数之间的等量关系是解决本题的关键；用到的知识点为：两位数＝10×十位数字+个位数字． 2．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？ 【分析】先设个位数字为x，那么十位数字是（x﹣3），这个两位数是[10（x﹣3）+x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解即可． 【解答】解：设个位数字为x，那么十位数字是（x﹣3），这个两位数是10（x﹣3）+x， 依题意得：x2＝10（x﹣3）+x， ∴x2﹣11x+30＝0， ∴x1＝5，x2＝6， ∴x﹣3＝2或3． 答：这个两位数是25或36． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 3．有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求这个两位数． 【分析】设个位为x，则十位上的数字为8﹣x，根据如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得两位数乘以原来的两位数就得1855，求解即可． 【解答】解：设原来个位为x，则十位上的数字为8﹣x， 由题意得，[10×（8﹣x）+x][10x+8﹣x]＝1855 解得：x1＝3，x2＝5， 原来十位上的数字为5或3， 答：原来这个两位数53或35． 【点评】本题考查了一元二次次方程的应用，解答本题的关键是表示出对调前后两位数的表示方法． 4．一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换一下后平方，所得数值比原来的两位数大138，求这原来的两位数． 【分析】设原来两位数的个位数字为x，则十位数为x+2，根据题意由等量关系列出一元二次方程，解之即可． 【解答】解：设原来两位数的个位数字为x，则十位数为x+2， 根据题意列出方程得： [10（x+2）+x]+138＝（10x+x+2）2， 整理得11x2+3x﹣14＝0， 解得x1＝1，x2（不合题意舍去）． 答：这原来的两位数是31． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 5．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数，最大数与最小数的积为192，求这9个数的和． 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可． 【解答】解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为x+16，根据题意得出： x（x+16）＝192， 解得：x1＝8，x2＝﹣24，（不合题意舍去）， 故最小的三个数为：8，9，10， 下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17， 第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24， 故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24＝144． 【点评】此题主要考查了数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键． 题型十五 一元二次方程的实际应用---商品销售问题 1．（2024春•花山区校级期中）某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出（320﹣10a）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（　　） A．22元 B．24元 C．26元 D．28元 【分析】利用商店销售该商品获得的利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a的值，再结合物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，即可确定每件商品的售价． 【解答】解：依题意得：（a﹣18）（320﹣10a）＝400， 整理得：a2﹣50a+616＝0， 解得：a1＝22，a2＝28． 又∵物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%， ∴售价不能超过18×（1+25%）＝22.5（元）． ∴a＝22． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（2024春•海曙区期末）第19届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件． （1）若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润； （2）要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？ 【分析】（1）利用每天的销售利润＝每件的销售利润×日销售量，即可求出结论； （2）设该纪念品的售价单价应定为每件x元，则每件的销售利润为（x﹣30）元，日销售量为100﹣2（x﹣40）＝（180﹣2x）件，利用每天的销售利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：（45﹣30）×[100﹣2×（45﹣40）] ＝15×[100﹣2×5] ＝15×[100﹣10] ＝15×90 ＝1350（元）． 答：每天的销售利润为1350元； （2）设该纪念品的售价单价应定为每件x元，则每件的销售利润为（x﹣30）元，日销售量为100﹣2（x﹣40）＝（180﹣2x）件， 根据题意得：（x﹣30）（180﹣2x）＝1600， 整理得：x2﹣120x+3500＝0， 解得：x1＝50，x2＝70， 又∵要让利给顾客， ∴x＝50． 答：该纪念品的售价单价应定为每件50元． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2024秋•水城区期末）在樱桃上市期间，某樱桃基地樱桃成本价为10元/千克，樱桃售价为20元/千克，每天能售出240千克．为推广宣传，同时尽快售出樱桃，基地决定采取适当的降价措施．调查发现，如果樱桃售价每降价1元，那么平均每天可多售出40千克．基地想要每天盈利2520元，樱桃售价应降价多少元？ 【分析】设樱桃售价应降价y元，则每天可售出（240+40y）千克，根据基地想要每天盈利2520元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设樱桃售价应降价y元，则每天可售出（240+40y）千克， 由题意得：（20﹣10﹣y）（240+40y）＝2520， 整理得：y2﹣4y+3＝0， 解得：y1＝3，y2＝1（不符合题意，舍去）， 答：樱桃售价应降价3元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（2024秋•宿迁期末）某商店在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出　 　件； （2）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 【分析】（1）根据每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，即可得到结果； （2）设每件童装应降价x元，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，即可得到结果． 【解答】解：（1）4×2＝8（件）， 则平均每天就可多售出8件； 故答案为：8； （2）设每件童装应降价x元， ∴（40﹣x）（20+2x）＝1200， ∴x2﹣30x+200＝0，即（x﹣20）（x﹣10）＝0， ∴x＝20或x＝10， ∵减少库存，故x＝10舍去， ∴每件童装应降价20元． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． 5．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个．若在此基础上每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． （1）设售价在40元/个的基础上涨价x元，则月销售量为 　 　个，每个头盔的利润是 　 　元．（用x的代数式表示） （2）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ （3）要想使月销售利润达到13000元，问这个要求能否实现？请说说你的理由． 【分析】（1）利用月销售量＝600﹣10×每个头盔降低的价格，可用含x的代数式表示出月销售量，利用每个头盔的利润＝售价﹣进价，可求出每个头盔的利润； （2）利用月销售利润＝每个的头盔的利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定x的值，再将其代入40+x中，即可求出结论； （3）这个要求不能实现，假设这个要求能实现，利用月销售利润＝每个的头盔的利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣300＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即这个要求不能实现． 【解答】解：（1）根据题意得：当售价在40元/个的基础上涨价x元时，月销售量为（600﹣10x）个，每个头盔的利润是（40+x﹣30）元． 故答案为：（600﹣10x），（40+x﹣30）； （2）根据题意得：（40+x﹣30）（600﹣10x）＝10000， 整理得：x2﹣50x+400＝0， 解得：x1＝10，x2＝40， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴x＝10， ∴40+x＝40+10＝50． 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个； （3）这个要求不能实现，理由如下： 假设这个要求能实现，根据题意得：（40+x﹣30）（600﹣10x）＝13000， 整理得：x2﹣50x+700＝0， ∵Δ＝（﹣50）2﹣4×1×700＝﹣300＜0， ∴该方程没有实数根， ∴假设不成立，即这个要求不能实现． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出月销售量及每个头盔的利润；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”． 题型十六 一元二次方程的实际应用---动点运动问题 1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝7cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（　　） A．3.5s B．5s C．4s D．3s 【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2， 则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得， （8﹣t）×2t＝15， 解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）． ∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2． 故选：D． 【点评】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题． 2．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/秒的速度向点B移动，点Q从点B出发，沿BC边以2cm/秒的速度向点C移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当有一个点到达终点时另一个点也停止运动，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当△BPQ的面积为8cm2时，t的值（　　） A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或4 【分析】当运动时间为t秒时，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，根据△BPQ的面积为8cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值． 【解答】解：当运动时间为t秒时，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm， 依题意得：（6﹣t）×2t＝8， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t1＝2，t2＝4． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，点Q到达点C后，点P停止运动． （1）经过ts后（t＞0），△PBQ的面积等于4cm2，求t的值； （2）经过ts后，（t＞0），PQ的长度为5cm，求t的值； （3）△PBQ的面积能否等于8cm2？ 【分析】利用时间＝路程÷速度，可求出点P到达点B及点Q到达点C所需时间，比较后可得出0＜t，当运动时间为ts时，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm． （1）根据△PBQ的面积等于4cm2，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）利用勾股定理，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （3）△PBQ的面积不能等于8cm2，假设△PBQ的面积能等于8cm2，根据△PBQ的面积等于8cm2，可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣7＜0，可得出该方程没有实数根，假设不成立，即△PBQ的面积不能等于8cm2． 【解答】解：∵5÷1＝5（s），7÷2（s），5， ∴0＜t． 当运动时间为ts时，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm． （1）根据题意得：BP•BQ＝4， 即（5﹣t）×2t＝4， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4（不符合题意，舍去）． 答：t的值为1； （2）根据题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝52， 整理得：t2﹣2t＝0， 解得：t1＝0（不符合题意，舍去），t2＝2． 答：t的值为2； （3）△PBQ的面积不能等于8cm2，理由如下： 假设△PBQ的面积能等于8cm2，根据题意得：BP•BQ＝8， 即（5﹣t）×2t＝8， 整理得：t2﹣5t+8＝0， ∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×8＝﹣7＜0， ∴该方程没有实数根， ∴假设不成立，即△PBQ的面积不能等于8cm2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． （1）AP＝　 　，BP＝　 　，CQ＝　 　，DQ＝　 　（用含t的代数式表示）； （2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2； （3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm． 【分析】（1）当运动时间为ts时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|16﹣5t|，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）当运动时间为ts时，AP＝3tcm，BP＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm，DQ＝（16﹣2t）cm． 故答案为：3tcm；（16﹣3t）cm；2tcm；（16﹣2t）cm． （2）依题意得：[（16﹣3t）+2t]×6＝33， 整理得：16﹣t＝11， 解得：t＝5. 答：当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2． （3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|（16﹣3t）﹣2t|＝|16﹣5t|，如图所示． 依题意得：|16﹣5t|2+62＝102， 即（16﹣5t）2＝82， 解得：t1，t2． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为10cm． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 5．如图，在矩形ABCD中，BC＝24cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止． 已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm． （1）当x为何值时，以P、N两点重合？ （2）问Q、M两点能重合吗？若Q、M两点能重合，则求出相应的x的值；若Q、M两点不能重合，请说明理由． （3）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）P、N两点重合，即AP+DN＝AD＝BC，联立方程解答即可； （2）当Q、M两点重合时，即BQ+CM＝BC，联立方程解答，进一步利用DN验证即可； （3）把P、N两点分两种情况讨论，点P在点N的左侧或点P在点N的右侧，进一步利用平行四边形的性质联立方程解答即可． 【解答】解：（1）当点P与点N重合时， 由x2+2x＝24，得x1＝4、x2＝﹣6（舍去） 所以x＝4时点P与点N重合． （2）当点Q与点M重合时， 由x+3x＝24，得x＝6 此时DN＝x2＝36≥24，不符合题意． 故点Q与点M不能重合． （3）因为当N点到达A点时，x2＝24， 解得：x＝2， BQ＝2 cm，CM＝6 cm， ∵BQ+CM＝824， ∴此时M点和Q点还未相遇， 所以点Q只能在点M的左侧， ①如图1，当点P在点N的左侧时， 由24﹣（x+3x）＝24﹣（2x+x2）， 解得x1＝0（舍去），x2＝2； 当x＝2时四边形PQMN是平行四边形； ②如图2，当点P在点N的右侧时， 由24﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣24， 解得x1＝﹣3，x2＝﹣3（舍去）； 当x＝﹣3时四边形NQMP是平行四边形； 综上：当x＝2或x＝﹣3时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【点评】此题主要考查借助图形的性质找出数量关系，联立方程解决问题，并渗透分类讨论思想． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$