专题 一元二次方程-几何动点运动问题（30题提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北京版）

（北京版）八年级下册数学《第16章 一元二次方程》 专题 一元二次方程---几何动点运动问题 ★★★方法技巧： 用一元二次方程解决几何动点运动问题，主要是根据条件设出未知数，想办法把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题中所给的等量关系列出方程求解，此类问题一般式几何题的延伸，要学会用运动观念看问题，最后的答案要根据具体情况进行取舍. 1．（2024秋•龙江县校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为12cm2时，则点P运动的时间是（　　） A．2s B．3s C．4s D．6s 【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为12cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为12cm2， 则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得， （8﹣t）×2t＝12， 解得t1＝2，t2＝6（当t＝6时，BQ＝12，不合题意，舍去）． ∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为12cm2． 故选：A． 【点评】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题． 2．（2024秋•八公山区月考）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，BC＝3cm，点P以1cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B移动，点Q以2cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发，若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使P，Q两点之间的距离等于，则需要经过（　　） A． B．2s C． D．或2s 【分析】设经过x s，P、Q之间的距离等于，先用含x的代数式分别表示BP和BQ的长度，进一步利用勾股定理建立方程求得答案即可． 【解答】解：设x s后P、Q之间的距离等于， 由题意得，AP＝x cm，BQ＝2x cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（7﹣x）cm， ∵BP2+BQ2＝PQ2， ∴， 解得，，x2＝2， 当x2＝2时，BQ＝2x＝4＞BC，不合题意，舍去， ∴， ∴需要经过． 故选：A． 【点评】本题主要考查勾股定理以及一元二次方程的应用．根据勾股定理列出方程是解题的关键． 3．（2024秋•东港区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/秒的速度向点B移动，点Q从点B出发，沿BC边以2cm/秒的速度向点C移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当有一个点到达终点时另一个点也停止运动，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当△BPQ的面积为8cm2时，t的值（　　） A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或4 【分析】当运动时间为t秒时，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm，根据△BPQ的面积为8cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值． 【解答】解：当运动时间为t秒时，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm， 依题意得：（6﹣t）×2t＝8， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t1＝2，t2＝4． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形APQC的面积为9cm2，则点P运动的时间是（　　） A．3s B．3s或5s C．4s D．5s 【分析】利用时间＝路程÷速度，可求出点P的运动时间不超过3s，当运动时间为ts时，BQ＝2tcm，BP＝（8﹣t）cm，根据四边形APQC的面积为9cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：∵8÷1＝8（s），6÷2＝3（s）， ∴点P的运动时间不超过3s． 当运动时间为ts时，AP＝tcm，BQ＝2tcm，BP＝（8﹣t）cm， 根据题意得：8×62t（8﹣t）＝9， 整理得：t2﹣8t+15＝0， 解得：t1＝3，t2＝5（不符合题意，舍去）， ∴点P运动的时间是3s． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．（2024秋•滨海新区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/s的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发沿BC边以2cm/s的速度向点C匀速移动，当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ的面积为5cm2时，点P，Q运动的时间为 　 　 秒． 【分析】设运动时间为x秒（0＜x＜4），则PB＝（6﹣x）cm，BQ＝2x cm，利用三角形的面积计算公式，结合△PBQ的面积为5cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【解答】解：8÷2＝4（秒）． 设运动时间为x秒（0＜x＜4），则PB＝（6﹣x）cm，BQ＝2x cm， 依题意得：2x×（6﹣x）＝5， 整理得：x2﹣6x+5＝0， 解得：x1＝1，x2＝5（不符合题意，舍去）． 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．（2024春•渝中区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 　 　 s后，△AEF的面积恰为12cm2． 【分析】过E作EH⊥AC于H，设运动时间为t s，根据△AEF的面积恰为12cm2，得t（10﹣t）＝12，即可解得答案． 【解答】解：过E作EH⊥AC于H，如图： 设运动时间为t s， ∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm， ∴AC＝2BC＝10cm， 根据题意得：AE＝2t cm，CF＝t cm， ∴AF＝（10﹣t）cm，EHAE＝t cm， ∵△AEF的面积恰为12cm2， ∴t（10﹣t）＝12， 解得t＝4或t＝6， ∴经过4s或6s后，△AEF的面积恰为12cm2． 故答案为：4或6． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关线段的长度． 7．（2024•临沂一模）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 　 s后，P，Q两点之间相距25cm． 【分析】设x秒后P、Q两点相距25cm，用x表示出CP、CQ，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【解答】解：设x秒后P、Q两点相距25cm， 则CP＝2xcm，CQ＝（25﹣x）cm， 由题意得，（2x）2+（25﹣x）2＝252， 解得，x1＝10，x2＝0（舍去）， 则10秒后P、Q两点相距25cm． 故答案为：10． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 8．（2024•临沂一模）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 　 s后，P，Q两点之间相距25cm． 【分析】设x秒后P、Q两点相距25cm，用x表示出CP、CQ，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【解答】解：设x秒后P、Q两点相距25cm， 则CP＝2xcm，CQ＝（25﹣x）cm， 由题意得，（2x）2+（25﹣x）2＝252， 解得，x1＝10，x2＝0（舍去）， 则10秒后P、Q两点相距25cm． 故答案是：10． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 9．（2024春•石鼓区校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点A出发沿着AC方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从C出发沿着CB边以1cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动 　 　秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的． 【分析】设运动了t秒，根据三角形的面积公式可以得出△ABC面积为4×8＝16，△PCQ的面积为t（8﹣2t），由题意列出方程解答即可． 【解答】解：∵S△PCQt（8﹣2t），S△ABC4×8＝16， ∴t（8﹣2t）＝16， 整理得t2﹣4t+4＝0， 解得t＝2． 即：运动2秒时△PCQ的面积为△ABC面积的． 故答案为：2． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 10．（2024秋•龙岗区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就同时停止运动．设运动时间为t秒．当t＝　 s时，△CPQ的面积为16cm2． 【分析】根据题意得到AP＝4tcm，CQ＝2tcm，AC＝20cm，CP＝（20﹣4t）cm，根据三角形的面积公式列方程即可得答案． 【解答】解：由运动知，AP＝4tcm，CQ＝2tcm， ∵AC＝20cm， ∴CP＝（20﹣4t）cm， ∵△CPQ的面积为16cm2． ∴2t×（20﹣4t）＝16， 解得：t＝1或t＝4， 答：当t＝1秒或4秒时，△CPQ的面积为16cm2． 故答案为：1s或4． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式，正确地列出方程是解题的关键． 11．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝24cm，AC＝16cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，经过 　 　秒，△APQ的面积是△ABC面积的一半？ 【分析】设经过x秒△APQ的面积是△ABC面积的一半，根据点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s表示出BP＝4xcm，CQ＝2xcm，进而表示出AP＝（24﹣4x）cm，AQ＝（16﹣2x）cm，利用面积表示出方程求解即可． 【解答】解：设经过x秒△APQ的面积是△ABC面积的一半， ∵点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s， ∴BP＝4xcm，CQ＝2xcm， （1）当AP＝（24﹣4x）cm，AQ＝（16﹣2x）cm， 根据题意得：（24﹣4x）（16﹣2x）24×16， 整理得x2﹣14x+24＝0， 解得：x＝2或x＝12（舍去）． （2）当AP＝（4x﹣24）cm，AQ＝（2x﹣16）cm， 根据题意得：（4x﹣24）（2x﹣16）24×16， 整理得x2﹣14x+24＝0， 解得：x＝2（舍去）或x＝12． 故答案为2或12． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，特别是动点问题更是中考的热点考题之一． 12．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒，则t＝　 　秒时，S1＝2S2． 【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出S1和S2，然后根据S1＝2S2，即可列方程求解． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高， ∴AD＝BD＝CD＝8cm， 又∵APt， 则S1AP•BD8t＝8t，PD＝8t， ∵PE∥BC， ∴∠AEP＝∠C＝45°，∠APE＝∠ADC＝90°， ∴∠PAE＝∠PEA＝45° ∴PE＝APt， ∴S2＝PD•PE＝（8t）•t， ∵S1＝2S2， ∴8t＝2（8t）•t， 解得：t＝6或0（舍弃） 故答案为：6． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，以及等腰直角三角形的性质，正确表示出S1和S2是关键． 13．（2024春•舒城县校级月考）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝20，AD＝16，点P从点A出发沿AB以每秒4个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动． （1）当t＝3秒时，线段DP＝　 　． （2）当t＝　 　秒时，△BPQ的面积是24． 【分析】（1）当t＝3秒时，根据题意可得，AP＝12，再根据勾股定理即可求解． （2）设运动时间为t（t≤5）秒，则BP＝20﹣4t，BQ＝2t，根据△BPQ的面积是24列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）∵当t＝3秒时，AP＝4×3＝12， 根据勾股定理得． 故答案为：20． （2）设运动时间为t（t≤5）秒， 此时，BP＝20﹣4t，BQ＝2t， ∵△BPQ的面积是24， ∴， 整理得，t2﹣5t+6＝0， 解得：t1＝2，t2＝3， ∴当t＝2秒或3秒时，△BPQ的面积是24． 故答案为：2或3． 【点评】本题主要考查勾股定理、列代数式、一元二次方程的应用，根据题意找准数量关系，列出方程是解题关键． 14．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝5cm，AD＝3cm，G为边AB上一点，GB＝1cm，动点E、F同时从点D出发，点F沿射线DG﹣GB﹣BC运动到点C时停止，点E沿DC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s，若E、F同时运动ts时，△DEF的面积为5cm2，则t的值为 　 ． 【分析】分三种情况：①点F在DG上；②点F在BG上；③点F在BC上；根据等量关系：△DEF的面积为5cm2，列出方程求解即可． 【解答】解：在Rt△ADG中，DG5， ①点F在DG上，依题意有 tt＝5， 解得t＝±（负值舍去）； ②点F在BG上，依题意有 5×3≠5， 此种情况不存在， ③点F在BC上，依题意有 5×[3﹣（t﹣6）]＝5， 解得t＝7． 答：t的值为或7． 故答案为：或7． 【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用． 是本题的解题关键． 15．（2024春•滁州期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B同时出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，P，Q两点间的距离是cm？ 【分析】当运动时间为t（0≤t≤4）秒时，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm，利用勾股定理，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：6÷1＝6（秒），8÷2＝4（秒）． 当运动时间为t（0≤t≤4）秒时，AP＝t cm，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm， 根据题意得：BP2+BQ2＝PQ2， 即（6﹣t）2+（2t）2＝（4）2， 整理得：5t2﹣12t+4＝0， 解得：t1，t2＝2． 答：经过秒或2秒后，P，Q两点间的距离是cm． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．（2024秋•太康县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动，问几秒后，点P和点Q的距离是10cm？ 【分析】过点P作PE⊥CD于点E，设运动时间为x秒，则EQ＝|16﹣2x﹣3x|cm，PQ＝6cm，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：过点P作PE⊥CD于点E，如图所示. 设运动时间为x秒，则CQ＝2x cm，AP＝3x cm，EQ＝|16﹣2x﹣3x|cm，PQ＝6cm， 依题意得：（16﹣2x﹣3x）2+62＝102， 整理得：25x2﹣160x+192＝0， 解得：x1，x2． 答：秒或秒后点P和点Q的距离是10cm． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17．（2024春•莱西市月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动，设运动的时间为t（s）． （1）当t为何值时，△PBQ的面积是△ABC面积的？ （2）当t为何值时，PQ的长为？ 【分析】（1）由题意可求得BQ、BP的长，从而可得关于t的一元二次方程，解方程即可； （2）根据勾股定理即可得到关于t的一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）根据题意知BQ＝2t cm，AP＝t cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（6﹣t）cm， ∴， ∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm， ∴， ∵△PBQ的面积是△ABC面积的， ∴， ∴﹣t2+6t＝5， 解得t1＝1，t2＝5（舍去）． ∴当t为1时，△PBQ的面积是△ABC面积的； （2）设t秒后，PQ的长度等于， 根据勾股定理，得PQ2＝BP2+BQ2，即， 整理得，5t2﹣12t+4＝0， 解得t1＝2，． ∴当t为或2时，PQ的长度等于． 【点评】本题是与三角形有关的动点问题，考查了勾股定理，一元二次方程，由题意得一元二次方程是关键． 18．（2024秋•太和区期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）． （1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？ （2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出△ABC面积为4×8＝16，△PCQ的面积为t（8﹣2t），由题意列出方程解答即可； （2）由等量关系S△PCQS△ABC列方程求出t的值，但方程无解． 【解答】解：（1）∵S△PCQt（8﹣2t），S△ABC4×8＝16， ∴t（8﹣2t）＝16， 整理得t2﹣4t+4＝0， 解得t＝2． 答：当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的； （2）当S△PCQS△ABC时， t（8﹣2t）＝16， 整理得t2﹣4t+8＝0， Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0， ∴此方程没有实数根， ∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 19．（2024秋•江油市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求： （1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S； （2）当t＝3秒时，这时，P、Q两点之间的距离是多少？ （3）当t为多少秒时，SS△ABC？ 【分析】（1）若运动的时间为ts，则CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出S＝20t﹣4t2，再结合各线段长度非负，即可得出t的取值范围； （2）将t＝3代入（20﹣4t）及2t中可求出CP，CQ的长，再利用勾股定理，即可求出PQ的长； （3）利用三角形的面积计算公式，结合SS△ABC，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值． 【解答】解：（1）若运动的时间为ts，则CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2tcm， ∴SCP•CQ（20﹣4t）×2t＝20t﹣4t2． 又∵， ∴0≤t≤5． ∴Rt△CPQ的面积S＝20t﹣4t2（0≤t≤5）． （2）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝20﹣4×3＝8（cm），CQ＝2t＝2×3＝6（cm）， ∴PQ10（cm）． （3）依题意得：20t﹣4t215×20， 整理得：t2﹣5t+6＝0， 解得：t1＝2，t2＝3． ∴t为2或3时，S＝S△ABC． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式、代数式求值以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含t的代数式表示出S；（2）利用勾股定理，求出PQ的长；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm．动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s． （1）若设运动时间为xs，则图中的线段CP＝ 　 　，PA＝　 　，BQ＝　 　，QC＝　 　． （2）几秒后△PCQ为等腰三角形？ （3）几秒后P，Q两点相距25cm？ 【分析】（1）根据路程＝时间×速度和图形中相关线段间的和差关系进行解答； （2）设t秒后△PCQ为等腰三角形，根据CQ＝PC为等量关系列出方程； （3）设a秒后P，Q两点相距25cm．根据勾股定理列出方程并求解． 【解答】解：（1）依题意得 PC＝2xcm，PA＝AC﹣PC＝30﹣2x（cm），BQ＝xcm，CQ＝（25﹣x）cm． 故答案为：2xcm；（30﹣2x）cm；xcm；（25﹣x）cm； （2）设t秒后△PCQ为等腰三角形，则 25﹣x＝2x， 解得 x． 答：秒后△PCQ为等腰三角形； （3）设a秒后P，Q两点相距25cm．根据勾股定理，得 （25﹣x）2+4x2＝252， 解得 x＝10． 答：10秒后P，Q两点相距25cm． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 21．（2024秋•黄陂区月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm． （1）点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，△PBQ的面积为8cm2？ （2）如果点P，Q分别从A，B同时出发，点P在AB边上沿A→B→A的路线以1cm/s的速度移动，点Q在BC边上沿B→C→B的路线以2cm/s的速度移动，且其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接CP，求经过几秒钟后，△PCQ的面积为8cm2？ 【分析】（1）设经过x秒后，根据△PBQ的面积等于8cm2．得出方程（6﹣x）×2x＝8，求出方程的解即可； （2）分三种情况：①当0＜x≤4时，AP＝x，BQ＝2x，则PB＝6﹣x，CQ＝8﹣2x，由题意得出方程，解方程即可； ②当4＜x≤6时，AP＝x，BC+CQ＝2x，则PB＝6﹣x，CQ＝2x﹣8，由题意得出方程，解方程即可； ③当6＜x≤8时，AB+PB＝x，BC+CQ＝2x，则PB＝x﹣6，CQ＝2x﹣8，由题意得出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8cm2． 由题意得：（6﹣x）×2x＝8， 解得：x1＝2，x2＝4， 答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2． （2）设经过x秒后，△PCQ的面积等于8cm2．分三种情况： ①当0＜x≤4时， AP＝x，BQ＝2x，则PB＝6﹣x，CQ＝8﹣2x， 由题意得：（8﹣2x）×（6﹣x）＝8， 解得：x＝2，或x＝8（不合题意舍去）， ∴x＝2； ②当4＜x≤6时， AP＝x，BC+CQ＝2x，则PB＝6﹣x，CQ＝2x﹣8， 由题意得：（2x﹣8）×（6﹣x）＝8， 整理得：x2﹣10x+32＝0，此方程无解； ③当6＜x≤8时，AB+PB＝x，BC+CQ＝2x， 则PB＝x﹣6，CQ＝2x﹣8， 由题意得：（2x﹣8）×（x﹣6）＝8， 解得：x＝2（不合题意舍去），或x＝8， ∴x＝8； 综上所述，经过2秒或8秒钟后，△PCQ的面积等于8cm2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、三角形面积以及分类讨论；通过分类讨论得出方程是解题的关键． 22．（2024秋•化州市月考）如图在矩形ABCD中，AB＝7cm，AD＝5cm，点P从点B开始沿BC边向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边向点D以2cm/s的速度移动，两点同时出发，当一个点运动到终点时另一个点也停止运动，设运动时间为t s（t＞0）． （1）填空：CQ＝ 　 　 cm，CP＝ 　 　 cm；（用含t的代数式表示） （2）当t为何值时，PQ＝5cm； （3）当t为何值时，△APQ的面积为16cm2． 【分析】（1）由矩形的性质得到CD＝AB＝7cm，BC＝AD＝5cm，根据路程＝速度×时间可表示出BP，CQ的长，即可解答； （2）在Rt△CPQ中，根据勾股定理构造方程，求解即可； （3）根据S△APQ＝S矩形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ﹣S△CPQ即可列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝7cm，BC＝AD＝5cm． 当运动时间为t s时，BP＝1•t＝t（cm），CQ＝2•t＝2t（cm）， ∴CP＝BC﹣BP＝5﹣t（cm） 故答案为：2t，（5﹣t）； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°， ∴CP2+CQ2＝PQ2， ∴（5﹣t）2+（2t）2＝52， 解得t1＝2，t2＝0（不合题意，舍去）， ∴当t＝2时，PQ＝5cm； （3）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵S△APQ＝S矩形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ﹣S△CPQ， ， ， ， ， ∴， 解得，t2＝3， ∴当或3时，△APQ的面积为16cm2． 【点评】本题考查矩形的性质，一元二次方程的应用．熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 23．（2024秋•中原区月考）如图，在矩形ABCD中、AB＝15cm，AD＝5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接PQ，QB． （1）当t为何值时，P、Q两点间的距离为13cm？ （2）四边形APQD的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由． 【分析】（1）可通过构建直角三角形来求解．过Q作QM⊥AB于M，如果设出发x秒后，QP＝13cm．那么可根据路程＝速度×时间，用未知数表示出PM的值，然后在直角三角形PMQ中，求出未知数的值． （1）利用矩形的性质得出当AP＝DQ时，四边形APQD为矩形求出即可； 【解答】解：（1）设出发t秒后P、Q两点间的距离是13cm． 则AP＝3t，CQ＝2t，作QM⊥AB于M， 则PM＝|15﹣2t﹣3t|＝|15﹣5t|， （15﹣5t）2+52＝132， 解得：t＝0.6或t＝5.4，∵AB＝15， ∴3t≤15， ∴t≤5， ∴t＝5.4不符合题意舍去， 答：P、Q出发0.6秒时，P，Q间的距离是13cm； （2）四边形APDQ的形状有可能为矩形； 理由： 当四边形APQD为矩形，则AP＝DQ， 即3t＝15﹣2t， 解得：t＝3． 答：当P、Q出发3秒时四边形APQD为矩形． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，本题结合几何知识并根据题意列出方程是解题的关键． 24．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为xs，四边形APQC的面积为ymm2． （1）y与x之间的函数关系式； （2）求自变量x的取值范围； （3）四边形APQC的面积能否等于172mm2．若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 【分析】（1）利用两个直角三角形的面积差求得答案即可； （2）利用线段的长度与运动速度建立不等式得出答案即可； （3）利用（1）的函数建立方程求解判断即可． 【解答】解：（1）∵出发时间为x，点P的速度为2mm/s，点Q的速度为4mm/s， ∴PB＝12﹣2x，BQ＝4x， ∴y12×24（12﹣2x）×4x ＝4x2﹣24x+144． （2）∵x＞0，12﹣2x＞0， ∴0＜x＜6． （3）不能， 4x2﹣24x+144＝172， 解得：x1＝7，x2＝﹣1（不合题意，舍去） 因为0＜x＜6．所以x＝7不在范围内， 所以四边形APQC的面积不能等于172mm2． 【点评】此题考查二次函数的实际运用，一元二次方程的实际运用，掌握三角形的面积计算方法是解决问题的关键． 25．（2024春•金安区校级期中）如图所示，A、B、C、D是长方形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动． （1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ是平行四边形？ （2）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？ （3）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm？ 【分析】（1）设P，Q两点从出发开始到x秒时，四边形PBCQ为长方形，根据PB＝CQ，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设P，Q两点从出发开始到y秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2，根据矩形的面积公式结合四边形PBCQ的面积为33cm2，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）过点Q作QE⊥AB于点E，设P，Q两点从出发开始到z秒时，点P和点Q的距离是10cm，根据勾股定理结合PQ＝10cm，即可得出关于z的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设P，Q两点从出发开始到x秒时，四边形PBCQ为平行四边形， 根据题意得：16﹣3x＝2x， 解得：x． 答：P，Q两点从出发开始到秒时，四边形PBCQ为平行四边形； （2）设P，Q两点从出发开始到y秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2， 根据题意得：6（16﹣3y+2y）＝33， 解得：y＝5． 答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2； （3）过点Q作QE⊥AB于点E，如图所示． 设P，Q两点从出发开始到z秒时，点P和点Q的距离是10cm， 根据题意得：（16﹣3z﹣2z）2+62＝102， 整理得：（16﹣5z）2＝82， 解得：z1，z2． 答：P，Q两点从出发开始到秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程（或一元二次方程）是解题的关键． 26．在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：BQ＝　 　，PB＝　 （用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？ （3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得BQ、PB的长度； （2）根据勾股定理可得PB2+BQ2＝QP2，代入相应数据解方程即可； （3）根据题意可得△PBQ的面积为长方形ABCD的面积减去五边形APQCD的面积，再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程，再解方程即可． 【解答】解：（1）∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动， ∴AP＝tcm， ∵AB＝5cm， ∴PB＝（5﹣t）cm， ∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动， ∴BQ＝2tcm； （2）由题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝52， 解得：t1＝0，t2＝2； 当t＝0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm； （3）存在t＝1秒，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2．理由如下： 长方形ABCD的面积是：5×6＝30（cm2）， 使得五边形APQCD的面积等于26cm2，则△PBQ的面积为30﹣26＝4（cm2）， （5﹣t）×2t4， 解得：t1＝4（不合题意舍去），t2＝1． 即当t＝1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26cm2． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，关键是表示出BQ、PB的长度． 27．（2024春•淄川区期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝16，CD＝12，AD＝21．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？ 【分析】以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当PB＝PQ时，当PQ＝BQ时，当BP＝BQ时，由等腰三角形的性质就可以得出结论． 【解答】解：如图1，当PB＝PQ时，作PE⊥BC于E， ∴EQBQ， ∵CQ＝t， ∴BQ＝16﹣t， ∴EQ＝8t， ∴EC＝8t+t＝8t． ∴2t＝8t． 解得：t． 如图2，当PQ＝BQ时，作QE⊥AD于E， ∴∠PEQ＝∠DEQ＝90°， ∵∠C＝∠D＝90°， ∴∠C＝∠D＝∠DEQ＝90°， ∴四边形DEQC是矩形， ∴DE＝QC＝t， ∴PE＝t，QE＝CD＝12． 在Rt△PEQ中，由勾股定理，得 PQ． 16﹣t， 解得：t； 如图3，当BP＝BQ时，作PE⊥BC于E， ∵CQ＝t， ∴BP＝BQ＝BC﹣CQ＝16﹣t， ∵PD＝2t， ∴CE＝2t， ∴BE＝16﹣2t， 在Rt△BEP中， （16﹣2t）2+122＝（16﹣t）2， 3t2﹣32t+144＝0， △＝（﹣32）2﹣4×3×144＝﹣704＜0， 故方程无解． 综上所述，t或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形． 【点评】本题考查了勾股定理的运用，矩形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据等腰三角形的性质建立方程是关键． 28．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm． （1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P和点Q间的距离是6cm？ （2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； （3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1？ 【分析】（1）设经过x秒，点P和点Q间的距离是6cm，列出方程求解即可； （2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； （3）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜m≤4）；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜n≤6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（k＞6）；进行讨论即可求解． 【解答】解：（1）设经过x秒，点P和点Q间的距离是6cm，依题意有 （6﹣x）2+（2x）2＝62， 解得x1＝0，x2＝2.4， 经检验，x2均符合题意． 故经过2.4秒点P和点Q间的距离是6cm； （2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有 △ABC的面积6×8＝24， （6﹣y）•2y＝12， y2﹣6y+12＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4×12＝﹣12＜0， ∴此方程无实数根， ∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分； （3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜m≤4）， 设经过m秒，依题意有 （6﹣m）（8﹣2m）＝1， m2﹣10m+23＝0， 解得m1＝5，m2＝5， 经检验，m1＝5不符合题意，舍去， ∴m＝5； ②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜n≤6）， 设经过n秒，依题意有 （6﹣n）（2n﹣8）＝1， n2﹣10n+25＝0， 解得n1＝n2＝5， 经检验，n＝5符合题意． ③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（k＞6）， 设经过k秒，依题意有 （k﹣6）（2k﹣8）＝1， k2﹣10k+23＝0， 解得k1＝5，k2＝5， 经检验，k1＝5不符合题意，舍去， ∴k＝5； 综上所述，经过（5）秒，5秒，（5）秒后，△PBQ的面积为1cm2． 【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用． 29．（2024春•莱芜区期中）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm． （1）当x为何值时，点P、N重合； （2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）由于若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm，而点P、N重合，那么2x+x2＝20，解这个方程即可求出x的值； （2）由于当N点到达A点时，x＝2，此时M点和Q点还未相遇，所以点Q只能在点M的左侧． 以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时分两种情况： ①当点P在点N的左侧时，由此即可得到关于x的方程，解方程即可； ②当点P在点N的右侧时，由此也可以列出关于x的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵P，N重合， ∴2x+x2＝20， ∴，（舍去）， ∴当时，P，N重合； （2）因为当N点到达A点时，x＝2，此时M点和Q点还未相遇， 所以点Q只能在点M的左侧， ①当点P在点N的左侧时，依题意得 20﹣（x+3x）＝20﹣（2x+x2）， 解得x1＝0（舍去），x2＝2， 当x＝2时四边形PQMN是平行四边形； ②当点P在点N的右侧时，依题意得 20﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣20， 解得x1＝﹣10（舍去），x2＝4， 当x＝4时四边形NQMP是平行四边形， 所以当x＝2或x＝4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【点评】此题是一个运动型问题，把运动和平行四边形的性质结合起来，利用题目的数量关系列出一元二次方程解决问题．解题时首先要认真阅读题目，正确理解题意，然后才能正确设未知数列出方程解题． 30．（2024春•环翠区期中）如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： （1）经过6秒后，BP＝　 　 cm，BQ＝　 　cm； （2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？ （3）经过几秒△BPQ的面积等于cm2？ 【分析】（1）根据路程＝速度×时间，求出BQ，AP的值就可以得出结论； （2）先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论； （3）作QD⊥AB于D，由勾股定理可以表示出DQ，然后根据面积公式建立方程求出其解即可． 【解答】解：（1）由题意，得 AP＝6cm，BQ＝12cm． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝12cm， ∴BP＝12﹣6＝6cm． 故答案为：6、12． （2）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝12cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°， 当∠PQB＝90°时， ∴∠BPQ＝30°， ∴BP＝2BQ． ∵BP＝12﹣x，BQ＝2x， ∴12﹣x＝2×2x， ∴x， 当∠QPB＝90°时， ∴∠PQB＝30°， ∴BQ＝2PB， ∴2x＝2（12﹣x）， x＝6 答6秒或秒时，△BPQ是直角三角形； （3）作QD⊥AB于D， ∴∠QDB＝90°， ∴∠DQB＝30°， ∴DBBQ＝x， 在Rt△DBQ中，由勾股定理，得 DQx， ∴， 解得；x1＝10，x2＝2， ∵x＝10时，2x＞12，故舍去 ∴x＝2． 答：经过2秒△BPQ的面积等于cm2． 【点评】本题考查了动点问题的运用，等边三角形的性质的运用，30°的直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时建立根据三角形的面积公式建立一元二次方程求解是关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北京版）八年级下册数学《第16章 一元二次方程》 专题 一元二次方程---几何动点运动问题 方法技巧： 用一元二次方程解决几何动点运动问题，主要是根据条件设出未知数，想办法把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题中所给的等量关系列出方程求解，此类问题一般式几何题的延伸，要学会用运动观念看问题，最后的答案要根据具体情况进行取舍. 1．（2024秋•龙江县校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为12cm2时，则点P运动的时间是（　　） A．2s B．3s C．4s D．6s 2．（2024秋•八公山区月考）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，BC＝3cm，点P以1cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B移动，点Q以2cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发，若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使P，Q两点之间的距离等于，则需要经过（　　） A． B．2s C． D．或2s 3．（2024秋•东港区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/秒的速度向点B移动，点Q从点B出发，沿BC边以2cm/秒的速度向点C移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当有一个点到达终点时另一个点也停止运动，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当△BPQ的面积为8cm2时，t的值（　　） A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或4 4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形APQC的面积为9cm2，则点P运动的时间是（　　） A．3s B．3s或5s C．4s D．5s 5．（2024秋•滨海新区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/s的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发沿BC边以2cm/s的速度向点C匀速移动，当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ的面积为5cm2时，点P，Q运动的时间为 　 　 秒． 6．（2024春•渝中区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 　 　 s后，△AEF的面积恰为12cm2． 7．（2024•临沂一模）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 　 s后，P，Q两点之间相距25cm． 8．（2024•临沂一模）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 　 s后，P，Q两点之间相距25cm． 9．（2024春•石鼓区校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点A出发沿着AC方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从C出发沿着CB边以1cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动 　 　秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的． 10．（2024秋•龙岗区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就同时停止运动．设运动时间为t秒．当t＝　 s时，△CPQ的面积为16cm2． 11．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝24cm，AC＝16cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，经过 　 　秒，△APQ的面积是△ABC面积的一半？ 12．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒，则t＝　 　秒时，S1＝2S2． 13．（2024春•舒城县校级月考）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝20，AD＝16，点P从点A出发沿AB以每秒4个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动． （1）当t＝3秒时，线段DP＝　 　． （2）当t＝　 　秒时，△BPQ的面积是24． 14．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝5cm，AD＝3cm，G为边AB上一点，GB＝1cm，动点E、F同时从点D出发，点F沿射线DG﹣GB﹣BC运动到点C时停止，点E沿DC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s，若E、F同时运动ts时，△DEF的面积为5cm2，则t的值为 　 ． 15．（2024春•滁州期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B同时出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，P，Q两点间的距离是cm？ 16．（2024秋•太康县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动，问几秒后，点P和点Q的距离是10cm？ 17．（2024春•莱西市月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动，设运动的时间为t（s）． （1）当t为何值时，△PBQ的面积是△ABC面积的？ （2）当t为何值时，PQ的长为？ 18．（2024秋•太和区期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）． （1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？ （2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 19．（2024秋•江油市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求： （1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S； （2）当t＝3秒时，这时，P、Q两点之间的距离是多少？ （3）当t为多少秒时，SS△ABC？ 20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm．动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s． （1）若设运动时间为xs，则图中的线段CP＝ 　 　，PA＝　 　，BQ＝　 　，QC＝　 　． （2）几秒后△PCQ为等腰三角形？ （3）几秒后P，Q两点相距25cm？ 21．（2024秋•黄陂区月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm． （1）点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，△PBQ的面积为8cm2？ （2）如果点P，Q分别从A，B同时出发，点P在AB边上沿A→B→A的路线以1cm/s的速度移动，点Q在BC边上沿B→C→B的路线以2cm/s的速度移动，且其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接CP，求经过几秒钟后，△PCQ的面积为8cm2？ 22．（2024秋•化州市月考）如图在矩形ABCD中，AB＝7cm，AD＝5cm，点P从点B开始沿BC边向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边向点D以2cm/s的速度移动，两点同时出发，当一个点运动到终点时另一个点也停止运动，设运动时间为t s（t＞0）． （1）填空：CQ＝ 　 　 cm，CP＝ 　 　 cm；（用含t的代数式表示） （2）当t为何值时，PQ＝5cm； （3）当t为何值时，△APQ的面积为16cm2． 23．（2024秋•中原区月考）如图，在矩形ABCD中、AB＝15cm，AD＝5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接PQ，QB． （1）当t为何值时，P、Q两点间的距离为13cm？ （2）四边形APQD的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由． 24．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为xs，四边形APQC的面积为ymm2． （1）y与x之间的函数关系式； （2）求自变量x的取值范围； （3）四边形APQC的面积能否等于172mm2．若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 25．（2024春•金安区校级期中）如图所示，A、B、C、D是长方形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动． （1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ是平行四边形？ （2）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？ （3）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm？ 26．在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：BQ＝　 　，PB＝　 （用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？ （3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 27．（2024春•淄川区期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝16，CD＝12，AD＝21．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？ 28．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm． （1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P和点Q间的距离是6cm？ （2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； （3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1？ 29．（2024春•莱芜区期中）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm． （1）当x为何值时，点P、N重合； （2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形． 30．（2024春•环翠区期中）如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： （1）经过6秒后，BP＝　 　 cm，BQ＝　 　cm； （2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？ （3）经过几秒△BPQ的面积等于cm2？ 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$