专题 配方法的应用（7大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北京版）

（北京版）八年级下册数学《第16章 一元二次方程》 专题 配方法的应用 题型一 完全平方公式中的配方 1．（2024春•潜山市期末）已知x2﹣mx+16是一个完全平方式，则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．8或﹣8 D．4或﹣4 【分析】根据完全平方式得出﹣mx＝±2•x•4，再求出m即可． 【解答】解：∵x2﹣mx+16是一个完全平方式， ∴﹣mx＝±2•x•4， 解得：m＝±8， 即m＝8或﹣8， 故选：C． 【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两个． 2．（2024秋•汉阴县期末）已知x2﹣2kx+64可以写成某一个式子的平方的形式，则常数k的值 为（　　） A．8 B．±8 C．16 D．±1 【分析】利用完全平方公式得出答案． 【解答】解：∵x2﹣2kx+64＝x2+kx+82是一个完全平方式， ∴﹣2kx＝±2x•8， 解得k＝±8． 故选：B． 【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 3．（2024春•安乡县期中）若4x2﹣mx+4是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．±4 D．±8 【分析】利用完全平方公式判断即可． 【解答】解：∵4x2﹣mx+4＝（2x）2﹣mx+22是一个完全平方式， ∴m＝±8， 故选：D． 【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 4．（2024秋•龙江县期末）若x2﹣2（n﹣1）x+25是完全平方式，则n的值为（　　） A．6 B．﹣4或6 C．1 D．﹣9 【分析】由完全平方式的特点可得﹣2（n﹣1）＝10或﹣2（n﹣1）＝﹣10，再解方程即可． 【解答】解：∵x2﹣2（n﹣1）x+25是完全平方式， ∴﹣2（n﹣1）＝10或﹣2（n﹣1）＝﹣10． 解得：n＝﹣4或n＝6，故B正确． 故选：B． 【点评】本题考查的是完全平方式的特点，掌握“利用完全平方式的特点建立方程求解”是解本题的关键． 5．（2024春•济南期中）已知代数式x2+mx+16是一个完全平方式，则m的值为 　 　． 【分析】根据完全平方式：a2±2ab+b2＝（a±b）2求解即可． 【解答】解：∵代数式x2+mx+16是一个完全平方式， ∴m＝±2×1×4＝±8， 故答案为：±8． 【点评】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解题的关键． 6．（2024春•高新区期中）若多项式9x2﹣mx+16是一个完全平方式，则m的值为 　 ． 【分析】利用完全平方公式的结构特征解答即可． 【解答】解：∵9x2﹣2mx+16＝（3x）2﹣mx+42是一个完全平方式， ∴9x2﹣mx+16＝（3x±4）2＝9x2±24x+16， ∴﹣m＝±24， ∴m＝±24． 故答案为：±24． 【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 7．（2024秋•宁阳县期末）若多项式x2+（3﹣m）x+25是一个完全平方式，则m的值为 　 ． 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【解答】解：∵多项式x2+（3﹣m）x+25是完全平方式， ∴（3﹣m）x＝±2x×5， ∴m＝﹣7或13． 故答案为：﹣7或13． 【点评】本题考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键． 题型二 配方变形求字母的值 1．（2024春•瑞安市期中）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a、b的值分别是（　　） A．﹣4，14 B．4，14 C．2，2 D．﹣2，2 【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而得到a、b的值． 【解答】解：x2﹣4x+2＝0， x2﹣4x＝﹣2， x2﹣4x+4＝2， （x﹣2）2＝2， 所以a＝﹣2，b＝2． 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 2．（2024春•淮北月考）利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则m、n的值分别为（　　） A．m＝9，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝0 D．m＝3，n＝2 【分析】根据配方法的一般步骤将常数项7移项后，再等式两边同时加上一次项系数﹣6的一半的平方，即可得出答案． 【解答】解：∵x2﹣6x+7＝0， ∴x2﹣6x＝﹣7， ∴x2﹣6x+（﹣3）2＝﹣7+（﹣3）2， ∴（x﹣3）2＝2， ∴m＝3，n＝2． 故选：D． 【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解此题的关键． 3．（2024•阳谷县二模）用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5时，此方程可变形为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A．3 B．﹣1 C．11 D．7 【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后得出a、b的值，继而可得答案． 【解答】解：∵x2﹣4x＝5， ∴x2﹣4x+4＝5+4，即（x﹣2）2＝9， 则a＝﹣2，b＝9， ∴a+b＝﹣2+9＝7， 故选：D． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 4．（2024秋•宁强县期末）如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么（n﹣m）2020＝　 　． 【分析】先根据配方法求出m、n的值，再代入计算可得． 【解答】解：∵x2+4x＝﹣n， ∴x2+4x+4＝4﹣n，即（x+2）2＝4﹣n， 又（x+m）2＝3， ∴m＝2，n＝1， 则（n﹣m）2020＝（1﹣2）2020＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 5．如果将一元二次方程x2+4x﹣5＝0化为（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为 　 　． 【分析】先把常数项移到方程右侧，两边加上4，利用完全平方公式得到（x+2）2＝9，从而得到m＝2，n＝9，然后计算m+n即可． 【解答】解：x2+4x＝5， x2+4x+4＝9， （x+2）2＝9， 所以m＝2，n＝9， 所以m+n＝2+9＝11． 故答案为11． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，掌握配方法是解题关键． 6．（2024春•海阳市期中）把关于x的一元二次方程x2﹣8x+c＝0配方，得（x﹣m）2＝11，则c+m＝　　． 【分析】把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数8的一半的平方得（x﹣4）2＝16﹣c，进而得出c＝5，m＝4，即可求解． 【解答】解：原方程配方得：（x﹣4）2＝16﹣c， ∴m＝4，16﹣c＝11， ∴c＝5， ∴c+m＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是关键． 7．（2024春•金安区校级期中）把方程x2+4x﹣2＝0用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则mn的值是 　　． 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，接着把方程左边写成完全平方的形式，从而得到m、n的值． 【解答】解：x2+4x﹣2＝0， x2+4x＝2， x2+4x+4＝6， （x+2）2＝6． 所以m＝2，n＝6， 所以mn＝12． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 题型三 用配方解一元二次方程 1．（2024秋•三门峡期末）用配方法解方程x2﹣4x+3＝0，配方后的结果为（　　） A．（x﹣1）（x﹣3）＝0 B．（x﹣4）2＝13 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝7 【分析】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0 ∴x2﹣4x＝﹣3 ∴x2﹣4x+4＝﹣3+4 ∴（x﹣2）2＝1 故选：C． 【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 2．（2024秋•汉阳区校级期末）用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0，配方正确的是（　　） A．（x﹣1）2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣2）2 D．（x﹣2）2＝2 【分析】将常数项移到方程的右边，再将二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可． 【解答】解：∵2x2﹣4x﹣1＝0， ∴2x2﹣4x＝1， ∴x2﹣2x， 则x2﹣2x+11，即（x﹣1）2， 故选：A． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3．（2024秋•许昌期末）方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方法化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（　　） A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4 C．（x﹣1）2＝16 D．（x+1）2＝16 【分析】根据配方法即可求出答案． 【解答】解：原方程化为：x2﹣2x+1﹣1﹣3＝0， 所以（x﹣1）2＝4， 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型． 4．（2024秋•二道区校级期末）小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0过程如下： x2﹣4x＝1① x2﹣4x+4＝1② （x﹣2）2＝1③ x﹣2＝±1④ x1＝3，x2＝1⑤ （1）小明解方程过程中，从 　 　 步开始出现错误；（填序号） （2）请利用配方法正确解方程x2﹣4x﹣1＝0． 【分析】（1）根据等式的性质判断②错误； （2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）从②步开始出现错误， 故答案为：②； （2）原方程移项得：x2﹣4x＝1， x2﹣4x+4＝1+4， （x﹣2）2＝5， ， ． 【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是关键． 5．用配方法解方程： （1）x2﹣4x＝4； （2）x2x+1＝0； （3）2x2﹣3x﹣6＝0； （4）x2x﹣2＝0． 【分析】根据配方法解一元二次方程的一般步骤解答即可． 【解答】解：（1）配方得：x2﹣4x+4＝4+4，即（x﹣2）2＝8， 开方得：x﹣2＝±2， ∴x1＝2+2，x2＝2﹣2； （2）移项得：x2x＝﹣1， 配方得：x2x1，即（x）2， ∵0， ∴原方程无实数解； （3）移项得：2x2﹣3x＝6， 把二次项系数化为1得：x2x＝3， 配方得：x2x3，即（x）2， 开方得：x±， ∴x1，x2； （4）移项得：x2x＝2， 把二次项系数化为1得：x2x＝3， 配方得：x2x3，即（x）2， 开方得：x±， ∴x1，x22． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程． 6．（2024秋•颍州区校级期末）用配方法解下列方程 （1）3x2﹣4x﹣2＝0； （2）6x2﹣2x﹣1＝0； （3）2x2+1＝3x； （4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5． 【分析】各方程整理后，利用配方法求出解即可． 【解答】解：（1）原方程可化为x2x， ∴x2x，即（x）2， ∴x±， ∴x1，x2； （2））原方程可化为x2x， ∴x2x，即（x）2， ∴x±， ∴x1，x2； （3）原方程可化为x2x， ∴x2x，即（x）2， ∴x±， ∴x1＝1，x2； （4）原方程可化为x2x＝﹣1， ∴x2x，即（x）2， ∴x±， ∴x1＝2，x2． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 7．配方法解下列方程： （1）4x2﹣4x﹣1＝0； （2）7x2﹣28x+7＝0． （3）2x2x﹣30＝0； （4）（2x﹣3）（2x﹣3）＝x2﹣6x+9． 【分析】（1）利用配方法得到（x）2，然后利用直接开配方法解方程； （2）利用配方法得到（x﹣2）2＝3，然后利用直接开配方法解方程； （3）利用配方法得到（x）2，然后利用直接开配方法解方程； （4）利用配方法得到（2x﹣3）2＝（x﹣3）2．然后利用直接开配方法解方程． 【解答】解：（1）x2﹣x， x2﹣x， （x）2， x±， 所以x1，x2； （2）x2﹣4x＝﹣1， x2﹣4x+4＝3， （x﹣2）2＝3， x﹣2＝±， 所以x1＝2，x2＝2； （3）x2x＝15， x2x15， （x）2， x±， 所以x1＝3，x2； （4）（2x﹣3）2＝（x﹣3）2． 2x﹣3＝±（x﹣3） 所以x1＝0，x2＝2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 题型四 利用配方法比较代数式的大小 1．（2024春•高新区期末）若A＝﹣y2+4x﹣3，B＝x2+2x+2y，则A、B的大小关系为（　　） A．A＞B B．A＜B C．A＝B D．无法确定 【分析】根据配方法进行判断． 【解答】解：B﹣A＝x2+2x+2y﹣（﹣y2+4x﹣3） ＝x2+2x+2y+y2﹣4x+3 ＝x2﹣2x+2y+y2+3 ＝x2﹣2x+1+2y+y2+1+1 ＝（x﹣1）2+（y+1）2+1＞0， 故B＞A． 故选：B． 【点评】本题考查了配方法的应用，掌握配方法的定义是关键． 2．（2024春•即墨区期中）已知m＝2b+2022，n＝b2+2023，则m和n的大小关系中正确的是（　　） A．m＞n B．m≥n C．m＜n D．m≤n 【分析】首先求得m﹣n＝2b﹣b2﹣1，进一步分解因式，利用非负数的性质判定即可． 【解答】解：∵m＝2b+2022，n＝b2+2023， ∴m﹣n＝2b﹣b2﹣1＝﹣（b﹣1）2≤0， ∴m≤n． 故选：D． 【点评】此题考查完全平方公式的运用，以及非负数的性质，作差比较大小是一种常用的方法． 3．（2024•顺德区校级三模）已知a、b满足等式x＝a2+b2+5，y＝2（2b﹣a），则x、y的大小关系是（　　） A．x＜y B．x＞y C．x≤y D．x≥y 【分析】把x与y代入x﹣y中，判断差的正负即可得到大小关系． 【解答】解：∵x﹣y＝a2+b2+5﹣2（2b﹣a）＝a2+b2+5﹣4b+2a＝（a+1）2+（b﹣2）2≥0， ∴x≥y． 故选：D． 【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 4．（2024秋•黔江区期末）若A＝x2+2x﹣6y，B＝﹣y2+4x﹣10，则A、B的大小关系为（　　） A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A≤B 【分析】利用作差法和配方法作答即可． 【解答】解：A﹣B＝x2+2x﹣6y﹣（﹣y2+4x﹣10） ＝x2+2x﹣6y+y2﹣4x+10 ＝x2﹣2x+y2﹣6y+10 ＝x2﹣2x+1+y2﹣6y+9 ＝（x﹣1）2+（y﹣3）2， ∵（x﹣1）2≥0，（y﹣3）2≥0， ∴（x﹣1）2+（y﹣3）2≥0， 即A﹣B≥0， ∴A≥B． 故选：C． 【点评】本题考查了配方法的应用，能够运用作差法比较两个数的大小，结合非负数的性质比较大小是解答本题的关键． 5．（2024•江北区校级开学）已知a、b满足等式x＝a2﹣6ab+9b2，y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（　　） A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y 【分析】利用作差法判断即可． 【解答】解：∵x﹣y＝a2﹣6ab+9b2﹣（4a﹣12b﹣4）＝（a﹣3b）2﹣4（a﹣3b）+4＝[（a﹣3b）﹣2]2， ∴[（a﹣3b）﹣2]2≥0， ∴x≥y． 故选：D． 【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 6．（2024春•江都区期中）若M＝2x2﹣12x+15，N＝x2﹣8x+11，则M与N的大小关系为（　　） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 【分析】利用求差法判定两式的大小，将M与N代入M﹣N中，去括号合并得到最简结果，根据结果的正负即可做出判断． 【解答】解：M﹣N＝（2x2﹣12x+15）﹣（x2﹣8x+11）， ＝x2﹣4x+4， ＝（x﹣2）2． ∵（x﹣2）2≥0， ∴M≥N． 故选：A． 【点评】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 7．（2024春•屏南县期中）对于任意两个数a，b的大小比较，有下面的方法：当a﹣b＞0时，一定有a＞b；当a﹣b＝0时，一定有a＝b；当a﹣b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”． 请根据以上材料完成下面的题目： （1）已知，A＝x2y+4y，B＝4xy，且A＞B，试判断y的符号； （2）已知a、b、c为三角形的三边，比较a2+c2和2ac+b2的大小． 【分析】（1）根据题意得到x2y+4y﹣4xy＞0，因式分解得到y（x﹣2）2＞0，进而得到y的符号即可； （2）将a2+c2和2ac+b2作差，结合已知及三角形的两边之和大于第三边可求． 【解答】解：（1）∵A＞B， ∴A﹣B＞0， 即x2y+4y﹣4xy＞0， ∴y（x2+4﹣4x）＝y（x﹣2）2＞0， ∴（x﹣2）2＞0，y＞0； （2）∵a、b、c为三角形的三边， ∴a+b＞c，a＜b+c， ∵a2﹣b2+c2﹣2ac＝a2+c2﹣2ac﹣b2＝（a﹣c）2﹣b2＝（a﹣c﹣b）（a﹣c+b）， ∴（a﹣c﹣b）（a﹣c+b）＜0， 所以a2﹣b2+c2﹣2ac的符号为负． ∴a2+c2＜2ac+b2． 【点评】本题考查了作差法比较两个式子的大小以及因式分解，解题的关键是理解题中的“求差法”比较两个数的大小，并熟练掌握因式分解的方法． 题型五 利用配方法判断二次多项式的符号问题 1．下列代数式，不论x取何值，它总是正值的是（　　） A．x2﹣4x+4 B．x2+2x+3 C．x2﹣4x+1 D．以上答案都不对 【分析】通过配方把代数式变形，根据非负数是性质即可得出答案． 【解答】解：由于x2﹣4x+4＝（x﹣2）2≥0，x2+2x+3＝（x+1）2+2＞0，x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3， 故x2+2x+3不论x取何值，它总是正值， 故选：B． 【点评】此题考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法、非负数的性质，掌握配方法是解答本题的关键． 2．试证明：不论x、y取何值，x2﹣4x+y2﹣6y+13的值不小于0． 【分析】利用配方法得到原式＝（x﹣2）2+（y﹣3）2，然后根据非负数的性质进行证明． 【解答】证明：x2﹣4x+y2﹣6y+13＝x2﹣4x+4+y2﹣6y+9 ＝（x﹣2）2+（y﹣3）2， ∵（x﹣2）2≥0，（y﹣3）2≥0， ∴x2﹣4x+y2﹣6y+13≥0， 即不论x、y取何值，x2﹣4x+y2﹣6y+13的值不小于0． 【点评】本题考查了配方法的应用：用配方法解一元二次方程；利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．也考查了非负数的性质． 3．求证：无论x、y为何值，4x2﹣12x+9y2+30y+35的值恒为正． 【分析】将式子配方，写成完全平方式加常数项的形式，再判断式子的取值范围即可解答． 【解答】解：∵4x2﹣12x+9y2+30y+35 ＝4x2﹣12x+9+9y2+30y+25﹣9﹣25+35 ＝（2x﹣3）2+（3y+5）2+1≥1， ∴多项式4x2﹣12x+9y2+30y+35的值恒为正． 【点评】本题考查了配方法和非负数的性质．主要考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 4．求证：无论x，y为何值时，多项式x2+y2﹣2x+6y+10的值恒大于非负数． 【分析】先用配方法把代数式x2+y2﹣2x+6y+10化成（x﹣1）2+（y+3）2的形式，然后然后根据非负数的性质即可得出结果． 【解答】证明：x2+y2﹣2x+6y+10＝（x﹣1）2+（y+3）2． ∵（x﹣1）2，≥0，（y+3）2≥0， ∴（x﹣1）2+（y+3）2≥0，即x2+y2﹣2x+6y+10≥0， ∴多项式x2+y2﹣2x+6y+10的值恒大于非负数． 【点评】本题考查了配方法的应用、非负数的性质﹣﹣偶次方．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 5．求证：无论x、y取何值时，代数式x2+y2﹣2x﹣4y+10的值是正数． 【分析】先把原代数式利用配方法转化为（x﹣1）2+（y﹣2）2+5的形式，然后根据非负数的性质来讨论代数式x2+y2﹣2x﹣4y+10的值的正负． 【解答】解：∵x2+y2﹣2x﹣4y+10， ＝x2﹣2x+1+y2﹣4y+4+5， ＝（x﹣1）2+（y﹣2）2+5； 无论x，y取何值，（x﹣1）2≥0，（y﹣2）2≥0， 故（x﹣1）2+（y﹣2）2+5≥5＞0． 因此代数式的值总是正数． 【点评】本题考查了配方法的应用、非负数的性质﹣﹣偶次方．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 6．用配方法证明：﹣2x2+4x﹣10的值恒小于0． 【分析】先利用配方法把原式变形为﹣2x2+4x﹣10＝﹣2（x﹣1）2﹣8，然后根据非负数的性质进行证明． 【解答】证明：﹣2x2+4x﹣10＝﹣2（x2﹣2x）﹣10 ＝﹣2（x2﹣2x+1﹣1）﹣10 ＝﹣2（x﹣1）2﹣8， ∵2（x﹣1）2≥0， ∴﹣2（x﹣1）2≤0， ∴﹣2（x﹣1）2﹣8＜0， 即﹣2x2+4x﹣10＜0． 【点评】本题考查了配方法的应用：用配方法解一元二次方程，配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2；利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．也考查了非负数的性质． 7．求证：无论x，y为何有理数，多项式x2+y2﹣2x+6y+16的值恒为正数． 【分析】先用配方法把代数式x2+y2﹣2x+6y+16化成（x﹣1）2+（y+3）2+6的形式，然后然后根据非负数的性质即可得出结果． 【解答】证明：x2+y2﹣2x+6y+16＝（x﹣1）2+（y+3）2+6． ∵（x﹣1）2≥0，（y+3）2≥0， ∴（x﹣1）2+（y+3）2≥0，即x2+y2﹣2x+6y+16≥6， ∴多项式x2+y2﹣2x+6y+16的值恒为正数． 【点评】本题考查了配方法的应用、非负数的性质﹣﹣偶次方．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 题型六 利用配方法解决二次三项式的最值问题 1．（2024春•拱墅区校级期中）已知x是实数，则多项式x2+4x+5的最小值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】将代数式配方后讨论最值即可． 【解答】解：x2+4x+5 ＝x2+4x+4+1 ＝（x+2）2+1． ∵（x+2）2≥0， ∴（x+2）2+1≥1， ∴（x+2）2+1的最小值是1， 即x2+4x+5的最小值为1． 故选：D． 【点评】本题考查了代数式配方的应用，判断实数a2的取值是解题关键． 2．（2024•西安开学）关于代数式x2﹣4x+5的判断，下列正确的是（　　） A．有最小值2 B．有最大值1 C．有最小值1 D．有最大值2 【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【解答】解：x2﹣4x+5 ＝x2﹣4x+4+1 ＝（x+2）2+1， ∵（x+2）2≥0， ∴（x+2）2+1≥0， ∴代数式x2﹣4x+5有最小值1， 故选：C． 【点评】本题考查的是配方法的应用、偶次方的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键． 3．（2024春•栖霞市期中）不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+9的值（　　） A．总不小于4 B．总不小于9 C．可为任何实数 D．可能为负数 【分析】首先把x2+y2+2x﹣4y+9化成（x+1）2+（y﹣2）2+4；然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式x2+y2+2x﹣4y+9的值总不小于4即可． 【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+9 ＝（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+4 ＝（x+1）2+（y﹣2）2+4 ∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0， ∴x2+y2+2x﹣4y+9≥4， 即不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+9的值总不小于4． 故选：A． 【点评】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握． 4．（2024秋•海门市期末）已知实数a，b满足b2+12＝4b（1﹣a），则4a2+b2的最小值为（　　） A．8 B．5 C．4 D．0 【分析】先把等式变形配方得出﹣4ab≥8，再把代数式变形求解． 【解答】解：∵b2+12＝4b（1﹣a）， ∴b2﹣4b+4+8＝﹣4ab， ∴﹣4ab＝（b﹣2）2+8≥8， ∴4a2+b2＝（2a+b）2﹣4ab， ∵（2a+b）2≥0，﹣4ab≥8， ∴（2a+b）2﹣4ab≥8， 即：4a2+b2的最小值为8， 故选：A． 【点评】本题考查了配方法的应用，理解非负数的性质是解题的关键． 5．（2024•天门三模）已知实数m，n满足 m2﹣2am+a2﹣2a+4＝0，n2﹣2an+a2﹣2a+4＝0，则 （m+1）2+（n+1）2 的最小值是（　　） A．18 B．16 C．﹣6 D．﹣14 【分析】根据一元二次方程判别式的意义得出a≥2，利用根与系数关系得到m+n和mn的值，代入（m﹣1）2+（n﹣1）2变形后的代数式，再利用配方法以及二次函数的性质即可求出最小值． 【解答】解：∵m、n满足m2﹣2am+a2﹣2a+4＝0，n2﹣2an+a2﹣2a+4＝0， ∴m、n是方程x2﹣2ax+a2﹣2a+4＝0的两个实数根， ∴Δ＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣2a+4）＝8a﹣16≥0，且m+n＝2a，mn＝a2﹣2a+4， ∴a≥2， ∴（m+1）2+（n+1）2 ＝m2+2m+1+n2+2n+1 ＝m2+n2+2（m+n）+2 ＝（m+n）2﹣2mn+2（m+n）+2 ＝4a2﹣2（a2﹣2a+4）+4a+2 ＝2a2+8a﹣6 ＝2（a+2）2﹣14， ∴a≥2， ∴当a＝2时，（m+1）2+（n+1）2的最小值是18， 故选：A． 【点评】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，配方法的运用，熟练掌握根和系数关系是解题关键． 6．（2024•靖江市模拟）已知x、y为实数，且满足x2﹣xy+y2＝2，记W＝x2+xy+y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝　　． 【分析】本题先将W转化为2xy+2，把已知方程x2﹣xy+y2＝2，化成x2+y2＝xy+2，xy＝x2+y2﹣2，根据配方法的应用，确定其最大值和最小值，从而得到M，m的大小即可得解． 【解答】解：∵x2﹣xy+y2＝2， ∴x2+y2＝xy+2，xy＝x2+y2﹣2， ∴W＝x2+xy+y2＝2xy+2， ∵3xy＝2xy+（x2+y2﹣2）＝（x+y）2﹣2≥﹣2，当且仅当x＝﹣y，即x，y或x，y时等号成立． ∴xy的最小值为，W＝x2+xy+y2＝2xy+2的最小值为，即m． ∵xy＝2xy﹣（x2+y2﹣2）＝2﹣（x﹣y）2≤2，当且仅当x＝y，即x，y或x，y时等号成立． ∴xy的最大值为2，W＝x2+xy+y2＝2xy+2的最大值为6，即M＝6， ∴M+m6＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了配方法的应用，关键是将W转化为2xy+2，再确定xy的最值． 7．小明遇到下面的问题：求代数式x2﹣2x﹣3的最小值，并写出取到最小值时的x值．通过观察式子的结构特征，小明联想到可以用一元二次方程的解法中的配方法来解决问题，具体分析过程如下： x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣3﹣1＝（x﹣1）2﹣4， 所以，当x＝1时，代数式有最小值，是﹣4． （1）请你用上面小明思考问题的方法解决下面的问题： ①求x2﹣6x的最小值； ②求x2﹣4x+y2+2y+9的最小值． （2）小明受到上面问题的启发，自己设计了一个问题，并给出解题过程及结论如下： 问题：当x为实数时，求x4+2x2+6的最小值． 解：∵x4+2x2+6＝x4+2x2+1+5＝（x2+1）2+5， ∴原式有最小值，是5． 请你判断小明的结论是否正确，并简要说明理由． 【分析】（1）①根据题意可以将式子化为题目中例子中的形式，从而可以解答本题； ②根据题意可以将式子化为题目中例子中的形式，从而可以解答本题； （2）根据题目中的式子可以得到小明的做法是否正确． 【解答】解：（1）①按照上面小明思考问题的方法， 则x2﹣6x＝x2﹣6x+9﹣9 ＝（x﹣3）2﹣9， 则当x＝3时，代数式x2﹣6x有最小值是﹣9； ②x2﹣4x+y2+2y+9 ＝x2﹣4x+4+y2+2y+1+4 ＝（x﹣2）2+（y+1）2+4， ∴当x＝2，y＝﹣1时，代数式x2﹣4x+y2+2y+9有最小值是4； （2）小明的结论错误， 理由：当x2+1＝0时，x无解，不成立， 所以（x2+1）2+5最小值不是5， 因为x2≥0， 所以当x2＝0时，（x2+1）2+5有最小值是6． 【点评】本题考查配方法的应用，解题的关键是明确题意，将题目中式子化成题目中例子的形式． 8．（2024秋•青县期末）阅读下面材料并解答后面的问题： 在学了整式的乘法公式后， 小明问：能求出x2+2x+4的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 小丽：能．求解过程如下： ∵x2+2x+4＝x2+2x+1+3＝（x+1）2+3，且（x+1）2≥0， ∴（x+1）3+3≥3，即x2+2x+4的最小值是3． 问题： （1）小丽的求解过程正确吗？ （2）你能否求出2x2﹣6x+5的最小值？如果能，写出你的求解过程； （3）若m＝﹣x2+8x﹣9，则m有最 　 　值（填大或小），请直接写出这个最值是 　 　． 【分析】（1）小丽的求解过程正确； （2）参照小丽的求解过程，构造完全平方公式进行求解即可； （3）参照小丽的求解过程，求出﹣x2+8x﹣9的最值，即可得解． 【解答】解：（1）小丽的求解过程正确； （2）解：能； 2x2﹣6x+5 ＝2（x2﹣3x）+5 ； ∵ ∴ 即2x2﹣6x+5的最小值是． （3）解：m＝﹣x2+8x﹣9 ＝﹣（x2﹣8x）﹣9 ＝﹣（x2﹣8x+16﹣16）﹣9 ＝﹣（x﹣4）2+16﹣9 ＝﹣（x﹣4）2+7； ∵（x﹣4）2≥0， ∴﹣（x﹣4）2≤0， ∴﹣（x﹣4）2+7≤7； ∴m有最大值：7． 故答案为：大，7． 【点评】本题考查利用完全平方公式求多项式的最值．理解并掌握题干中的解题方法，构造完全平方公式，进行求值，是解题的关键． 题型七 利用配方法恒等变形后求值 1．（2024•泰兴市二模）m、n为正整数，m2+n2+1＝2m+2n，则m+n的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【解答】解：∵m2+n2+1＝2m+2n， ∴m2﹣2m+1+n2﹣2n+1＝1， ∴（m﹣1）2+（n﹣1）2＝1， ∵（m﹣1）2≥0，（n﹣1）2≥0，m、n为正整数， ∴m＝1，n＝2或m＝2，n＝1， ∴m+n＝3， 故选：B． 【点评】本题考查的是配方法的应用，正确完全平方公式是解题的关键． 2．（2024秋•陵城区期末）已知，则3ab的值为（　　） A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4 【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出a、b，计算即可． 【解答】解：∵a2b2＝2a﹣b﹣2， ∴a2﹣2a+1b2+b+1＝0， ∴（a﹣1）2+（b+1）2＝0， ∴a﹣1＝0，b+1＝0， ∴a＝1，b＝﹣2， ∴3ab＝3×1（﹣2）＝4， 故选：A． 【点评】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式是解题的关键． 3．（2024•龙湖区校级开学）已知a，b，c满足a2+2b＝﹣4，b2+4a＝﹣1，则a+b的值为（　　） A．1 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣7 【分析】根据题意可得a2+2b+4＝0，b2+4a+1＝0，两式相加可得（a2+4a+4）+（b2+2a+1）＝0，根据完全平方式将其变形为（a+2）2+（b+1）2＝0，由非负数的性质即可得出a，b的值，以此即可求解． 【解答】解：∵a2+2b＝﹣4，b2+4a＝﹣1， ∴a2+2b+4＝0，b2+4a+1＝0， 两式相加得：a2+2b+4+b2+4a+1＝0， 即（a2+4a+4）+（b2+2a+1）＝0， ∴（a+2）2+（b+1）2＝0， ∴a＝﹣2，b＝﹣1， ∴a+b＝﹣3． 故选：C． 【点评】本题主要考查配方法的应用、非负数的性质：偶次方，解题关键是熟练掌握完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 4．（2024春•安庆期中）已知a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0，则（a﹣b）2023的值为 　 　 ． 【分析】根据完全平方公式求出a＝2，b＝3，进而可以得出答案． 【解答】解：∵a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0， ∴a2﹣4a+4+b2﹣6b+9＝0， ∴（a﹣2）2+（b﹣3）2＝0， ∴a＝2，b＝3， ∴（a﹣b）2023＝（2﹣3）2023＝﹣1 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查完全平方公式，非负数的性质，正确求出a＝2，b＝3是解题的关键． 5．（2024春•金牛区期中）已知a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，则3a+4b＝　 　 ． 【分析】将方程a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0化为（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，从而求得a＝3，b＝4，即可得出结论． 【解答】解：由a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，得（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0， 所以a＝3，b＝4． 所以3a+4b＝3×3+4×4＝25． 故答案为：25． 【点评】考查了非负数的性质和配方法的应用，“若几个非负数的和为零，则这几个非负数皆为零．”当一个等式里含有几个未知数时，若能将该等式化为几个非负数的和的形式，便能利用上述性质来求解． 6．（2024春•鄞州区校级期末）已知实数a，b满足2a2+2ab+b2﹣6a+9＝0，则ba的值为 　 　． 【分析】将2a2+2ab+b2﹣6a+9＝0配方成（a+b）2+（a﹣3）2＝0，进一步可得a+b＝0，a﹣3＝0，求出a和b的值，进一步计算即可． 【解答】解：∵2a2+2ab+b2﹣6a+9＝0， ∴a2+2ab+b2+a2﹣6a+9＝0， ∴（a+b）2+（a﹣3）2＝0， ∴a+b＝0，a﹣3＝0， ∴a＝3，b＝﹣3， ∴ba＝（﹣3）3＝﹣27， 故答案为：﹣27． 【点评】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键． 7．（2024秋•鲤城区校级月考）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．它是数学的重要方法，可以解决多项式、方程的相关问题． 例如：我们可以通过“配方法”求代数式x2+4x+2的最小值． x2﹣4x+2＝x2﹣2⋅x⋅2+22﹣4+2＝（x﹣2）2﹣2， ∵（x﹣2）2≥0， ∴当x＝2时，x2+4x+1有最小值﹣2． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： （1）若x2+2x+5＝（x+a）2+b，请求出a、b的值； （2）若代数式6x2+3kx+3的最小值为﹣6，试求出k的值． 【分析】（1）已知等式左边配方后，即可确定出a与b的值即可； （2）原式根据最小值为﹣3，配方后，确定出k的值即可． 【解答】解：（1）已知等式变形得：x2+2x+1+4＝（x+1）2+4＝（x+a）2+b， 则a＝1，b＝4； （2）原式＝6（x2kx）+3 ＝6（x）2， ∵最小值为﹣6， ∴6，即k2＝24， 解得：k＝2或﹣2， 则k的值为2或﹣2． 【点评】此题考查了配方法的应用，有理数的加减混合运算，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 8．（2024春•法库县期中）阅读材料：已知x2+4x+4+y2﹣8y+16＝0，求的值． 解：x2+4x+4+y2﹣8y+16＝0，即（x+2）2+（y﹣4）2＝0， 所以（x+2）2＝0，（y﹣4）2＝0，所以x＝﹣2，y＝4，所以． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，则的值为 　 　； （2）已知x2﹣4x+4y2﹣12y+13＝0，求xy的值． 【分析】（1）仿照样例先把已知等式左边化成非负数和的形式，再根据非负数和的性质求得m、n的值，进而代值计算； （2）仿照样例先把已知等式左边化成非负数和的形式，再根据非负数和的性质求得x、y的值，进而代值计算． 【解答】解：（1）∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0， ∴m+n＝0，n﹣3＝0， ∴m＝﹣3，n＝3， ∴−1． 故答案为：﹣1； （2）∵x2﹣4x+4y2﹣12y+13＝0， ∴x2﹣4x+4+4y2﹣12y+9＝0， ∴（x﹣2）2+（2y﹣3）2＝0， ∴x﹣2＝0，2y﹣3＝0， ∴x＝2，y， ∴xy＝23． 【点评】本题主要考查了配方法，非负数和为0的性质，关键是运用配方法把方程化成非负数和为0的形式． 9．（2024秋•朝阳区校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题． 【例题】已知：m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0， ∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0， ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0， ∴m﹣n＝0，n﹣4＝0， ∴m＝4，n＝4． ∴m的值为4，n的值为4． 【问题】仿照以上方法解答下面问题： （1）已知x2+2xy+2y2﹣10y+25＝0，求x、y的值． （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边长分别为a、b、c，且满足a2+b2﹣12a﹣6b+45＝0，求斜边长c的值． 【分析】（1）根据完全平方公式把原式变形，根据非负数的性质分别求出x、y； （2）根据完全平方公式、非负数的性质分别求出a、b，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：（1）∵x2+2xy+2y2﹣10y+25＝0， ∴（x2+2xy+y2）+（y2﹣10y+25）＝0， ∴（x+y）2+（y﹣5）2＝0， ∴x+y＝0，y﹣5＝0， ∴x＝﹣5，y＝5； （2）∵a2+b2﹣12a﹣6b+45＝0， ∴a2﹣12a+36+b2﹣6b+9＝0， ∴（a﹣6）2+（b﹣3）2＝0， ∴a﹣6＝0，b﹣3＝0， ∴a＝6，b＝3， 在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴c3． 【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握非负数的性质、完全平方公式是解题的关键． 题型八 利用配方法的综合应用问题 1．（2024秋•隆昌市校级月考）（阅读材料）把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式．利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式． 配方：x2﹣6x+8＝x2﹣6x+32﹣32+8＝（x﹣3）2﹣1 分解因式：x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）＝（x﹣2）（x﹣4） （解决问题）根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式； （2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式； （3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由； （4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数． 【分析】（1）仿照题中例题进行配方求解； （2）仿照题中例题进行配方分解因式； （3）先仿照题中例题进行配方，再根据非负数的性质求出a，b，c的值进行判断； （4）先仿照题中例题进行配方，再根据非负数的性质进行判断． 【解答】（1）解：x2﹣4x﹣5， ＝x2﹣4x+22﹣22﹣5 ＝（x﹣2）2﹣9； （2）解：原式＝x2﹣2x+1﹣1﹣35， ＝（x﹣1）2﹣62 ＝（x﹣1+6）（x﹣1﹣6） ＝（x+5）（x﹣7）； （3）解：△ABC为等边三角形，理由如下： ∵a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0， ∴（a2﹣2ab+b2）+b2﹣2b+1+3（c2﹣2c+1）＝0， ∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+3（c﹣1）2＝0， ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，3（c﹣1）2≥0， ∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0， ∴a＝b，b＝1，c＝1， ∴a＝b＝c， △ABC为等边三角形； （4）证明：x2+y2+4x﹣6y+15， ＝x2+4x+4+y2﹣6y+9+2， ＝（x+2）2+（y﹣3）2+2， ∵（x+2）2≥0，（y﹣3）2≥0， ∴（x+2）2+（y﹣3）2+2≥2， ∴代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数． 【点评】本题主要考查了配方法，分解因式，等边三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（2024春•平果市期中）阅读理解： 在教材中，我们有学习到（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，又因为任何实数的平方都是非负数，所以（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．例如，比较整式x2+4和4x的大小关系，因为x2+4﹣4x＝（x﹣2）2≥0，所以x2+4≥4x．请类比以上的解题过程，解决下列问题： 【初步尝试】比较大小：x2+1 　　2x；9 　　6x﹣x2． 【知识应用】比较整式5x2+2xy+10y2和（2x﹣y）2的大小关系，并请说明理由． 【拓展提升】比较整式2a2﹣4ab+4b2和2a﹣1的大小关系，并请说明理由． 【分析】【初步尝试】两边作差配方后可得大于等于0，即可得大小关系； 【知识应用】两式作差后配方即可得出大小关系； 【拓展提升】两式作差后配方即可得出大小关系． 【解答】解：【初步尝试】∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0， ∴x2+1≥2x， ∵9﹣（﹣x2+6x） ＝x2﹣6x+9 ＝（x﹣3）2≥0， ∴9≥6x﹣x2， 故答案为：≥，≥； 【知识应用】5x2+2xy+10y2≥（2x﹣y）2；理由如下： ∵5x2+2xy+10y2﹣（2x﹣y）2 ＝5x2+2xy+10y2﹣4x2+4xy﹣y2 ＝x2+6xy+9y2 ＝（x+3y）2≥0， ∴5x2+2xy+10y2≥（2x﹣y）2； 【拓展提升】2a2﹣4ab+4b2≥2a﹣1理由如下： ∵2a2﹣4ab+4b2﹣（2a﹣1） ＝a2﹣4ab+4b2+a2﹣2a+1 ＝（a﹣2b）2+（a﹣1）2≥0， ∴2a2﹣4ab+4b2≥2a﹣1． 【点评】本题主要考查配方法解决问题，熟练应用配方法比较两数的大小是解题的关键． 3．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：a2+6a+8， 解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）． ②M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值． 解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1． ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0， ∴当a＝b＝1时，M有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x2x+　 　＝（　 ）2． （2）用配方法因式分解（不按要求不给分）：x2﹣4x+3． （3）若Mx2+xy+2y2+2y﹣1，求M的最小值． 【分析】（1）根据完全平方公式配方； （2）按照题干的①计算； （3）按照题干的②计算． 【解答】解：（1）x2﹣2•x•（）2＝（x）2， 故答案为：；x； （2）x2﹣4x+3 ＝x2﹣4x+4﹣1 ＝（x﹣2）2﹣12 ＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1） ＝（x﹣1）（x﹣3）； （3）Mx2+xy+y2+y2+2y+1﹣2 ＝（x+y）2+（y+1）2﹣2， ∵（x+y）2≥0，（y+1）2≥0， ∴当x＝2，y＝﹣1时，M有最小值﹣2． 【点评】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 4．（2024秋•临西县期末）请阅读下列材料： 若m2﹣2m+n2+6n+10＝0，求m，n的值． 解：∵m2﹣2m+n2+6n+10＝0， ∴（m2﹣2m+1）+（n2+6n+9）＝0， ∴（m﹣1）2+（n+3）2＝0， ∴（m﹣1）2＝0，（n+3）2＝0， ∴m＝1，n＝﹣3． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）若a2+2ab+2b2+6b+9＝0，则a的值为 　 　；b的值为 　 　． （2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2﹣4a+b2﹣2b+5＝0，求c的值． （3）若A＝2a2+3a﹣5，B＝a2+5a﹣7，试比较A与B的大小关系，并说明理由． 【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出a、b； （2）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出a、b，根据三角形的三边关系求出c； （3）把A﹣B变形，根据偶次方的非负性判断． 【解答】解：（1）∵a2+2ab+2b2+6b+9＝0， ∴a2+2ab+b2+b2+6b+9＝0， ∴（a+b）2+（b+3）2＝0， ∴a+b＝0，b+3＝0， ∴a＝3，b＝﹣3， 故答案为：3；﹣3； （2）∵a2﹣4a+b2﹣2b+5＝0， ∴a2﹣4a+4+b2﹣2b+1＝0， ∴（a﹣2）2+（b﹣1）2＝0， ∴a﹣2＝0，b﹣1＝0， ∴a＝2，b＝1， ∴2﹣1＜c＜2+1，即1＜c＜3， ∵c是正整数， ∴c＝2； （3）A＞B． 理由如下：A﹣B＝（2a2+3a﹣5）﹣（a2+5a﹣7） ＝2a2+3a﹣5﹣a2﹣5a+7 ＝a2﹣2a+2 ＝a2﹣2a+1+1 ＝（a﹣1）2+1＞0， ∴A＞B． 【点评】本题考查的是配方法的应用、三角形的三边关系，灵活运用配方法、熟记偶次方的非负性是解题的关键． 5．（2024秋•济宁期末）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1用配方法因式分解：a2+6a+8． 原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）． 例2若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值；a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1； ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0， ∴当a＝b＝1时，M有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解：a2﹣12a+35； （2）若M＝a2﹣3a+2024，求M的最小值； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2＝6a+8b+10c﹣50，求△ABC的周长． 【分析】（1）把多项式中的常数项35拆成36﹣1，再把36与前两项组成完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）把多项式中的常数项2024写成的形式，再把前两项与写成一个完全平方式分解因式，最后根据偶次方的非负性求出其最小值即可； （3）把已知等式右边的项移到等号左边，然后利用分组法写成三个完全平方式 【解答】解：（1）a2﹣12a+35 ＝a2﹣12a+36﹣1 ＝（a﹣6）2﹣12 ＝（a﹣6+1）（a﹣6﹣1） ＝（a﹣5）（a﹣7）； （2）M＝a2﹣3a+2024 ， ∵， ∴的最小值为，即M的最小值为； （3）∵a2+b2+c2＝6a+8b+10c﹣50， ∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）+（c2﹣10c+25）＝0， （a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0， ∵（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0，（c﹣5）2≥0， ∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0， 解得：a＝3，b＝4，c＝5， ∴△ABC的周长为：a+b+c＝3+4+5＝12． 【点评】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握利用配方法分解因式和完全平方公式． 6．（阅读材料）把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式．利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式． 配方：x2﹣6x+8＝x2﹣6x+32﹣32+8＝（x﹣3）2﹣1． 分解因式：x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）＝（x﹣2）（x﹣4）． （解决问题）根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式； （2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式； （3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由； （4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数． 【分析】（1）仿照题中例题进行配方求解； （2）仿照题中例题进行配方分解因式； （3）先仿照题中例题进行配方，再根据非负数的性质求出a，b，c的值进行判断； （4）先仿照题中例题进行配方，再根据非负数的性质进行判断． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝x2﹣4x+22﹣22﹣5＝（x﹣2）2﹣9； （2）原式＝x2﹣2x+1﹣1﹣35 ＝（x﹣1）2﹣62 ＝（x﹣1+6）（x﹣1﹣6） ＝（x+5）（x﹣7）； （3）△ABC为等边三角形，理由如下： ∵a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0， ∴（a2﹣2ab+b2）+b2﹣2b+1+3（c2﹣2c+1）＝0， ∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+3（c﹣1）2＝0， ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，3（c﹣1）2≥0， ∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0， ∴a＝b，b＝1，c＝1， ∴a＝b＝c， △ABC为等边三角形； （4）证明：x2+y2+4x﹣6y+15 ＝x2+4x+4+y2﹣6y+9+2 ＝（x+2）2+（y﹣3）2+2， ∵（x+2）2≥0，（y﹣3）2≥0 ∴（x+2）2+（y﹣3）2+2≥2 ∴代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数． 【点评】本题主要考查了配方法，分解因式，等边三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 7．（2024春•花山区校级期中）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．例如：我们可以通过“配方法”求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 原式＝2x2+4x﹣6＝2（x2+2x）﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8． ∵（x+1）2≥0；∴2（x+1）2≥0， ∴2（x+1）2﹣8≥﹣8． 可知当x＝﹣1时2x2+4x﹣6有最小值是﹣8． 请阅读上述“配方法”的应用，并回答下列问题： （1）当x＝ 　 　 时，代数式x2﹣6x+14有最小值是 　 ； （2）当多项式m2﹣2mn+n2﹣4m+4n+25有最小值时，求m与n之间的关系式，并求这个最小值； （3）在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点Q、P分别是线段AB、BC上的点；且AQ＝BP＝x，设△QPD的面积为S，请用含x的关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？并求其最小值． 【分析】（1）对代数式x2﹣6x+14使用配方法，可得当x为何值时，代数式x2﹣6x+14有最小值，并求得最小值； （2）对多项式m2﹣2mn+n2﹣4m+4n+25使用配方法，可得m与n之间的关系式，并求得这个最小值； （3）由题意得，AQ＝BP＝x，BQ＝3﹣x，CP＝4﹣x，根据S△QPD＝S长方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△QBP﹣S△CDP，可得S与x之间关系式，使用配方法，可得当x为何值时，S有最小值，并求得最小值． 【解答】解：（1）x2﹣6x+14 ＝x2﹣6x+9+5 ＝（x﹣3）2+5， ∵（x﹣3）2≥0， ∴（x﹣3）2+5≥5， ∴当x＝3时，代数式x2﹣6x+14有最小值是5， （2）m2﹣2mn+n2﹣4m+4n+25 ＝（m﹣n）2﹣4（m﹣n）+4+21 ＝（m﹣n﹣2）2+21， ∵（m﹣n﹣2）2≥0， ∴（m﹣n﹣2）2+21≥21， ∴当m﹣n＝2时，多项式m2﹣2mn+n2﹣4m+4n+25有最小值是21． （3）如图所示， 由题意得，AB＝3，AD＝4，AQ＝BP＝x，则 BQ＝3﹣x，CP＝4﹣x， S△QPD＝S长方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△QBP﹣S△CDP ， 即， ∵（x﹣2）2≥0， ∴， ∴， ∴当x＝2时，S有最小值是4． 【点评】本题考查了配方法，掌握配方法的使用是解决问题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北京版）八年级下册数学《第16章 一元二次方程》 专题 配方法的应用 题型一 完全平方公式中的配方 1．（2024春•潜山市期末）已知x2﹣mx+16是一个完全平方式，则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．8或﹣8 D．4或﹣4 2．（2024秋•汉阴县期末）已知x2﹣2kx+64可以写成某一个式子的平方的形式，则常数k的值 为（　　） A．8 B．±8 C．16 D．±1 3．（2024春•安乡县期中）若4x2﹣mx+4是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．±4 D．±8 4．（2024秋•龙江县期末）若x2﹣2（n﹣1）x+25是完全平方式，则n的值为（　　） A．6 B．﹣4或6 C．1 D．﹣9 5．（2024春•济南期中）已知代数式x2+mx+16是一个完全平方式，则m的值为 　 　． 6．（2024春•高新区期中）若多项式9x2﹣mx+16是一个完全平方式，则m的值为 　 ． 7．（2024秋•宁阳县期末）若多项式x2+（3﹣m）x+25是一个完全平方式，则m的值为 　 ． 题型二 配方变形求字母的值 1．（2024春•瑞安市期中）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a、b的值分别是（　　） A．﹣4，14 B．4，14 C．2，2 D．﹣2，2 2．（2024春•淮北月考）利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则m、n的值分别为（　　） A．m＝9，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝0 D．m＝3，n＝2 3．（2024•阳谷县二模）用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5时，此方程可变形为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A．3 B．﹣1 C．11 D．7 4．（2024秋•宁强县期末）如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么（n﹣m）2020＝　 　． 5．如果将一元二次方程x2+4x﹣5＝0化为（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为 　 　． 6．（2024春•海阳市期中）把关于x的一元二次方程x2﹣8x+c＝0配方，得（x﹣m）2＝11，则c+m＝　　． 7． （2024春•金安区校级期中）把方程x2+4x﹣2＝0用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则mn的值是 　　． 题型三 用配方解一元二次方程 1．（2024秋•三门峡期末）用配方法解方程x2﹣4x+3＝0，配方后的结果为（　　） A．（x﹣1）（x﹣3）＝0 B．（x﹣4）2＝13 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝7 2．（2024秋•汉阳区校级期末）用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0，配方正确的是（　　） A．（x﹣1）2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣2）2 D．（x﹣2）2＝2 3．（2024秋•许昌期末）方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方法化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（　　） A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4 C．（x﹣1）2＝16 D．（x+1）2＝16 4．（2024秋•二道区校级期末）小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0过程如下： x2﹣4x＝1① x2﹣4x+4＝1② （x﹣2）2＝1③ x﹣2＝±1④ x1＝3，x2＝1⑤ （1）小明解方程过程中，从 　 　 步开始出现错误；（填序号） （2）请利用配方法正确解方程x2﹣4x﹣1＝0． 5．用配方法解方程： （1）x2﹣4x＝4； （2）x2x+1＝0； （3）2x2﹣3x﹣6＝0； （4）x2x﹣2＝0． 6．（2024秋•颍州区校级期末）用配方法解下列方程 （1）3x2﹣4x﹣2＝0； （2）6x2﹣2x﹣1＝0； （3）2x2+1＝3x； （4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5． 7．配方法解下列方程： （1）4x2﹣4x﹣1＝0； （2）7x2﹣28x+7＝0． （3）2x2x﹣30＝0； （4） （2x﹣3）（2x﹣3）＝x2﹣6x+9． 题型四 利用配方法比较代数式的大小 1．（2024春•高新区期末）若A＝﹣y2+4x﹣3，B＝x2+2x+2y，则A、B的大小关系为（　　） A．A＞B B．A＜B C．A＝B D．无法确定 2．（2024春•即墨区期中）已知m＝2b+2022，n＝b2+2023，则m和n的大小关系中正确的是（　　） A．m＞n B．m≥n C．m＜n D．m≤n 3．（2024•顺德区校级三模）已知a、b满足等式x＝a2+b2+5，y＝2（2b﹣a），则x、y的大小关系是（　　） A．x＜y B．x＞y C．x≤y D．x≥y 4．（2024秋•黔江区期末）若A＝x2+2x﹣6y，B＝﹣y2+4x﹣10，则A、B的大小关系为（　　） A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A≤B 5．（2024•江北区校级开学）已知a、b满足等式x＝a2﹣6ab+9b2，y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（　　） A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y 6．（2024春•江都区期中）若M＝2x2﹣12x+15，N＝x2﹣8x+11，则M与N的大小关系为（　　） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 7．（2024春•屏南县期中）对于任意两个数a，b的大小比较，有下面的方法：当a﹣b＞0时，一定有a＞b；当a﹣b＝0时，一定有a＝b；当a﹣b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”． 请根据以上材料完成下面的题目： （1）已知，A＝x2y+4y，B＝4xy，且A＞B，试判断y的符号； （2）已知a、b、c为三角形的三边，比较a2+c2和2ac+b2的大小． 题型五 利用配方法判断二次多项式的符号问题 1．下列代数式，不论x取何值，它总是正值的是（　　） A．x2﹣4x+4 B．x2+2x+3 C．x2﹣4x+1 D．以上答案都不对 2．试证明：不论x、y取何值，x2﹣4x+y2﹣6y+13的值不小于0． 3．求证：无论x、y为何值，4x2﹣12x+9y2+30y+35的值恒为正． 4．求证：无论x，y为何值时，多项式x2+y2﹣2x+6y+10的值恒大于非负数． 5．求证：无论x、y取何值时，代数式x2+y2﹣2x﹣4y+10的值是正数． 6． 用配方法证明：﹣2x2+4x﹣10的值恒小于0． 7． 求证：无论x，y为何有理数，多项式x2+y2﹣2x+6y+16的值恒为正数． 题型六 利用配方法解决二次三项式的最值问题 1．（2024春•拱墅区校级期中）已知x是实数，则多项式x2+4x+5的最小值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2024•西安开学）关于代数式x2﹣4x+5的判断，下列正确的是（　　） A．有最小值2 B．有最大值1 C．有最小值1 D．有最大值2 3．（2024春•栖霞市期中）不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+9的值（　　） A．总不小于4 B．总不小于9 C．可为任何实数 D．可能为负数 4．（2024秋•海门市期末）已知实数a，b满足b2+12＝4b（1﹣a），则4a2+b2的最小值为（　　） A．8 B．5 C．4 D．0 5．（2024•天门三模）已知实数m，n满足 m2﹣2am+a2﹣2a+4＝0，n2﹣2an+a2﹣2a+4＝0，则 （m+1）2+（n+1）2 的最小值是（　　） A．18 B．16 C．﹣6 D．﹣14 6．（2024•靖江市模拟）已知x、y为实数，且满足x2﹣xy+y2＝2，记W＝x2+xy+y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝　　． 7．小明遇到下面的问题：求代数式x2﹣2x﹣3的最小值，并写出取到最小值时的x值．通过观察式子的结构特征，小明联想到可以用一元二次方程的解法中的配方法来解决问题，具体分析过程如下： x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣3﹣1＝（x﹣1）2﹣4， 所以，当x＝1时，代数式有最小值，是﹣4． （1）请你用上面小明思考问题的方法解决下面的问题： ①求x2﹣6x的最小值； ②求x2﹣4x+y2+2y+9的最小值． （2）小明受到上面问题的启发，自己设计了一个问题，并给出解题过程及结论如下： 问题：当x为实数时，求x4+2x2+6的最小值． 解：∵x4+2x2+6＝x4+2x2+1+5＝（x2+1）2+5， ∴原式有最小值，是5． 请你判断小明的结论是否正确，并简要说明理由． 8．（2024秋•青县期末）阅读下面材料并解答后面的问题： 在学了整式的乘法公式后， 小明问：能求出x2+2x+4的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 小丽：能．求解过程如下： ∵x2+2x+4＝x2+2x+1+3＝（x+1）2+3，且（x+1）2≥0， ∴（x+1）3+3≥3，即x2+2x+4的最小值是3． 问题： （1）小丽的求解过程正确吗？ （2）你能否求出2x2﹣6x+5的最小值？如果能，写出你的求解过程； （3）若m＝﹣x2+8x﹣9，则m有最 　 　值（填大或小），请直接写出这个最值是 　 　． 题型七 利用配方法恒等变形后求值 1．（2024•泰兴市二模）m、n为正整数，m2+n2+1＝2m+2n，则m+n的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024秋•陵城区期末）已知，则3ab的值为（　　） A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4 3．（2024•龙湖区校级开学）已知a，b，c满足a2+2b＝﹣4，b2+4a＝﹣1，则a+b的值为（　　） A．1 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣7 4．（2024春•安庆期中）已知a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0，则（a﹣b）2023的值为 　 　 ． 5．（2024春•金牛区期中）已知a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，则3a+4b＝　 　 ． 6．（2024春•鄞州区校级期末）已知实数a，b满足2a2+2ab+b2﹣6a+9＝0，则ba的值为 　 　． 7．（2024秋•鲤城区校级月考）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．它是数学的重要方法，可以解决多项式、方程的相关问题． 例如：我们可以通过“配方法”求代数式x2+4x+2的最小值． x2﹣4x+2＝x2﹣2⋅x⋅2+22﹣4+2＝（x﹣2）2﹣2， ∵（x﹣2）2≥0， ∴当x＝2时，x2+4x+1有最小值﹣2． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： （1）若x2+2x+5＝（x+a）2+b，请求出a、b的值； （2）若代数式6x2+3kx+3的最小值为﹣6，试求出k的值． 8．（2024春•法库县期中）阅读材料：已知x2+4x+4+y2﹣8y+16＝0，求的值． 解：x2+4x+4+y2﹣8y+16＝0，即（x+2）2+（y﹣4）2＝0， 所以（x+2）2＝0，（y﹣4）2＝0，所以x＝﹣2，y＝4，所以． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，则的值为 　 　； （2）已知x2﹣4x+4y2﹣12y+13＝0，求xy的值． 9．（2024秋•朝阳区校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题． 【例题】已知：m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0， ∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0， ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0， ∴m﹣n＝0，n﹣4＝0， ∴m＝4，n＝4． ∴m的值为4，n的值为4． 【问题】仿照以上方法解答下面问题： （1）已知x2+2xy+2y2﹣10y+25＝0，求x、y的值． （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边长分别为a、b、c，且满足a2+b2﹣12a﹣6b+45＝0，求斜边长c的值． 题型八 利用配方法的综合应用问题 1．（2024秋•隆昌市校级月考）（阅读材料）把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式．利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式． 配方：x2﹣6x+8＝x2﹣6x+32﹣32+8＝（x﹣3）2﹣1 分解因式：x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）＝（x﹣2）（x﹣4） （解决问题）根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式； （2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式； （3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由； （4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数． 2．（2024春•平果市期中）阅读理解： 在教材中，我们有学习到（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，又因为任何实数的平方都是非负数，所以（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．例如，比较整式x2+4和4x的大小关系，因为x2+4﹣4x＝（x﹣2）2≥0，所以x2+4≥4x．请类比以上的解题过程，解决下列问题： 【初步尝试】比较大小：x2+1 　　2x；9 　　6x﹣x2． 【知识应用】比较整式5x2+2xy+10y2和（2x﹣y）2的大小关系，并请说明理由． 【拓展提升】比较整式2a2﹣4ab+4b2和2a﹣1的大小关系，并请说明理由． 3．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：a2+6a+8， 解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）． ②M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值． 解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1． ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0， ∴当a＝b＝1时，M有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x2x+　 　＝（　 ）2． （2）用配方法因式分解（不按要求不给分）：x2﹣4x+3． （3）若Mx2+xy+2y2+2y﹣1，求M的最小值． 4．（2024秋•临西县期末）请阅读下列材料： 若m2﹣2m+n2+6n+10＝0，求m，n的值． 解：∵m2﹣2m+n2+6n+10＝0， ∴（m2﹣2m+1）+（n2+6n+9）＝0， ∴（m﹣1）2+（n+3）2＝0， ∴（m﹣1）2＝0，（n+3）2＝0， ∴m＝1，n＝﹣3． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）若a2+2ab+2b2+6b+9＝0，则a的值为 　 　；b的值为 　 　． （2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2﹣4a+b2﹣2b+5＝0，求c的值． （3）若A＝2a2+3a﹣5，B＝a2+5a﹣7，试比较A与B的大小关系，并说明理由． 5．（2024秋•济宁期末）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1用配方法因式分解：a2+6a+8． 原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）． 例2若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值；a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1； ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0， ∴当a＝b＝1时，M有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解：a2﹣12a+35； （2）若M＝a2﹣3a+2024，求M的最小值； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2＝6a+8b+10c﹣50，求△ABC的周长． 6．（阅读材料）把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式．利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式． 配方：x2﹣6x+8＝x2﹣6x+32﹣32+8＝（x﹣3）2﹣1． 分解因式：x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）＝（x﹣2）（x﹣4）． （解决问题）根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式； （2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式； （3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由； （4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数． 7．（2024春•花山区校级期中）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．例如：我们可以通过“配方法”求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 原式＝2x2+4x﹣6＝2（x2+2x）﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8． ∵（x+1）2≥0；∴2（x+1）2≥0， ∴2（x+1）2﹣8≥﹣8． 可知当x＝﹣1时2x2+4x﹣6有最小值是﹣8． 请阅读上述“配方法”的应用，并回答下列问题： （1）当x＝ 　 　 时，代数式x2﹣6x+14有最小值是 　 ； （2）当多项式m2﹣2mn+n2﹣4m+4n+25有最小值时，求m与n之间的关系式，并求这个最小值； （3）在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点Q、P分别是线段AB、BC上的点；且AQ＝BP＝x，设△QPD的面积为S，请用含x的关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？并求其最小值． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$