专题01 数与式（11大题型提分练）（山西专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题01 数与式 题型概览 题型01 正负数的意义 题型02 数轴、相反数、绝对值、倒数 题型03 科学记数法 题型04 实数的大小比较 题型05实数的运算 题型06 整式的运算 题型07因式分解 题型08 分式的运算 题型9分式的化简求值 题型10 二次根式的相关概念与性质 题型11二次根式的运算 正负数的意义题型01 1．（2025·山西忻州·一模）太原市某天13时气温为零上，可记作，受寒潮影响，20时气温降为零下，则零下可记作（   ） A． B．4℃ C． D．8℃ 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数表示相反意义的量，正确理解题意是解题的关键． 根据正数和负数表示相反意义的量，零上记为正数，可得零下的表示方法． 【详解】解：气温为零上，可记作， ∴零下可记作， 故选：A． 2．（2025·山西晋城·一模）中国是最早使用负数的国家，早在两千多年前就开始使用负数，如果收入20文记作文，那么支出5文可以记作（   ） A．文 B．5文 C．文 D．文 【答案】A 【分析】本题考查正负数的表示意义，解题的关键是理解正负数可用来表示具有相反意义的量． 根据收入用正数表示，确定支出的表示方法． 【详解】解：已知收入20文记作文，因为“收入”与“支出”是具有相反意义的量，在数学中，通常用正数表示一种情况，那么与之相反的情况就用负数表示．所以支出5文应记作文， 故选：A． 3．（2025·山西吕梁·一模）隰县的小西天景区国庆期间日接待游客最多达到人，最少人，若以为标准，记为，则记为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了正负数的实际应用．以为标准，记为，据此写出答案即可． 【详解】解：以为标准，记为，则记为， 故选：D． 4．（2025·山西运城·一模）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果水库的水位升高，水位变化记作，那么水库的水位下降，水位变化记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正数和负数，用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可得出答案． 【详解】解：水库的水位升高，水位变化记作，那么水库的水位下降，水位变化记作， 故选：A． 5．（2025·陕西西安·二模）在太阳光线直射下，中国天宫空间站表面温度可高达零上，其背阳面温度可低至零下．若零上记作，则零下记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反意义的量，解题关键是正确理解正负数的意义．正负数是一对具有相反意义的量，若零上用“”表示，那么零下就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：零上记作， 零下记作． 故选：A． 数轴、相反数、绝对值、倒数题型02 1．（2025·山西·一模）2025的相反数是（　　） A．2025 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案． 【详解】2025的相反数是． 故选：B． 2．（2025•山西模拟）-3的倒数是（　　） A．﹣3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘积为的1两个数互为倒数，可得到一个数的倒数． 【详解】解：-3的倒数是. 故选：D． 3．（2025·山西临汾·一模）的绝对值是（   ） A． B．1002 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的含义，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键． 根据绝对值的定义即可得出答案． 【详解】解：的绝对值为：， 故选：B． 4．（2025·山西太原·一模）下列各数在数轴上对应的点，离原点最近的是（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的几何意义，绝对值就是一个数在数轴上到原点的距离，求出每一个数的绝对值就是到原点的距离．根据到原点距离最近的点就是绝对值最小的数，对每个数作出判断，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴到原点的距离是3个长度单位， ∵， ∴到原点的距离是1个长度单位， ∵， ∴到原点的距离是个长度单位， ∵， ∴2到原点的距离是2个长度单位， ∴到原点的距离最近的是． 故选：C． 5．（2025·山西朔州·一模）智能焊接机器人是一种自动化设备，集合了多种先进技术．为了测试其精确度，四个智能焊接机器人分别对同一需要焊接的位置进行两次测量，下面是每个机器人两次测量结果的差，则两次测量结果最接近的是（   ） A．毫米 B．毫米 C．毫米 D．毫米 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值的意义．求出每个选项的绝对值，根据绝对值越小，测量结果越接近进行解答即可． 【详解】解：有题意可得， ∵， ∴两次测量结果最接近的是毫米， 故选：B 科学记数法题型03 1．（2025·山西阳泉·一模）我国是世界上最大的茶叶种植国，茶园面积最大、增速最快，同时也是世界上茶叶消费量最大的国家．2024年我国茶叶产量为374万吨，比上年增产5.5%，强势卫冕世界第一、则数据374万吨可用科学记数法表示为（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：数据374万吨可用科学记数法表示为吨； 故选C 2．（2025·山西运城·模拟预测）据统计，截至2024年11月25日，我国的可治理沙化土地得到有效治理，沙化土地面积净减少6500万亩，呈现出“整体好转、改善加速”的良好态势．将数据6500万亩用科学记数法表示为（   ） A．亩 B．亩 C．亩 D．亩 【答案】A 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：6500万． 故选：A． 3．（2025·山西忻州·一模）【热点素材】2024年12月20日是澳门回归祖国25周年纪念日．二十五载沧桑巨变，二十五载春华秋实，日新月异的“濠江奇迹”在澳门写就——本地生产总值从1999年的519亿澳门元增长到2023年的3795亿澳门元．数据3795亿澳门元用科学记数法表示为（   ） A．澳门元 B．澳门元 C．澳门元 D．澳门元 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：3795亿， 故选：B． 4．（2025·山西晋中·一模）2025年春节是中国“春节”申遗成功后的首个农历新年，被称为首个“非遗版”春节，为迎接这个特别的春节，各地开展了丰富多彩的非遗主题活动．根据山西省文化和旅游厅数据统计，2025年春节放假期间全省共接待国内游客2837.97万人次，同比增长22.20%．数据“2837.97万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，读懂题意，按照科学记数法的表示原则得到即可确定答案，表示时关键要正确确定的值以及的值．注意，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：2837.97万， 故选：B． 5．（2025·山西晋城·一模）2024年国庆黄金周期间，山西省旅游市场在游戏《黑神话悟空》的推动下迎来客流高峰，共接待国内游客784.46万人次，较上年同期增长；游客旅游总花费226.87亿元，较上年同期增长，数据226.87亿，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：226.87亿， 故选：D． 实数的大小比较题型04 1．（2025·山西吕梁·一模）下面各数中，比小的数是（    ） A．4 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【详解】解：A、由正数大于一切负数可知，不符合题意； B、由两个负数比较大小，绝对值大的数反而小可知，，符合题意； C、由两个负数比较大小，绝对值大的数反而小可知，，不符合题意； D、由正数大于一切负数可知，不符合题意； 故选：B． 2．（2025·山西·一模）2025年元宵节这天，北京、深圳、哈尔滨、太原四地最低气温分别为，．这些气温中最低的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的应用，掌握负数小于正数、负数的绝对值越大、自身反而越小成为解题的关键． 根据有理数大小比较方法解答即可． 【详解】解：由题意得：， 所以最低气温是． 故选：C． 3．（2025·山西晋城·一模）比较大小： （填：“”“ ”或“”） ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的化简，能够识记特殊数的算术平方根是解答此类问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 4．（2025·山西朔州·一模）比较大小： 1．（填“<”“=”或“>”） 【答案】 【分析】本题考查了实数大小比较，特殊角的三角函数值，先根据特殊角的三角函数值求解，然后比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 实数的运算题型05 1．（2025·山西晋中·一模）计算：     【答案】； 【分析】根据有理数乘方，开平方，零指数幂，特殊角的三角函数值的运算法则化简各项，再合并各项，即可解题； 【详解】解：原式 ． 2．（2025·山西临汾·一模）计算：； 【答案】； 【分析】先求负整数指数幂，零指数幂，求一个根的算术平方根，然后再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 3．（2025·山西吕梁·一模）计算：． 【答案】； 【分析】先计算乘法，在计算加法即可； 【详解】解：计算：， 原式， ， ； 4．（2025·山西朔州·模拟预测）计算：； 【答案】3； 【分析】先计算算术平方根、有理数的乘方、零指数幂，再进行加减运算即可； 【详解】解： ； 5．（2025·山西阳泉·一模）计算：． 【答案】39； 【分析】先计算负整数指数幂，化简算术平方根，乘法，绝对值，再计算加减法； 【详解】解：解： ． 6．（2025·山西长治·模拟预测）计算：． 【答案】； 【分析】先计算绝对值和负整数、零指数幂，以及算术平方根，再进行加减计算； 【详解】解： ； 整式的运算题型06 1．（2025·山西太原·一模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项、积的乘方、单项式乘多项式、完全平方公式，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 2．（2025·山西晋中·一模）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式除以单项式，同底数幂的乘法和幂的乘方运算，以及完全平方公式，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别根据多项式除以单项式运算法则，同底数幂的乘法和幂的乘方计算公式，以及完全平方公式进行判断即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：A． 3．（2025·山西忻州·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，单项式除以单项式，幂的、积的乘方运算，单项式乘以单项式，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． 分别根据合并同类项，单项式除以单项式，幂的、积的乘方运算，单项式乘以单项式运算法则进行判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选：C． 4．（2025·山西·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据积的乘方，单项式与单项式的乘法，单项式与多项式的乘法，以及完全平方公式逐项分析即可． 【详解】解：A．，故不正确； B．，正确； C．，故不正确； D．，故不正确； 故选B． 【点睛】本题考查了积的乘方，单项式与单项式的乘法，单项式与多项式的乘法，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则和完全平方公式是解答本题的关键． 5．（2025·山西吕梁·一模）化简： 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，利用整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 6．（2025·山西运城·模拟预测）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 议一议：求代数式的值，其中． 把代入后求值． 把看成一个字母a，这个代数式可以简化为 (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】已知，则的值为__________． 【答案】(1)，，过程见解析 (2)2 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值； （1）把看成整体，先合并，再代入计算即可； （2）把看成整体，先合并，再代入计算即可； 【详解】（1）解： ； 当时， 原式； （2）解：∵， ∴ ． 因式分解题型07 1．（2025·山西阳泉·一模）分解因式： 【答案】 【分析】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．先提取公因式，进而根据完全平方公式因式分解即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 2．（2025·山西晋城·一模）分解因式： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分解因式，多项式乘以多项式，先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，最后根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（2025·山西平遥县·一模）分解因式： ． 【答案】（2a＋3b）（y﹣z） 【分析】先调整符号，然后提公因式即可． 【详解】解：， =， =． 故答案为． 4．（2025·山西·一模）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：x3-4x2+4x =x（x2-4x+4） =x（x-2）2． 故答案为：x（x-2）2． 5．（2025·山西·一模）因式分解：a3－a= ． 【答案】a（a－1）（a + 1） 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 6．（2025·山西朔州·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、因式分解等知识点．先运用多项式乘多项式计算，然后再合并同类项，最后根据完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 分式的运算题型8 1．（2025·山西朔州·模拟预测）已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式加减混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和等式的性质．由可得，故，从而． 【详解】解： ， ， ， ， ， ； 故选D． 2．（2025·山西忻州·一模）化简： ． 【答案】4 【分析】本题考查了同分母的分式的加减计算，解题的关键是处理符号问题，掌握运算法则． 先将分母进行处理，化为同分母的分式减法计算即可，注意要化简到最简即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 3．（2025·山西阳泉·一模）化简：． 【答案】 【分析】先分解分式的分子和分母，除法化为乘法，再计算分式减法． 【详解】解： ． 4．（2025·山西忻州·模拟预测）化简：． 【答案】 【分析】先计算括号内的分式加法，再计算分式的除法即可得． 【详解】解： ． 5．（2025·山西晋城·一模）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，先算括号里的运算，能分解的因式进行分解，除法转为乘法，最后约分即可． 【详解】解：原式 ． 6．（2025·山西大同·一模）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先计算括号内的，再计算除法即可解答． 【详解】解：原式 ． 分式的化简求值题型09 1．（2025·山西临汾·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】先对分式进行化简，然后代数值计算即可． 【详解】解：原式 当时， 原式 2．（2025·山西晋中·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2． 【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解后化简，然后把的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 3．（2025·山西吕梁·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，涉及因式分解、分式的混合运算、二次根式混合运算等知识，先由分式混合运算法则化简分式，再将代入化简后的结果，利用分母有理化求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算方法是解决问题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 4．（2025·山西一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先通分括号内，再运算除法，化简得，把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入，得． 二次根式的相关概念及性质题型10 1．（2025·山西·一模）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，先根据二次根式有意义的条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故选：A． 2．（2025·山西吕梁·一模）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，解本题的关键在于掌握二次根式有意义的条件． 二次根式要有意义，则二次根式内的式子为非负数．据此列不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴ 解得： 故答案为： 3．（2025·山西吕梁·一模）写出一个能与合并的实数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类二次根式，根据二次根式的性质化简，能熟记同类二次根式的定义（几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式）是解此题的关键．根据同类二次根式的定义得出答案即可． 【详解】解：， 能与合并的实数可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 二次根式的运算题型11 1．（2025·山西太原·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加法，原式先化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（2025·山西忻州·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算， 先根据二次根式的乘法法则计算，再根据二次根式的加减法法则计算即可. 【详解】解：原式. 故答案为：. 3．（2025·山西临汾·一模）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，按照运算顺序计算出答案，注意结果要化简成最间的即可； 【详解】解： ， ， ． 故答案为：． 4．（2025·山西·一模）如果一个矩形的宽与长之比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形为黄金矩形，矩形的周长为，则矩形的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了黄金数，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．设矩形长为x，根据黄金矩形定义得到宽为，再根据矩形的周长为，得到方程，即可求解． 【详解】解：由题意，设矩形长为x，则宽为， ∵矩形的周长为 ∴， 解得：， 故答案为：8． 5．（2025·山西·一模）计算的结果是 ． 【答案】3 【分析】根据乘法分配律和二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应． 6．（2025·山西·模拟预测）计算：． 【答案】； 【分析】先化简二次根式、计算负整数指数幂，再计算乘法，然后计算加减法即可得； 【详解】解： ． 7．（2025·山西吕梁·一模）计算：； 【答案】； 【分析】先计算特殊角的三角函数、负整数指数幂、零指数幂、二次根式的化简，再加减运算即可求解； 【详解】解： ； 1．（2025·山西运城·一模）的绝对值是（    ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求一个数的绝对值．掌握0和正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是这个数的相反数是解题关键．根据0和正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是这个数的相反数解答即可． 【详解】解：由题意得， 故选：B． 2．（2025·山西临汾·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，多项式除以单项式，积的乘方运算，完全平方公式的应用，根据各自的运算法则一一计算即可得出答案． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（2025·山西阳泉·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的除法，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，立方根以及零指数幂的运算，熟练掌握以上知识是解题的关键；根据以上知识进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 4．（2025·山西吕梁·一模）当，时，的值为（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了整式的化简求值，因式分解，实数的运算，涵盖二次根式的加减乘除、平方差公式应用．解题关键是通过因式分解简化表达式，再利用实数运算法则（尤其二次根式运算）逐步求值，体现了实数运算中 “先化简再计算” 的策略．先对因式分解，提取公因式得，再用平方差公式进一步分解为．接着代入，分别计算的值，最后相乘得出结果． 【详解】解： ， ， 当，时， ， 原式=， 故选；． 5．（2025·山西吕梁·一模）长征五号运载火箭是我国目前近地轨道运载能力最大的火箭，起飞推力约吨，已知吨起飞推力约等于，则长征五号运载火箭可提供的起飞推力用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法表示数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（2025年陕西省西安市阎良区初中学业水平考试模拟卷（一）数学）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，实数比较大小，掌握其比较方法是关键． 根据被开方数越大，值越大，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： ． 7．（2025·山西·模拟预测）分解因式： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、分解因式，先根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项，最后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（2025·山西运城·一模）小明编写了一个程序，如图．若输出，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数运算与流程图，涉及立方根、平方根、有理数的乘方、倒数等内容，看懂流程图并根据相关运算的逆运算求解是解答的关键．根据流程图和实数运算法则求解即可． 【详解】解：∵输出的数是， ∴根据流程图，的平方是，的倒数是4，4的立方是，64的平方根是， 故x的值为， 故答案为：． 9．（2024·山西吕梁·模拟预测）（1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查实数的混合运算和整式混合运算，涉及负整数指数幂、乘方、完全平方公式、绝对值化简等知识点，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）根据负整数指数幂、绝对值化简、幂的运算进行计算即可； （2）根据单项式乘多项式、完全平方公式进行化简计算即可． 【详解】解：（1） 原式 （2） 原式 10．（2025·山西晋中·一模）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查实数混合计算，整式混合计算，平方差公式等，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先将每项计算出，再计算除法和乘法，最后计算加法减法即可； （2）先计算括号内的，再计算减法，最后算除法即可． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， ， ， ， ． 11．（2025·山西朔州·一模）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的化简，分式的化简，负整数指数幂，绝对值，熟练计算是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，再加减即可； （2）先计算括号中，再算乘法即可． 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， ， ． 12．（2025·山西·一模）（1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是分式及实数的混合运算，熟知相关混合运算的法则是解题的关键． （1）分别根据负整数指数幂的运算法则，平方根和绝对值法则计算出各数，再算加减即可； （2）先算括号里面的，再算除法即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 13．（2025·山西·一模）【新定义】如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． 【验证】嘉嘉说：是“4倍数”，淇淇说：也是“4倍数”，通过简便计算判断他们说得对错？ 【证明】设三个连续偶数的中间数是（n是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 【答案】验证：嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 证明：证明见解析 【分析】验证：利用平方差公式及有理数的乘法运算律进行计算即可得出结论； 证明：利用完全平方公式将展开，然后合并同类项，再提公因式，将其变形为，于是结论得证． 【详解】解：验证： ， 是“4倍数”，故嘉嘉的说法正确； ， 不是“4倍数”，故淇淇的说法错误； 证明： ， 是整数， 是整数， 这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，有理数乘法运算律，整式的四则混合运算，完全平方公式，提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数与式 题型概览 题型01 正负数的意义 题型02 数轴、相反数、绝对值、倒数 题型03 科学记数法 题型04 实数的大小比较 题型05实数的运算 题型06 整式的运算 题型07因式分解 题型08 分式的运算 题型9分式的化简求值 题型10 二次根式的相关概念与性质 题型11二次根式的运算 正负数的意义题型01 1．（2025·山西忻州·一模）太原市某天13时气温为零上，可记作，受寒潮影响，20时气温降为零下，则零下可记作（   ） A． B．4℃ C． D．8℃ 2．（2025·山西晋城·一模）中国是最早使用负数的国家，早在两千多年前就开始使用负数，如果收入20文记作文，那么支出5文可以记作（   ） A．文 B．5文 C．文 D．文 3．（2025·山西吕梁·一模）隰县的小西天景区国庆期间日接待游客最多达到人，最少人，若以为标准，记为，则记为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山西运城·一模）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果水库的水位升高，水位变化记作，那么水库的水位下降，水位变化记作（    ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西西安·二模）在太阳光线直射下，中国天宫空间站表面温度可高达零上，其背阳面温度可低至零下．若零上记作，则零下记作（    ） A． B． C． D． 数轴、相反数、绝对值、倒数题型02 1．（2025·山西·一模）2025的相反数是（　　） A．2025 B． C． D． 2．（2025•山西模拟）-3的倒数是（　　） A．﹣3 B． C． D． 3．（2025·山西临汾·一模）的绝对值是（   ） A． B．1002 C． D． 4．（2025·山西太原·一模）下列各数在数轴上对应的点，离原点最近的是（　　） A． B． C． D．2 5．（2025·山西朔州·一模）智能焊接机器人是一种自动化设备，集合了多种先进技术．为了测试其精确度，四个智能焊接机器人分别对同一需要焊接的位置进行两次测量，下面是每个机器人两次测量结果的差，则两次测量结果最接近的是（   ） A．毫米 B．毫米 C．毫米 D．毫米 科学记数法题型03 1．（2025·山西阳泉·一模）我国是世界上最大的茶叶种植国，茶园面积最大、增速最快，同时也是世界上茶叶消费量最大的国家．2024年我国茶叶产量为374万吨，比上年增产5.5%，强势卫冕世界第一、则数据374万吨可用科学记数法表示为（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 2．（2025·山西运城·模拟预测）据统计，截至2024年11月25日，我国的可治理沙化土地得到有效治理，沙化土地面积净减少6500万亩，呈现出“整体好转、改善加速”的良好态势．将数据6500万亩用科学记数法表示为（   ） A．亩 B．亩 C．亩 D．亩 3．（2025·山西忻州·一模）【热点素材】2024年12月20日是澳门回归祖国25周年纪念日．二十五载沧桑巨变，二十五载春华秋实，日新月异的“濠江奇迹”在澳门写就——本地生产总值从1999年的519亿澳门元增长到2023年的3795亿澳门元．数据3795亿澳门元用科学记数法表示为（   ） A．澳门元 B．澳门元 C．澳门元 D．澳门元 4．（2025·山西晋中·一模）2025年春节是中国“春节”申遗成功后的首个农历新年，被称为首个“非遗版”春节，为迎接这个特别的春节，各地开展了丰富多彩的非遗主题活动．根据山西省文化和旅游厅数据统计，2025年春节放假期间全省共接待国内游客2837.97万人次，同比增长22.20%．数据“2837.97万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山西晋城·一模）2024年国庆黄金周期间，山西省旅游市场在游戏《黑神话悟空》的推动下迎来客流高峰，共接待国内游客784.46万人次，较上年同期增长；游客旅游总花费226.87亿元，较上年同期增长，数据226.87亿，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 实数的大小比较题型04 1．（2025·山西吕梁·一模）下面各数中，比小的数是（    ） A．4 B． C． D．1 2．（2025·山西·一模）2025年元宵节这天，北京、深圳、哈尔滨、太原四地最低气温分别为，．这些气温中最低的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山西晋城·一模）比较大小： （填：“”“ ”或“”） ． 4．（2025·山西朔州·一模）比较大小： 1．（填“<”“=”或“>”） 实数的运算题型05 1．（2025·山西晋中·一模）计算：     2．（2025·山西临汾·一模）计算：； 3．（2025·山西吕梁·一模）计算：． 4．（2025·山西朔州·模拟预测）计算：； 5．（2025·山西阳泉·一模）计算：． 6．（2025·山西长治·模拟预测）计算：． 整式的运算题型06 1．（2025·山西太原·一模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山西晋中·一模）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山西忻州·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山西·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山西吕梁·一模）化简： 6．（2025·山西运城·模拟预测）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 议一议：求代数式的值，其中． 把代入后求值． 把看成一个字母a，这个代数式可以简化为 (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】已知，则的值为__________． 因式分解题型07 1．（2025·山西阳泉·一模）分解因式： 2．（2025·山西晋城·一模）分解因式： ． 3．（2025·山西平遥县·一模）分解因式： ． 4．（2025·山西·一模）因式分解： ． 5．（2025·山西·一模）因式分解：a3－a= ． 6．（2025·山西朔州·模拟预测）因式分解： ． 分式的运算题型8 1．（2025·山西朔州·模拟预测）已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西忻州·一模）化简： ． 3．（2025·山西阳泉·一模）化简：． 4．（2025·山西忻州·模拟预测）化简：． 5．（2025·山西晋城·一模）化简：． 6．（2025·山西大同·一模）化简：． 分式的化简求值题型09 1．（2025·山西临汾·一模）先化简，再求值：，其中． 2．（2025·山西晋中·一模）先化简，再求值：，其中． 3．（2025·山西吕梁·一模）先化简，再求值：，其中． 4．（2025·山西一模）先化简，再求值：，其中． 二次根式的相关概念及性质题型10 1．（2025·山西·一模）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山西吕梁·一模）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 3．（2025·山西吕梁·一模）写出一个能与合并的实数： ． 二次根式的运算题型11 1．（2025·山西太原·一模）计算： ． 2．（2025·山西忻州·一模）计算： ． 3．（2025·山西临汾·一模）计算： 4．（2025·山西·一模）如果一个矩形的宽与长之比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形为黄金矩形，矩形的周长为，则矩形的长为 ． 5．（2025·山西·一模）计算的结果是 ． 6．（2025·山西·模拟预测）计算：． 7．（2025·山西吕梁·一模）计算：； 1．（2025·山西运城·一模）的绝对值是（    ） A． B．7 C． D． 2．（2025·山西临汾·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山西阳泉·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山西吕梁·一模）当，时，的值为（   ） A．1 B． C． D．4 5．（2025·山西吕梁·一模）长征五号运载火箭是我国目前近地轨道运载能力最大的火箭，起飞推力约吨，已知吨起飞推力约等于，则长征五号运载火箭可提供的起飞推力用科学记数法表示为 ． 6．（2025年陕西省西安市阎良区初中学业水平考试模拟卷（一）数学）比较大小： ．（填“”“”或“”） 7．（2025·山西·模拟预测）分解因式： ． 8．（2025·山西运城·一模）小明编写了一个程序，如图．若输出，则x的值为 ． 9．（2024·山西吕梁·模拟预测）（1）计算：． （2）化简：． 10．（2025·山西晋中·一模）（1）计算：； （2）化简：． 11．（2025·山西朔州·一模）（1）计算：； （2）化简：． 12．（2025·山西·一模）（1）计算：． （2）化简：． 13．（2025·山西·一模）【新定义】如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． 【验证】嘉嘉说：是“4倍数”，淇淇说：也是“4倍数”，通过简便计算判断他们说得对错？ 【证明】设三个连续偶数的中间数是（n是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$