专题01 相交线与平行线（11基础题+2压轴题）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（黑龙江专用）

专题01 相交线与平行线（11个基础题+2个压轴题） 题型概览 题型01对顶角和邻补角的判断 题型02利用对顶角和邻补角的性质求解 题型03利用垂线进行求解 题型04相交线中综合计算 题型05利用平行线的判定判断式子是否正确 题型06利用平行线的性质求角度 题型07平行线在生活中的应用 题型08利用平行线的判定和性质求角度 题型09利用平行线的判定和性质填空（解答题） 题型10利用平行线的判定和性质证明（解答题） 题型11利用平行线的判定和性质综合求解（解答题） 题型12平行线的判定和性质综合之探究实践问题（解答题压轴） 题型13平行线的判定和性质综合问题（解答题压轴） 对顶角和邻补角的判断题型01 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下面四个图形中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对顶角的定义，是简单的基础题，熟记对顶角的定义是解决本题的关键．根据对顶角的定义即可求解．两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫作对顶角． 【详解】根据对顶角的定义可知：只有C中的是对顶角，其它都不是． 故选：C． 2．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，和是同位角的是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同位角的判断．根据同位角的定义：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角解即可． 【详解】解：由同位角的定义可知选项A符合题意， 故选：A． 3．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列所给的和中，是对顶角的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点即可解答． 【详解】A、两个角没有公共顶点，不符合对顶角的定义，故A项错误； B、的反向延长线并不是的两边，不符合对顶角的定义，故B项错误； C、的反向延长线是的两边，且两角有公共顶点，符合对顶角的定义，故C项正确； D、两个角没有公共顶点，不符合对顶角的定义，故D项错误． 故选：C． 利用对顶角和邻补角的性质求解题型02 1．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，直线和交于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等，邻补角的计算，结合题意根据平角定义求出的度数，根据对顶角相等即可求出结果． 【详解】解：，且， ， ， ， 故选：B． 2．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，直线相交于点，若，则等于 【答案】/度 【分析】本题考查了对顶角的性质，平角定义，利用对顶角的性质可求，进而求出，然后根据平角定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如果一个角的余角是，那么这个角的对顶角是： ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了余角和对顶角相等，先根据余角的定义求出这个角的度数，进而可求出这个角的对顶角即可． 【详解】解：由题意，得： ， 故这个角的对顶角的度数是． 故答案为：． 4．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）如图，点O是射线与直线的交点．若则 度． 【答案】60 【分析】本题考查的是邻补角的性质，熟记邻补角互补是解本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：60 5．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，直线，相交于点O，平分，若，则 ．    【答案】/30度 【分析】利用角平分线的定义和对顶角的性质，得到，进而得到，再利用邻补角互补，即可求出的度数． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若∠A的对顶角是46°，那么∠A的邻补角的度数是 ． 【答案】/134度 【分析】根据对顶角和邻补角的定义进行求解即可得出答案． 【详解】解：∵∠A的对顶角是46°， ∴∠A＝46°， ∴∠A的邻补角的度数为180°﹣∠A＝180°﹣46°＝134°， 故答案为：134°． 利用垂线进行求解题型03 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点为直线上一点，，当 时，． 【答案】/60度 【分析】本题考查了垂线的定义，根据垂直定义可得：，然后利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图所示，直线，交于点，，平分，则 ． 【答案】/135度 【分析】本题利用垂直的定义，邻补角和角平分线的性质的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点． 由垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，根据平角的定义即可得到结论． 【详解】解：∵， ， 平分， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：如图，直线相交于点O，，，则 ． 【答案】65 【分析】本题主要考查了垂线的定义，对顶角相等，先由对顶角相等得到，再根据垂线的定义得到，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：65． 4．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，直线与直线相交于点，是内一点，，，则的度数是 ．    【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义，对等角线段，角度和差，利用垂直的定义得，由对顶角相等得，最后利用角度和差即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）同一平面内两条直线相交于点，，，垂足为，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了垂线的定义、几何图中角度的计算，分两种情况，分别计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图， ，， ， ； 如图， ，， ， ； 综上所述，的度数是或， 故答案为：或． 6．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期末）将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路可走，将军沿着路线到的河边，他这样做的道理是    【答案】垂线段最短 【分析】根据直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短进行回答即可． 【详解】解：将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路可走，将军沿着路线到的河边，他这样做的道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短 相交线中综合计算题型04 1．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线与直线相交于点，，且平分，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】根据题意得出，设，根据角平分线的定义，对顶角相等，得出，根据平角的定义列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴, ∵， ∴ 设， ∵平分， 则 ∴ 即 解得：， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·黑龙江七台河·期末）如图直线AB、CD、EF相交于点O，且AB⊥CD，∠1=40°，则∠2= ． 【答案】50°/50度 【分析】根据对顶角的性质求出∠COF，再根据垂直的定义即可求出∠2的度数． 【详解】∵直线AB、CD、EF相交于点O， ∴∠COF=∠1=40° ∵AB⊥CD， ∴∠BOC=90° ∴∠2=90°-∠COF=50° 故答案为：50°． 3．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，直线、相交于O，平分，∠FOC=90°，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查邻补角的概念以及角平分线的定义．由已知，结合平角的定义，可得的度数，又因为与互为邻补角，可求出的度数，又由平分可求出． 【详解】解：∵∠FOC=90°，，为直线， ∴， ∴． ∵与互补， ∴， ∵平分， ∴． 4．（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知一条笔直的公路两侧有、、三个村庄． (1)画出村庄、之间距离最短的路线； (2)加油站D在村庄B、C所在直线与公路L的交点处，画出加油站的位置D； (3)画出村庄到公路的最短路线，画图依据是：______，测量答题卡上______（精确到），如果示意图与实际距离的比例尺为，通过你的测量和计算，在实际中村庄到公路的距离是：______． 【答案】(1)见解析(2)见解析 (3)见解析；垂线段最短；， 【分析】（1）根据两点之间线段最短，连接即可， （2）两条直线的交点就是加油站的位置， （3）依据点到直线的所有线段中，垂线段最短，和比例尺的意义可得． 【详解】（1）如图所示．根据两点之间线段最短，连接， （2）如图所示．线与公路的交点，即为加油站， （3）如图所示． 作图依据：垂线段最短． 过点作交点为 测量，． 示意图与实际距离的比例尺是 ：实际距离： 实际距离 在实际中村庄到公路的最短线路为． 5．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线与相交于点O，是的平分线，． (1)直接写出图中的补角； (2)若，求的度数； (3)试判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1)，(2) (3)平分；理由见解析 【分析】(1)根据角平分线的定义及补角定义可得答案； (2)根据垂直的定义可得答案； (3)由垂直的定义及补角的性质可得结论． 【详解】（1）解：是的平分线， ， ，， 的补角为，； （2）解： ， ． ， ． 是的平分线， ； （3）解：平分． 理由如下： 直线与相交于点O， ． ， ． ，， ， 即平分． 6．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引三条射线OC、OD、OE，且OC平分∠AOD，∠2=3∠1． (1)若∠AOD=140°，求∠1的度数． (2)若∠1=15°，求∠COE的度数 (3)在(2)的条件下，若OF为一条过点O的射线，∠COF=2∠1，求∠BOF的度数． 【答案】(1)10°(2)60°(3)150° 【分析】（1）先求出∠BOD的大小，再根据∠2＝3∠1求出∠1的大小； （2）先求出∠BOD的大小，再求出∠AOD的大小，最后根据角平分线求出∠COE； （3）先根据OF的位置，画出两种可能的图形，再分别计算． 【详解】（1）解：∵∠AOD=140°，∠AOB=180°， ∴∠BOD=40°， ∵∠2=3∠1，∠2+∠1=∠BOD， ∴ ； （2）解：∵∠1=15°，∠2=3∠1， ∴∠BOD=∠1+∠2=4∠1=60°， ∴∠AOD=180°-∠BOD=120°， ∵OC平分∠AOD， ∴°， ∴∠COE=∠COD+∠1=75°； （3）解：∵∠COF=2∠1， ∴∠COF=30°， 当OF在OC右侧时， ∵∠DOF=∠COD-∠COF-30°， ∴∠BOF-∠DOF+∠BOD=90°， 当OF在OC左侧时， ∵∠DOF=∠COD+∠COF=90°， ∴∠BOF=∠DOF+∠BOD=150°． 利用平行线的判定判断式子是否正确题型05 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下面能判断的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，则，不能判断，本选项不符合题意； B、，则，不能判断，本选项不符合题意； C、，则，不能判断，本选项不符合题意； D、，则，本选项符合题意； 故选：D． 2．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，下面所给的角的关系中，能够判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，由平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行”，逐项判断即可． 【详解】解：A、能判定，不能判定，不符合题意； B、由同旁内角互补，两直线平行，可判定，符合题意； C、能判定，不能判定，不符合题意； D、两角不是同位角，也不是内错角，不能判定． 故选B． 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法进行判断． 【详解】解：，，故A选项不符合题意； ，，故B选项符合题意； 由，不能判断，故C选项不符合题意； ，，故D选项不符合题意； 故选：B． 4．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，下列条件①∠1=∠2；②∠BAD=∠BCD；③∠ABC=∠ADC，∠3=∠4；④∠BAD+∠ADC=180°．其中能判定AB∥CD的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】依据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，进行判断即可． 【详解】解：①由∠1=∠2可判定AD∥BC，不符合题意； ②由∠BAD=∠BCD不能判定AB∥BC，不符合题意； ③由∠ABC=∠ADC且∠3=∠4知∠ABD=∠CDB，可判定AB∥CD，符合题意； ④由∠BAD+∠ADC=180°可判定AB∥CD，符合题意； 故选：B． 5．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，现给出下列条件：① ，② ，③ ，④，⑤ ．其中能够得到ABCD的条件的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据两直线平行的判定定理逐个判断即可．平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 【详解】解：①∵∠1=∠B，∴AB∥CD，故本小题正确； ②∵∠2=∠5，∴AB∥CD，故本小题正确； ③∵∠3=∠4，∴AD∥BC，故本小题错误； ④∵∠1=∠D，∴AD∥BC，故本小题错误； ⑤∵∠B+∠BCD=180°， ∴AB∥CD，故本小题正确． 故答案为：B． 6．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，下列条件：①；②；③ ；④，其中能判定的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【分析】根据平行线的判定方法分析即可． 【详解】解：①∵，∴AB//CD，故符合题意； ②∵，∴AD//BC，故不符合题意； ③∵ ，∴AD//BC，故不符合题意； ④∵，∴AB//CD，故符合题意； 故选C． 7．（22-23七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在三角形中，点分别在上，连接，则下列条件；①；②；③；④；⑤．不能判定的有 （填序号）．    【答案】②④⑤ 【分析】先观察已知角的位置关系，根据平行线的判定定理判断通过已知角可得哪两条直线平行，可得出结论． 【详解】①，根据内错角相等，两直线平行，可判断； ②，根据内错角相等，两直线平行，可判断，不能判定； ③，根据同位角相等，两直线平行，可判断； ④，根据同位角相等，两直线平行，可判断，不能判定； ⑤，根据同旁内角互补，两直线平行，可判断，不能判定； 故不能判定的有②④⑤， 故答案为：②④⑤． 利用平行线的性质求角度题型06 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线，直线和直线分别经过三角板的一个锐角顶点和直角顶点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质，三角板的意义，结合角的和差解答即可． 本题考查了平行线的性质，三角板的意义，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：如图，∵直线， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点O顺时针旋转至图2，即时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质、平行线的性质，由，推出，再根据可得答案，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 3．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知，且的两边与的两边满足一边互相平行，另一边互相垂直，则（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，涉及了分类讨论思想．如图①，求出，由平行线的性质推出；如图②，求出，由对顶角的性质得到，由平行线的性质推出，求出，于是得到答案． 【详解】解：如图①，， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图②，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 故选：A． 4．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知的直角三角板与直尺按如图所示叠合在一起，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，平角定义，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．根据利用两直线平行，同位角相等得到，进而解答即可． 【详解】解：如图，由题可得， 直尺两边平行， ， ， ． 故选：D． 5．（22-23七年级上·黑龙江绥化·期末）如图，平分，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平角的定义求出，根据角平分线的定义、平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵， ， 平分， ， ∵， ． 故选：C． 6．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，直线，直线分别与，交于点E，F，平分，交于点G，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补角、角平分线的定义求出，进而可得，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 故选A． 7．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）线段和线段交于点O，平分，点F为线段上一点（不与点A和点O重合）过点F作，交线段于点G，若，则的度数为 ． 【答案】或/160或20 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟记概念并准确识图，理清图中各个角度之间的关系是解题的关键．分两种情况讨论：点F在边上，点F在边上，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到的度数． 【详解】解：如图：①当点F在边上时， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴．    ②当点F在边上时， 同上：∵， ∴， ∴． 故答案为：20或160． 8．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知，，是的平分线，，则的度数为 度．    【答案】23 【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 9．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，点D为射线上的一点，过点D作，为的平分线，则的度数是 度． 【答案】25或65/65或25 【分析】分图1和图2两种情况，利用平行线的性质求出的度数，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：如图1所示，∵，， ∴， ∵为的平分线， ∴； 如图2所示，∵，， ∴， ∴ ∵为的平分线， ∴； 综上所述，或； 故答案为：25或65． 10．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，是一块直角三角板，其中．直尺的一边经过顶点A，若，则的度数为 度． 【答案】 【分析】先根据平行线的性质得到，则． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为；． 11．（22-23七年级上·黑龙江绥化·期末）如图，， 平分，，，则 ． 【答案】/25度 【分析】先根据平行线的性质得到的度数，，再根据角平分线的定义得到的度数，再结合垂直的定义得到的度数，根据平角的定义即可求解． 【详解】解：∵， 平分，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 故答案为：##25度． 平行线在生活中的应用题型07 1．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，前进的方向仍与原来相同，那么这两次转弯的角度可以是（   ） A．先右转，再左转 B．先左转，再右转 C．先左转，再左转 D．先右转，再右转 【答案】B 【分析】本题考查了平行线在实际生活中的应用，掌握平行线的性质是解题的关键．根据题意画出图示即可． 【详解】解：A．如图所示，不符合题意； B．如图所示，符合题意； C．如图所示，不符合题意； D．如图所示，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，与在原来的方向的垂直方向前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次左拐，第二次右拐 B．第一次左拐，第二次左拐 C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，能根据平行线的性质找到两次拐弯后的方向是解题的关键． 【详解】解：A.两次拐弯后方向与原方向相同，故不符合题意； B.两次拐弯后方向与原方向相反，故不符合题意； C.两次拐弯后，相当于在原方向向左拐，方向与原方向垂直，故符合题意； D.两次拐弯后，相当于在原方向向右拐，方向与原方向的反方向夹角，故不符合题意； 故选：C． 3．（23-24七年级下·黑龙江鸡西·期末）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，过顶点作直线支撑平台，直线将分成两个角和，再根据平行线的性质计算即可得出答案，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，过顶点作直线支撑平台，直线将分成两个角和， ∵工作篮底部与支撑平台平行， ∴直线支撑平台工作篮底部， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）为保护视力，支架AB、BC为固定支撑杆，如图1是一盏可折叠台灯．图2是平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直．如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数 ． 【答案】/64度 【分析】本题考查了平行线性质等，熟练掌握平行线性质是解题关键． 利用角平分线定义可得，由垂直定义可得，得出，再运用平行线性质即可得出答案． 【详解】如图2，∵，平分 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车的实物平面图，图②是其部分结构示意图，其中，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出，，根据角的和差，求解即可． 【详解】解：过点作， ， ， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 利用平行线的判定和性质求角度题型08 1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．作，得到，利用邻补角求得的度数，根据平行线的判定和性质即可求解． 【详解】解：作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，已知，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对顶角相等可得，从而得出，由同位角相等，两直线平行可得，再由平行线的性质可得，最后由邻补角的定义进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，   ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 3．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角相等得到，推出，再根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】解：如图，∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线，是平面内一点，若，，则的度数为 度． 【答案】10或50 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等定理的应用；分为当点P在上方时，当点P在下方时，当点P在和之间时，分别画图，根据平行线的判定与性质，即可求得答案． 【详解】解：当点P在上方时，如图，过点P作， 则， ∴， ∵， ∴点P不在上方； 当点P在下方时，如图，过点P作， 则， ∴， ∵， ， ； 当点P在与中间时，如图，过点P作， 则， ∴，， ∵， ， 综上，为或， 故答案为：或． 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，点和点分别在和上，点在和之间，连接和，，过点作射线，过点作射线，，，点和点分别在和上，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线进行角度的和差计算是解题的关键．分别过点作，表示出，求出，即可解答． 【详解】解：如图，分别过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知，，°，，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质和判定求出角的度数，根据，可得，进而得出，再根据平行线的性质可得，然后设，可表示，及，最后根据两直线平行同旁内角互补得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 设， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是：熟练掌握相关定理．由，可得，再由两直线平行，同旁内角互补，即可求出的度数． 【详解】解：， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，点E在延长线上，，交于点F，且，，比的余角小，P为线段上一点，Q为上一点，且满足，为的平分线．下列结论：①；②；③平分；④，其中结论正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，互为余角的定义，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的判定与性质，互为余角的定义，角平分线的定义是解决问题的关键． ①根据得，则，再根据得，由此可对结论①进行判断； ②设，根据得，再根据比的余角小，得，则，即，过点作，则，，由此得，然后根据得，进而得，由此可对结论②进行判断； ③设，根据得，则，由此可对结论③进行判断； ④根据，得，再根据为的平分线得，然后根据可得出的度数，进而可对结论④进行判断． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， 故结论①正确； ②设， 由①可知， ， 比的余角小， ， 解得：， ， 过点作，如图所示： ，， ， 即， ， ， ， ， 故结论②不正确； ③， 设， ， ， ， 平分， 故结论③正确； ④由②可知，由③可知：， ， 为的平分线， ， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①③④． 故答案为：①③④． 9．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）一副直角三角尺如图1叠放，现将含的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动，要求两块三角尺的一组边互相平行．如图2，当时，有一组边，再继续转动三角尺的过程中，请你写出符合要求的（）的度数是 度． 【答案】或或 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：当时，； 当时， ∵， ∴；    当时， ∵， ∴．    综上所述，的度数为或或； 故答案为：或或． 10．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，已知直线与和分别相交于点和点，且，，则的度数是 ．    【答案】/120度 【分析】根据对顶角相等可得，可得，从而可得，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 利用平行线的判定和性质填空（解答题）题型09 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）将下列证明过程补充完整： 已知：如图，点分别在上，分别交于点，． 求证：． 证明：因为（已知） 又因为（____________）， 所以___________（等量代换）． 所以（          ） 所以（____________）． 又因为（已知）， 所以（____________）． 所以__________（          ）． 所以（          ）． 【答案】（对顶角相等）；（）；（同位角相等，两直线平行）；（两直线平行，同位角相等）；（内错角相等，两直线平行）；（）；（两直线平行，内错角相等）；（等量代换）． 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法及其性质是解题的关键． 根据得到，则，所以有，根据平行线的性质即可求解． 【详解】证明：∵（已知）， 又∵（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 2．（23-24七年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，直线，． (1)补全下列说理过程； ∵（已知）， ∴_______（___________）． ∵（已知）， ∴_______（等量代换）， ∴（__________）； (2)若平分，且，求的度数． 【答案】(1)；两直线平行，同旁内角互补；；同旁内角互补，两直线平行； (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、对顶角相等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质得出，结合题意得出，即可得证； （2）由平行线的性质结合题意得出，再由角平分线的定义得出，即可得出答案． 【详解】（1）解： ∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行） （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 3．（23-24七年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，已知，，，求．（请填空） 解：∵， ∴________（________________） 又∵， ∴（________________） ∴________（________________________） ∴________（________________________） ∵， ∴________（____________） 【答案】； 两直线平行， 同位角相等； 等量代换； ； 内错角相等， 两直线平行； ； 两直线平行，同旁内角互补；  ； 补角定义 【分析】此题考查了平行线的性质与判定，根据平行线的判定与性质即可，解题的关键是熟练掌握平行线的性质与判定及其应用．根据题干提示完善推理过程与推理依据即可. 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等） 又∵， ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵， ∴（补角的定义）； 4．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）推理填空： 如图，在△ABC中，点E、点G分别是边、上的点，点F、点D是边上的点，连接、和，是的角平分线，，若，，求的度数． 解：（    ）， __（    ）， ， （    ）， （    ）， （    ）， ， ， 是的平分线， __（    ）， ． 【答案】已知；（或）；两直线平行，内错角相等；等量代换（或等量替换）；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；1；角平分线的定义 【分析】由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出，结合可得出，利用“同旁内角互补，两直线平行”可得出，利用“两直线平行，同位角相等”可得出，由及 可求出的度数，再利用角平分线的定义可求出的度数． 【详解】解：（已知）， （两直线平行，内错角相等）， ， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， ， ， 是的平分线， 1（角平分线的定义）， ． 故答案为：已知；（或）；两直线平行，内错角相等；等量代换（或等量替换）；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；1；角平分线的定义． 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）完成下面的证明． 如图，，．求证：． 证明：， （________）． 又， ________． （________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的性质和判定方法进行作答即可． 【详解】证明：， （两直线平行，内错角相等）． 又， ． （同旁内角互补，两直线平行）． 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）请补全下面的证明过程及括号内的相应依据． 如图，点在上，点在上，连接、、，交于点，交于点，如果，，求证：．    证明：∵(已知)，(_____)， ∴( )， ∴(同位角相等，两直线平行)， ∴______(_____)， ∵(______) ∴______(_____)， ∴(两直线平行，内错角相等)， ∴(等量代换)． 【答案】对顶角相等，等量代换，，两直线平行，同位角相等，已知，，内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，根据题意，依照平行线的判定和性质，填写上相应的条件和结论，即可． 【详解】证明：已知，对顶角相等， 等量代换， 同位角相等两直线平行， 两直线平行，同位角相等， 已知， 内错角相等，两直线平行， 两直线平行，内错角相等， 等量代换． 故答案为：对顶角相等，等量代换，，两直线平行，同位角相等，已知，，内错角相等，两直线平行． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）推理填空 如图，在中，于点，于点，．求证：． 证明：，（已知）， （   ①   ） ② （   ③   ） ④ （   ⑤   ） 又（已知） ⑥ （   ⑦   ） ．（   ⑧   ） 【答案】①垂直定义，②，③同位角相等，两直线平行，④⑤两直线平行，同位角相等，⑥，⑦两直线平行，内错角相等，⑧等量代换 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定和性质．先根据垂直的定义得出，根据同位角相等，两直线平行得出，根据两直线平行，同位角相等得出，根据两直线平行，内错角相等得出，等量代换即可求解． 【详解】证明：∵，， ∴（垂直定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：①垂直定义，②，③同位角相等，两直线平行，④；⑤两直线平行，同位角相等，⑥，⑦两直线平行，内错角相等，⑧等量代换． 8．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）阅读下列文字，并完成证明． 如图，直线上有两点、，直线上有一点，点、、三点共线，点在直线和直线之间，连接和，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴____________（         ）， ∴______（         ）， ∵（已知）， ∴______（          ）， ∴（        ）． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定．根据平行线的性质和判定证明即可． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 9．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图1，已知，求证：；小明想到了以下方法，请帮助他完成证明过程： 证明： (1)如图1，过点作，则___________．（        ） ， __________（            ） ____________（        ） 又， ． (2)如图2，，请写出的和并说明理由； (3)如图3，，请直接写出图3中的和． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两条直线平行；；两直线平行，内错角相等 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，平行公理的应用，正确的添加辅助线是解题的关键． （1）如图1，过点作，则，证明，可得，再结合角的和差运算可得答案； （2）过点作，证明，可得，结合，从而可得答案； （3）过点分别作，可得，再利用角的和差关系可得结论． 【详解】（1）证明：如图1，过点作，则（两直线平行，内错角相等）， ， （平行于同一直线的两条直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 又， ； 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两条直线平行；；两直线平行，内错角相等； （2）解：， 理由如下： 过点作， ， （平行于同一直线的两直线互相平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又， ； （3）解：如图：过点分别作，而， ， ， ． 10．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读并完成下面的证明： 如图，点F在线段上，线段的延长线与线段的延长线相交于点E，，，求证：． 解：∵（已知）， ∴_________（____________________________）． ∵（已知）， ∴_____________（________________________）． ∵（已知）， ∴． 即___________． ∵（已证）， ∴____________=______________（等量代换）． ∴（_________________________________） 【答案】；两直线平行，同位角相等；；等量代换；；；；内错角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．利用平行线的性质求得，得到，再根据平行线的判定定理即可证明． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴． 即． ∵（已证）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行） 11．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）推理填空： 如图，中，平分，点E在边上，且，点F在边上，过点F作交于点G．求证：． 证明：因为平分， 所以 （角平分线定义）． 所以 （等式性质）． 因为 （已知）， 所以（ ）． 所以 （等量代换）． 因为 （已知）， 所以 （同位角相等，两直线平行）． 所以（ ）． 又因为 （已证）， 所以（ ）． 【答案】；；；两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，同位角相等；；等量代换． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．先根据角平分线的定义可得，从而可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用同位角相等，两直线平行可得，从而可得，即可解答． 【详解】证明：因为平分， 所以（角平分线定义）， 所以（等式性质）， 因为（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）， 所以（等量代换）， 因为（已知）， 所以（同位角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同位角相等）， 又因为（已证）， 所以（等量代换）， 故答案为：；；；两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，同位角相等；；等量代换． 12．（22-23七年级下·黑龙江牡丹江·期末）推理填空 已知：如图，，，试说朋：． 证明：（已知）， ___________（____________________） ___________（____________________） （已知）， __________（等量代换）， ____________________（内错角相等，两直线平行）， （_______________） 【答案】；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；；两直线平行，同位角相等 【分析】此题考查平行线的性质和判定定理．先证明，推出，再证明，推出，据此即可证明． 【详解】证明：（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；；两直线平行，同位角相等． 利用平行线的判定和性质证明（解答题）题型10 1．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，点F在线段上，点E，G在线段上，，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)详见解析(2)100° 【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线的概念， （1）根据平行线的性质得到，然后得到，进而得到； （2）根据平行线的性质和角平分线的概念得到，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点D，E分别在三角形的边，上，连接，，点F在上，连接，其中． (1)求证：； (2)若，，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）由题意，得到，从而得到，即可证得结果； （2）由已知条件，得到，从而得到，结合已知条件，即可证得结果． 【详解】（1）证明：，， ， ， ； （2）解：， ， 又 3．（23-24七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，点C，D在直线上，，． (1)求证：； (2)的角平分线交于点G，若，求的度数． 【答案】(1)见解析(2)108° 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的定义，是解题的关键． （1）根据，，得，即得； （2）根据，得，根据角平分线性质得， ，即得 ． 【详解】（1），且， ， ； （2），， ， 又为的角平分线， ， ， （方法不唯一）． 4．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知．求证：    (1) (2) 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据已知，可得，进而可得； （2）根据平行线的性质以及已知条件得出，进而结合图形，即可求解． 【详解】（1）证明：（已知） （两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行）) （2）（已知） （两直线平行，内错角相等） （已知） （两直线平行，同位角相等） （已知） （等量代换） ， ， （等式的性质） 5．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）已知，如图，，试说明：．      【答案】见解析 【分析】根据平行线的判定推出，根据平行线的性质和已知求出，再结合可得，根据平行线的判定得出，最后根据平行线的性质即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：如图1，，．    (1)求证：； (2)连接、，如图2，若，写出图中四对互补的角（已知条件及邻补角除外）． 【答案】(1)见解析；(2)和、和、和、和． 【分析】（1）利用平行线的性质及判定和角的差定义可得； （2）利用平行线的性质及判定可得． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）∵， ∴， ∴，， ∴与，与互补， ∵， ∴， ∴，， ∴与，与互补， 综上可知：和互补、和互补、和互补、和互补． 利用平行线的判定和性质综合求解（解答题）题型11 1．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知射线与直线交于点，平分，于点，． (1)若时，求的度数； (2)求证：平分； (3)如图，设的度数为，当为多少度时，射线是的三等分线，并说明理由． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)或． 【分析】（）由平行线的性质可得，进而由角平分线的定义得，再利用邻补角的性质即可求解； （）由角平分线的定义得，设，可得，，进而得，即得，即可求证； （）由的度数为可得，即得，，得到，，再分和两种情况解答即可求解； 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义及判定，邻补角的性质，角的三等分线，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：当或时，射线是的三等分线，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴，， ∵射线是的三等分线， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，当或时，射线是的三等分线． 2．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知，，，．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析(2)， 【分析】（1）由条件可得即可证明； （2）根据平行可得，，再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：． ，， ， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，． ∴，． 3．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期末）已知于点E，于点G，，请判定与的大小关系，并说明理由．    【答案】，理由见解析 【分析】根据平行线的判定求出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质和判定得出即可． 【详解】． 理由： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴． 平行线的判定和性质综合之探究实践问题（解答题压轴）题型12 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：． 证明：如图②，过点作， ， ，即． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图③，已知，求的度数． （2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线探究角之间的关系是解答的关键． （1）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可求解； （2）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可得结论； （3）过P作，则，利用平行线的性质推导出，利用角平分线的定义得，，结合（2）中结论得到，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图③，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）如图④，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的平分线与的平分线所在直线交于点Q， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【探究发现】 如图1，，点A在，之间，连接，．求证：． 【学以致用】 哈尔滨某商场地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图2所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆升起到如图3所示的位置，其示意图如图4所示（，，栏杆宽度忽略不计），已知，填空：________度． 【拓展应用】 如图5，已知，点E在上，点A在，之间，交于点D，过点A作于点B，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】探究发现：证明见解析；学以致用：；拓展应用： 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．关键是通过作辅助线，构造平行线，把实际问题转化为数学问题加以计算． 探究发现：过点A作，根据两直线平行，同旁内角互补解答即可； 学以致用：根据[探究发现]的结论解答即可； 拓展应用：过点A作，根据平行线的判定与性质解答即可． 【详解】证明：如图1，过点A作， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， 即； 学以致用：由； ∴， 故答案为：120； 拓展应用：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点A作，如图5， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【问题情境】在数学课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动． 已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是与之间任意一点，连按、．直线，直线l分别交、于M、N两点． 【探索发现】（1）如图1，求证：； 【深入探究】（2）如图2，求证：； 【拓广探索】（3）如图3，平分，平分，过点F作的垂线交于点H，连接，，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线定义，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质． （1）根据平行线的性质得出，，然后证明结论即可； （2）延长交于点 P，过点P作交于点 Q，根据平行线的性质得出，，证明，根据平行线的性质得出，即可证明结论； （3）设，得出， 根据角平分线定义得出，过点作  ， 根据平行线的性质得出 ，过点作，根据平行线的性质得出，，求出，根据，求出结果即可． 【详解】（1）证明：直线， ， ∵， ， ∴； （2）证明：延长交于点 P，过点P作交于点 Q， ，， ， 直线， ∴， ； （3）解：设， ， 平分， ， ， ， ， ， 过点作， ， ， 平分， ， 过点作， ， ∵，， ∴， ∴， ， ， ∴． 4．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在学校开展的社团活动中，“数学大师”社团开展了题为《关于三角板的数学思考》综合实践活动，使用一副三角板，分别为三角板（，），三角板（，）． (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，点与点重合，且，________． (2)如图2，小亮将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板和三角板按图3的方式摆放，使顶点在直线上，顶点在直线上，，直角顶点与重合． ①若点、、在同一直线上，则与之间的关系式为________； ②若点、、不在同一直线上，其他条件不变，如图4，则、与之间的关系式为________． 【答案】(1)(2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差运算，构造平行线是解题的关键． （1）由，得，由即可求解； （2）；过A作，则得，从而得，则可判定； （3）①过A作，过D作，则，； 则，；再由平行的传递性质得， 有，从而得与之间的关系； ②过A作，过C作，则，； 则，；再由平行的传递性质得， 有，，从而得、与之间的关系； 【详解】（1）解：， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 如图，过A作， ， ， ， ； ， ； （3）解：①如图，过A作，过D作， ，； ， ； ， ； ， ， ， ； 故答案为：； ②如图，过A作，过C作， ，； ，；， ； ， ； ，， ， ， 即， ． 故答案为：． 5．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）学习了平行线的判定与性质后，小明在练习中看到这样一道题：“如图1，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，小明绕有兴趣的试着“玩”起数学来： 【基础巩固】 （1）小明把上题条件和结论互换，改成了：“如图1，平分，平分，，则．”小明认为这个结论正确．你赞同他的想法吗？请说明理由． 【尝试探究】 （2）小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角， ①若，求的度数； ②试说明：． 【拓展提高】 （3）如图3，若，，平分，请直接写出与的等量关系______． 【答案】（1）赞同他的想法，见解析；（2）①；②见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟知两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键． （1）根据两直线平行，同旁内角互补可得，结合根据角平分线的定义得到的，，即可证明； （2）①由垂直定义可求得，再结合平行线的性质得，进而根据角平分线的定义即可求解； ②根据平行线的性质，得，根据角平分线的定义，再结合垂直定义得，进而可得结论； （3）类比（2），即可求解． 【详解】解：（1）赞同他的想法，理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ； （2）①， ， ，， ， ， ， ， 平分， ； ②， ， 平分， ， ， ， ， ； ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）实践与探究 学习了平行线后，张华通过折纸想出了过点P画直线的平行线的方法，折纸过程如下：①−②−③−④ （1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是 ；如图④， °，则与的位置关系为 ，依据是 ． （2）张华在（1）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的速度分别是/秒、/秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置，用含t的式子表示 ； （3）在（2）的条件下，在灯P射线第一次到达之前，Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？请直接写出结果． 【答案】（1）垂直；90；平行；依据是内错角相等，两直线平行（或在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行）． （2） （3）当t为10秒或85秒时，两灯的光束互相平行． 【分析】本题考查垂直判定，平行线判定及性质，折叠性质等． （1）根据折叠性质即平行线判定即可得到本题答案； （2）先求出灯P转动20秒后度数为，继而得出本题答案； （3）设灯P转动秒，两灯的光束互相平行，分情况讨论即可得到本题答案． 【详解】解：（1）如图， ∵折叠， ∴直线折叠重合为两个角，平线为， ∴，即， ∴与直线的位置关系是：垂直， 如图： ∵如图③所示：， ∴， ∴， ∴， 因此依据为：内错角相等，两直线平行， 故答案为：垂直；90；平行；内错角相等，两直线平行； （2）∵灯P、灯Q转动的速度分别是/秒、/秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动， ∴灯P转动20秒后度数为， 又∵当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置， ∴此时灯P再次转动了， ∴， 故答案为：； （3）设灯P转动秒，两灯的光束互相平行， ①当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ②当时，如图， ∵， ∴， ∴，解得：， 综上所述：当t为10秒或85秒时，两灯的光束互相平行． 7．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 【问题情境】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时，要适当添加平行线将其补充完整．把“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了数学中的转化思想．有这样一个问题： 如图①，，，，求的度数．小明的解题思路：过点作，通过平行线的性质来求的度数． 【问题解决】（1）按小明的思路，______ 【问题迁移】（2）如图②，，点在直线上运动，记，，当点在线段上（不与、重合）时，与，之间有何数量关系？请说明理由． 【问题应用】（3）在（2）的条件下，，点在直线上运动，如果点不在线段上，请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查的重点是平行线的性质和角度的计算，可以利用猪蹄模型和铅笔模型的解题思路，很容易得出计算结果． （1）因为，所以当，时，可求； （2）如图所示过点P作，利用平行线的定理和推论可知，即可得结论； （3）分两种情况：点P在射线上，点P在射线上，方法同（2）可分别得结论． 【详解】解：（1）过点作， ， , , , ，， , ， 故答案为：； （2）解：， 理由：过点P作，如图： ，， ， ， ； （3）①点P在射线上时，如图， 作， ， ， ， ， ，，， ； ②点P在射线上，如图， 作， ， ， ， ， ，，， ． 8．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若，点P在、内部，探究，，的关系．小明只完成了（1）的部分证明． (1)请你继续完成的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成 过点作． ∵， ∴________（             ） ∴____（             ） 又∵ ∴ ∴________． (2)小明猜想：是不是类似的问题都可以过点P作来实现等角转移从而推导出相应结论呢？．如图2，若，点P在、外部，，，的关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由． (3)探究：若，如图3，图4，请直接写出小于平角的，，之间的数量关系． 【答案】(1)；；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行内错角相等； (2) (3)； 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）首先过点P作，根据平行线的性质，可得，，从而证得； （2）同（1）的方法可得，，，进而即可得出结论； （3）同（1）的方法分别结合图3，图4，得出，，的关系，即可求解． 【详解】（1）解：过点作． ∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴（两直线平行内错角相等） 又∵ ∴ ∴． 故答案为：；；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行内错角相等；． （2）发生变化，应是． 证明：如图2， 过点作． ∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴ 又∵ ∴ ∴． 即 （3）如图3，过点作， ∵，， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 即 如图4，过点作， ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 即 9．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）通过对下面几何图形的操作探究，解决下列问题． 如图所示的格线彼此平行．数学探究小组在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的角所满足的数量关系．利用三角板先画出点位于两条格线，之间，、与，分别相交于点、点，操作过程中与均为锐角． 【操作发现】 (1)①如图1，点在一条格线上，当时，的度数为______； ②如图2，点在两条格线之间，求的度数； 【综合应用】 (2)探究小组继续操作，分别做出的邻补角的角平分线和的邻补角的角平分线，两条角平分线所在的直线相交于，画出相应的图形并直接写出的度数．      【答案】(1)①② (2)图见解析， 【分析】（1）①根据平行线的性质以及对顶角相等，进行求解即可；②过点作，进而得到，得到，根据对顶角相等，得到，进而得到，即可得出结果； （2）根据题意，补全图形，过点作，得到，推出，根据邻补角的定义得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：①如图：    ∵格线彼此平行， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②过点作，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图：过点作，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 平行线的判定和性质综合问题（解答题压轴）题型13 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图（1），直线与直线、分别交于点、．为钝角，． (1)求证：； (2)如图（2），点、分别在直线、上，点（不在直线上）是直线、之间一点，连接、、．若，，求等于多少度？ (3)如图（3），在（2）的条件下，平分交直线于点，平分交于点，交直线于点，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、几何图中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由结合对顶角相等得出，即可得出； （2）过点作，则，，从而得到，由得出，由平行线的性质可得，最后得出； （3）过点作交于点，则，设，则，由，得出，从而得到，最后再根据角平分线的定义进行计算即可． 【详解】（1）证明：，． ， ； （2）解：过点作， ， ，， ， ． ， ， ． ， ， ； （3）解：过点作交于点， ，． 设，则， ， ． ， ． ， ， 平分，平分 ， ． 2．（23-24七年级下·黑龙江双鸭山·期末）在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》． (1)李华将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，的度数为___________； (2)如图2，张明将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点B在直线上，顶点C在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放，仍然使顶点B在直线上，顶点C在直线上，若，请直接写出与之间的关系式． 【答案】(1)(2)，见解析(3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质及角的和差求解即可； （2）过点A作，根据平行线的性质及角的和差求出，即可判定，根据平行公理推论即可推出； （3）过点A作直线，则，根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 如图2，过点A作， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴； （3）解：，理由如下： 如图3，过点A作直线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)提出问题：如图1，若，点P在内部，求证：； (2)探索发现：将图1中直线绕点B逆时针方向转一定角度得，交直线于点Q（如图2），结合（1）中的结论，直接写出之间的数量关系； (3)拓展应用：如图3，交于点M，交于点N．已知，结合（2）中的结论计算，＿＿＿． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)． 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质： （1）过点P作，则，进而得，则，由此即可得出结论； （2）根据得，则，再根据由（1）的结论得，由此可得之间的数量关系； （3）由（2）的结论得，由得①，由得，再由（2）的结论得，则②，然后由即可得出的值． 【详解】（1）证明：过点P作，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：，理由如下： 如图2所示： ∵， ∴， ∴， 由（1）的结论得：， ∴； （3）解：如图3所示： 由（2）的结论得：， ∵， ∴①， ∵， ∴， 由（2）的结论得：， ∴②， 得：． 4．（23-24七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，，E，F分别为直线，上的一点． (1)如图①，点在直线，之间，且，写出和之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，点和直线分别在直线的两侧，写出，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，在（2）的条件下，的平分线与的平分线交于点H，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)(2)(3)，证明见解析 【分析】（1）如图所示，过点G作，则，由平行线的性质可得，再由垂直的定义得到，由此即可得到结论； （2）如图所示，过点G作，则，由平行线的性质可得，再由角度之间的关系即可得到； （3）同理可得，由角平分线的定义推出，由此即可得到． 本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义等等，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，过点G作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点G作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （3）解：，证明如下： 同理可得， ∵的平分线与的平分线交于点H， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交CD于点Q，若，探究与的数量关系． 【答案】(1)见详解(2)见详解(3) 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义； （1）由平行线的性质得，再由平行线的判定方法即可求证； （2）由平行线的性质得，，从而可得，由即可求证； （3）设，，由已知得，由（2）得，可求，，由平行线的性质得，，即可求解； 掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， 作、的角平分线交于点N， 交于点P， ， ， ； 故； （3）解：设， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 作的角平分线交CD于点Q， ， ． 6．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图（1），直线与直线，分别交于点，，为钝角，．      (1)求证：； (2)如图（2），点分别在直线上，点（不在直线上）是直线之间一点，连接．若，求等于多少度？ (3)如图（3），在（2）的条件下，平分交直线于点，平分交于点，交直线于点．若，求的度数． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、几何图中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由结合对顶角相等得出，即可得出； （2）过点作，则，，从而得到，由得出，由平行线的性质可得，最后得出； （3）过点作交于点，则，设，则，由，得出，从而得到，最后再根据角平分线的定义进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：过点作，   ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：过点作交于点，   ， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 平分，平分， ∴， ∴， ∴． 7．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点E，连接，后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，，与之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系． (1)请直接写出图①到图④各图中的，与之间的关系吗？ (2)请从图③④中，选一个说明它成立的理由． 【答案】(1)图①：；图②：；图③：；图④： (2)以图③为例说明理由见解析 【分析】（1）分别过E作，根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补解答； （2）选择③，过点E作，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据整理即可得证． 【详解】（1）图①：； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ 图②：； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 图③：； 证明见小问2详解； 图④：； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ （2）以图③为例：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴． 8．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线，直线交于点M，交于点N，平分交于点H，．（本题不允许直接使用三角形内角和定理）        (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若平分，交于点G，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P在上，平分，延长线交于点Q，连接，若，求的度数． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的性质求出的度数； （2）作，根据（1）所求，可求得，再根据平分，，证明； （3）作，得出，，根据已知条件求得，根据平分和，根据已知角度求出，再作，根据以上证明方式求出的度数． 【详解】（1）解：∵，且 ∴， ∵平分 ∴； ∴； （2）证明：作，如下图所示，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴∥， ∴， ∴， ∴； （3）解：作，如下图所示，    ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 作，如上图所示， 同理可证． 9．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期末）（1）如图①，直线，是与之间的一点，连接，，易证：． （2）如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：． （3）如图③，，其他条件不变，，则有怎样的数量关系，请直接写出，不需证明．    【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）过点E作，由得到，则，即可得到； （2）过点E作，由得到，则，由，即可得到结论； （3）过点E作，由得到，则，由即可得到． 【详解】（1）证明：过点E作，    ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）证明：过点E作，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：过点E作，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 10．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，平分交射线于点E，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F是射线上一点，过点F作交射线于点G，点N是上一点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，点P为延长线上一点，平分交于点M，若平分，，，求的度数． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【分析】（1）利用角平分线的定义可得，然后再利用等量代换可得，从而利用平行线的判定，即可解答； （2）过点E作，可知，利用平行线的性质可得，，由，可知，由，可证得结论； （3）设，利用角平分线的定义可得，从而可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，再根据垂直定义可得，最后利用（2）的结论可得，再利用角平分线的定义可得，从而可得，进而可得，，再根据已知，列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点E作，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：设， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴的度数为． 11．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）（1）如图，已知，，试探究与的关系，并写出理由．    （2）在（1）的条件下，下图小于，与又有怎样的关系，并写出理由．    【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析． 【分析】（1）利用平行线的性质求解，即可得到答案； （2）利用平行线的性质求解，即可得到答案． 【详解】解：（1），理由如下： ， ， ， ， ； （2），理由如下： ， ， ， ， ． 12．（22-23七年级下·黑龙江双鸭山·期末）七年级同学解决平行线问题时，遇到这样的问题，请你帮忙解决：已知，    (1)如图1，易证（不用证明）； (2)如图2，平分，平分．、所在直线交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质即可得出结论； （2）过点作，根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点作，   ， ， ， ； （2）解：如图，过点作，   ，， ， 平分， ， 平分，， ， ， ， ，， ． 13．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 如图，直线，直线与分别交于点，（）．将一个含角的直角三角板按如图（1）放置，使点分别在直线上，且在点的右侧，，，．    (1)的度数为______； (2)若的平分线交直线于点，如图（2）． ①当，时，求的度数； ②将三角板保持并向左平移，求在平移的过程中______（用含的式子表示）． 【答案】(1)90°(2)①见解析；②或 【分析】（1）根据平行线的性质可知，再根据直角三角形的性质即可解答； （2）①根据平行公理及平行线的性质可知，再利用角平分线的定义及平行线的性质即可解答；②根据平行线的性质可知，再利用角平分线的定义及平行线的性质即可解答； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为； （2）①证明：如图（2）, ，， ， NO平分， ， ． ， ， 即； ②当点在的右侧时，如图（2）， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ②当点在的左侧时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 综上，的度数为或；    1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列命题中真命题的个数是（   ）． （1）对顶角相等； （2）平行于同一直线的两条直线平行； （3）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； （4）两直线平行，同旁内角互补． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断命题真假，熟知相关知识是解题的关键． 根据平行线的性质与判定，垂线段最短，对顶角线段，注意判断即可． 【详解】解：（1）对顶角相等，是真命题，符合题意； （2）平行于同一直线的两条直线平行，是真命题，符合题意；； （3）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，是真命题，符合题意； （4）两直线平行，同旁内角互补，是真命题，符合题意； ∴命题中真命题的个数是4个， 故选：D． 2．（22-23七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据平行线的性质得到，，然后由折叠的性质得到，，然后根据得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵沿，折叠，使点和点都落在点处， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 3．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法中：①若，则；②三条直线两两相交可得到12对邻补角；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④点到直线的距离就是从直线外一点到这条直线的垂线段；正确的个数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】分别利用不等式的性质、邻补角的定义、平行公理、点到直线的距离逐个判断即可． 【详解】解：当时，，故①不正确； 三条直线两两相交有三个交点，每一个交点有四对邻补角，所以可得到12对邻补角，故②正确； 平行公理中的已知点必须是直线外的一点，故③不正确； 点到直线的距离指的是从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，故④不正确； 故选：A． 4．（22-23七年级上·黑龙江鸡西·期末）如图AB，交于点O，，，平分，则下列结论：①图中的余角有四个；②∠AOF的补角有2个；③为的平分线；④．其中结论正确的序号是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①④ D．②③④ 【答案】C 【分析】①根据余角的定义可求解．②根据补角的定义可求解．③根据角平分线的定义无法证明．④根据对顶角及余角性质可求解． 【详解】①∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴余角有， 故①正确． ②根据补角的定义可知的补角为，故②错误． ③∵不能证明，∴无法证明OD为∠EOG的平分线． ④根据对顶角以及余角的性质可知， 由①得， ∴，故④正确． 故选C． 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）直线与直线相交于点，，射线，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了垂线，首先根据题意作出图形，根据条件求得的度数，根据对顶角相等得，然后根据垂直的定义得，再分两种情况讨论即可得出答案． 【详解】解：如图， ，， ， ， 又， ， ； 当点在的延长线上时，， 的度数为或． 故答案为：或． 6．（22-23七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，，，三点在同一条直线上，在不添加辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使（填一个即可）．    【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定定理即可得到答案． 【详解】解：根据平行线的判定定理可得： ；；都可判断， 故答案为：（答案不唯一） 7．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）完成下面的解题过程，并在括号内填上依据． 如图：已知，垂足为B，，，试证． 证明： （                ） （    ） ____________（                     ） （                     ） （    ） 又 （                     ） 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，垂直的定义，余角的性质等；由平行的判定方法得，由平行线的性质得，从而可得 ，由平角的定义可求，由余角的性质即可求解；掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键． 【详解】证明：， ，（垂直的定义 ） ，（已知） ，（内错角相等，两直线平行．） ，（两直线平行，同旁内角互补．） ， ， ，（平角的定义） ， 又， ．（等角的余角相等） 8．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知，，点为射线上任意一点不与点重合，，分别平分和，交射线于点，点．    (1)图中　 　； (2)当时，　 　； (3)随点位置的变化，图中与之间的数量关系始终为　 　，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)不变，： 【分析】（1）根据角平分线的定义只要证明即可； （2）想办法证明即可解决问题； （3）不变．可以证明，． 【详解】（1）解：， ， 又，分别平分和， ， 故答案为：． （2）， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． （3）不变．理由如下： ， ，， 又平分， ，即：：． 故答案为：． 9．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线与直线交于G，H，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点P在如图所示位置，连接，猜想之间的等量关系并给出证明； (3)如图3，在（2）的条件下，平分平分，求的度数． 【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析(3) 【分析】（1）根据对顶角相等和已知条件得到，再根据平行线的判定即可证明； （2）过点P作，得到，利用两直线平行，内错角相等得到，，结合角的和差得到结果； （3）设，根据角平分线的定义得到，根据垂线的定义得到，则有，根据平行线的性质得到，求出，再次利用角平分线的定义得到，根据平角的定义得到方程，解之求出x值，得到，即可得到结果． 【详解】（1）∵， ∴， ∴； （2），证明如下： 如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得：， 即， ∴． 10．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图①，ABCD，M为平面内一点，若BM⊥MC，则易证∠ABM与∠DCM互余． (1)如图②，ABCD．点M在射线EA上运动，猜想点M在点A和D之间时，∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系，并证明． (2)在（1）的条件下，当点M在射线EA的其它位置上时（不与点E，A，D重合）请直接写出∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系． 【答案】(1)∠ABM+∠DCM=∠BMC，理由见解析 (2)∠BMC=∠DCM-∠ABM或∠BMC=∠ABM-∠DCM． 【分析】（1）过M作MFAB，交BC于F，根据平行线的性质可得∠DCM=∠FMC，可得∠ABM+∠DCM=∠BMF+∠CMF=∠BMC； （2）分两种情况：当点M在E、A两点之间时；当点M在AD的延长线上时；进行讨论可求∠BMC与∠ABM，∠DCM的数量关系． 【详解】（1）解：∠ABM+∠DCM=∠BMC，理由如下： 如图，过M作MFAB，交BC于F，则∠ABM=∠BMF， 又∵ABCD， ∴MFCD， ∴∠DCM=∠FMC， ∴∠ABM+∠DCM=∠BMF+∠CMF=∠BMC； （2）解：当点M在E、A两点之间时，如图3，∠BMC=∠DCM-∠ABM； 过M作MFAB，交EC于F，则∠ABM=∠BMF， 又∵ABCD， ∴MFCD， ∴∠DCM=∠FMC， ∴∠BMC=∠CMF-∠BMF=∠DCM-∠ABM； 当点M在AD的延长线上时，如图4，∠BMC=∠ABM-∠DCM． 过M作MFAB，交EC于F，则∠ABM=∠BMF， 又∵ABCD， ∴MFCD， ∴∠DCM=∠FMC， ∴∠BMC=∠BMF-∠CMF=∠ABM-∠DCM． 11．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解： 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作DEBC． ∵DEBC， ∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC． 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°， ∴∠BAC+∠B+∠C=180°． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有 的功能． 方法运用： 如图2，已知ABDE，试说明：∠D+∠BCD-∠B=180°．（提示：过点C作CFAB） 解决问题： 如图3，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1= 度． 【拓展发现】 ①如图4，若ABDE，∠B、∠C、∠D有怎样的关系：______； ②如图5，若ABDE，∠B、∠C、∠D有怎样的关系：______． 【答案】解题反思：等角转化；方法运用：见解析；解决问题：15；拓展发现：①∠B+∠D=∠C；②∠B+∠D+∠C=360° 【分析】解题反思：由题意知，平行线具有等角转化的功能； 方法运用：过点C作CFAB，利用平行线的性质即可得出结论； 解决问题：由方法运用知，∠2+∠3-∠1=180°，代入即可计算出∠1的度数； 拓展发现：与方法运用同理可得答案． 【详解】解：解题反思：由题意知，平行线具有等角转化的功能， 故答案为：等角转化； 方法运用：过点C作CFAB， ∵ABDE， ∴ABCFDE， ∴∠B=∠BCF，∠D+∠DCF=180°， ∴∠D+∠BCD-∠B=180°； 解决问题：由方法运用知，∠2+∠3-∠1=180°， ∴∠1=∠2+∠3-180°=60°+90°+45°-180°=15°， 故答案为：15； 拓展发现：①由方法运用同理可得：∠B+∠D=∠C， 故答案为：∠B+∠D=∠C； ②由方法运用同理可得：∠B+∠D+∠C=360°， 故答案为：∠B+∠D+∠C=360°． 12．（23-24七年级下·黑龙江黑河·期末）如图所示，，直线EF分别交AB，CD于点G，H，HN是∠DHG的平分线． (1)如果GM是∠BGE的平分线，（如图①）试判断并证明GM和HN的位置关系； 证明：∵， ∴∠BGE＝______（两直线平行，同位角相等．） ∵GM是∠BGE的平分线， ∴______＝______ ∵HN是∠DHG的平分线 ∴______＝______ ∴∠MGE＝∠NHG（等量代换） ∴GM和HN的位置关系是______，（___________________）． (2)如果GM是∠AGH的平分线，（如图②）（1）中的结论还成立吗？（不必证明） (3)如果GM是∠BGH的平分线，（如图③）（1）中的结论还成立吗？如果不成立，GM与HN又有怎样的位置关系？请直接写出你的猜想不必证明． 【答案】(1)∠DHG；∠BGM；∠MGE；∠DHN；∠NHG；；同位角相等，两直线平行； (2)成立 (3)不成立，GM⊥HN． 【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BGE=∠DHG，再利用角平分线的定义和等量代换可得∠MGE=∠NHG，再利用平行线的判定即可； （2）根据平行线的性质可得∠AGH=∠DHG，，再利用角平分线的定义和等量代换可得∠HGM=∠NHG，再利用平行线的判定即可； （3）设GM与HN交于点P，根据平行线的性质可得∠BGH+∠DHG=180°，再利用角平分线的定义和等量代换可得∠HGM+∠NHG=90°，然后利用三角形内角和定理可求出∠GPH=90°即可解答． 【详解】（1）证明：∵ ∴∠BGE＝∠DHG（两直线平行，同位角相等．） ∵GM是∠BGE的平分线， ∴∠BGM＝∠MGE＝∠BGE ∵HN是∠DHG的平分线 ∴∠DHN＝∠NHG＝∠DHG ∴∠MGE＝∠NHG（等量代换） ∴GM和HN的位置关系是（同位角相等，两直线平行）． （2）解：（1）中的结论还成立，理由如下： ∵ABCD， ∴∠AGH=∠DHG， ∵GM是∠AGH的平分线， ∴∠AGM= ∠HGM=∠AGH， ∵HN是∠DHG的平分线， ∴∠GHN=∠DHN=∠DHG， ∴∠HGM=∠NHG（等量代换） ∴GMHN． （3）（3）（1）中的结论不成立，GM⊥HN，理由： 如图：设GM与HN交于点P， ∵ABCD， ∴∠BGH+∠DHG=180°， ∵GM是∠BGH的平分线， ∴∠BGM= ∠HGM=∠BGH， ∵HN是∠DHG的平分线， ∴∠GHN=∠DHN=∠DHG， ∴∠HGM+ ∠NHG=∠BGH+∠DHG=90°， ∴∠GPH=180°-（∠HGM+ ∠NHG）=90° ∴GM⊥HN． 1 / 127 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相交线与平行线（11个基础题+2个压轴题） 题型概览 题型01对顶角和邻补角的判断 题型02利用对顶角和邻补角的性质求解 题型03利用垂线进行求解 题型04相交线中综合计算 题型05利用平行线的判定判断式子是否正确 题型06利用平行线的性质求角度 题型07平行线在生活中的应用 题型08利用平行线的判定和性质求角度 题型09利用平行线的判定和性质填空（解答题） 题型10利用平行线的判定和性质证明（解答题） 题型11利用平行线的判定和性质综合求解（解答题） 题型12平行线的判定和性质综合之探究实践问题（解答题压轴） 题型13平行线的判定和性质综合问题（解答题压轴） 对顶角和邻补角的判断题型01 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下面四个图形中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，和是同位角的是（    ） A．B． C． D． 3．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列所给的和中，是对顶角的是（    ） A．B．C． D． 利用对顶角和邻补角的性质求解题型02 1．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，直线和交于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，直线相交于点，若，则等于 3．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如果一个角的余角是，那么这个角的对顶角是： ． 4．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）如图，点O是射线与直线的交点．若则 度． 5．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，直线，相交于点O，平分，若，则 ．    6．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若∠A的对顶角是46°，那么∠A的邻补角的度数是 ． 利用垂线进行求解题型03 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点为直线上一点，，当 时，． 2．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图所示，直线，交于点，，平分，则 ． 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：如图，直线相交于点O，，，则 ． 4．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，直线与直线相交于点，是内一点，，，则的度数是 ．    5．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）同一平面内两条直线相交于点，，，垂足为，则的度数是 ． 6．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期末）将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路可走，将军沿着路线到的河边，他这样做的道理是    相交线中综合计算题型04 1．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线与直线相交于点，，且平分，若，则的度数为 ． 2．（23-24七年级下·黑龙江七台河·期末）如图直线AB、CD、EF相交于点O，且AB⊥CD，∠1=40°，则∠2= ． 3．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，直线、相交于O，平分，∠FOC=90°，，求和的度数． 4．（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知一条笔直的公路两侧有、、三个村庄． (1)画出村庄、之间距离最短的路线； (2)加油站D在村庄B、C所在直线与公路L的交点处，画出加油站的位置D； (3)画出村庄到公路的最短路线，画图依据是：______，测量答题卡上______（精确到），如果示意图与实际距离的比例尺为，通过你的测量和计算，在实际中村庄到公路的距离是：______． 5．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线与相交于点O，是的平分线，． (1)直接写出图中的补角； (2)若，求的度数； (3)试判断是否平分，并说明理由． 6．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引三条射线OC、OD、OE，且OC平分∠AOD，∠2=3∠1． (1)若∠AOD=140°，求∠1的度数． (2)若∠1=15°，求∠COE的度数 (3)在(2)的条件下，若OF为一条过点O的射线，∠COF=2∠1，求∠BOF的度数． 利用平行线的判定判断式子是否正确题型05 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下面能判断的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，下面所给的角的关系中，能够判定的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，下列条件①∠1=∠2；②∠BAD=∠BCD；③∠ABC=∠ADC，∠3=∠4；④∠BAD+∠ADC=180°．其中能判定AB∥CD的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，现给出下列条件：① ，② ，③ ，④，⑤ ．其中能够得到ABCD的条件的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，下列条件：①；②；③ ；④，其中能判定的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 7．（22-23七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在三角形中，点分别在上，连接，则下列条件；①；②；③；④；⑤．不能判定的有 （填序号）．    利用平行线的性质求角度题型06 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线，直线和直线分别经过三角板的一个锐角顶点和直角顶点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点O顺时针旋转至图2，即时，的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知，且的两边与的两边满足一边互相平行，另一边互相垂直，则（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知的直角三角板与直尺按如图所示叠合在一起，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级上·黑龙江绥化·期末）如图，平分，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 6．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，直线，直线分别与，交于点E，F，平分，交于点G，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）线段和线段交于点O，平分，点F为线段上一点（不与点A和点O重合）过点F作，交线段于点G，若，则的度数为 ． 8．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知，，是的平分线，，则的度数为 度．    9．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，点D为射线上的一点，过点D作，为的平分线，则的度数是 度． 10．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，是一块直角三角板，其中．直尺的一边经过顶点A，若，则的度数为 度． 11．（22-23七年级上·黑龙江绥化·期末）如图，， 平分，，，则 ． 平行线在生活中的应用题型07 1．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，前进的方向仍与原来相同，那么这两次转弯的角度可以是（   ） A．先右转，再左转 B．先左转，再右转 C．先左转，再左转 D．先右转，再右转 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，与在原来的方向的垂直方向前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次左拐，第二次右拐 B．第一次左拐，第二次左拐 C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 3．（23-24七年级下·黑龙江鸡西·期末）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）为保护视力，支架AB、BC为固定支撑杆，如图1是一盏可折叠台灯．图2是平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直．如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数 ． 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车的实物平面图，图②是其部分结构示意图，其中，，，则的度数为 ． 利用平行线的判定和性质求角度题型08 1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，已知，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线，是平面内一点，若，，则的度数为 度． 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，点和点分别在和上，点在和之间，连接和，，过点作射线，过点作射线，，，点和点分别在和上，，则的值是 ． 6．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知，，°，，则 °． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知，，则的度数为 ． 8．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，点E在延长线上，，交于点F，且，，比的余角小，P为线段上一点，Q为上一点，且满足，为的平分线．下列结论：①；②；③平分；④，其中结论正确的序号是 ． 9．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）一副直角三角尺如图1叠放，现将含的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动，要求两块三角尺的一组边互相平行．如图2，当时，有一组边，再继续转动三角尺的过程中，请你写出符合要求的（）的度数是 度． 10．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，已知直线与和分别相交于点和点，且，，则的度数是 ．    利用平行线的判定和性质填空（解答题）题型09 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）将下列证明过程补充完整： 已知：如图，点分别在上，分别交于点，． 求证：． 证明：因为（已知） 又因为（____________）， 所以___________（等量代换）． 所以（          ） 所以（____________）． 又因为（已知）， 所以（____________）． 所以__________（          ）． 所以（          ）． 2．（23-24七年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，直线，． (1)补全下列说理过程； ∵（已知）， ∴_______（___________）． ∵（已知）， ∴_______（等量代换）， ∴（__________）； (2)若平分，且，求的度数． 3．（23-24七年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，已知，，，求．（请填空） 解：∵， ∴________（________________） 又∵， ∴（________________） ∴________（________________________） ∴________（________________________） ∵， ∴________（____________） 4．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）推理填空： 如图，在△ABC中，点E、点G分别是边、上的点，点F、点D是边上的点，连接、和，是的角平分线，，若，，求的度数． 解：（    ）， __（    ）， ， （    ）， （    ）， （    ）， ， ， 是的平分线， __（    ）， ． 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）完成下面的证明． 如图，，．求证：． 证明：， （________）． 又， ________． （________）． 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）请补全下面的证明过程及括号内的相应依据． 如图，点在上，点在上，连接、、，交于点，交于点，如果，，求证：．    证明：∵(已知)，(_____)， ∴( )， ∴(同位角相等，两直线平行)， ∴______(_____)， ∵(______) ∴______(_____)， ∴(两直线平行，内错角相等)， ∴(等量代换)． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）推理填空 如图，在中，于点，于点，．求证：． 证明：，（已知）， （   ①   ） ② （   ③   ） ④ （   ⑤   ） 又（已知） ⑥ （   ⑦   ） ．（   ⑧   ） 8．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）阅读下列文字，并完成证明． 如图，直线上有两点、，直线上有一点，点、、三点共线，点在直线和直线之间，连接和，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴____________（         ）， ∴______（         ）， ∵（已知）， ∴______（          ）， ∴（        ）． 9．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图1，已知，求证：；小明想到了以下方法，请帮助他完成证明过程： 证明： (1)如图1，过点作，则___________．（        ） ， __________（            ） ____________（        ） 又， ． (2)如图2，，请写出的和并说明理由； (3)如图3，，请直接写出图3中的和． 10．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读并完成下面的证明： 如图，点F在线段上，线段的延长线与线段的延长线相交于点E，，，求证：． 解：∵（已知）， ∴_________（____________________________）． ∵（已知）， ∴_____________（________________________）． ∵（已知）， ∴． 即___________． ∵（已证）， ∴____________=______________（等量代换）． ∴（_________________________________） 11．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）推理填空： 如图，中，平分，点E在边上，且，点F在边上，过点F作交于点G．求证：． 证明：因为平分， 所以 （角平分线定义）． 所以 （等式性质）． 因为 （已知）， 所以（ ）． 所以 （等量代换）． 因为 （已知）， 所以 （同位角相等，两直线平行）． 所以（ ）． 又因为 （已证）， 所以（ ）． 12．（22-23七年级下·黑龙江牡丹江·期末）推理填空 已知：如图，，，试说朋：． 证明：（已知）， ___________（____________________） ___________（____________________） （已知）， __________（等量代换）， ____________________（内错角相等，两直线平行）， （_______________） 利用平行线的判定和性质证明（解答题）题型10 1．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，点F在线段上，点E，G在线段上，，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点D，E分别在三角形的边，上，连接，，点F在上，连接，其中． (1)求证：； (2)若，，求证：． 3．（23-24七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，点C，D在直线上，，． (1)求证：； (2)的角平分线交于点G，若，求的度数． 4．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知．求证：    (1) (2) 5．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）已知，如图，，试说明：．      6．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：如图1，，．    (1)求证：； (2)连接、，如图2，若，写出图中四对互补的角（已知条件及邻补角除外）． 利用平行线的判定和性质综合求解（解答题）题型11 1．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知射线与直线交于点，平分，于点，． (1)若时，求的度数； (2)求证：平分； (3)如图，设的度数为，当为多少度时，射线是的三等分线，并说明理由． 2．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知，，，．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 3．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期末）已知于点E，于点G，，请判定与的大小关系，并说明理由．    平行线的判定和性质综合之探究实践问题（解答题压轴）题型12 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：． 证明：如图②，过点作， ， ，即． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图③，已知，求的度数． （2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【探究发现】 如图1，，点A在，之间，连接，．求证：． 【学以致用】 哈尔滨某商场地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图2所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆升起到如图3所示的位置，其示意图如图4所示（，，栏杆宽度忽略不计），已知，填空：________度． 【拓展应用】 如图5，已知，点E在上，点A在，之间，交于点D，过点A作于点B，平分，平分，若，，求的度数． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【问题情境】在数学课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动． 已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是与之间任意一点，连按、．直线，直线l分别交、于M、N两点． 【探索发现】（1）如图1，求证：； 【深入探究】（2）如图2，求证：； 【拓广探索】（3）如图3，平分，平分，过点F作的垂线交于点H，连接，，，求的度数． 4．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在学校开展的社团活动中，“数学大师”社团开展了题为《关于三角板的数学思考》综合实践活动，使用一副三角板，分别为三角板（，），三角板（，）． (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，点与点重合，且，________． (2)如图2，小亮将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板和三角板按图3的方式摆放，使顶点在直线上，顶点在直线上，，直角顶点与重合． ①若点、、在同一直线上，则与之间的关系式为________； ②若点、、不在同一直线上，其他条件不变，如图4，则、与之间的关系式为________． 5．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）学习了平行线的判定与性质后，小明在练习中看到这样一道题：“如图1，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，小明绕有兴趣的试着“玩”起数学来： 【基础巩固】 （1）小明把上题条件和结论互换，改成了：“如图1，平分，平分，，则．”小明认为这个结论正确．你赞同他的想法吗？请说明理由． 【尝试探究】 （2）小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角， ①若，求的度数； ②试说明：． 【拓展提高】 （3）如图3，若，，平分，请直接写出与的等量关系______． 6．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）实践与探究 学习了平行线后，张华通过折纸想出了过点P画直线的平行线的方法，折纸过程如下：①−②−③−④ （1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是 ；如图④， °，则与的位置关系为 ，依据是 ． （2）张华在（1）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的速度分别是/秒、/秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置，用含t的式子表示 ； （3）在（2）的条件下，在灯P射线第一次到达之前，Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？请直接写出结果． 7．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 【问题情境】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时，要适当添加平行线将其补充完整．把“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了数学中的转化思想．有这样一个问题： 如图①，，，，求的度数．小明的解题思路：过点作，通过平行线的性质来求的度数． 【问题解决】（1）按小明的思路，______ 【问题迁移】（2）如图②，，点在直线上运动，记，，当点在线段上（不与、重合）时，与，之间有何数量关系？请说明理由． 【问题应用】（3）在（2）的条件下，，点在直线上运动，如果点不在线段上，请直接写出与，之间的数量关系． 8．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若，点P在、内部，探究，，的关系．小明只完成了（1）的部分证明． (1)请你继续完成的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成 过点作． ∵， ∴________（             ） ∴____（             ） 又∵ ∴ ∴________． (2)小明猜想：是不是类似的问题都可以过点P作来实现等角转移从而推导出相应结论呢？．如图2，若，点P在、外部，，，的关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由． (3)探究：若，如图3，图4，请直接写出小于平角的，，之间的数量关系． 9．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）通过对下面几何图形的操作探究，解决下列问题． 如图所示的格线彼此平行．数学探究小组在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的角所满足的数量关系．利用三角板先画出点位于两条格线，之间，、与，分别相交于点、点，操作过程中与均为锐角． 【操作发现】 (1)①如图1，点在一条格线上，当时，的度数为______； ②如图2，点在两条格线之间，求的度数； 【综合应用】 (2)探究小组继续操作，分别做出的邻补角的角平分线和的邻补角的角平分线，两条角平分线所在的直线相交于，画出相应的图形并直接写出的度数．      平行线的判定和性质综合问题（解答题压轴）题型13 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图（1），直线与直线、分别交于点、．为钝角，． (1)求证：； (2)如图（2），点、分别在直线、上，点（不在直线上）是直线、之间一点，连接、、．若，，求等于多少度？ (3)如图（3），在（2）的条件下，平分交直线于点，平分交于点，交直线于点，若，，求的度数． 2．（23-24七年级下·黑龙江双鸭山·期末）在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》． (1)李华将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，的度数为___________； (2)如图2，张明将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点B在直线上，顶点C在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放，仍然使顶点B在直线上，顶点C在直线上，若，请直接写出与之间的关系式． 3．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)提出问题：如图1，若，点P在内部，求证：； (2)探索发现：将图1中直线绕点B逆时针方向转一定角度得，交直线于点Q（如图2），结合（1）中的结论，直接写出之间的数量关系； (3)拓展应用：如图3，交于点M，交于点N．已知，结合（2）中的结论计算，＿＿＿． 4．（23-24七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，，E，F分别为直线，上的一点． (1)如图①，点在直线，之间，且，写出和之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，点和直线分别在直线的两侧，写出，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，在（2）的条件下，的平分线与的平分线交于点H，直接写出与之间的数量关系． 5．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交CD于点Q，若，探究与的数量关系． 6．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图（1），直线与直线，分别交于点，，为钝角，．      (1)求证：； (2)如图（2），点分别在直线上，点（不在直线上）是直线之间一点，连接．若，求等于多少度？ (3)如图（3），在（2）的条件下，平分交直线于点，平分交于点，交直线于点．若，求的度数． 7．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点E，连接，后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，，与之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系． (1)请直接写出图①到图④各图中的，与之间的关系吗？ (2)请从图③④中，选一个说明它成立的理由． 8．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线，直线交于点M，交于点N，平分交于点H，．（本题不允许直接使用三角形内角和定理）        (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若平分，交于点G，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P在上，平分，延长线交于点Q，连接，若，求的度数． 9．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期末）（1）如图①，直线，是与之间的一点，连接，，易证：． （2）如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：． （3）如图③，，其他条件不变，，则有怎样的数量关系，请直接写出，不需证明．    10．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，平分交射线于点E，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F是射线上一点，过点F作交射线于点G，点N是上一点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，点P为延长线上一点，平分交于点M，若平分，，，求的度数． 11．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）（1）如图，已知，，试探究与的关系，并写出理由．    （2）在（1）的条件下，下图小于，与又有怎样的关系，并写出理由．    12．（22-23七年级下·黑龙江双鸭山·期末）七年级同学解决平行线问题时，遇到这样的问题，请你帮忙解决：已知，    (1)如图1，易证（不用证明）； (2)如图2，平分，平分．、所在直线交于点，若，，求的度数． 13．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 如图，直线，直线与分别交于点，（）．将一个含角的直角三角板按如图（1）放置，使点分别在直线上，且在点的右侧，，，．    (1)的度数为______； (2)若的平分线交直线于点，如图（2）． ①当，时，求的度数； ②将三角板保持并向左平移，求在平移的过程中______（用含的式子表示）． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列命题中真命题的个数是（   ）． （1）对顶角相等； （2）平行于同一直线的两条直线平行； （3）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； （4）两直线平行，同旁内角互补． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法中：①若，则；②三条直线两两相交可得到12对邻补角；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④点到直线的距离就是从直线外一点到这条直线的垂线段；正确的个数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（22-23七年级上·黑龙江鸡西·期末）如图AB，交于点O，，，平分，则下列结论：①图中的余角有四个；②∠AOF的补角有2个；③为的平分线；④．其中结论正确的序号是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①④ D．②③④ 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）直线与直线相交于点，，射线，则的度数为 ． 6．（22-23七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，，，三点在同一条直线上，在不添加辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使（填一个即可）．    7．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）完成下面的解题过程，并在括号内填上依据． 如图：已知，垂足为B，，，试证． 证明： （                ） （    ） ____________（                     ） （                     ） （    ） 又 （                     ） 8．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知，，点为射线上任意一点不与点重合，，分别平分和，交射线于点，点．    (1)图中　 　； (2)当时，　 　； (3)随点位置的变化，图中与之间的数量关系始终为　 　，请说明理由． 9．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线与直线交于G，H，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点P在如图所示位置，连接，猜想之间的等量关系并给出证明； (3)如图3，在（2）的条件下，平分平分，求的度数． 10．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图①，ABCD，M为平面内一点，若BM⊥MC，则易证∠ABM与∠DCM互余． (1)如图②，ABCD．点M在射线EA上运动，猜想点M在点A和D之间时，∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系，并证明． (2)在（1）的条件下，当点M在射线EA的其它位置上时（不与点E，A，D重合）请直接写出∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系． 11．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解： 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作DEBC． ∵DEBC， ∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC． 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°， ∴∠BAC+∠B+∠C=180°． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有 的功能． 方法运用： 如图2，已知ABDE，试说明：∠D+∠BCD-∠B=180°．（提示：过点C作CFAB） 解决问题： 如图3，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1= 度． 【拓展发现】 ①如图4，若ABDE，∠B、∠C、∠D有怎样的关系：______； ②如图5，若ABDE，∠B、∠C、∠D有怎样的关系：______． 12．（23-24七年级下·黑龙江黑河·期末）如图所示，，直线EF分别交AB，CD于点G，H，HN是∠DHG的平分线． (1)如果GM是∠BGE的平分线，（如图①）试判断并证明GM和HN的位置关系； 证明：∵， ∴∠BGE＝______（两直线平行，同位角相等．） ∵GM是∠BGE的平分线， ∴______＝______ ∵HN是∠DHG的平分线 ∴______＝______ ∴∠MGE＝∠NHG（等量代换） ∴GM和HN的位置关系是______，（___________________）． (2)如果GM是∠AGH的平分线，（如图②）（1）中的结论还成立吗？（不必证明） (3)如果GM是∠BGH的平分线，（如图③）（1）中的结论还成立吗？如果不成立，GM与HN又有怎样的位置关系？请直接写出你的猜想不必证明． 1 / 127 学科网（北京）股份有限公司 $$