精品解析：2025年安徽省淮南市九年级中考学情调研（三）数学试题

2024—2025安徽省淮南市中考学情调研卷（三） 数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在试题卷上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2， 故选：A． 2. 在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数轴的性质以及有理数的大小比较，解题的关键是根据数轴上点的位置判断出a，b的正负性和绝对值大小关系． 先根据数轴判断a，b的正负性与绝对值大小．再根据相反数的性质得到的正负性，最后比较的大小． 【详解】从数轴可知，，且， 根据相反数的性质， 的相反数的相反数， 所以， 故选：C． 3. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据三视图进行判断即可． 【详解】解：它的主视图是， 故选A． 4. 中科院合肥物质科学研究院等离子体物理研究所“人造太阳”之称的全超导托卡马克核聚变实验装置（EAST）实现1056秒的长脉冲高参数等离子体运行，“人造太阳”表面的温度高达1.6亿度，是太阳的数十倍，将数据1.6亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将数据1.6亿用科学记数法表示为． 故选：B． 5. 某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点和的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键； 设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，然后分别表示行驶的时间，最后由“乙同学比甲同学提前到达活动地点”建立方程即可． 【详解】解：设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，根据题意得： 故答案为：A． 6. 物理课上，小军手持一激光笔射入水中，如图，水面与水杯下沿平行，光线从空气射入水中，发生折射，若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，即可求出，进而求出答案，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， 故选：B． 7. 如图，在菱形 中，，点 是 的中点，以 为圆心，为半径作弧，交 于点 ，连接 、、 ，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、扇形面积计算，灵活运用图形割补法是解题的关键． 根据菱形性质与已知角度，可判定为等边三角形，结合中点条件得到；再由及推出的角度关系，进而得到为等边三角形；最后通过“阴影面积”的割补思路，代入等边三角形与扇形面积公式，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：如图，连接 ， 四边形 是菱形， ， 又， 是等边三角形，， 点 是 的中点， ，即 ， ，， ， ， 由对称性可得，， 是等边三角形， 在中，，， ，， ，， ． 故选：． 8. 在边长为4的正方形 中， 与 相交于点 ， 是同平面内的一动点，且 ， 是 中点，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由 是同平面内的一动点， ，可得点 为正方形外接圆上一点，延长 至H，使，由 是 中点，可得为的中位线，即，由三角形两边之和大于第三边可知，当点O，E，H三点共线时， 最小，利用勾股定理即可求出 最小值，进而求解． 【详解】解：∵ 是同平面内的一动点， ， ∴点 为正方形外接圆 上一点， 延长 至H，使， ∵ 是 中点， ∴为的中位线， ∴， 由三角形两边之和大于第三边可知，当点O，E，H三点共线时， 最小， 过点O作于M， ∵ 为正方形，边长为4， ， ， ， ， ∴的最小值， 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，正方形的外接圆，三角形中位线的性质，勾股定理，最短线段问题，画出图形，正确找到取最小值时点 的位置是解题的关键． 9. 已知实数 、 、满足，则下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当 、 、中有两个相等时， D. 二次函数与一次函数的图像只有一个交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，分式的求值，完全平方公式，根据题意可得，当，即，，据此可判断A；根据，可得，据此可判断B；分，，三种情况，讨论求解即可判断C；利用判别式得到方程的解的个数即可判断D． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当，即时，，故A正确，符合题意； 当时，则， ∴， ∴，故B错误，不符合题意； 当时，则； 当时，，若，则，若，则，解得，则，解得； 当时，也可按时讨论，故C错误，不符合题意； 由，可得， ∴根的判别式为， ∴二次函数与一次函数的图象有2个交点，故D错误，不符合题意． 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和 上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在，，之间三个阶段，用含x的代数式表示出的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可． 【详解】解： 菱形 的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上， ，， ， ， ，，， 设直线 的解析式为 ，将，代入，得： ， 解得， 直线 的解析式为． 轴， N的横坐标为x， （1）当M的横坐标x在之间时，点N在线段 上，中 上的高为， ， ， ， 该段图象为开口向上的抛物线； （2）当M的横坐标x在之间时，点N在线段 上，中， 上的高为， ， 该段图象为直线； （3）当M的横坐标x在之间时，点N在线段 上，中 上的高为， 由，可得直线 的解析式为， ，， ， ， 该段图象为开口向下的抛物线； 观察四个选项可知，只有选项A满足条件， 故选A． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及坐标与图形，菱形的性质，二次函数、一次函数的应用等知识点，解题的关键是分段求出函数解析式． 二、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 11. 因式分解：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，先提公因式 是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 如图，矩形的两边，在坐标轴上，且， ， 分别为，的中点，与交于点 ，且四边形的面积为，则经过点 的双曲线的解析式为 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，反比例函数的性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． 过 作，交于 ，过 作于 ，设，，由题意可知：，，，，证明，，，然后根据相似三角形的性质和解方程求出点 坐标即可． 【详解】解：过 作，交于 ，过 作于 ， 设，， 由题意可知：，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（负值已舍去） ∴，， ∴ 的坐标为， ∴， ∴经过 的双曲线的解析式就是， 故答案为：． 13. 如图，有一张平整的银杏叶平铺在的地面上，小惠同学为了了解该银杏叶的面积，进行了以下试验操作：先用一个边长为的正方形，将银杏叶围在其中；然后在正方形区域内随机投掷小针，记录小针投中银杏叶的次数（小针投在正方形区域外或投在边界上，则不计试验结果，重新投掷），随着试验次数增加，发现小针投中银杏叶的频率稳定在左右，根据以上试验结果，估计该银杏叶的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率来估计概率，解一元一次方程，先计算正方形的面积，再建立方程求解即可，解题关键是理解频率与概率的关系与概率计算公式，明确题中银杏叶的面积与正方形的面积比等于概率是解题的关键． 【详解】解：正方形面积为：， 设该银杏叶的面积为，依题意得： ， 解得：， ∴估计该银杏叶的面积为， 故答案为：． 14. 如图，在矩形 中，，点P是对角线 上一个动点，连接 ，以 为直角边在 右侧作等腰直角三角形，连接 ． （1）当点E落在 上时， 的长为________． （2） 的最小值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，等腰三角形的性质等知识，确定点E的运动轨迹是解题的关键与难点． （1）由勾股定理求得 的长，利用面积关系求得 的长，利用勾股定理求出，则可求得 ； （2）确定点E的轨迹为线段；连接，过点D作于点N，则 的最小值为线段的长；利用勾股定理求得的长，再利用面积关系即可求得的长，从而求得最小值． 【详解】解：（1）如图，在矩形 中，， ， ∴； ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴； 故答案为：； （2）如图，当点P与点B重合时，，即点E与点M重合，；当点P与点D重合时，绕D顺时针旋转后得，点E的轨迹为线段； 连接，过点D作于点N，则 的最小值为线段的长； ∵， ∴点F在线段 的延长线上，且； ∵， ∴， ∵， ∴ 即 的最小值为； 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式组，并求出整数解的和． 【答案】，6 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求整数解；先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集，再求出整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：，整数解为1，2，3； 不等式组的解集为，． 16. 图1、图2均为 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在给定的网格中，分别按下列要求作图． （1）在图1中，画一条线段 ，将线段 分为的两部分；（要求：点 ， 均在格点上） （2）在图2中的边 上找一点 ，在边 上找一点 ，连接 ，使，且相似比为． 【答案】（1） 如图1，为所求； （2） 如图2，为所求； 【解析】 【分析】此题考查了格点作图，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）在上取格点 ，使得，在格点B正上方取格点N，使得，连接交 于点 ，根据，证，推出，即可解答． （2）利用网格线的特点取格点，连接交于点E，使得，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，即相似比为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 列二元一次方程组解决问题：某商店决定购进甲、乙两种文创产品．若购进甲种文创产品7件，乙种文创产品3件，则费用是285元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品6件，则费用是210元．求购进的甲、乙两种文创产品每件的费用各是多少元？ 【答案】甲种文创产品每件的费用为30元，乙种文创产品每件的费用为25元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，建立二元一次方程组是解题的关键． 设甲种文创产品每件的费用为 元，乙种文创产品每件的费用为 元，由“若购进甲种文创产品7件，乙种文创产品3件，则费用是285元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品6件，则费用是210元”建立方程组求解即可． 【详解】解：设甲种文创产品每件的费用为 元，乙种文创产品每件的费用为 元， 由题意可得， 得：， 将代入②中可得：， ∴， 答：甲种文创产品每件的费用为30元，乙种文创产品每件的费用为25元． 18. 观察下列等式，其中反映了某种规律： ；；， （1）按照这种规律在括号里填入相应的数：； （2）请你用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式． 【答案】（1）24，24 （2）第n个式子是：（n为正整数，且）； 证明： （n为正整数，且）． 【解析】 【分析】（1）根据题目给出的例子求出相应的值； （2）由规律结合（1）探求的结果可以写出用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律；证明时，先被开方数通分，然后加减，最后化简结果． 【小问1详解】 解： ；；，， ， 故答案为：24，24； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查算术平方根、规律型：数字的变化类，掌握算术平方根定义的应用，数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式是解题关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图为一名滑板运功员在滑板过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的膝盖以下部分与斜坡 垂直，大腿 与斜坡 平行，H为头部．假设三点D，F，H三点在同一条直线上，且头部到斜坡的距离 为1.04米，上身与大腿夹角，膝盖F与滑雪板后端E的距离 长为0.8米，若，则此运动员的身高约为多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：，，） 【答案】约为 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．先根据含角的直角三角形性质求得，再利用求出，根据分别求出和 ，即可得到答案． 【详解】解：在中，， 则， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴，， ∴， 答：此运动员的身高约为． 20. 如图， ， 是 的直径，点 在 上，连接 交 于点 ，连接 交 于点． （1）求证：； （2）过点 作 的切线交 的延长线于点 ．若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）的长为． 【解析】 【分析】（1）证明，利用垂径定理即可证明； （2）设，则，，证明，推出，，求得，，得到，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∵， ∴设，则，， ∵ 是 的切线， 是 的直径， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 即，， ∴，， ∴， 整理得， 解得， ∴，， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， ∵， ∴， ∴，即的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 六、（本大题满分12分） 21. 每年6月6日为“全国爱眼日”．按照国家视力健康标准，学生视力状况如表所示． 类别 A B C D 视力 视力 4.9 视力 视力 健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良 为了解某学校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图，本次抽查的学生中， 类所在扇形的圆心角的度数是______； （2）对于本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为______类； （3）已知该校共有300名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数． 【答案】（1） 补全条形统计图，如下： （2）B （3）135人 【解析】 【分析】（1）首先利用 组的人数和所占的百分比求得总人数，然后乘以 类所占的百分比即可求得 类学生的人数； （2）用周角乘以 类所占的百分比即可； （3）用样本数据估计总体数据即可． 【小问1详解】 解：观察两个统计图知： 类有7人，占， 所以调查的总人数为（人， 视力情况属于 类的学生有（人， 类所在扇形的圆心角的度数为． 【小问2详解】 解：每类人数分别为4人，7人，8人，1人，共20人， 所以中位数为第10人和第11人的平均数，均落在了 类， 所以本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为 类． 【小问3详解】 解：（人， 所以估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数为135人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、统计表、中位数以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据． 七、（本大题满分12分） 22. 在中，，将绕点 顺时针旋转，得到，以 和 为边作（点 与点 不重合），直线 与射线交于点 ． （1）如图1，当是直角三角形，时，求证：； （2）如图2，当是锐角三角形时，求证：四边形是菱形； （3）直线 与射线 交于点 ，若，直接写出的值． 【答案】（1） 证明：将绕点 顺时针旋转，得到， ∴ ，， ∵四边形 是平行四边形， ∴平行四边形 是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明：延长至点H，使得，连接 ， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 由旋转得，，， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． （3）或1 【解析】 【分析】（1）根据题意可证平行四边形 是菱形，再证，可得，由此即可求解； （2）延长至点H，使得，连接 ，可得是等边三角形，因此，，由旋转得，，，从而证得．证明，得到，即可推出，证得，因此四边形是平行四边形，进而根据菱形的定义得证结论； （3）分两种情况求解：①直线 与线段 交于点 ；②直线 与线段 的延长线交于点 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：分两种情况讨论： ①如图，若直线 与线段 交于点 ， 由（2）有， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得， 由（2）有是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②如图，若直线 与线段 的延长线交于点 ， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得， 延长至点N，使得，连接 ， ， 由（2）有是等边三角形， ∴，， ∴， 由（1）有四边形 是菱形，且， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的值为或1． 【点睛】本题考查等边三角形的判定及性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的性质，菱形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，综合运用相关知识，正确作出辅助线，掌握分类讨论思想是解题的关键． 八、（本大题满分14分） 23. 已知拋物线 （a，b，c为常数）． （1）若直线是抛物线的对称轴，且，抛物线与 轴交于A，B两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ．点 是点 关于抛物线对称轴的对称点，过A，D两点的直线与 轴交于点E． ①求抛物线的解析式； ②若点 是拋物线上的点，点 的横坐标为，过点 作轴，垂足为 ．线段与直线交于点 ，当时，求点 的坐标； （2）若，抛物线过点，与y轴交于点C，将点B绕点顺时针旋转（旋转角小于）得到点，当点恰好落在抛物线上，且满足时，求n的值． 【答案】（1）①；②点 的坐标为或 （2）n的值为 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法即可求解； ②先求出点的坐标为，再求出点的坐标为，最后利用待定系数法和函数图象求解即可； （2）先用待定系数法求出抛物线解析式以及点C的坐标，过点N作于点F，过点N作交延长线于点G，则，进一步可得出，由选旋转的性质可得出，结合已知条件可得出，利用证明，由全等的性质可得出，由角平分线的性质定理可得出，即，再用待定系数法求出，进一步可求出的坐标，设，根据，列出关于n的方程求解即可． 【小问1详解】 解：①∵抛物线 的对称轴为直线 ，且， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； ②令 ，得， ∴解得，， ∴，， 令，得 ． ∴， ∵点 是点 关于抛物线对称轴的对称点，对称轴为直线 ， ∴， 设直线的详解式为： ， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的详解式为：． 如图，设点 的坐标为（其中）， 则，． 当时， 可得， ∴或 解得：，（舍去）． 当时，， ∴点 的坐标为； 解得：，（舍去）． 当时，， ∴点 的坐标为； 综上，点 的坐标为或； 【小问2详解】 解：∵抛物线过点，得， 又∵， 解得：，， ∴抛物线的解析式为， 当时， ， ∴ 过点N作交B'C于点F，过点N作交延长线于点G， 则， ∴， 设与x轴交于K，由旋转可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的解析式为， ∴， 解得，， ∴， 设， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式，二次函数综合面积问题，全等三角形的判定以及性质，旋转的性质，两点之间的距离公式等等知识点，作出正确的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025安徽省淮南市中考学情调研卷（三） 数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在试题卷上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 中科院合肥物质科学研究院等离子体物理研究所“人造太阳”之称的全超导托卡马克核聚变实验装置（EAST）实现1056秒的长脉冲高参数等离子体运行，“人造太阳”表面的温度高达1.6亿度，是太阳的数十倍，将数据1.6亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点和的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 物理课上，小军手持一激光笔射入水中，如图，水面与水杯下沿平行，光线从空气射入水中，发生折射，若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形 中，，点 是 的中点，以 为圆心，为半径作弧，交 于点 ，连接 、、 ，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在边长为4的正方形 中， 与 相交于点 ， 是同平面内的一动点，且 ， 是 中点，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知实数 、 、满足，则下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当 、 、中有两个相等时， D. 二次函数与一次函数的图像只有一个交点 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 11. 因式分解：__________ 12. 如图，矩形的两边，在坐标轴上，且， ， 分别为，的中点，与交于点 ，且四边形的面积为，则经过点 的双曲线的解析式为 ______ ． 13. 如图，有一张平整的银杏叶平铺在的地面上，小惠同学为了了解该银杏叶的面积，进行了以下试验操作：先用一个边长为的正方形，将银杏叶围在其中；然后在正方形区域内随机投掷小针，记录小针投中银杏叶的次数（小针投在正方形区域外或投在边界上，则不计试验结果，重新投掷），随着试验次数增加，发现小针投中银杏叶的频率稳定在左右，根据以上试验结果，估计该银杏叶的面积为____． 14. 如图，在矩形 中，，点P是对角线 上一个动点，连接 ，以 为直角边在 右侧作等腰直角三角形，连接 ． （1）当点E落在 上时， 的长为________． （2） 的最小值是________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式组，并求出整数解的和． 16. 图1、图2均为 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在给定的网格中，分别按下列要求作图． （1）在图1中，画一条线段 ，将线段 分为的两部分；（要求：点 ， 均在格点上） （2）在图2中的边 上找一点 ，在边 上找一点 ，连接 ，使，且相似比为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 列二元一次方程组解决问题：某商店决定购进甲、乙两种文创产品．若购进甲种文创产品7件，乙种文创产品3件，则费用是285元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品6件，则费用是210元．求购进的甲、乙两种文创产品每件的费用各是多少元？ 18. 观察下列等式，其中反映了某种规律： ；；， （1）按照这种规律在括号里填入相应的数：； （2）请你用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图为一名滑板运功员在滑板过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的膝盖以下部分与斜坡 垂直，大腿 与斜坡 平行，H为头部．假设三点D，F，H三点在同一条直线上，且头部到斜坡的距离 为1.04米，上身与大腿夹角，膝盖F与滑雪板后端E的距离 长为0.8米，若，则此运动员的身高约为多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：，，） 20. 如图， ， 是 的直径，点 在 上，连接 交 于点 ，连接 交 于点． （1）求证：； （2）过点 作 的切线交 的延长线于点 ．若，求的长． 六、（本大题满分12分） 21. 每年6月6日为“全国爱眼日”．按照国家视力健康标准，学生视力状况如表所示． 类别 A B C D 视力 视力 4.9 视力 视力 健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良 为了解某学校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图，本次抽查的学生中， 类所在扇形的圆心角的度数是______； （2）对于本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为______类； （3）已知该校共有300名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数． 七、（本大题满分12分） 22. 在中，，将绕点 顺时针旋转，得到，以 和 为边作（点 与点 不重合），直线 与射线交于点 ． （1）如图1，当是直角三角形，时，求证：； （2）如图2，当是锐角三角形时，求证：四边形是菱形； （3）直线 与射线 交于点 ，若，直接写出的值． 八、（本大题满分14分） 23. 已知拋物线 （a，b，c为常数）． （1）若直线是抛物线的对称轴，且，抛物线与轴交于A，B两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ．点 是点 关于抛物线对称轴的对称点，过A，D两点的直线与 轴交于点E． ①求抛物线的解析式； ②若点是拋物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为 ．线段与直线交于点 ，当时，求点的坐标； （2）若，抛物线过点，与y轴交于点C，将点B绕点顺时针旋转（旋转角小于）得到点，当点恰好落在抛物线上，且满足时，求n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $