广东省广州市越秀区第二中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

广州市第二中学2024学年第一学期第二阶段学情反馈 初三年级 数学 试卷（满分120分） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程有实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 无法确定 3. 已知一元二次方程有一个根为，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 5. 如果一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ） A. B. C. D. 6. “读万卷书，行万里路”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均课外阅读量从七年级的每年万字增加到九年级的每年万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象是（ ） A. B. C. D. 8. 设，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 图象关于直线对称 B. 当时，随的增大而增大 C. 和是方程的两个根 D. 函数的最小值是 10. 如图1，在中，，，分别是边，上的动点，且，是的中点，连接，，，设，的面积为，图2是关于的函数图象，则下列说法不正确的是（ ） A. 是等腰直角三角形 B. C. 的周长可以等于 D. 四边形的面积为 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 抛物线的对称轴是 . 12. 抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线解析式为 . 13. 年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了场，设参赛的队伍有支，则可列方程 . 14. 若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为 . 15. 如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，则道路的宽为 . 16. 如图，已知抛物线的对称轴在轴右侧，抛物线与轴交于点和点，与轴的负半轴交于点，且，则下列结论：①；②；③；④当时，在轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点，（点在点左边），使得．其中正确的结论是 （填写序号）. 三、解答题（本大题共9小题，共72分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17.（4分）解方程：. 18.（4分）如图，点、、、在一条直线上，且，，求证：. 19.（6分）已知二次函数的图象经过，两点. （1）求和的值； （2）在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象. 20.（6分）已知代数式． （1）化简； （2）若是方程的根，求的值． 21.（8分）如图，要使用长为米的篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃. （1）如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为多少米？ （2）若墙的最大可用长度为米，当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是多少米？ 22.（10分）中秋期间，某商场以每盒元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒． （1）设售价每盒下降元，则每天能售出 盒（用含的代数式表示）； （2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到元； （3）该商场每天所获得的利润是否能达到元？请说明理由． 23.（10分）护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形. 已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为. 设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． （1）求图中水柱所在抛物线的函数表达式； （2）若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离； （3）给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 24.（12分）已知的一条边的长为，另两边，的长是关于的一元二次方程 的两个实数根． （1）求证：无论为何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）为何值时，是以为斜边的直角三角形； （3）为何值时，是等腰三角形，并求的周长. 25.（12分）如图，已知直线交轴正半轴于点，与轴正半轴交于点，抛物线 经过、两点，交轴负半轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点的坐标； （3）在（2）的结论下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广州市第二中学2024学年第一学期第二阶段学情反馈 初三年级 数学 试卷（满分120分） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A. ，是二元一次方程，故本选项不符合题意． B. ，是一元三次方程，故本选项不符合题意． C. ，是分式方程，故本选项不符合题意． D. ，该一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 若方程有实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】方程有实数解， ， ， 故选：B． 3. 已知一元二次方程有一个根为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】把代入方程得， 解得． 故选：D． 4. 用配方法解方程，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】移项，得， 配方得，， ． 故选：D． 5. 如果一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，，， 时，一元二次方程能用公式法求解， 故选：A． 6. “读万卷书，行万里路”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均课外阅读量从七年级的每年万字增加到九年级的每年万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为， 则， 故选：A． 7. 二次函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由二次函数可得：开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； 故选：C． 8. 设，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，是方程的两个实数根， ，， ， 故选：B. 9. 已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 图象关于直线对称 B. 当时，随的增大而增大 C. 和是方程的两个根 D. 函数的最小值是 【答案】B 【解析】A．因为抛物线的对称轴为直线，所以二次函数的图象关于直线对称，所以A选项的说法正确； B．当时，随的增大而减小，所以B选项的说法错误； C．因为抛物线与轴的一个交点为，而抛物线的对称轴为直线，则抛物线与轴的另一个交点坐标为，即或时，，所以C选项的说法正确； D．因为抛物线顶点坐标为，则时，二次函数有最小值，所以D选项的说法正确． 故选：B． 10. 如图1，在中，，，分别是边，上的动点，且，是的中点，连接，，，设，的面积为，图2是关于的函数图象，则下列说法不正确的是（ ） A. 是等腰直角三角形 B. C. 的周长可以等于 D. 四边形的面积为 【答案】C 【解析】A．连接， 为等腰直角三角形，是的中点， ， 而， ， ，， ，， 是等腰直角三角形， 故A正确； B．设，， ， 当时，有最大值， 故，此时， 故B正确； C．的周长， 而， 即的周长， 故C错误； D．四边形的面积． 故D正确； 故选：C. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 抛物线的对称轴是 . 【答案】直线 【解析】抛物线的对称轴是直线， 故答案为：直线． 12. 抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线解析式为 . 【答案】 【解析】抛物线先向左平移个单位，所得到的抛物线的解析式为， 再向上平移个单位，所得到的抛物线的解析式为， 故答案为：． 13. 年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了场，设参赛的队伍有支，则可列方程 . 【答案】 【解析】设共有支队伍参加比赛， 根据题意，可得， 故答案为：. 14. 若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为 . 【答案】 【解析】函数的图象与轴有且只有一个交点， ， 解得：, 故答案为：． 15. 如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，则道路的宽为 . 【答案】 【解析】根据题意，设道路的宽为，绿化的面积为， ∴， 解得或（舍去）， 故道路的宽为， 故答案为：. 16. 如图，已知抛物线的对称轴在轴右侧，抛物线与轴交于点和点，与轴的负半轴交于点，且，则下列结论：①；②；③；④当时，在轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点，（点在点左边），使得．其中正确的结论是 （填写序号）. 【答案】①②③ 【解析】①从图像观察，开口朝上，所以， 对称轴在轴右侧，所以， 图像与轴交点在轴下方，所以 ，，所以①正确； ②点和点，与轴的负半轴交于点，且 设代入，得：， ， ，所以②正确； ③，， 设抛物线解析式为：过， ， ，所以③正确； ④如图：设，交点为，对称轴与轴交点为，顶点为， 根据抛物线的对称性，是等腰直角三角形， ，， ， ， 又对称轴 ， ， 由顶点坐标公式可知 ， ， ， 由题意， 解得或者 由①知， ，所以④不正确． 综上所述：①②③. 三、解答题（本大题共9小题，共72分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17.（4分）解方程：. 【答案】， 【解析】 或 ，. 18.（4分）如图，点、、、在一条直线上，且，，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】， ， 在和中， ， . 19.（6分）已知二次函数的图象经过，两点. （1）求和的值； （2）在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象. 【答案】（1），；（2）答案见解析 【解析】（1）将，两点代入解析式， 得， 解得， ，； （2）由（1）得二次函数的解析式是， 列表， 描点、连线， 20.（6分）已知代数式． （1）化简； （2）若是方程的根，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1） ； （2）解方程，得，， 由题意知：，解得， 是方程的根， ，（舍去） ． 21.（8分）如图，要使用长为米的篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃. （1）如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为多少米？ （2）若墙的最大可用长度为米，当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是多少米？ 【答案】（1）的长为米或米；（2）此时花圃的长和宽分别是米，米 【解析】（1）设米，则米， 依题意得， 解得，， 答：如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为米或米； （2）设米，则米，花圃的面积为平方米， ， 墙的最大可用长度为米， ， 解得， 当时，取得最大值，此时，， 答：当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是米，米. 22.（10分）中秋期间，某商场以每盒元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒． （1）设售价每盒下降元，则每天能售出 盒（用含的代数式表示）； （2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到元； （3）该商场每天所获得的利润是否能达到元？请说明理由． 【答案】（1）；（2）当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润恰好能达到元；（3）该商场每天所获得的利润不能达到元 【解析】（1）设售价每盒下降元，则每天能售出盒， 故答案为：； （2）由题意得：， 解得：，， （元），（元）， 答：当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润恰好能达到元； （3）不能，理由如下， 设售价每盒下降元，该商场每天所获得的利润是元， 由题意得：， 整理得：， ， 方程无解， 该商场每天所获得的利润不能达到元． 23.（10分）护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形. 已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为. 设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． （1）求图中水柱所在抛物线的函数表达式； （2）若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离； （3）给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 【答案】（1）水柱所在抛物线的函数表达式为；（2）此时喷到处的水柱距出水口的水平距离为；（3）浇灌装置还要升高米 【解析】（1）根据题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将代入，可得， 解得 ， 水柱所在抛物线的函数表达式为； （2）对于抛物线， 令，可得， 整理可得， 解得，（舍去）， 该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，此时喷到处的水柱距出水口的水平距离为； （3）设浇灌装置还要升高米，则抛物线解析式为， 对于直线：， 令，可得， 解得，即， 将点代入， 可得， 解得， 浇灌装置还要升高米． 24.（12分）已知的一条边的长为，另两边，的长是关于的一元二次方程 的两个实数根． （1）求证：无论为何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）为何值时，是以为斜边的直角三角形； （3）为何值时，是等腰三角形，并求的周长. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当时，的周长是；当时，的周长是 【解析】（1）由题意得， ， 无论为何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2），的长是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ， 解得或， ， ， ； （3）由（1）可知方程有两个不相等的实数根， ， 为腰， 是方程的一个根， ， ， 解得或， 当时，，则周长是， 当时，，则周长是， 综上所述，的周长是或. 25.（12分）如图，已知直线交轴正半轴于点，与轴正半轴交于点，抛物线经过、两点，交轴负半轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点的坐标； （3）在（2）的结论下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）点的坐标为；（3）在抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，的坐标为或或 【解析】（1）把和代入抛物线中得： ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）如图，过作轴，交直线于， ，， ， ， 当最大时，四边形面积最大， 设，则， ， ， ， 当时，最大，此时四边形的面积最大， ， 当四边形面积最大时，点的坐标为； （3）抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ， 在中，令得， ， 由得抛物线对称轴为直线， 设，， ①，为对角线时，，的中点重合， ， 解得， ； ②，为对角线， ， 解得， ； ③，为对角线， ， 解得， ， 综上所述，的坐标为或或. 学科网（北京）股份有限公司 $$