精品解析：云南省昆明市云南师范大学实验中学2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷

（2024-2025下）八年级期中试卷 数学 （全卷满分：100分 考试时间：120分钟） 命题：王爱龙、管勇 审题：王爱龙 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. 4，5，6 C. 1，1， D. 7，24，25 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 云南昆明斗南花市是亚洲最大的国际鲜花交易市场．如表所示，某鲜花的单价为元/枝，甲同学购买了20枝，金额为30元，若乙同学购买了枝，金额为元，则，下列说法正确的是（ ） 单价（单位：元/枝） 数量（单位：枝） 20 金额（单位：元） 30 A. 数量是自变量 B. 金额是自变量 C. 是因变量 D. 是常量 4. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于正比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 其图象经过原点 B. 其图象是一条直线 C. 随的增大而增大 D. 点在其图象上 6. 如图，直线，下面关于与的面积，说法正确的是（ 　） A. 面积大 B. 的面积大 C. 面积相等 D. 不确定 7. 如图，数轴上点O表示的数是0，点A表示的数是2，，垂足为A，且，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，点C表示的数为（ ） A B. C. D. 8. 下列说法不正确的是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 有一组邻边相等的四边形是菱形 9. 若是整数，则正整数的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 下列命题的逆命题成立的是（） A. 对顶角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 两直线平行，内错角相等 D. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 11. 如图，在菱形中，，对角线，交于点，为的中点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（ ） A. B. C. D. 13. 如图，已知点，的坐标分别为，，连接，取的中点，连接．则的长度为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 8 14. 如图，矩形中，相邻两个正方形和的面积分别为2和4，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 2 B. C. D. 15. 已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中表示张强离家的时间，表示张强离家的距离，则下列结论正确的是（ ） A. 张强从家到体育场用了 B. 张强在体育场锻炼了 C. 张强从文具店回家速度是 D. 体育场离文具店 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______________． 17. 如图，在中，点、分别是边、的中点，，则______． 18. 如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，，则的值为______________． 19. 如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，所对的边分别为a，b，c，，，，则边上的高的长为___________． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： （1）； （2） 21. 如图，在平行四边形中，已知和分别是边，的中点．证明：． 22. 如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 23. 已知：，． （1）求的值； （2）求的值． 24. 如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即为），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）求秋千的长度． （2）如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_______m． 25. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若菱形的周长为20，四边形的周长为14，求四边形的面积． 26. 已知如下三个正比例函数：，，． （1）若，两点均在的图象上，求的值； （2）若点在的图象上，点在的图象上，点在的图象上，且，求的值． 27. 如图，在边长为6正方形中，为边上一动点（点不与，重合），连接，以为直角边作等腰直角三角形， （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，连接和，设，以下结论：①；②；③．你认为哪个正确？并证明； （3）如图3，等腰直角三角形的斜边与边相交于点，若点是的中点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ （2024-2025下）八年级期中试卷 数学 （全卷满分：100分 考试时间：120分钟） 命题：王爱龙、管勇 审题：王爱龙 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. 4，5，6 C. 1，1， D. 7，24，25 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴，，能作为直角三角形的三边长，不符合题意； B、∵， ∴4，5，6不能作为直角三角形的三边长，符合题意； C、∵， ∴，1，能作为直角三角形的三边长，不符合题意； D、∵， ∴7，24，25能作为直角三角形的三边长，不符合题意； 故选：B. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 云南昆明斗南花市是亚洲最大的国际鲜花交易市场．如表所示，某鲜花的单价为元/枝，甲同学购买了20枝，金额为30元，若乙同学购买了枝，金额为元，则，下列说法正确的是（ ） 单价（单位：元/枝） 数量（单位：枝） 20 金额（单位：元） 30 A. 数量是自变量 B. 金额是自变量 C. 是因变量 D. 是常量 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中，不变的量叫做常量，变化的量叫做变量，能够影响其它量变化的量叫做自变量，随着其他变量变化的量叫做因变量，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，数量是自变量，金额是因变量，是常量， 故选：A． 4. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：A、被开方数，含开得尽方的因数4，故不是最简二次根式； B、是最简二次根式，符合题意； C、被开方数是分数，故不是最简二次根式； D、被开方数是分数，故不是最简二次根式． 故选：B 5. 关于正比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 其图象经过原点 B. 其图象是一条直线 C. 随的增大而增大 D. 点在其图象上 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质和图象，正比例函数图象是一条经过原点的直线，据此可判断A、B；根据解析式可得增减性，即可判断C；求出当时的函数值即可判断D． 【详解】解：正比例函数图象是一条经过原点的直线，故A、B说法正确，不符合题意； ∵正比例函数解析式为，， ∴随的增大而减小，故C说法错误，符合题意； 在中，当时，， ∴点在其图象上，故D说法正确，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，直线，下面关于与的面积，说法正确的是（ 　） A. 的面积大 B. 的面积大 C. 面积相等 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线间距离处处相等以及同底等高的两个三角形的面积相等即可得到答案． 【详解】解：由且平行线间距离处处相等，即可得到与的边上的高相等，同底等高的两个三角形的面积相等， 即与的面积相等， 故选：C 【点睛】此考查了平行线间的距离、三角形的面积等知识，熟练掌握平行线间距离处处相等是解题的关键． 7. 如图，数轴上的点O表示的数是0，点A表示的数是2，，垂足为A，且，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，点C表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，勾股定理求出的长，进而得到的长，进而得到点表示的数即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∵点在原点的左侧， ∴点C表示数为； 故选A． 8. 下列说法不正确的是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 有一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形和平行四边形的性质，正方形和菱形的判定定理，熟知矩形和平行四边形的性质，正方形的判定定理和菱形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，原说法正确，不符合题意； B、平行四边形的对角线互相平分，原说法正确，不符合题意； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，原说法正确，不符合题意； D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 9. 若是整数，则正整数的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握是解答本题的关键． 根据若是整数，则是平方数求解即可． 【详解】解：∵是整数， ∴是平方数， ∴正整数n的最小值为． 故选：C 10. 下列命题的逆命题成立的是（） A. 对顶角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 两直线平行，内错角相等 D. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了逆命题及命题真假的判断，解题关键在于准确写出各命题的逆命题，并依据相关数学定义、定理判断其真假． 先分别写出各选项命题的逆命题，再依据对顶角、全等三角形、平行线、实数绝对值的相关性质和判定，逐一判断逆命题是否成立． 【详解】A．逆命题是“相等的角是对顶角”．相等的角不一定是对顶角，比如两直线平行，同位角相等，但同位角不是对顶角，所以该逆命题不成立，故该选项不符合题意； B．逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”．对应角相等的三角形不一定全等，可能只是相似，比如两个等边三角形，角都相等，但边长不一定相等，所以不一定全等，该逆命题不成立，故该选项不符合题意； C．逆命题是“内错角相等，两直线平行”．这是平行线的判定定理，是成立的，，故该选项符合题意； D．逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”．两个实数绝对值相等，这两个数可能相等，也可能互为相反数，比如，但，所以该逆命题不成立，故该选项不符合题意； 故选：C． 11. 如图，在菱形中，，对角线，交于点，为的中点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，三角形中位线的性质．根据菱形对角线的性质得到，，进而推出是的中位线，根据三角形中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴． 故选：B． 12. 按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式发现第n个单项式的系数为，字母部分为，即可求解． 【详解】解：各单项式的系数依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的系数为． 各单项式的字母部分依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的字母部分为． 综上，第个单项式为． 故选：D 13. 如图，已知点，的坐标分别为，，连接，取的中点，连接．则的长度为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，先根据点的坐标得到，再由勾股定理求出的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，， ∴， ∵， ∴， ∵C是中点， ∴， 故选：B． 14. 如图，矩形中，相邻两个正方形和的面积分别为2和4，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 先求出大、小正方形的边长，进而求出两个阴影图形面积之和即可． 【详解】解：由图可得，正方形和的边长分别为， ∴， ∴， 故选：C． 15. 已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中表示张强离家的时间，表示张强离家的距离，则下列结论正确的是（ ） A. 张强从家到体育场用了 B. 张强在体育场锻炼了 C. 张强从文具店回家的速度是 D. 体育场离文具店 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象提供的信息，进行计算，逐项判断即可得解，读懂函数图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得： 张强从家到体育场用了，故A选项错误，不符合题意； 张强在体育场锻炼了，故B选项错误，不符合题意； 张强从文具店回家的速度是，故C选项错误，不符合题意； 体育场离文具店，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：要使式子在实数范围内有意义，则， 即． 故答案为： 17. 如图，在中，点、分别是边、的中点，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：点、分别是边、的中点，， 是的中位线， ， 故答案为：2． 18. 如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，，则的值为______________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理得到，即，进而即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴． 故答案为：4 19. 如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，所对的边分别为a，b，c，，，，则边上的高的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据a、b、c的值，求出p的值，代入公式计算即可求出S，再根据三角形面积公式即可求出边上的高． 【详解】解：，，， ， ， 设边上高的长为h， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的四则混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先计算二次根式乘除法，再计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 如图，在平行四边形中，已知和分别是边，的中点．证明：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，根据平行四边形的性质得到，，进而根据中点得到，即可证得四边形是平行四边形，可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵和分别是边，的中点， ∴，， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴． 22. 如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，连接， 由勾股定理求得的值，再证明为直角三角形，得到，最后根据代入数据进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接 ∵，，，， ∴根据勾股定理得：， 又∵，， ∴，， ， 为直角三角形，， ∴． 23. 已知：，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确求出的值是解题的关键． （1）先求出的值，再根据代值计算即可； （2）根据代值计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴． 24. 如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即为），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）求秋千的长度． （2）如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_______m． 【答案】（1）5 （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，矩形的性质和判定， 对于（1），由题意得，再证明四边形是矩形，可得，则，然后设秋千的长度为，则，在，根据勾股定理得出方程，求出解即可； 对于（2），当时，可知，，进而的得，在中，根据勾股定理求出答案即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，则． 设秋千的长度为，则． 在，根据勾股定理，得， 即， 解得． 所以秋千得长度为5m； 【小问2详解】 解：当时，，则，得， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得． 所以将秋千往前推送3m． 故答案为：3． 25. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若菱形的周长为20，四边形的周长为14，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． （1）根据菱形的性质可得，再根据，可得四边形是平行四边形，进而证明四边形是矩形； （2）根据题意菱形和矩形周长计算公式可得，由勾股定理得，据此根据完全平方公式的变形求出的结果即可得到答案． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：菱形的周长为20，矩形的周长为14， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴, ∴, ∴矩形的面积为12. 26. 已知如下三个正比例函数：，，． （1）若，两点均在的图象上，求的值； （2）若点在的图象上，点在的图象上，点在的图象上，且，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式和正比例函数值，正比例函数与几何综合，熟知正比例函数的相关知识是解题的关键． （1）把代入到求出的解析式，再把代入中计算求解即可； （2）求出，则，再根据题意建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入到中得，解得， ∴正比例函数的解析式为， 在中，当时，，即； 【小问2详解】 解：∵点在的图象上，点在的图象上，点在的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，A、B、C三点都与原点重合，此时没有线段，不符合题意； 当时，则， ∴或， 解得或； 综上所述，或． 27. 如图，在边长6正方形中，为边上一动点（点不与，重合），连接，以为直角边作等腰直角三角形， （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，连接和，设，以下结论：①；②；③．你认为哪个正确？并证明； （3）如图3，等腰直角三角形的斜边与边相交于点，若点是的中点，求的长． 【答案】（1） （2）②正确，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，从而根据勾股定理求得，进而在等腰直角中求出； （2）在上取点H，使得，得到等腰直角，从而，证明，得到，进而推出，从而根据勾股定理有，即可得到； （3）由中点的定义得到．延长至点M，使得，连接．证明，得到，，进而证明，可得，因此．设，则，．在中，根据勾股定理构造方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：②正确，证明如下： 在上取点H，使得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴，即， ∵， ， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴． ∵在正方形中，，平分， ∴， ∴， ∴在中，， ∵在中，， ∴，即． 【小问3详解】 解：∵点E是的中点， ∴． 延长至点M，使得，连接． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 设，则，， ∵在中，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的性质．正确作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定及性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $