精品解析：安徽省亳州市蒙城县庄子中学联盟2024-2025学年下学期七年级期中考试数学试卷

2024-2025学年度七年级数学期中文化素质诊断 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列实数中，是无理数的是（　　） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：由无理数的定义可知，四个数中只有是无理数， 故选：D． 2. 下列运算中，正确的是（　　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、除法，积的乘方，合并同类项，进行计算判断即可． 【详解】解：A中，错误，故不符合要求； B中，错误，故不符合要求； C中，错误，故不符合要求； D中，正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、除法，积的乘方，合并同类项．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 3. 已知，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式性质判断即可：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘（或除）同一个负数，不等号的方向变． 本题考查不等式性质，熟记概念是关键． 【详解】解：∵ A、∴，故该选项错误； B、∴，故该选项错误； C、∴，∴，故该选项正确； D、即，不等号两边乘不是同一个数，不能比较，故该选项错误； 故选：C． 4. 下列式子不能因式分解的是( ) A. x2－4 B. 3x2＋2x C. x2＋25 D. x2－4x＋4 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、x2-4=（x+2）（x-2），故选项不符合题意； B、3x2+2x=x（3x+2），故选项不符合题意； C、x2+25不能分解，选项符合题意； D、x2-4x+4=（x-2）2，故选项不符合题意． 故选C． 【点睛】因式分解的意义． 5. 我国古代数学家祖冲之推算出近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可． 【详解】解：． 故选：A． 6. 越越是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应城、爱、我、蒙、游、美这六个汉字，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是(　　) A. 我爱美 B. 蒙城游 C. 爱我蒙城 D. 美我蒙城 【答案】C 【解析】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式把（x2-y2）a2-（x2-y2）b2因式分解，然后利用对应的汉字信息可得到结果呈现的密码信息． 【详解】解：（x2-y2）a2-（x2-y2）b2=（x2-y2）（a2-b2） =（x+y）（x-y）（a+b）（a-b）， 所以结果呈现的密码信息可能为爱我蒙城或我爱蒙城等． 故选C． 【点睛】本题考查了因式分解的应用：因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 7. 已知，则的值是（ ） A. 1 B. 7 C. 11 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法的逆运算，熟知， 是解题的关键；先根据幂的乘方的逆运算求出，再根据同底数幂的乘除法逆运算求出，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 8. 使分式有意义的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关．根据分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得， ∴． 故选D． 9. 已知，则代数式的值是（ ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵， ∵ ∴ ∴ 故选：D． 10. 已知关于的不等式组下列四个结论： ①若，则是该不等式组的一个解； ②若该不等式组无解，则； ③若该不等式组的解集为，则； ④若该不等式组只有三个整数解，则． 其中正确的结论个数（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，理解一元一次不等式组的解集的概念是解题的关键． 根据不等式组的解集对各小题的结论分析即可． 【详解】解：∵关于的不等式组， ∴当时，， ∴是该不等式组的一个解，故①正确； ∵不等式组无解， ∴，故②错误； ∵关于的不等式组的解集为， ∴，故③正确； ∵不等式组只有三个整数解， ∴，故④错误； ∴正确的序号为①③， 故选B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 比较大小：___________3（选填“>”，“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】先判断出，即可判断出，问题得解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了实数的大小比较，正确估算出的取值是解题关键． 12. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．先提取公因式y，再用完全平方公式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 当＝__________时，分式的值为零． 【答案】±1 【解析】 【分析】直接利用分式的值为零条件结合分式有意义的条件得出答案． 【详解】解：∵分式的值为零． ∴x2-1=0且x2+1≠0， 解得：x=1或x=-1． 故答案为：±1． 【点睛】此题主要考查了分式的值为零条件和分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键． 14. 若，则 （1）___________； （2）___________； 【答案】 ①. 3 ②. 7 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）把的两边平方，整理后可得； （2）把的两边平方，整理后可得； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 故答案：7． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，首先根据负指数幂、零指数幂，可得：，，再根据平方、绝对值、立方根的定义计算出算式中的各部分，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 16. 计算： 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式，变形后根据平方差公式计算即可． 【详解】解； ． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 解不等式：，并把解集表示在数轴上． 【答案】x≥－2，见解析. 【解析】 【分析】首先两边同时乘以6去分母，再利用乘法分配律去括号，移项、合并同类项，最后把x的系数化为1即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：－5x≤10， 把x的系数化为1得：x≥－2， ∴不等式的解为x≥－2，解集在数轴上表示为： 【点睛】不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示，“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式和平方差公式的应用．根据完全平方公式和平方差公式将括号内的式子展开，然后合并同类项，最后将x、y的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，熟知完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）根据完全平方公式可得，据此计算求解即可； （2）根据代值计算即可； （3）根据代值计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴． 20. 你能化简（m﹣1）（m99+m98+…+m+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，探究归纳出一些方法． （1）分别化简下列各式： （m﹣1）（m+1）＝m2﹣1； （m﹣1）（m2+m+1）＝　 　； （m﹣1）（m3+m2+m+1）＝　 　； （m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+m+1）＝　 　． （2）请你利用上面的结论计算：299+298+297+…+2+1，写出计算过程． （3）根据以上计算经验，直接写出3n+3n﹣1+3n﹣2+…+3+1结果　 　． 【答案】（1）m3﹣1；m4﹣1；mn+1﹣1；（2），计算过程见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式总结规律，即可写出结果； （2）先对原式变形后，然后再利用得（1）的规律计算即可； （3）第一个因式：把3-1作为公因式，对原式进行变形，再根据规律解答即可. 【详解】解：（1）（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1； （m﹣1）（m2+m+1）＝m3﹣1； （m﹣1）（m3+m2+m+1）＝m4﹣1； （m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+m+1）＝mn+1﹣1； （2）∵（2﹣1）（299+298+297+…+2+1）＝2100﹣1， ∴299+298+297+…+2+1＝2100﹣1； （3）∵（3﹣1）（3n+3n﹣1+3n﹣2+…+3+1）＝3n+1﹣1， ∴3n+3n﹣1+3n﹣2+…+3+1＝． 【点睛】本题考查了平方差公式及其应用，掌握平方差找公式的特点和整式乘法的运算法则是解答本题的关键. 六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分） 21. 根据所学我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：（a+m）（b+n）=ab+an+bm+mn，请完成下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式：___________． （2）结合图3可得___________；结合图4可得数学等式___________． （3）已知，运用上述结论求的值． 【答案】（1） （2）； （3）3 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积，已知式子的值，求代数式的值，解题的关键是理解题意，结合图形进行求解． （1）根据大长方形面积=各部分面积的和，解答即可； （2）根据大长方形的面积=各部分面积的和，解答图3即可；根据大正方形的面积=各部分面积的和，解答图4即可； （3）利用（2）的结论，把，代入，即可求出． 【小问1详解】 解：由题意可知：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：图3：； 图4：． 故答案为：；； 【小问3详解】 解：由（2）得：， ∵， ∴， ∴． 22. 学校计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买台平板电脑比购买台学习机多元，购买台平板电脑和台学习机共需元． （1）求购买台平板电脑和台学习机各需多少元？ （2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共台，要求购买的总费用不超过元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？ 【答案】（1）元和元 （2）有3种方案，详见解析，最省钱方案为：购买平板电脑台，学习机台 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用，读懂题意，找出题中的等量关系，列出方程组和不等式组是解本题的关键． （1）设购买台平板电脑和台学习机各需元，元，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到与的值，即可得到结果； （2）设购买平板电脑台，学习机台，根据“购买的总费用不超过元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的倍”列出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出购买方案，进而得出最省钱的方案． 【小问1详解】 解：设购买台平板电脑和台学习机各需元，元，根据题意得： ， 解得：， 答：购买台平板电脑和台学习机各需元和元； 小问2详解】 解：设购买平板电脑台，学习机台， 根据题意得：， 解得：， 只能取正整数， ，，， 当时，；时，；时，； 方案：购买平板电脑台，学习机台，费用为元； 方案：购买平板电脑台，学习机台，费用为元； 方案：购买平板电脑台，学习机台，费用为元， 则方案最省钱． 七、（本大题共1小题，满分14分） 23. 配方法是将一个式子的某一部分通过恒等变形转化为完全平方式的形式．此法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题： （1）①29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式___________； ②若可配方成（、为常数），则___________． 探究问题： （2）①已知，则___________； ②已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值___________ 拓展结论： （3）已知实数、满足，求的最小值，并求出此时的值 【答案】（1）①；②；（2）①；②13；（3）； 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）①把29分为两个整数的平方和，即可； ②原式利用完全平方公式配方后，确定出m与n的值，即可求出的值； （2）①已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可求出的值； ②根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可； （3）将已知等式表示出y，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：（1）①根据题意得：； 故答案为：； ②根据题意得：， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：； ② ∵S为“完美数”， 又，是完全平方式， ∴也是完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：13； （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度七年级数学期中文化素质诊断 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列实数中，是无理数的是（　　） A. 0 B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子不能因式分解的是( ) A. x2－4 B. 3x2＋2x C. x2＋25 D. x2－4x＋4 5. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 6. 越越是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应城、爱、我、蒙、游、美这六个汉字，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是(　　) A 我爱美 B. 蒙城游 C. 爱我蒙城 D. 美我蒙城 7. 已知，则的值是（ ） A. 1 B. 7 C. 11 D. 6 8. 使分式有意义的条件是（　　） A. B. C. D. 9. 已知，则代数式的值是（ ） A. 8 B. C. 4 D. 10. 已知关于的不等式组下列四个结论： ①若，则是该不等式组的一个解； ②若该不等式组无解，则； ③若该不等式组解集为，则； ④若该不等式组只有三个整数解，则． 其中正确的结论个数（　　） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 比较大小：___________3（选填“>”，“<”或“=”）． 12. 因式分解：___________． 13. 当＝__________时，分式的值为零． 14. 若，则 （1）___________； （2）___________； 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 计算： 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 解不等式：，并把解集表示在数轴上． 18. 先化简，再求值：，其中，． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值 20. 你能化简（m﹣1）（m99+m98+…+m+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，探究归纳出一些方法． （1）分别化简下列各式： （m﹣1）（m+1）＝m2﹣1； （m﹣1）（m2+m+1）＝　 　； （m﹣1）（m3+m2+m+1）＝　 　； （m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+m+1）＝　 　． （2）请你利用上面的结论计算：299+298+297+…+2+1，写出计算过程． （3）根据以上计算经验，直接写出3n+3n﹣1+3n﹣2+…+3+1结果　 　． 六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分） 21. 根据所学我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：（a+m）（b+n）=ab+an+bm+mn，请完成下列问题： （1）写出图2中所表示数学等式：___________． （2）结合图3可得___________；结合图4可得数学等式___________． （3）已知，运用上述结论求的值． 22. 学校计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买台平板电脑比购买台学习机多元，购买台平板电脑和台学习机共需元． （1）求购买台平板电脑和台学习机各需多少元？ （2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共台，要求购买的总费用不超过元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？ 七、（本大题共1小题，满分14分） 23. 配方法是将一个式子的某一部分通过恒等变形转化为完全平方式的形式．此法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题： （1）①29是“完美数”，请将它写成（、是整数）形式___________； ②若可配方成（、为常数），则___________． 探究问题： （2）①已知，则___________； ②已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值___________ 拓展结论： （3）已知实数、满足，求的最小值，并求出此时的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$