精品解析：安徽省卓越县中联盟2024-2025学年高三下学期5月份检测数学试题

安徽卓越县中联盟 2024—2025学年高三5月份检测 数 学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合，再求的解. 【详解】因为，故． 故选：B. 2. 已知一组样本数据7，9，5，8，4，a的极差为5，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的取值范围进行讨论，即可得出答案. 【详解】当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，符合题意； 当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，不符合题意； 当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，不符合题意； 综上所述，a的取值范围是． 故选：A. 3. 已知函数的图象关于原点对称，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由奇函数的定义，转化为恒成立问题求解即可. 【详解】易知的定义域为，且是奇函数， 则对任意均成立， ， 即 解得． 故选：D. 4. 已知复数满足，则（ ） A. 有最小值2 B. 有最大值2 C. 有最小值 D. 有最大值 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据复数的模得到，再计算，即可得解. 【详解】设，由， 则，所以， 解得，所以，当且仅当时取等号， 所以有最小值，无最大值． 故选：C 5. 设A为椭圆上一点，，则当最小时，点A的横坐标为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】设点，由两点间的距离公式表示出，结合在椭圆和二次函数的性质即可得出答案. 【详解】设点，，则， 因为在椭圆上，所以，则， 将代入，得， 当时，取得最小值，即取得最小值． 故选：C. 6. 已知为第一象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正切的二倍角公式对化简可求出，然后利用同角三角函数的关系对化简可求得答案. 【详解】由，可得， 解得， 又因为为第一象限角，所以， 故． 故选：D 7. 已知正三棱柱的表面积为，则其体积的最大值为（ ）. A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设正三棱柱的底面边长为，高为，由已知可得，，求出体积的表达式，利用导数求最大值得解. 【详解】设正三棱柱的底面边长为，高为，则其表面积， 整理得，则该正三棱柱的体积， 将V看作关于a的函数，则， 令，得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故是的极大值点，则该正三棱柱的体积的最大值为． 故选：A. 8. 记为数列的前n项和，若，且的值为1，2，3的可能性相同，则是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先分为奇数和为偶数时，根据递推关系得到概率的递推关系式，转化为数列问题，利用递推关系式，求数列的通项公式. 【详解】记事件A为“为奇数”，事件为“为奇数”，是奇数的概率为． 当为奇数时，若，则仍然为奇数， 当为偶数时，若或3，则为奇数，从而， 即，即，整理可得． 又，所以是首项为，公比为的等比数列，则， 所以．故是奇数的概率为． 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知由样本数据得到的回归直线方程为，且，剔除一个偏离回归直线较远的异常点后，得到的新回归直线经过点，则（ ） A. 变量x，y负相关 B. 剔除异常点后；样本相关系数的绝对值变大 C. 新回归直线经过点 D. 新回归直线的斜率是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由回归直线方程的斜率判断A，由样本相关系数的性质判断B，求出剔除异常点后的回归直线方程，过样本点中心，计算斜率，即可判断CD 【详解】对于A，由回归直线的斜率为，可知变量x，y负相关，故A正确； 对于B，剔除异常点后，拟合精度变好，故样本相关系数的绝对值变大，故B正确； 对于C，因为原回归直线方程为，且， 所以， 则剔除异常点后，，， 故新回归直线经过点，故C错误； 对于D，因为新回归直线经过点和， 所以新回归直线的斜率为，故D正确． 10. 在中，，，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出的重心，结合重心向量的表示及垂直关系的向量表示求出，再结合余弦定理及三角形面积公式求解判断各选项. 【详解】对于A，设AC，BC的中点分别为E，F，的重心为G， 由，，得， ，由，得， 则，，A正确； 对于B，由，，得，， 在中，由余弦定理得，解得， 则，因此，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，设AB的中点为M，则， 而，则，D正确. 故选：ACD 11. 波兰表达式（Polish notation）是一种特殊的数学式表示方法，可以用于逻辑、算术和代数的表示，波兰表达式的基本结构为“运算符 操作数1 操作数2”，运算时从左到右读取表达式，遇到运算符时，将其与接下来的两个操作数结合．如：波兰表达式“”的运算过程为：先将“”转化为：“”，再以“”为运算符，“”和“5”为操作数，即得“”；波兰表达式“”中，“”表示幂运算，该式的运算过程为：先将“”转化为“”，将“”转化为“”，再由“”得“”，由“”得“”，最后由“”得“”．根据上述内容，下列说法正确的是（ ）附：． A. 波兰表达式“”的值为108 B. 若波兰表达式“”的值大于6，则x的取值范围是 C. 若波兰表达式“”表示的函数无极值，且，则 D. 若波兰表达式“”的值为，则x的所有取值之和大于4 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据波兰表示式，得，故A错误；对于B，根据波兰表示式，得，构造函数，通过判断其单调性，可得不等式解集；对于C，根据波兰表示式，得，由函数无极值，可得，结合不等式即可判断；对于D，根据波兰表示式，得，构造函数，通过判断其单调性结合零点存在定理，即可判断. 【详解】对于A，波兰表达式“”，即，故A错误； 对于B，波兰表达式“”的值大于6，等价于， 因为函数在上单调递增，且为其零点， 所以所求x的取值范围是，故B正确； 对于C，波兰表达式“”表示的函数为， 则，又函数无极值，所以，则， 所以，当且仅当时等号成立， 又，故，则，，故C错误； 对于D，波兰表达式“”的值为等价于， 易知满足该等式，令，则， 易知有唯一解， 且在区间上单调递减，在上单调递增， 又，，， 由零点存在定理知，方程必存在另外一解，且， 所以x的所有取值之和大于4，故D正确． 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且的两顶点之间的距离为4．则的方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质，可求得，，可得双曲线方程. 【详解】由题可得，故，因为的一条渐近线方程为， 所以，即，故的方程为． 故答案为：． 13. 已知等差数列的前n项和为，，若，，则__________． 【答案】30 【解析】 【分析】由等差数列下标性质得到，结合前n项和公式即可求出k. 【详解】解析 由等差数列的性质可得，再由，， 可得，所以，则，解得． 故答案为：30. 14. 已知关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先对原式进行整理、化简，然后求导判断单调性，进而求出的取值范围. 【详解】由可得，当时，不满足题意， 当时，方程两边同乘， 得，等价于，变形可得． 设函数，则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又因为，当时，，且当趋向于时，趋向于0， 由知，只需满足或， 所以a的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（，），圆:． （1）若图象的两条相邻的对称轴均与圆相切，求，的值； （2）若，且的图象与x轴的交点中恰有两个在圆的内部，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出圆心和半径，再根据三角函数对称轴与圆的位置关系求解； （2）先求出函数与轴的交点，再结合圆的方程确定的取值范围. 【详解】（1）由题可知，图象的两条相邻的对称轴间的距离为， 由题可知圆的直径为3，所以，解得． 因为圆心的坐标为，所以图象的其中一条对称轴的方程为， 所以，解得， 因为，所以． （2）由题可知，的零点满足，即． 因为圆上的点的横坐标的取值范围是， 所以原题等价于有且仅有2个不同的k值满足， 整理得，故只能取0，1两个值， 所以，解得的取值范围是． 16. 如图，在直四棱柱中，，，，，，M为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 由题可知，又，， 平面，故平面， 又平面，故． 由题可知，，则， 因为，所以，所以． 又，所以，即． 又，平面MCD，故平面MCD． （2） 【解析】 【分析】（1）由平面得，再通过，得，从而得证平面MCD； （2）以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，易知平面ABCD的一个法向量为，再求出平面的法向量，利用两平面夹角公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，所以，． 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则． 易知平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为，则， 即平面与平面ABCD的夹角的余弦值为． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：． 【答案】（1） （2）证明：方法一：由题可得， 设，则， 令，则， 令，得， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 于是，则，单调递增． 故单调递增，而， 故当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 故，综上，命题得证． 方法二：由题可得， 当时，，，， 所以，即在上单调递减， 当时，，，， 所以，即在上单调递增， 所以在处取得最小值，且． 因为，所以，所以，故． 【解析】 【分析】（1）利用导数求出曲线在点处的切线斜率为，结合切点可求方程； （2）方法一：对函数多次求导，求出函数最小值，即可得证； 方法二：根据，分和研究正负，从而得函数的单调性及最小值，即可得证. 【小问1详解】 当时，， 则， 所以，又， 故曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 略 18. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每箱产品在交付用户之前都要从中随机抽出件进行检验，若检验出不合格品，则将该不合格品更换为合格品，假设每箱产品中均恰有2件不合格品． （1）若，求检验一箱产品时恰好抽到1件不合格品的概率； （2）若检验一箱产品时至少抽到1件不合格品的概率大于0.5，求m的最小值； （3）已知每件产品的检验费用为2m元；若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付150元的赔偿费用，要使一箱产品的检验费用与赔偿费用之和的期望值最小，m应取何值？ 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）利用排列组合计数，用古典概型公式计算即可； （2）用表示出“检验一箱产品时至少抽到1件不合格品”的概率，列不等式求解即可； （3）用表示出“一箱产品的检验费用与赔偿费用之和的均值”，求函数的最值即可． 【小问1详解】 设事件“检验一箱产品时恰好抽到1件不合格品”为A， 则． 【小问2详解】 设事件“检验一箱产品时至少抽到1件不合格品”为B， 则， 令，得，当时，单调递增， 又当时，，当时，， 所以m的最小值为6． 【小问3详解】 每箱产品随机抽出m件进行检验，设抽到的不合格品的件数为X， 依题意，X服从超几何分布，则． 设一箱产品的检验费用与赔偿费用之和为Y元， 则， 所以． 函数的图象的对称轴方程为， 要使的值最小，应取． 19. 记抛物线的焦点为F，过原点O作斜率为1的直线l，l与E交于另一点，取的中点，直线与E交于另一点，取的中点，以此类推，记直线的斜率为． （1）求点的坐标； （2）证明：是递减数列； （3）记的面积为，证明：． 【答案】（1） （2）证明：联立，解得点， 所以，， 所以. 又因为，故，于是，即，故是递增数列. 又由，可知是递减数列，于是是递减数列. （3）证明：由（2）得，当时，，， 利用割补法，知 . 而，故. 而，故； 又，故， 由累乘法可知， 而，故. 故. 综上，. 【解析】 【分析】（1）联立，可解得，的坐标，进一步可求直线的方程，联立直线与抛物线方程即可求解； （2）联立，可解得，的坐标，根据斜率公式可得. 又因为，故，，即是递增的正数数列，是递减数列，即可证明； （3）由（2）得，当时，，，利用割补法及（2）中化简可得，又，故.根据可知；由可知，进而可得，故，即可证明. 【小问1详解】 如图所示，联立，解得或，故. 又，所以，，故直线， 联立，解得或，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽卓越县中联盟 2024—2025学年高三5月份检测 数 学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ）. A. B. C. D. 2. 已知一组样本数据7，9，5，8，4，a的极差为5，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的图象关于原点对称，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 已知复数满足，则（ ） A. 有最小值2 B. 有最大值2 C. 有最小值 D. 有最大值 5. 设A为椭圆上一点，，则当最小时，点A的横坐标为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 已知为第一象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正三棱柱的表面积为，则其体积的最大值为（ ）. A. 2 B. C. 4 D. 8. 记为数列的前n项和，若，且的值为1，2，3的可能性相同，则是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知由样本数据得到的回归直线方程为，且，剔除一个偏离回归直线较远的异常点后，得到的新回归直线经过点，则（ ） A. 变量x，y负相关 B. 剔除异常点后；样本相关系数的绝对值变大 C. 新回归直线经过点 D. 新回归直线的斜率是 10. 在中，，，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 11. 波兰表达式（Polish notation）是一种特殊的数学式表示方法，可以用于逻辑、算术和代数的表示，波兰表达式的基本结构为“运算符 操作数1 操作数2”，运算时从左到右读取表达式，遇到运算符时，将其与接下来的两个操作数结合．如：波兰表达式“”的运算过程为：先将“”转化为：“”，再以“”为运算符，“”和“5”为操作数，即得“”；波兰表达式“”中，“”表示幂运算，该式的运算过程为：先将“”转化为“”，将“”转化为“”，再由“”得“”，由“”得“”，最后由“”得“”．根据上述内容，下列说法正确的是（ ）附：． A. 波兰表达式“”的值为108 B. 若波兰表达式“”的值大于6，则x的取值范围是 C. 若波兰表达式“”表示的函数无极值，且，则 D. 若波兰表达式“”的值为，则x的所有取值之和大于4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且的两顶点之间的距离为4．则的方程为__________． 13. 已知等差数列的前n项和为，，若，，则__________． 14. 已知关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（，），圆:． （1）若图象的两条相邻的对称轴均与圆相切，求，的值； （2）若，且的图象与x轴的交点中恰有两个在圆的内部，求的取值范围． 16. 如图，在直四棱柱中，，，，，，M为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：． 18. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每箱产品在交付用户之前都要从中随机抽出件进行检验，若检验出不合格品，则将该不合格品更换为合格品，假设每箱产品中均恰有2件不合格品． （1）若，求检验一箱产品时恰好抽到1件不合格品的概率； （2）若检验一箱产品时至少抽到1件不合格品的概率大于0.5，求m的最小值； （3）已知每件产品的检验费用为2m元；若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付150元的赔偿费用，要使一箱产品的检验费用与赔偿费用之和的期望值最小，m应取何值？ 19. 记抛物线的焦点为F，过原点O作斜率为1的直线l，l与E交于另一点，取的中点，直线与E交于另一点，取的中点，以此类推，记直线的斜率为． （1）求点的坐标； （2）证明：是递减数列； （3）记的面积为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $