精品解析：黑龙江省大庆市景园中学2024-2025学年八年级下学期5月期中考试数学试题

大庆市景园中学2024-2025学年度第二学期期中考试 初三年级数学试卷 考生注意： 1．考生须将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置 2．试时间120分钟 3．全卷共三道大题，27道小题，总分120分 一、选择题（每题只有一个正确选项，每题3分，共30分） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．方程含有2个未知数，且未知数最高次数是2，故该选项不符合题意； B．方程含有2个未知数且最高次数是1，故该选项不符合题意； C．只含有1个未知数，未知数的最高次数是2，故该选项符合题意； D．不是整式方程，故该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 2. 用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式当中的依次为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先整理成一般式，然后根据定义找出即可. 【详解】方程化为一般形式为：， ． 故选：． 【点睛】题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 3. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的根与的关系列出不等式即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，， 解得：，且， 故选：C． 5. 下列说法正确的是(　　) A. 对应边都成比例的多边形相似 B. 对应角都相等的多边形相似 C. 边数相同的正多边形相似 D. 矩形都相似 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、对应边都成比例的多边形，属于形状不唯一确定的图形，故错误，不符合题意； B、对应角都相等的多边形，属于形状不唯一确定的图形，故错误，不符合题意； C、边数相同的正多边形，形状相同，但大小不一定相同，故正确，符合题意； D、矩形属于形状不唯一确定的图形，故错误，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查相似变换的定义，解题的关键是掌握图形的形状相同，但大小不一定相同的是相似形． 6. 下列各组线段中，能成比例的是（　　） A. 3、6、7、9 B. 2、5、6、8 C. 3、6、9、18 D. 1、2、3、4 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例线段的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A、3×9≠6×7，所以本选项错误； B、2×8≠5×6，所以本选项错误； C、3×18=6×9，所以本选项正确； D、1×4≠2×3，所以本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 7. 点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，线段的和差，由题意可得，再由线段的和差计算即可得解． 【详解】解：如图： ， ∵点C、D是线段的两个黄金分割点， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用20m长的篱笆围成，平行于墙的边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB为xm，可列方程为（ ） A. （20＋1﹣x）x＝50 B. （20﹣1﹣x）x＝50 C. （20＋1﹣2x）x＝50 D. （20﹣1﹣2x）x＝50 【答案】C 【解析】 【分析】根据篱笆的总长及AB的长度，可得出BC，根据矩形试验田的面积为50m2，即可得出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：∵篱笆的总长为20m，且AB=x m，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门， ∴BC=（20+1-2x）m． ∴（20+1-2x）x=50． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键． 9. 如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（ ） A. 3：2 B. 4：3 C. 6：5 D. 8：5 【答案】D 【解析】 【分析】过点 D 作 DF∥CA 交 BE 于 F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由 DF∥CE 得到==，则 CE=DF，由 DF∥AE 得到==，则 AE=4DF， 然后计算的值． 【详解】如图，过点 D作 DF∥CA 交 BE于 F， ∵DF∥CE， ∴=， 而 BD：DC=2：3，BC=BD +CD， ∴=，则 CE=DF， ∵DF∥AE， ∴=， ∵AG：GD=4：1， ∴=，则 AE=4DF， ∴=， 故选D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，熟练掌握相关知识是解题的关键. 10. 如图，菱形ABCD的边长为8，E、F分别是AB、AD上的点，连接CE、CF、EF，AC与EF相交于点G，若BE=AF=2，∠BAD=120°，则FG的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得△ABC是等边三角形，过E作EH⊥BC于点H，根据勾股定理可得EC长度，根据题设条件可证△BEC≌△AFC，可得∠BCE=∠ACF，EC=FC，可证△ECF是等边三角形，进而可证△ACF∽△FCG，由相似三角形的性质列方程可求得FG的长． 【详解】解：过E作EH⊥BC于点H， 在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AC为对角线， ∴∠B=60°，∠FAC=60°， 在Rt△BEH中，BH==1，EH=， Rt△EHC中，HC=8-1=7，EC= 又∵BA=BC， ∴△ABC等边三角形， ∴AC=BC， 又∵BE=AF， ∴△BEC≌△AFC， ∴∠BCE=∠ACF，EC=FC， 又∵∠BCE+∠ECA=∠BCA=60°， ∴∠ACF+∠ECA=60°， ∴△ECF是等边三角形， ∴∠EFC=60°， 在△ACF和△FGC中，∠FAC=∠GFC=60°，∠GCF=∠FCA（公共角）， ∴△ACF∽△FCG ∴ 即 ∴FG= 故选A 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，属几何综合题． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣2p＝0的一个根，则p＝__． 【答案】2． 【解析】 【分析】直接把代入方程运算求解即可． 【详解】把代入方程x2﹣3x﹣2p＝0，得（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣2p＝0， 解得p＝2． 故答案：2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，直接代入方程的解是解题的关键． 12. 一元二次方程的两个根分别是，，则的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题可得，，再利用完全平方公式计算即可得解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 为响应国家惠农政策，某品牌插秧机经过两次降价后，零售价由2000元/台降至1280元/台，则平均每次降价的百分率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据经过两次降价后，零售价由2000元/台降至1280元/台，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 因此平均每次降价的百分率为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． 14. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，则共有__________支球队参赛． 【答案】8 【解析】 【详解】设有支球队参赛，则有： ， 解得：，（舍）， ∴有个球队参赛． 15. 如图，在矩形中，点E，F分别在边上，，，，，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握是解题的关键．根据相似三角形性质得到，先求出，把，代入，即得的值． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在中点E、点F分别在和对角线上，，，连接DF．若，则的值为_______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，由得出，由相似三角形的性质可得，，求出，由平行四边形的性质可得，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17. 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE，垂足为F．当点P在射线AD上运动时，若以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似，则PA的值为_________． 【答案】2或5 【解析】 【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的判定和矩形的性质可求解． 【详解】解：∵E是BC的中点， ∴BE=2， 如图，若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB． ∴PE∥AB． ∴四边形ABEP为矩形． ∴PA=EB=2， 如图，若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB． ∵∠PAF=∠AEB， ∴∠PEF=∠PAF． ∴PE=PA． ∵PF⊥AE， ∴点F为AE的中点． ∵， ∴． ∵，即， ∴PE=5， 综上所述：AP的值为2或5， 故答案为：2或5． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 18. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D、E分别在AC、BC上，CE=AD，CG⊥DE于点F，FE=1，FG=3，则AC=______． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作DT⊥AD交AB于点T，连接ET，连接CT交DE于点M，通过推导角度可知CT=CG，且四边形DTEC为矩形，设CF为x，表示出DF，利用相似可求出x，进而可得结果． 【详解】解：过点D作DT⊥AD交AB于点T，连接ET，连接CT交DE于点M， ∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠A=∠B=45°， ∵DT⊥AD， ∴△ADT为等腰直角三角形， ∵CE=AD， ∴DT=CE， ∵DTCE，∠DCE=90°， ∴四边形DTEC为矩形， ∴DE=CT， 设∠BCG=α，则∠CDE=α， ∴∠DCT=α， ∴∠CTB=45°+α， ∵∠CGT=45°+α， ∴CT=CG， ∴DE=CG， 设CF=x,则DE=CG=x+3， ∴DF=x+2， ∵△CFE∽△DFC， ∴，即， ∴， 解得x=2或x=-1（舍）， ∴CF=2， ∴DF=4，CE=AD=， ∴CD=2， ∴AC=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查三角形与四边形综合知识，需要同学们熟练掌握等腰直角三角形的性质、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，选择适当的辅助线将AD=CE这一条件联系起来是解题关键． 三、解答题（共60分） 19. 用适当方法解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 20. 若，且，求的值． 【答案】28 【解析】 【分析】根据比例的性质，可设比值为k，用k表示出a、b、c，然后代入等式求出k，从而得到a、b、c，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：设 ， ∴． ∵， ∴， 解得． ∴ ∴． 【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质并利用“设k法”表示出a、b、c进行求解是解题的关键． 21. 已知关于的方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值． 【答案】（1）；（1）1. 【解析】 【分析】(1)根据方程有实数根，可分为k=0与k≠0两种情况分别进行讨论即可得； (2)根据一元二次方程根与系数的关系可得，，由此可得关于k的方程，解方程即可得. 【详解】(1)当时，方程是一元一次方程，有实根符合题意， 当时，方程是一元二次方程，由题意得 ， 解得：， 综上，的取值范围是； (2)和是方程的两根， ，， ， ， 解得， 经检验：是分式方程的解，且， 答：的值为. 【点睛】本题考查了方程有实数根的条件，一元二次方程根与系数的关系，正确把握相关知识是解题的关键. 22. 如图，一直角三角形，，G、D分别是，边上的一点，现从中切出一条矩形，其中E，F在上，若，，求GF的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，，证明，得出，代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）． 23. 如图，在矩形中，，，将矩形绕点B按顺时针方向旋转得到矩形，点A落在矩形的边上，连接，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查翻转变换的性质，矩形的判定和性质，勾股定理．过C点作，交于M，交于N，由旋转的性质可得，，，由勾股定理可求，利用等积法求得，由勾股定理求得，据此计算即可求解． 【详解】解：过C点作，交于M，交于N， 由旋转变换的性质可知，，，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 24. 如图，小华和小颖春游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小桃树，他们想利用皮尺、测倾器和平面镜测量小桃树到山脚下的距离（即DE的长度），小华站在点B处，让小颖移动平面镜至点C处（点B，C，D在一条直线上，且与点E在同一平面内），此时小华在平面镜内可以看到点E，且测得米，米，．已知小华的身高米，请根据以上数据，求DE的长度（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】过E作EF⊥BC于F，先证明△DEF是等腰直角三角形，设EF为x米，则DF＝x米，DEx米，再证明△ABC∽△EFC，得到，代入即可得解． 【详解】解：过E作EF⊥BC于F， ∵∠CDE＝135°， ∴∠EDF＝45°， ∴△DEF是等腰直角三角形， 设EF为x米，则DF＝x米，DEx米， ∵∠B＝∠EFC＝90°， ∵∠ACB＝∠ECD， ∴△ABC∽△EFC， ∴， 即， 解得：x＝8， 经检验, x＝8是原方程的根， ∴DE＝8， 答：DE的长度为8米． 【点睛】此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的性质解答． 25. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2=AB•AD，∠ADC=90°，E为AB的中点． （1）求证：△ADC∽△ACB； （2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）CE∥AD，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行求解； （2）根据∠EAC=∠ECA，∠DAC=∠CAE，即可得出∠DAC=∠ECA，进而得到CE∥AD． 【小问1详解】 证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠CAB， 又∵AC2=AB•AD， ∴AD：AC=AC：AB， ∴△ADC∽△ACB； 【小问2详解】 解：CE∥AD， 理由：∵△ADC∽△ACB， ∴∠ACB=∠ADC=90°， 又∵E为AB的中点， ∴CE=AB=AE， ∴∠EAC=∠ECA， ∵∠DAC=∠CAE， ∴∠DAC=∠ECA， ∴CE∥AD． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的运用，掌握直角三角形的性质、相似三角形的判定及其性质是解题的关键． 26. 随着全球疫情的爆发，医疗物资的极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产256万个，第三天生产400万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题： （1）求每天增长的百分率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是1000万个天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个天，现该厂要保证每天生产口罩4000万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【答案】（1）每天增长的百分率为；（2）应该增加4条生产线． 【解析】 【分析】（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天生产口罩的个数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设应该增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为（1000-50y）万个/天，根据该厂要保证每天生产口罩4000万件，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设每天增长的百分率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每天增长的百分率为． （2）设应该增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个天， 依题意，得， 化简，得：， 解得：，， 又要节省投入， ． 答：应该增加4条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 27. 如图，点B、C分别在射线、上，且为锐角，内有一动点P，使得．若，且． （1）求证：； （2）连接，若，求的值； 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，结合即可得证； （2）由题意可得为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，，由（1）可得：，由相似三角形的性质可得，由勾股定理可得，即可得解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 由（1）可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大庆市景园中学2024-2025学年度第二学期期中考试 初三年级数学试卷 考生注意： 1．考生须将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置 2．试时间120分钟 3．全卷共三道大题，27道小题，总分120分 一、选择题（每题只有一个正确选项，每题3分，共30分） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A B. C. D. 2. 用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式当中的依次为（　　） A. B. C. D. 3. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（　　） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 下列说法正确的是(　　) A. 对应边都成比例的多边形相似 B. 对应角都相等的多边形相似 C. 边数相同的正多边形相似 D. 矩形都相似 6. 下列各组线段中，能成比例的是（　　） A. 3、6、7、9 B. 2、5、6、8 C. 3、6、9、18 D. 1、2、3、4 7. 点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用20m长的篱笆围成，平行于墙的边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB为xm，可列方程为（ ） A （20＋1﹣x）x＝50 B. （20﹣1﹣x）x＝50 C. （20＋1﹣2x）x＝50 D. （20﹣1﹣2x）x＝50 9. 如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（ ） A. 3：2 B. 4：3 C. 6：5 D. 8：5 10. 如图，菱形ABCD的边长为8，E、F分别是AB、AD上的点，连接CE、CF、EF，AC与EF相交于点G，若BE=AF=2，∠BAD=120°，则FG的长为（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣2p＝0的一个根，则p＝__． 12. 一元二次方程的两个根分别是，，则的值为________． 13. 为响应国家惠农政策，某品牌插秧机经过两次降价后，零售价由2000元/台降至1280元/台，则平均每次降价的百分率为______． 14. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，则共有__________支球队参赛． 15. 如图，在矩形中，点E，F分别在边上，，，，，则的长为____． 16. 如图，在中点E、点F分别在和对角线上，，，连接DF．若，则的值为_______． 17. 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE，垂足为F．当点P在射线AD上运动时，若以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似，则PA的值为_________． 18. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D、E分别在AC、BC上，CE=AD，CG⊥DE于点F，FE=1，FG=3，则AC=______． 三、解答题（共60分） 19 用适当方法解方程： （1）； （2）； （3）． 20. 若，且，求的值． 21. 已知关于方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值． 22. 如图，一直角三角形，，G、D分别是，边上的一点，现从中切出一条矩形，其中E，F在上，若，，求GF的长． 23. 如图，在矩形中，，，将矩形绕点B按顺时针方向旋转得到矩形，点A落在矩形的边上，连接，求的长． 24. 如图，小华和小颖春游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小桃树，他们想利用皮尺、测倾器和平面镜测量小桃树到山脚下的距离（即DE的长度），小华站在点B处，让小颖移动平面镜至点C处（点B，C，D在一条直线上，且与点E在同一平面内），此时小华在平面镜内可以看到点E，且测得米，米，．已知小华的身高米，请根据以上数据，求DE的长度（结果保留根号）． 25. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2=AB•AD，∠ADC=90°，E为AB的中点． （1）求证：△ADC∽△ACB； （2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由． 26. 随着全球疫情的爆发，医疗物资的极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产256万个，第三天生产400万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题： （1）求每天增长百分率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是1000万个天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个天，现该厂要保证每天生产口罩4000万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 27. 如图，点B、C分别在射线、上，且为锐角，内有一动点P，使得．若，且． （1）求证：； （2）连接，若，求的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$