精品解析：天津市实验中学滨海学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024－2025学年第二学期期中质量调查八年级（数学）试卷 满分：120分 时长： 100分钟 一、选择题（本题12小题，每小题3分，共3 6分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（　　） A. 1，， B. C. D. 5. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 6. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE的大小是（　　） A. 55° B. 40° C. 35° D. 20° 7. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，平行四边形是菱形 B. 当时，平行四边形是矩形 C. 当时，平行四边形是菱形 D. 当且时，平行四边形是正方形 8. 如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. 四边形EFPQ是正方形 D. 四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半 9. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，，E、F为垂足，，则等于（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知菱形的对角线AC；BD交于点O，E为CD的中点，若，则菱形的周长为（ ）． A. 18 B. 48 C. 24 D. 12 12. 如图，将n个边长都为1的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形对角线的交点，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（ ） A. n B. C. D. 二、填空题（本题8个小题，每题3分，共24分） 13. 化简：________； _______； ________； 14. 二次根式有意义的条件是___________． 15. 边长为2的正三角形的面积是____． 16. 将一根24 cm的筷子，置于底面直径为15 cm，高8 cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是___________． 17. 如图，正方形的边长为6，P为对角线上的一个动点，E是的中点，则的最小值为_____________． 18. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）______； （2）在图中画出平行四边形，为格点；在边上画一点，使得；找到格点，画出直线，使得平分平行四边形的面积．______（不必说明理由，不写画法） 三、解答题（共66分，要求写出必要的解题过程） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 20. 如图，在中，点、在对角线上，且．求证：． 21. 已知，如图，，，，，，计算四边形的面积． 22. 如图，已知矩形， （1）尺规作图：①作的平分线，交边于点E． ②过E做，垂足为F （两个画图都保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是正方形 23. 长方形沿着直线折叠，使点C落在处，交于点E，，求的长？ 24. 如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E，F在上，并且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当满足什么条件时，四边形是菱形？请回答并证明你的结论． 25. 已知，中，，，的垂直平分线分别交、于点，垂足为． （1）如图1，连接、．求证：四边形为菱形； （2）如图1，求的长； （3）如图2，动点分别从两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止，在运动过程中，点的速度为每秒，点的速度为每秒，设运动时间为秒，若当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第二学期期中质量调查八年级（数学）试卷 满分：120分 时长： 100分钟 一、选择题（本题12小题，每小题3分，共3 6分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解答本题的关键． 根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可． 【详解】解：A：，被开方数含开的尽的因数，故错误，不符合题意； B：属于最简二次根式，故正确，符合题意； C：被开方数含有分母，故错误，不符合题意； D：，被开方数中含有开得尽的因式，故错误，不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算及乘除运算，分别利用二次根式加减运算法则以及乘除运算法则化简判断得出即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、与不能合并，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式的乘法法则：进而化简得出答案． 【详解】解： 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键． 4. 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（　　） A. 1，， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形，只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断． 【详解】解：A. ， 以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误，不符合题意； B. ， 以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误，不符合题意； C.， 以这三个数为长度的线段，能构成直角三角形，故选项正确； D.， 以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误，不符合题意； 故选:C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断． 5. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 6. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE的大小是（　　） A. 55° B. 40° C. 35° D. 20° 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质得出OC=OD，得出∠ODC=∠OCD=55°，由直角三角形的性质求出∠ODE=20°，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴OC=OD， ∴∠ODC=∠OCD， ∵∠AOD=110°， ∴∠DOE=70°，∠ODC=∠OCD=（180°-70°）=55°， ∵DE⊥AC， ∴∠ODE=90°-∠DOE=20°， ∴∠CDE=∠ODC-∠ODE=55°-20°=35°； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 7. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，平行四边形是菱形 B. 当时，平行四边形是矩形 C. 当时，平行四边形是菱形 D. 当且时，平行四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形，菱形，正方形等，熟练掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理，正方形的判定定理，是解此题的关键． 根据有一个角等于的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，逐一判定． 【详解】解：A．当时，平行四边形不是菱形，故该选项不正确，符合题意； B．当时，平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； C．当时，平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； D．当且时，平行四边形是正方形，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 8. 如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. 四边形EFPQ是正方形 D. 四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质可证得△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，再根据全等三角形的性质和勾股定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠A=∠B=90°， 又CQ=BP ， ∴AB-BP=BC-CQ，即AP=BQ 在△AFP和△BPQ中， ∵AF=BP，∠A=∠B，AP=BQ， ∴△AFP≌△BPQ（SAS）， ∴∠AFP=∠BPQ，故A选项正确，不符合题意； 同理：△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF， ∴PF=PQ=QE=EF， ∴四边形EFPQ为菱形， ∴EF∥QP，故B选项正确，不符合题意； ∵△AFP≌△BPQ ∴∠BPQ=∠AFP， 又∵∠A=90°， ∴∠AFP+∠APF=90°， ∴∠AFP+∠APF=∠BPQ+∠APF=90°， ∴∠FPQ=180°-（∠BPQ+∠APF）=90°， ∴四边形EFPQ是正方形，故C选项正确，不符合题意； 设正方形ABCD的边长为a，BP=AF=x，则， ∴AB=a， ∴， ∴正方形EFPQ的面积为， 而x的值无法确定， ∴四边形PQEF的面积不一定是四边形ABCD面积的一半，故D选项错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 9. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 设，则：， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选C． 10. 如图，在菱形中，，，E、F为垂足，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中垂线的性质；菱形的性质．依题意，首先推出是等边三角形，然后可知，，，故可得． 【详解】解：连接． ，， ， 是等边三角形， ， 又，， ， ， 又， ． 故选：B． 11. 如图，已知菱形的对角线AC；BD交于点O，E为CD的中点，若，则菱形的周长为（ ）． A. 18 B. 48 C. 24 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA， ∴△COD为直角三角形， ∵OE＝6，点E为线段CD的中点， ∴CD＝2OE＝12， ∴C菱形ABCD＝4CD＝4×12＝48， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出CD． 12. 如图，将n个边长都为1的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形对角线的交点，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（ ） A. n B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题借助正方形的性质考查了三角形全等的判定和性质等，正确作出辅助线，熟练掌握正方形的性质是解决本题的关键． 过正方形的中心作于，作于，证明，根据已知可求得一个阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则个这样的正方形重叠部分即为阴影部分的和，即可得出结果． 【详解】解：如图，过正方形的中心作于，作于， 则，且， ， 则四边形的面积就等于正方形的面积， 则的面积是， ∴得阴影部分面积等于正方形面积的，即为， ∴则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和， 故选：D． 二、填空题（本题8个小题，每题3分，共24分） 13. 化简：________； _______； ________； 【答案】 ①. ②. ## ③. 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简及分母有理化，解题的关键是熟练掌握二次根式计算的法则即可解决问题． 根据二次根式的性质以及分母有理化的方法化简即可． 【详解】解：；；， 故答案为：；；． 14. 二次根式有意义的条件是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数非负是解此题的关键． 由二次根式的被开方数非负得到不等式，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 15. 边长为2的正三角形的面积是____． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：过A作AD⊥BC，∵AB=AB=BC=2，∴BD=CD=BC=1，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD==，则S△ABC=BC•AD=，故答案为． 考点：等边三角形的性质． 16. 将一根24 cm的筷子，置于底面直径为15 cm，高8 cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是___________． 【答案】7cm≤h≤16cm 【解析】 【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围． 【详解】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴h=24-8=16cm； 当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在Rt△ABD中，AD=15，BD=8， ∴此时h=24-17=7cm， 所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm． 故答案为7cm≤h≤16cm． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键． 17. 如图，正方形的边长为6，P为对角线上的一个动点，E是的中点，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．连接，，则，，即的最小值是长度． 【详解】解：连接， 正方形的边长为6，，是的中点， ，点、关于直线对称，， 即是的最小值， ， 故答案为： 18. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）______； （2）在图中画出平行四边形，为格点；在边上画一点，使得；找到格点，画出直线，使得平分平行四边形的面积．______（不必说明理由，不写画法） 【答案】 ①. ②. 见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理及平行四边形的性质是解题的关键． （）利用勾股定理即可求解； （）取格点，使，即可画出平行四边形；取格点，连接，与相交于点，利用勾股定理可得，，由勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即有；取的中点，由平行四边形的性质可知，点为平行四边形的中心，故直线平分平行四边形的面积． 【详解】解：（1）由勾股定理可得，， 故答案为：； （2）解：如图，四边形、点、直线即为所求． 三、解答题（共66分，要求写出必要的解题过程） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）4 （2）15 （3）2 （4）0 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，包括二次根式的乘除法、加减法和平方差公式的应用． （1）二次根式的乘法运算，根号内数字相乘再开方即可； （2）二次根式的乘除法混合运算，根号内数字相乘除再开方即可； （3）二次根式的加减法混合运算，运用平方差公式解答即可； （4）二次根式的加减法混合运算，先化简根式再加减运算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解：原式 【小问4详解】 解：原式= 20. 如图，在中，点、在对角线上，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后通过证明可进行求证． 【详解】略 21. 已知，如图，，，，，，计算四边形的面积． 【答案】36 【解析】 【分析】根据勾股定理得：，根据勾股定理的逆定理，得，根据四边形的面积，即可求得答案． 【详解】如图所示，连接， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 【点睛】本题主要考查勾股定理以及逆定理，掌握勾股定理以及逆定理是解题的关键． 22. 如图，已知矩形， （1）尺规作图：①作的平分线，交边于点E． ②过E做，垂足为F （两个画图都保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是正方形 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图---角平分线，垂线，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，正方形的判定等，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据尺规作角平分线的方法和作垂线的方法即可作图； （2）先根据平行线加角平分线得，再根据有三个角是直角的四边形是矩形证明其为矩形，再由矩形证明正方形． 【小问1详解】 解：如图，即为所作： 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 23. 长方形沿着直线折叠，使点C落在处，交于点E，，求的长？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，矩形性质，等腰三角形性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质． 先根据折叠的性质得到，再由得到，则，于是可判断，设，则，，，然后利用勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：∵矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于点E， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 设，则，， 在中， ∵， ∴，解得， 即的长为． 24. 如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E，F在上，并且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当满足什么条件时，四边形是菱形？请回答并证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2）当时，四边形为菱形 【解析】 【分析】（1）利用垂直平分线性质得到，再利用平行线性质和等腰三角形性质得到，最后结合平行四边形判定定理即可证明四边形是平行四边形； （2）根据直角三角形性质推出，再结合菱形的判定定理，即可解题． 【小问1详解】 证明：∵为的垂直平分线， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：当时，四边形为菱形， 理由： ∵在中，， ∴， 由（1）知， ∴，即是斜边上的中线， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查了垂直平分线性质，平行线性质和判定，等腰三角形性质，平行四边形判定定理，直角三角形性质，菱形的判定定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 25. 已知，中，，，的垂直平分线分别交、于点，垂足为． （1）如图1，连接、．求证：四边形为菱形； （2）如图1，求的长； （3）如图2，动点分别从两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止，在运动过程中，点的速度为每秒，点的速度为每秒，设运动时间为秒，若当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、三角形全等的判定与性质、一元一次方程的应用、矩形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明得出，推出四边形为平行四边形，结合即可得证； （2）设菱形的边长，则，由勾股定理计算即可得出答案； （3）分情况讨论可得只有当点在上，点在上时，四点才能构成平行四边形，利用平行四边形的性质列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， ，， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形； 【小问2详解】 解：设菱形的边长，则， 在中，，由勾股定理得：， 解得：， ； 【小问3详解】 解：由作图可以知道，在上时，在上，此时四点不能构成平行四边形；同理，在上时，在或上，此时四点也不能构成平行四边形， 只有当点在上，点在上时，四点才能构成平行四边形， ， 点的速度为每秒，点的速度为每秒，设运动时间为秒， ，， ， 解得：， 以四点为顶点的四边形是平行四边形时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $