精品解析：浙江省温州市普通高中2025届高三第三次适应性考试数学试题

温州市普通高中2025届高三第三次适应性考试 数学试题卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名，准考证号填写在答题卷上，将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠，不要弄破． 选择题部分（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知都是单位向量，夹角为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过可求解. 【详解】由条件， 故选：A 2. 已知集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数单调性得到，即可求解集合的交集. 【详解】集合，集合，所以， 故选:C. 3. 已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（ ） A. 1 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法计算，再利用共轭复数以及复数的定义即可. 【详解】，则，则，故的虚部是. 故选：A 4. 已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两圆位置关系构造不等式求解即可. 【详解】由题可得， 解得：． 故选：B 5. 已知，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和与差的正切公式求解即可. 【详解】 故选：C. 6. 已知函数的定义域为，，，且，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法，可判断A、B；利用赋值法，可得，又，由的值及可推导出，可判断C；由及可判断D. 【详解】对于A，令，则， 又，则，所以，故A错误； 对于B，令，则， 又，，所以，解得，故B错误； 对于C，令，则， 又，则， 由上可知，故， 所以，可得，即，故C正确； 对于D，由，得， 所以， ， 由选项C中分析知，所以，故D错误. 故选：C. 7. 为了研究某种商品的广告投入和收益之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（ ）万元． /万元 1 2 3 4 5 /万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50 A. 2.48 B. 2.58 C. 2.68 D. 2.88 【答案】C 【解析】 【分析】求得样本中心点，得到，即可求解. 【详解】由， 可得数据可得样本中心点为： 代入回归方程，解得：， 所以当时，． 故选：C 8. 已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，证明出，可得出，求得的值，结合余弦定理可得出关于、的齐次等式，即可解得该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示： 因为，、分别为、的中点，则， 又因为，，故， 所以， 由题意可知，故为钝角， 所以，， 故， 在中，，，， 由余弦定理可得， 解得． 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则存在实数，使得（ ） A. 的最小正周期为 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 的最大值为0 【答案】AC 【解析】 【分析】取，可验证AC的真假；假设函数为偶函数，根据偶函数的性质，判断B的真假；结合二倍角公式和辅助角公式，求函数的最大值，判断D的真假. 【详解】当时，，为奇函数，且，故AC正确； 若为偶函数，则，恒成立，矛盾，故B错误； 因为，所以，无解，故D错误． 故选：AC 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ） A. 与是互斥事件 B. 与是相互独立事件 C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】已知，，则，所以与不是互斥事件，A错误； 计算，，，所以， 因为，所以与是相互独立事件，B正确； 已知，，，则，， 所以，C错误； ，则，， ，则，， 所以，D正确. 故选：BD. 11. 已知数列满足，定义：集合，使得，并记该集合的元素个数为，则以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 存在数列，其中有一项能使得且 D. 若任取数列的两项，恰好是元素的概率大于，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由集合新定义，结合等差、等比数列性质及古典概率概率计算公式，逐个判断即可. 【详解】A项：，则，故错误； B项：，则，故正确； C项：如，则，即且，故正确； D项：注意到，由于， 所以至多存在一个使得，且， 对于其余的和中，至多只有一个属于，且， 则至少需剔除（）个元素， 所以， 又，解得，故正确． 故选：BCD 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学．某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况有___________种． 【答案】9 【解析】 【分析】根据分步分类结合组合数计算求解. 【详解】某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况有种． 故答案为：9. 13. 在中，，，的中垂线交于点，则的面积的最大值是______． 【答案】12 【解析】 【分析】利用椭圆的定义求解，结合椭圆的几何性质求解即可. 【详解】设 ，则 .由 ，知点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，长轴长为 10 ，焦距为 6 .椭圆半长轴 ，半焦距 ， 半短轴 . 设，则的轨迹是椭圆， 面积 ， 当 取最大值(即半短轴 )时，面积最大. 最大面积为 . 故答案为：12. 14. 已知圆台上下底面半径分别为1，2，母线长为2，则圆台的体积等于______；为下底面圆周上一定点，一只蚂蚁从点出发，绕着圆台的侧面爬行一周又回到点，则爬行的最短距离为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求出圆台的高，再根据圆台的体积公式直接计算即可求出体积；绘制出爬行的最短距离计算求解即可爬行的最短距离. 【详解】设圆台高为，已知，，母线长， 则， 所以圆台体积为； 圆台侧面展开图是一个扇环，设其所在扇形所对圆心角为半径为,则且 解得如图，， 过作与小半圆切于点连接并延长至， 过作与小半圆切于点，且两切线交于点连接并延长至， 则， 由题意知爬行过程中必然经过线段中某一点和中某一点， 所以是爬行的最短距离时的部分路径. 所以是爬行最短路径时经过的点，则也是爬行的最短路径的另一部分， 由上可知，，故，， 同理，， 所以所以， 所以爬行的最短距离为 故答案为：；. 四．解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）点在边上，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合诱导公式计算得出，最后结合角的范围求解； （2）应用余弦定理得出，，即可求解. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以，所以． 【小问2详解】 在中，，解得， 在中，，所以， 所以周长． 16. 数列满足：，． （1）数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由； （2）数列满足：，求数列的前项和． 【答案】（1） 是等比数列，理由如下： 因为，故， 又，故， 因为，所以，故是以为首项，为公比的等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可说明； （2）由（1）可知，从而得到，再由分组求和法及并项求和法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，所以， 所以， 所以 ． 17. 抛物线与的焦点分别为，为的一个交点，且． （1）求的值； （2）是上的两点，若四边形（按逆时针排列）为平行四边形，求此四边形的面积． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）由结合抛物线焦半径公式可得，再将点坐标代入抛物线可得，再将坐标代入抛物线可得； （2）借助平行四边形性质可得中点坐标，再借助点差法计算可得，从而可得方程，再联立方程与方程，消去可得与横坐标有关一元二次方程，即可借助韦达定理、弦长公式与面积公式计算得解. 【小问1详解】 抛物线，准线方程为， ，所以，所以， 因为点在抛物线上，所以， 又，所以， 将代入抛物线，可得， 故，，； 【小问2详解】 由（1）可知，设中点为， 因为四边形为平行四边形，所以为中点， 设，所以， 因为在抛物线上，所以，则， 即， 所以，所以，且直线过点， 所以，即， 联立， 所以， 所以， 到距离， 所以． 18. 如图，几何体由两个直三棱柱拼接而成，在直三棱柱中，；在直三棱柱中，．直线分别交平面于点． （1）求证：； （2）若，则 （i）当时，求线段的长度； （ii）当平面与平面的夹角与互余时，求的值． 【答案】（1） 由题意可知：，又为平面内两条相交直线，所以平面， 所以平面与平面共面，所以可知在上， 因为为直三棱柱，所以平面， 又在平面内，所以没有交点， 又都在平面内， 所以． （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质定理即可求解； （2）（i）由因为，得到，即可求解，（ii）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为， 所以， 又，可得，所以 又因为，所以，可得． （ii）如图建系，则， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因平面的法向量可取为， 所以， 因，则有， 整理得， 即， 因， 代入可得，即， 解得，即，解得：， 因，故得． 19. 设曲线． （1）求证：关于直线对称； （2）求证：是某个函数的图象； （3）试求所有实数与，使得直线在的上方． 【答案】（1） 点关于的对称点是， 若点在曲线上，即， 所以， 即也在曲线上，故关于直线对称． （2） 固定，设，则， 当时，恒成立，至多只有一个零点； 当时，令，设，则， 在上单调增，在上单调减，在上单调增， 又， 所以有且仅有一根，即对任意实数，关于的方程只有一解，即对任意实数，只有一个与之对应， 互换曲线方程不变，同理可知对任意实数，只有一个与之对应，所以是某个函数图象． （3）． 【解析】 【分析】（1）只需证明曲线上任一点关于的对称点是也在曲线上即可； （2）判断对任意实数，只有一个与之对应，即关于的方程只有一解，设，只需判断有且仅有一根即可； （3）首先判断出的图象夹在与之间，故．再由与曲线没有交点，且的值即为所求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 引理：对于上任意一点，恒有． 证明：设，则， 所以，所以的图象夹在与之间，故． 联立，可得， 当时，， 令，则或， 又， 又，，所以，此时方程无解， 当时，方程也无解， 综上：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 温州市普通高中2025届高三第三次适应性考试 数学试题卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名，准考证号填写在答题卷上，将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠，不要弄破． 选择题部分（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知都是单位向量，夹角为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 已知集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（ ） A. 1 B. C. 1 D. 4. 已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6. 已知函数的定义域为，，，且，则（    ） A. B. C. D. 7. 为了研究某种商品的广告投入和收益之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（ ）万元． /万元 1 2 3 4 5 /万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50 A. 2.48 B. 2.58 C. 2.68 D. 2.88 8. 已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则存在实数，使得（ ） A. 的最小正周期为 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 的最大值为0 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ） A. 与是互斥事件 B. 与是相互独立事件 C. D. 11. 已知数列满足，定义：集合，使得，并记该集合的元素个数为，则以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 存在数列，其中有一项能使得且 D. 若任取数列的两项，恰好是元素的概率大于，则 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学．某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况有___________种． 13. 在中，，，的中垂线交于点，则的面积的最大值是______． 14. 已知圆台上下底面半径分别为1，2，母线长为2，则圆台的体积等于______；为下底面圆周上一定点，一只蚂蚁从点出发，绕着圆台的侧面爬行一周又回到点，则爬行的最短距离为______． 四．解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）点在边上，且，求的周长． 16. 数列满足：，． （1）数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由； （2）数列满足：，求数列的前项和． 17. 抛物线与的焦点分别为，为的一个交点，且． （1）求的值； （2）是上的两点，若四边形（按逆时针排列）为平行四边形，求此四边形的面积． 18. 如图，几何体由两个直三棱柱拼接而成，在直三棱柱中，；在直三棱柱中，．直线分别交平面于点． （1）求证：； （2）若，则 （i）当时，求线段的长度； （ii）当平面与平面的夹角与互余时，求的值． 19. 设曲线． （1）求证：关于直线对称； （2）求证：是某个函数的图象； （3）试求所有实数与，使得直线在的上方． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $