精品解析：黑龙江省绥化市望奎四中等校2024-2025学年八年级（五四制）下学期期中考试数学试题

2024－2025学年度第二学期中考试 初三数学试题 考试说明：本试卷共三大题，满分 120分，时间 90分．温馨提示：将所有题答案填写在答题卡上，否则没有成绩） 一、单项选择题（每个3分 ，共36分） 1. 下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ） A. 6，7，8 B. 5，6，7 C. 4，5，6 D. 3，4，5 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 能使等式成立的x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 在Rt△ABC中，斜边BC=10，则BC2+AB2+AC2等于(　　) A. 20 B. 100 C. 200 D. 144 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中错误的是（ ） A. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 B. 两条对角线相等的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形 D. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 7. 顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 不能确定 8. 等腰三角形中，两边长为和，则此等腰三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 以上都不对 9. 如图，在正方形网格中，每个正方形的边长为1，则在△ABC中，边长为无理数的边数是(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，在中，，，平分交于点，则的长是（      ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 11. 如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（ ） A. B. 6 C. D. 12. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是( ) A. 9 B. 10 C. D. 二、填空题(每个3分，共30分） 13. 使得代数式有意义的x的取值范围是_____． 14. 若3－的整数部分为a，小数部分为b，那么＝__________. 15. 化简二次根式的结果为_____________________ 16. 如图，中，，分别以的三边为边向外作正方形，分别表示这三个正方形的面积，已知，则__________． 17. 如图，数轴上点所表示的数与的和为__________ 18. 如图，将矩形纸片沿直线翻折，使点恰好落在边的中点处，点在边上，若，则__________． 19. 如图，在四边形中，，、、分别是、、的中点，，，则的度数为_______________． 20. 如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________ ． 21. 如图，矩形的面积为1．顺次连接各边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边中点得到四边形，依此类推，求四边形的面积是__________________  ． 22. 在中，是边上的高，，，且，则的面积为_________ 三、解答题（共54分） 23. 计算： （1）； （2） 24. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿射线，的速度运动，设运动时间为t秒． （1）求的值； （2）当为等腰三角形时，直接写出t的值； （3）当为直角三角形时，求t的值． 25. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 26. 如图，等边的边长是2，D、E分别为、的中点，延长至点F，使，连接和． （1）求证：； （2）求的长． 27. 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F，请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题． （1）探究1：小强看到图后，很快发现，这需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等，考虑到点E是边的中点，因此可以选取的中点M，连接EM（图1）后尝试着完成了证明，请你写出小强的证明过程． （2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边的中点”改为“点E是边上的任意一点”，其余条件不变，发现仍然成立，请你证明这一结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期中考试 初三数学试题 考试说明：本试卷共三大题，满分 120分，时间 90分．温馨提示：将所有题答案填写在答题卡上，否则没有成绩） 一、单项选择题（每个3分 ，共36分） 1. 下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ） A. 6，7，8 B. 5，6，7 C. 4，5，6 D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可. 【详解】解：A、62+72≠82，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、52+62≠72，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意； D、52=32+42，能构成直角三角形，故符合题意． 故选D． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式有意义的条件，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据最近二次根式的定义，二次根式有意义的条件，二次根式的化简，一一判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故符合题意； B、没有意义，故不符合题意； C、不是最简二次根式，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：A． 3. 能使等式成立的x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握二根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，， 故选：C． 4. 在Rt△ABC中，斜边BC=10，则BC2+AB2+AC2等于(　　) A. 20 B. 100 C. 200 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理得出，AB2＋AC2= BC2，即可求出答案 【详解】∵在Rt△ABC中，斜边BC＝10 ∴AB2＋AC2= BC2=100 ∴BC2＋AB2＋AC2=100+100=200 故答案为C 【点睛】此题考查了勾股定理的基本运用，三边平方关系是解决此题的关键 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加法，二次根式的减法，二次根式的乘法，二次根式的化简，同类二次根式一一判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、和不是同类二次根式，不能做加法运算，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的加法，二次根式的减法，二次根式的乘法，同类二次根式，二次根式的化简，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 6. 下列说法中错误的是（ ） A. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 B. 两条对角线相等的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形 D. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理逐项分析即可 【详解】A. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； B. 两条对角线相等且平分的四边形是矩形，故该选项不正确，符合题意； C. 两条对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，故该选项正确，不符合题意； D. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项正确，不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理，掌握以上定理是解题的关键． 7. 顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质。菱形的判定，三角形的中位线，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由题意可知，利用三角形中位线可知，，，，，，，从而知道，，推出四边形是平行四边形，结合矩形的对角线相等，可证，从而得到，从而得到四边形是菱形，从而得到答案． 【详解】解：如图所示，四边形是矩形，、、、分别是、、、的中点，连接，， ，，，，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形． 故选：C． 8. 等腰三角形中，两边长为和，则此等腰三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】先由三角形的三边关系确定出第三边的长，再求周长． 【详解】∵ ∴只能是腰长为5 ∴等腰三角形的周长= ． 故选A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：两腰相等，注意要用三角形的三边关系确定出第三边． 9. 如图，在正方形网格中，每个正方形的边长为1，则在△ABC中，边长为无理数的边数是(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据图中所示，利用勾股定理求出每个边长，然后根据无理数的定义即可得出答案 【详解】根据题意得： AB== BC===2 AC===3 ∴边长为无理数的个数为3个 故答案为D 【点睛】本题考查了勾股定理，推出两个直角边的长度是解决此题的关键 10. 如图，在中，，，平分交于点，则的长是（      ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质，可知，，，那么，结合平分，可知，那么，最后通过算得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，，， ， 平分， ， ， ， ． 故选：B． 11. 如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： ， ∴ ， ， ∵和大小、形状完全相同， ∴ ， ∴， ∴ 故选：A． 12. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是( ) A. 9 B. 10 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图(1)，AB=； 如图(2)，AB=． 故选B． 二、填空题(每个3分，共30分） 13. 使得代数式有意义的x的取值范围是_____． 【答案】x＞3 【解析】 【分析】二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴x﹣3＞0， ∴x＞3， ∴x的取值范围是x＞3， 故答案为：x＞3． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 14. 若3－的整数部分为a，小数部分为b，那么＝__________. 【答案】2－ 【解析】 【分析】因为 所以 由此求得整数部分与小数部分即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为2－ 【点睛】考查无理数的估算，注意找出最接近的整数范围是解决本题的关键. 15. 化简二次根式的结果为_____________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点判断出是解题的关键．由题意可知，，那么，然后根据二次根式的化简即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，那么， 故答案为：． 16. 如图，中，，分别以的三边为边向外作正方形，分别表示这三个正方形的面积，已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的三条边为三个正方形的边长是解决问题的关键，先根据正方形的性质表示出的表达式，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：∵三个四边形均是正方形， ∴， ∵是直角三角形， ∴，即， ∵， ∴ 故答案为：． 17. 如图，数轴上点所表示的数与的和为__________ 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，正确计算的长度是解题的关键．利用勾股定理，可求得，从作图可知，，结合点在点0的左侧，表示出点，从而得出答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可知， ，点在点0的左侧 点表示的数为 数轴上点所表示的数与的和为： 故答案为：0． 18. 如图，将矩形纸片沿直线翻折，使点恰好落在边的中点处，点在边上，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形中的折叠问题，勾股定理，由矩形的性质得到，根据折叠的性质，得到，根据已知求出，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵矩形纸片中，， ∴，， 由折叠的性质得， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 19. 如图，在四边形中，，、、分别是、、的中点，，，则的度数为_______________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据、、分别是、、的中点，可知是的中位线，是的中位线，结合，可知，，，接着利用平行线的性质，可得到，，从而得到，最后利用算得答案． 【详解】解：在四边形中，，、、分别是、、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，三角形的中位线，等腰三角形的判定与性质，平行的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 20. 如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________ ． 【答案】10 【解析】 【详解】本题考查勾股定理,可以过点F作FG⊥AB,交AB延长线于点G,根据题意可得:AG=AB+CD+EF=3+3+2=8,CF=BC+DE=4+2=6, 在Rt△AGF中,AF= 21. 如图，矩形的面积为1．顺次连接各边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边中点得到四边形，依此类推，求四边形的面积是__________________  ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，图形类的规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．连接，可证得四边形是平行四边形，从而得到，同理可得，进而得到，同理，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵是各边的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∴， 同理， ……， 由此发现， ， ∴， 故答案为：． 22. 在中，是边上的高，，，且，则的面积为_________ 【答案】36或60 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，以及平行四边形的面积公式，解题的关键是分类讨论．分析：分两种情况讨论：①E在线段上，如图1，②E在的延长线上，如图2．分别利用勾股定理解答即可． 【详解】①当E在线段上时，如图1， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴的面积=； ②当点E在的延长线上时，如图2， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴的面积=； 综上所述：的面积为36或60． 故答案为36或60． 三、解答题（共54分） 23. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，二次根式的乘法，二次根式的化简，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）先化简二次根式，然后去括号，合并同类项即可； （2）先利用乘法分配律展开，然后分别计算乘法，最后相加即可得出答案． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 24. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿射线，的速度运动，设运动时间为t秒． （1）求的值； （2）当为等腰三角形时，直接写出t的值； （3）当为直角三角形时，求t的值． 【答案】（1） （2）5或8或 （3）4或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求出的长度，继而可求得t值； （2）当为直角三角形时，分两种情况：①当为直角时，②当为直角时，分别求出此时的t值即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴； 【小问2详解】 解：由题意知， ①当时， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴； ③当时， 则， 在中，， ∴， 解得， 综上，当为等腰三角形时，t的值为5或8或； 【小问3详解】 解：由题意知：， ①当为直角时，点P和点C重合， ∴， ∴， ②当为直角时， 在中，， 在中，， ∴， 解得， 综上，当为直角三角形时，t的值为4或． 【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 25. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//DC，AB=DC， ∴∠BAE=∠DCF， 在△AEB和△CFD中， ， ∴△AEB≌△CFD（SAS）， ∴BE=DF． 【解析】 【分析】利用SAS证明△AEB≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 26. 如图，等边的边长是2，D、E分别为、的中点，延长至点F，使，连接和． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】本题考查与三角形中位线有关的证明及结论、等边三角形的性质及三线合一的运用． （1）直接利用三角形中位线定理得出，即可得出结论； （2）根据三线合一即可求解． 【小问1详解】 解：（1）证明：∵、分别为的中点， 为的中位线， ，， ， ∴. 【小问2详解】 等边三角形的边长为2， ∴ ∵为 的中点， ． 27. 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F，请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题． （1）探究1：小强看到图后，很快发现，这需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等，考虑到点E是边的中点，因此可以选取的中点M，连接EM（图1）后尝试着完成了证明，请你写出小强的证明过程． （2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边的中点”改为“点E是边上的任意一点”，其余条件不变，发现仍然成立，请你证明这一结论． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）取的中点，连接，根据正方形的性质，得出，结合中点，得出，即可证明，即可求解； （2）在上截取，然后证明，，再利用“角边角”证明，然后根据全等三角形对应边相等即可证明． 【小问1详解】 证明：如图1，取的中点M，连接． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵点E，M分别为正方形的边和的中点 ∴， 又可知是等腰直角三角形 ∴， 又∵是正方形外角的平分线， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 在AB上截取AM=EC，连接ME， 由（1）知， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $