精品解析：山东省临沂市河东区2024—2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024－2025学年度下学期期中学业水平质量监测试题 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分．考试时间120分钟． 2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考生号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上． 3．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，那么第三边是（ ） A. 25 B. 5 C. 5或 D. 7或25 3. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列算式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 11 6. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则大正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是斜边的中点，以为边作正方形．若，则正方形的面积为（ ） A. 5 B. 100 C. 25 D. 15 8. 如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形、、、的边长分别是12，16，9，12，则最大正方形的边长是（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 9. 如图，方格纸中小正方形边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点处，则到的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论： ①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则x的取值范围是______． 12. 已知等边三角形的边长是4，则这个三角形的面积为_______． 13. 如图，要测量、两点间距离，在点设桩，取的中点，的中点，测得，则、两点间的距离是________． 14. 如图，圆柱的底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是______．（结果保留） 15. 如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点，点为垂足，连接，则________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知，求代数式的值． 18. 求证：对角线相等的平行四边形是矩形． 在证明几何文字命题时，通常会经历：“画示意图→写已知、求证→写证明过程”这三个步骤，请按照以上步骤完善下面相应内容． 步骤一：结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形； 如图所示： （1）步骤二：结合步骤一中的示意图，请完善已知和求证： 已知：如图，四边形是平行四边形，______． 求证：______． （2）步骤三：写出证明过程． 19. 如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 20. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，，OE与AB交于点F． （1）试判断四边形AEBO的形状，并说明理由； （2）若，，则菱形ABCD的面积为______． 21. 今年初，国家发展改革委、财政部发布关于2025年加力扩围实施大规模设备更新和消费品以旧换新政策的通知，下称“国补”，其中包括了数码产品里的笔记本电脑．如图1，小亮把通过“国补”购买的笔记本电脑水平放置在桌子上，显示器与底板所在水平线的夹角是，侧面示意图如图2；使用时为了散热，小亮在底板下垫入散热架，如图3，此时电脑转到位置，侧面示意图如图4．已知，于点，，． （1）求的长； （2）垫入散热架后，显示器顶部比原来升高了多少？（结果保留根号） 22. （1）请用“>”、“=”、“<”填空： ①________；②________；③________． （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由． （3）学以致用：某园林设计师要用篱笆围成一个矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体（墙体足够长），为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少是多少米？ 23. （1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度下学期期中学业水平质量监测试题 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分．考试时间120分钟． 2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考生号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上． 3．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的判断，根据二次根式的定义，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A. 是二次根式，故选项A符合题意； B. 的被开方数是负数，不是二次根式，故选项B不符合题意； C.当时，的被开方数是负数，不是二次根式，故选项C不符合题意； D. 不是二次根式，故选项D不符合题意； 故选：A． 2. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，那么第三边是（ ） A. 25 B. 5 C. 5或 D. 7或25 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，已知直角三角形的两边长分别为3和4，需分两种情况讨论：当4为直角边时，第三边为斜边；当4为斜边时，第三边为另一条直角边． 【详解】解：当长为4的边为直角边时，由勾股定理得：第三边的长， 当长为4的边为斜边时，由勾股定理得：第三边的长； 综上所述，第三边的长为5或， 故选：C． 3. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由，，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，故A不符合题意； B．由，，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合题意； C．由，不能判定四边形是平行四边形，故C不符合题意； D．由，，能判定四边形是平行四边形，故D符合题意． 故选：D． 4. 下列算式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、都没有意义，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的对角线互相平分是解题关键．由矩形的性质可得，，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， ， 故选：A． 6. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则大正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，先根据正方形的面积公式计算出两小正方形的边长，再把两小正方形的边长相加即可得到大正方形的边长． 【详解】解：由条件可知这两个小正方形的边长分别为，， ∴大正方形的边长为， 故选：D． 7. 如图，在中，是斜边的中点，以为边作正方形．若，则正方形的面积为（ ） A. 5 B. 100 C. 25 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线，根据直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半得出，再根据正方形的面积求解即可． 【详解】解：在中，是斜边的中点，， ∴， ∴， 故正方形的面积为25， 故选：C． 8. 如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形、、、的边长分别是12，16，9，12，则最大正方形的边长是（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先根据勾股定理可得，即可求出，同理可得，接下来求出，则此题可解． 【详解】解：如图所示，根据勾股定理，得， ∵A，B，F都是正方形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴最大正方形E的边长为25． 故选：B． 9. 如图，方格纸中小正方形边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点处，则到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分割图形求面积法求出△ABC的面积，利用勾股定理求出线段AB的长，再利用三角形的面积公式可求出点C到AB边的距离． 【详解】解：设点C到AB边的距离为h，则 ∵， 又∵， ∴， 解得：； 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理以及三角形的面积，利用面积法求出点C到AB边的距离是解题的关键． 10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论： ①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】延长，交于点，交于点，连接，交于点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据矩形的判定与性质可得，由此可判断①；先根据三角形全等的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此可判断③；根据直角三角形的性质可得，从而可得，由此可判断②；先根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再解直角三角形可得的最小值，从而可得的最小值，由此可判断④． 【详解】解：如图，延长，交于点，交于点，连接，交于点， 四边形是正方形，， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，即结论①正确； ， ， ，即结论③正确； ， ， ， ，即，结论②正确； 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时在中，， 又， 的最小值与的最小值相等，即为，结论④错误； 综上，正确的结论为①②③，共有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知等边三角形的边长是4，则这个三角形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】作AD⊥BC于D．可得BD=CD=2，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题； 【详解】解：作AD⊥BC于D． ∵AB=4，AD⊥BC，AB=AC， ∴BD=DC=2， ∴AD=， ∴等边△ABC的面积=BC•AD=×4×2=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD的值是解题的关键． 13. 如图，要测量、两点间距离，在点设桩，取的中点，的中点，测得，则、两点间的距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位线的判定与性质，先根据点是的中点，点是的中点，得是的中位线，进行作答即可． 【详解】解：∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴、两点间的距离是， 故答案为： 14. 如图，圆柱的底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径问题，将圆柱侧面展开，由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为的长，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，沿过点A的圆柱母线剪开得展开图如下，则蚂蚁从A爬行到点B的最短距离为线段的长， 由题意得，， ∴， ∴从点A爬到点B的最短路程是， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点，点为垂足，连接，则________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定等等，连接，根据菱形性质得出 ，根据线段垂直平分线得出，由等边对等角可得，求出，则可求出，再利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，据此可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，然后利用二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先利用二次根式的性质化简，然后利用二次根式的混合计算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，二次根式的性质化简，熟知相关计算法则是解题的关键． 17. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据x的值，可以求得，将所求值代入原式即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算方法及乘法公式是解题的关键． 18. 求证：对角线相等的平行四边形是矩形． 在证明几何文字命题时，通常会经历：“画示意图→写已知、求证→写证明过程”这三个步骤，请按照以上步骤完善下面相应内容． 步骤一：结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形； 如图所示： （1）步骤二：结合步骤一中的示意图，请完善已知和求证： 已知：如图，四边形是平行四边形，______． 求证：______． （2）步骤三：写出证明过程． 【答案】（1）；平行四边形是矩形． （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键． （1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得答案； （2）根据全等三角形的判定与性质，可得与的关系，根据平行四边形的邻角互补，可得的度数，根据矩形的判定，可得答案． 【小问1详解】 解：在平行四边形中，， 求证∶平行四边形是矩形． 故答案为∶；平行四边形是矩形． 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 19. 如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先由勾股定理求出，再证明得到，据此根据列式计算即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 20. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，，OE与AB交于点F． （1）试判断四边形AEBO的形状，并说明理由； （2）若，，则菱形ABCD的面积为______． 【答案】（1）四边形AEBO是矩形，证明见解析 （2）120 【解析】 【分析】（1）先证四边形AEBO为平行四边形，再由菱形的性质得∠AOB=90°，即可得出结论； （2）根据勾股定理和菱形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 解：四边形AEBO是矩形，理由如下： ∵， ∴四边形AEBO是平行四边形． 又∵菱形ABCD对角线交于点O， ∴AC⊥BD， ∴∠AOB=90°． ∴平行四边形AEBO是矩形； 【小问2详解】 ∵四边形ABCD是菱形，AC=24， ∴OA=AC=12，OB=OD，AC⊥BD， ∵四边形AEBO是矩形， ∴AB=OE=13， ∴OB=， ∴BD=2OB=10， ∴菱形ABCD的面积=AC•BD=×24×10=120． 【点睛】本题考查的是菱形的性质、矩形的判定与性质和判定、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 21. 今年初，国家发展改革委、财政部发布关于2025年加力扩围实施大规模设备更新和消费品以旧换新政策的通知，下称“国补”，其中包括了数码产品里的笔记本电脑．如图1，小亮把通过“国补”购买的笔记本电脑水平放置在桌子上，显示器与底板所在水平线的夹角是，侧面示意图如图2；使用时为了散热，小亮在底板下垫入散热架，如图3，此时电脑转到位置，侧面示意图如图4．已知，于点，，． （1）求的长； （2）垫入散热架后，显示器顶部比原来升高了多少？（结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、直角三角形的性质等知识，熟练掌握利用勾股定理方程和含角的直角三角形的性质是关键． （1）证明，在中，由勾股定理得，即可求出； （2）过点作交的延长线于，求出，得到，则，求出，则，即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 解得，或（舍去）， ∴， 答：的长为； 【小问2详解】 过点作交的延长线于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 由（1）知，，， ∴， ∴， ∴显示屏顶部化原来升高了． 22. （1）请用“>”、“=”、“<”填空： ①________；②________；③________． （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由． （3）学以致用：某园林设计师要用篱笆围成一个矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体（墙体足够长），为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少是多少米？ 【答案】（1）①，②，③；（2）猜想：，见解析；（3）32米 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的运算和应用，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． （1）①分别计算后进行比较即可；②分别计算后进行比较即可；③分别计算后进行比较即可； （2）根据（1）中的结果猜想，再利用二次根式的运算法则进行验证即可； （3）设花圃的长为米，宽为米，则，，，根据（2）的结论进行解答即可． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴， 故答案为： ②，，， ∴； 故答案为： ③，． ∴， 故答案为： （2）猜想：， 理由如下：当，时， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）设花圃的长为米，宽为米，则，，， 由（2）得，， ∴篱笆至少需要32米． 23. （1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】 （1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）3 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $