精品解析：重庆市万州中学教育集团2024—2025学年下学期七年级数学期中考试卷　

万州中学教育集团初2024级七（下）第二次定时作业 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 若方程的解与关于x的方程的解相同，则ａ的值为　　 A. 2 B. C. 1 D. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 用加减法解方程组时，消去y应为（ ） A. B. C. D. 6. 小明从家里骑自行车到学校，每小时骑，可早到10分钟，每小时骑就会迟到5分钟，问他家到学校的路程是多少？设他家到学校的路程是，则据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 若一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 8. 如图，长青化工厂从地购买原料运回工厂，制成产品后运到地销售，该工厂与、两地有公路、铁路相连，公路运价为元/（吨·千米），铁路运价为元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费元，铁路运费元．请问该工厂的原料和产品各重有多少吨？若设原料重吨，产品重吨，则可以列方程组（　　） A. B. C. D. 9. 甲乙两人去超市购物，超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满元可以拿到1张摸彩券．已知甲一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；乙一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券，若每盒饼干的售价为x元，每个蛋糕的售价为元，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10. 将（所有字母均不为0）中的任意两个字母对调位置，称为“对调操作”．例如：“、对调操作”的结果为，且“、对调操作”和“、对调操作”是同一种“对调操作”． 下列说法： ①只有“、对调操作”的结果与原式相等； ②若“、对调操作”与“、对调操作”的结果相等，则或； ③若，则所有的“对调操作”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将下列每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若关于的方程是一元一次方程，则的值为_____________． 12. 已知不等式组的解为，则的值为________． 13. 规定一种新的运算：，求的解是 _____． 14. 小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息，若小明把60个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是_______． 15. 如图，中，，D、E是边上的点，把沿对折得到，再把沿对折得到，若恰好落在上，且此时，则_______． 16. 已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为______． 17. 若实数m使关于x的不等式组有解且至多有2个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则满足条件的所有整数m的和为____． 18. 对于一个三位数，若其十位上的数字是5、各个数位上的数字互不相等且都不为0，则称这样的三位数为“博远数”；如357就是一个“博远数”．将“博远数”m任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，将这6个两位数的和记为． （1）的值是_________； （2）规定：与11的商记为，即．若“博远数”n满足（且x，y均为整数），且，则n的最大值为________ 三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解方程（组） （1） （2） 20. 解不等式（组），并把不等式组的解集在数轴上表示出来： （1） （2） 21. 如图1，在中，是高，若． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）如图2，若是的角平分线，，相交于点F．求证：． 22. 甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，由于甲看错方程①中的a，得到方程组的解为，由于乙看错方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 23. 某项工程的承包合同规定：15天内完成这项工程，否则每超过1天罚款1000元．由于甲单独做20天完成，乙单独做30天完成，为此甲、乙两人商定共同承包这项工程，并签订了承包合同． （1）在正常情况下，甲、乙两人能否履行承包合同？为什么？ （2）在两人合作完成这项工程的75%时，因别处有急事，必须调走1人．为了能够履行承包合同，应该调走谁？请说明理由． 24. 为落实“垃圾分类”的环保理念，某学校同时购进绿色和灰色两种颜色的垃圾桶，若购进2个绿色垃圾桶和3个灰色垃圾桶共需340元；若购进3个绿色垃圾桶和2个灰色垃圾桶共需360元． （1）求绿色垃圾桶和灰色垃圾桶每个进价分别为多少元？ （2）为创建垃圾分类示范学校，学校预计用不超过3500元的资金购入两种垃圾桶共计50个，且绿色垃圾桶数量不少于灰色垃圾桶数量的，请求出共有几种购买方案？ （3）为落实垃圾分类的环保理念，县政府对学校采购垃圾桶进行补贴．每购买一个绿色垃圾桶和灰色垃圾桶，政府分别补贴m元和n元，如果（2）中所有购买方案补贴后的费用相同，求m与n之间的数量关系． 25. 换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想． （1）填空：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，，则原方程组可化为关于a、b的方程组解得a、b的值；这样可得，从而得到原方程组的解为． （2）请用换元法解方程：． 26. 知直线，现将一个含的三角板按照如图放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． （1）求的度数； （2）将一个含有的三角板按照如图所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒（）． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 万州中学教育集团初2024级七（下）第二次定时作业 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的定义是：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是的整式方程．根据二元一次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 是二元一次方程，故该选项符合题意； B. ，分母有未知数，不是整式方程，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； C. ，含有两个未知数，并且未知数的项的最高次数是，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； D. 含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：根据三角形的三边关系，知 A、1+2＝3，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意； B、3+4＞5，能够组成三角形，故选项正确，符合题意； C、5+4＜10，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意； D、2+6＜9，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 3. 若方程的解与关于x的方程的解相同，则ａ的值为　　 A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解方程3(2x-1)=3x，得x=1，因为这个解也是方程6-2a=2(x+3)的解，根据方程的解的定义，把x代入方程6-2a=2(x+3)中求出a的值即可． 【详解】3(2x-1)=3x 解得：x=1． 把x=1代入方程6-2a=2(x+3)得： 6-2a=2×(1+3) 解得：a=-1． 故选D． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，解题的关键是熟知能够使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解． 4. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可．本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、若，则，故该选项不符合题意； B、若，则，则，故该选项不符合题意； C、若，则，故该选项符合题意； D、若，则，故该选项不符合题意； 故选：C 5. 用加减法解方程组时，消去y应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的方法，掌握加减消元法的应用是解题的关键． 根据①中y的系数是3，②中y的系数是，判断出要求消去y，则应①的二倍与②的和即可解答． 【详解】解：用加减法解方程组时，若要求消去y，则应． 故选：C． 6. 小明从家里骑自行车到学校，每小时骑，可早到10分钟，每小时骑就会迟到5分钟，问他家到学校的路程是多少？设他家到学校的路程是，则据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．依题意设他家到学校的路程是，根据每小时骑，可早到10分钟，即，每小时骑就会迟到5分钟，即，进行列方程即可． 【详解】解：设他家到学校的路程是， 由题意得，． 故选：B． 7. 若一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】D 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为n，根据“多边形的内角和等于它外角和的3倍”列方程求解即可． 本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和定理是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，则 ， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故选：D． 8. 如图，长青化工厂从地购买原料运回工厂，制成产品后运到地销售，该工厂与、两地有公路、铁路相连，公路运价为元/（吨·千米），铁路运价为元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费元，铁路运费元．请问该工厂的原料和产品各重有多少吨？若设原料重吨，产品重吨，则可以列方程组（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设原料重吨，产品重吨，根据题意即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】设原料重吨，产品重吨， 根据题意可得铁路运费元，包括地到长青化工厂公路运吨原料公里，长青化工厂到地公路运产品的吨公里， 可列式：． 根据题意可得公路运费元，包括地到长青化工厂铁路运吨原料公里，长青化工厂到地铁路运产品的吨公里， 可列式：． 综上， 故选． 9. 甲乙两人去超市购物，超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满元可以拿到1张摸彩券．已知甲一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；乙一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券，若每盒饼干的售价为x元，每个蛋糕的售价为元，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用不等式组解决实际应用问题，根据彩券数量得到费用区间列不等式组求解即可得到答案； 【详解】解：由题意得， ， 解得：， 故选：C． 10. 将（所有字母均不为0）中的任意两个字母对调位置，称为“对调操作”．例如：“、对调操作”的结果为，且“、对调操作”和“、对调操作”是同一种“对调操作”． 下列说法： ①只有“、对调操作”的结果与原式相等； ②若“、对调操作”与“、对调操作”的结果相等，则或； ③若，则所有的“对调操作”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论． 【详解】解：， “、对调操作”的结果为 “、对调操作”的结果为，故①错误； ∵“、对调操作”与“、对调操作”的结果相等， ∴， ， 解得：或，故②正确； ∵， ∴ ∴对调后的结果为，，，共有3种不同运算结果，故③错误； 综上所述，正确的为②， 故选B 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将下列每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若关于的方程是一元一次方程，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义可得，，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：，， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次方程的定义，掌握只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程是解题的关键． 12. 已知不等式组的解为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据不等式组解集求参数，代数式求值，熟练掌握根据不等式组解集求出、值是解题的关键．先解不等式组得到，，然后根据该不等式组解集为求出、值，再代入计算即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解为， ，解得：，， ． 故答案为：． 13. 规定一种新的运算：，求的解是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 14. 小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息，若小明把60个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是_______． 【答案】66 【解析】 【分析】根据题意可知，单独一个纸杯的高度加三个纸杯叠放在一起的高度等于9，单独一个纸杯的高度加8个纸杯叠放在一起的高度等于14，根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解．本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为 由题意得 解得， 则个纸杯叠放在一起时的高度为：， 当时，其高度为：． 故答案为：． 15. 如图，中，，D、E是边上的点，把沿对折得到，再把沿对折得到，若恰好落在上，且此时，则_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题主要考查的是图形的折叠变换及三角形外角的性质，能够根据折叠的性质发现是解答此题的关键． 由折叠可得，，依据三角形的外角性质得，即可得到，进而得到． 【详解】解：由折叠可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握用换元、整体代换方法解方程组是解题的关键．设，可得，即可求解． 【详解】解：由，得： ， 设， 由得：， 方程组的解是， 是方程组的解， ， 解得：， 故答案为：． 17. 若实数m使关于x的不等式组有解且至多有2个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则满足条件的所有整数m的和为____． 【答案】15 【解析】 【分析】根据不等式组求出的范围，然后再根据方程求出的范围，从而确定的的可能值，再求和． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解且至多有2个整数解， ， ， 解方程，得：， 方程的解为非负数， ， 解得：， ∴， 或5或6， 满足条件的所有整数的和为． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地解一元一次方程和一元一次不等式组是解题的关键． 18. 对于一个三位数，若其十位上的数字是5、各个数位上的数字互不相等且都不为0，则称这样的三位数为“博远数”；如357就是一个“博远数”．将“博远数”m任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，将这6个两位数的和记为． （1）的值是_________； （2）规定：与11的商记为，即．若“博远数”n满足（且x，y均为整数），且，则n的最大值为________ 【答案】 ①. 352 ②. 451 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，二元一次方程的应用，关键是正确理解新定义和求解不定方程． （1）根据运算的定义进行计算便可； （2）根据（且x，y均为整数），求得，再根据，求得，再根据，列出x、y的二元一次方程，进而求得符合题意的x、y的整数解便可得出答案． 【详解】解：（1）依题意，， ∴的值是352； 故答案为：352； （2）∵（且x，y均为整数）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，且x，y均为整数，， ∴或或或， ∵n要取最大值， ∴百位的数最大，即最大， 即， ∴则n的最大值为， 故答案为： 451． 三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解方程（组） （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，加减消元法解二元一次方程组，熟知解题步骤是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，系数化为，即可求解； （2）利用加减消元法即可解答二元一次方程组． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 【小问2详解】 解：， 由①②， 得， 把代入①式，得， 解得：． ∴方程组的解为． 20. 解不等式（组），并把不等式组的解集在数轴上表示出来： （1） （2） 【答案】（1） （2），见详解 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再移项，系数化1，即可作答． （2）分别算出每个不等式的解集，再取公共部分的解集，然后在数轴上表示该不等式组的解集，即可作答． 【小问1详解】 解：∵ 则 则， ∴， ∴ 【小问2详解】 解： 由得， ∴， ∴即 由得， ∴ 则 ∴ ∴不等式组的解集为． 该不等式组的解集在数轴上表示出来： 21. 如图1，在中，是高，若． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）如图2，若是的角平分线，，相交于点F．求证：． 【答案】（1）是直角三角形，见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，高的定义，角平分线的性质，对顶角相等； （1）由题意得，即，，得即可解答； （2）由题意得，，，得即可解答． 【小问1详解】 解：是直角三角形．理由如下： ∵在中，是高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 证明：∵是的角平分线， ∴． 由（1）得，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 22. 甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，由于甲看错方程①中的a，得到方程组的解为，由于乙看错方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 【答案】2 【解析】 【分析】根据甲看错了方程①中的a，②没有看错，代入②得到一个方程求出b的值，乙看错了方程②中的b，①没有看错，代入①求出a的值，然后再把a、b的值代入代数式计算即可求解．本题考查了 二元一次方程组的错解复原问题，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 【详解】解：∵甲、乙两人共同解关于x，y的方程组由于甲看错方程①中的a，得到方程组的解为， 把代入，得， ∴ ∴， 把代入，得， ∴ ∴， ∴． 23. 某项工程的承包合同规定：15天内完成这项工程，否则每超过1天罚款1000元．由于甲单独做20天完成，乙单独做30天完成，为此甲、乙两人商定共同承包这项工程，并签订了承包合同． （1）在正常情况下，甲、乙两人能否履行承包合同？为什么？ （2）在两人合作完成这项工程的75%时，因别处有急事，必须调走1人．为了能够履行承包合同，应该调走谁？请说明理由． 【答案】（1）能按时完成，原因见解析； （2）应该调走乙，原因见解析 【解析】 【分析】（1）设工作总量为x,再求出每个人的工作速度，再用工作总量除以共同工作速度，即可得到两人一起的工作时间； （2）剩余的工作量分别去除以甲乙的工作速度，从而得出各自的工作时间，进而判断任意调走某人都可以还是只能调走工作效率低的． 【小问1详解】 解：设工作总量为x， 则甲工作速度为，乙的工作速度为，甲乙一起的工作速度为 ∴甲乙合作的工作时间为：（天） ∴甲乙合作，能按时完成任务，因为合作只需12天 【小问2详解】 由（1）得甲乙合作工作速度为， 完成75%需要的时间为(天)， 剩余25%如果甲来完成需要：（天） 剩余25%如果乙来完成需要：（天） 只有9+5=14＜15 ∴剩余的25%要由甲来完成才能在期限内完成 ∴调走乙 【点睛】本题考查工程问题中工作时间的求解，掌握计算方法，并设x是关键． 24. 为落实“垃圾分类”的环保理念，某学校同时购进绿色和灰色两种颜色的垃圾桶，若购进2个绿色垃圾桶和3个灰色垃圾桶共需340元；若购进3个绿色垃圾桶和2个灰色垃圾桶共需360元． （1）求绿色垃圾桶和灰色垃圾桶每个进价分别为多少元？ （2）为创建垃圾分类示范学校，学校预计用不超过3500元的资金购入两种垃圾桶共计50个，且绿色垃圾桶数量不少于灰色垃圾桶数量的，请求出共有几种购买方案？ （3）为落实垃圾分类的环保理念，县政府对学校采购垃圾桶进行补贴．每购买一个绿色垃圾桶和灰色垃圾桶，政府分别补贴m元和n元，如果（2）中所有购买方案补贴后的费用相同，求m与n之间的数量关系． 【答案】（1）绿色垃圾桶和灰色垃圾桶每个进价分别为80元、60元 （2）七种方案 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、整式加减中的无关型问题，正确建立方程组和不等式组是解题关键． （1）设每个绿色垃圾桶的进价为元，每个灰色垃圾桶的进价为元，根据两种购买方式建立方程组，解方程组即可得； （2）设购入个绿色垃圾桶，则购入个灰色垃圾桶，根据总费用和绿色垃圾桶数量不少于灰色垃圾桶数量的建立不等式组，解不等式组即可得； （3）设购买总费用为元，则，再根据（2）中的所有购买方案费用相同可得含的项的系数等于0，由此即可得． 【小问1详解】 解：设每个绿色垃圾桶的进价为元，每个灰色垃圾桶的进价为元， 由题意得：， 解得， 答：每个绿色垃圾桶的进价为80元，每个灰色垃圾桶的进价为60元． 【小问2详解】 解：设购入个绿色垃圾桶，则购入个灰色垃圾桶， 由题意得：， 解得， 为正整数， 可能为19，20，21，22，23，24，25 答：共有7种购买方案． 【小问3详解】 解：设购买总费用为元， 则， ∵（2）中的所有购买方案费用相同， ， ． 25. 换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想． （1）填空：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，，则原方程组可化为关于a、b的方程组解得a、b的值；这样可得，从而得到原方程组的解为． （2）请用换元法解方程：． 【答案】（1），；1，3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，二元一次方程组的特殊解法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合上下文，则得，再运用加减消元法解，，再得，同理解得，即可作答． （2）模仿题干过程，先设，则原方程组可化为关于a、b的方程组，运用加减消元法解得，，则同理解得原方程组的解为，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，设，， 则原方程组可化为关于a、b的方程组， 由得， 解得 把代入， 得， ∴ ∴， 整理得， 两式子相加得， ∴， 把代入， 得， 解得， ∴原方程组的解为． 故答案为：，；1，3． 【小问2详解】 解：∵， ∴设， 则原方程组可化为关于a、b的方程组， 由得， 解得， 把代入， 得， ∴ ∴， 整理得， 两式子相加得， ∴， 把代入， 得， 解得， ∴原方程组的解为． 26. 知直线，现将一个含的三角板按照如图放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． （1）求的度数； （2）将一个含有的三角板按照如图所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒（）． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】（1）度 （2）①或；②或或或 【解析】 【分析】（1）先利用三角形内角和求出，再根据平行线性质得，结合角平分线求出，进而求出，最后由平角求出． （2）①分在右边和左边两种情况，根据旋转性质表示出，结合角平分线定义及角的和差关系列方程求解．②分和两大情况，每种情况再细分小情况，利用平行线性质、旋转性质，结合角的和差关系列方程求解． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①依题意有以下两种情况： （ⅰ）当在的右边时，如图所示： 由旋转的性质得：， 由（1）得：，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 解得：； （ⅱ）当在的左边时，如图所示： 同理得：， ∴ 由得：， ∴， 解得：， 综上所述：的值为或； ②当边与三角板的一条直角边平行时，有以下两种情况： （ⅰ）当时，又有两种情况： （）延长交于点，如图所示： ∵， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴， 解得：； （b）延长交于点，如图所示： 同理得：，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴当时，的值为或； （ⅱ）当时，又有两种情况： （）延长交于点，如图所示： 同理得：，，， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， 解得：； （b）延长交于点，如图所示： 同理得：，，，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 解得：． ∴当时，的值为或； 综上所述：当边与三角板的一条直角边平行时，的值为或或或． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理以及图形的旋转，熟练掌握平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 ）、角平分线的定义（将一个角分成两个相等的角 ）、三角形内角和定理（三角形内角和为 ）以及准确分析图形旋转过程中角的变化关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $