精品解析：广东省东莞市东莞市石碣中学2024-2025学年下学期 九年级下学期第一次月考数学试卷

2024～2025学年第二学期第一次数学模拟考试卷 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 第19届亚运会在浙江杭州举行，下列与杭州亚运会相关的图案中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ） A B. C. D. 6. 下面四组数值中，哪一个是二元一次方程组的解（ ） A. B. C. D. 7. 某校举行“遵守交通安全，从我做起”演讲比赛．7位评委给选手甲的评分如下：91，95，89，93，88，94，95，则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 95，92 B. 93，93 C. 93，92 D. 95，93 8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线的对称轴是直线，与轴负半轴的交点坐标为，且，则下列结论中，正确的有（ ）个 ①，②，③，④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，在y轴上，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，点C刚好在x轴上，点D在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 的平方根是____． 12. 若与互相反数，则__________． 13. 若，是方程的两个根，则的值为__________． 14. 若点和点都在反比例函数的图象上，则_______．（用“”“”或“”填空） 15. 如图，以AD为直径的半圆O经过Rt斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E；B、E是半圆弧的三等分点，的长为2π，则图中阴影部分的面积为_____．（结果保留π） 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，每一个小方格边长均为一个单位长度，的顶点的坐标分别为． （1）请在网格中画出关于轴对称图形； （2）以点为位似中心，把按放大，在轴右侧得，请在网格中画出． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）． （1）小明将酚酞溶液随机滴入其中一瓶溶液，结果交绿色是_______事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； （2）小明将随机选择两瓶溶液同时滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率（可用A，B，C，D表示）． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 21. 如图，在中，，以上一点为圆心，的长为半径作，交，分别于，两点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度． 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分． 22. 【问题发现】如图①所示，四边形为正方形，为其对角线，在边上取点P，作，则此时，的数量关系为________，的形状为________； 【拓展延伸】如图②所示，将绕点C顺时针旋转，旋转角为，请问此时线段，的位置关系与数量关系是什么？说出你的理由； 【类比探究】如图③当旋转角为时， ①与的位置关系是________； ②若，，连接，则的面积为________． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点左侧），与y轴交于点，连接． （1）如图1，求的值及直线的解析式； （2）如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点．当时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，且点的横坐标小于2，在坐标轴上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年第二学期第一次数学模拟考试卷 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 第19届亚运会在浙江杭州举行，下列与杭州亚运会相关的图案中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法表示方法求解即可． 【详解】． 故选：B． 【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂乘除法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答案． 【详解】A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查同底数幂乘除法、积的乘方及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． 4. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据圆周角定理即可得． 【详解】解：∵， ∴由圆周角定理得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 5. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解． 详解】解：∵中，， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”． 6. 下面四组数值中，哪一个是二元一次方程组的解（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中每个方程都成立的未知数的值．利用加减消元法求出方程组的解，即可作出判断． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为． 故选：C． 7. 某校举行“遵守交通安全，从我做起”演讲比赛．7位评委给选手甲的评分如下：91，95，89，93，88，94，95，则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 95，92 B. 93，93 C. 93，92 D. 95，93 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义求解． 【详解】解：这组数据从小到大排序：88，89，91，93，94，95，95， 95出现了2次，出现次数最多，所以这组数据的众数为95； 这组数据最中间数为93，所以这组数据中位数是93． 故选：D． 【点睛】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．也考查了中位数：将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数． 8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：解：由得， 由得， 解集在数轴上表示为： 则不等式组的解集为． 故选：A． 9. 抛物线的对称轴是直线，与轴负半轴的交点坐标为，且，则下列结论中，正确的有（ ）个 ①，②，③，④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，由图象确定式子的符号等知识，利用图象可直接读出与的符号，再根据对称轴为直线可得，从而判断①；根据抛物线与轴有两个交点可判断②；由当时，，可判断③；由当时，，结合可判断④．审清题意读懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：①由图可知抛物线开口向下，与轴的交点在原点上方，即，， 又对称轴为直线，即， ， ，故①错误； ②由图可知抛物线与轴有两个交点， ，即，故②正确； ③由图可知当时，， ，故③错误； ④由图可知当时，，且， 即，故④正确； 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，在y轴上，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，点C刚好在x轴上，点D在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由绕点A逆时针旋转得到可得为等边三角形，再通过点A的坐标为可求得，最后过点D作轴构造直角三角形求出点D坐标即可求解． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到， ， 为等边三角形， 点A的坐标为， ， 设则， ， 解得：， ， 过点D作轴如图： ，， 点D坐标为， 点D在反比例函数上， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化—旋转，勾股定理，等边三角形的判定及性质，解答本题的关键是铅锤法构造直角三角形求点的坐标，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 12. 若与互为相反数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，以及二元一次方程组的解法，先根据互为相反数的和等于0列式，再根据非负数的性质列出二元一次方程组，最后解二元一次方程组求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵与 互为相反数， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 13. 若，是方程的两个根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系； 根据一元二次方程的两根进行求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， 故答案为：． 14. 若点和点都在反比例函数的图象上，则_______．（用“”“”或“”填空） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比较反比例函数值，分别代入求出、，比较大小即可． 【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上， ∴，， ∴，即， 故答案为：． 15. 如图，以AD为直径的半圆O经过Rt斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E；B、E是半圆弧的三等分点，的长为2π，则图中阴影部分的面积为_____．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC，AC的长，利用S△ABC-S扇形BOE=图中阴影部分的面积求出即可． 【详解】解：连接BD，BE，BO，EO， ∵B，E是半圆弧的三等分点， ∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°， ∴∠BAD=∠EBA=30°， ∴BE∥AD， ∵的长为2π， ∴ ∴R=6， ∴AD=12 ∴AB=ADcos30°=， ∴， ∴， ∴ ∵△BOE和△ABE同底等高， ∴△BOE和△ABE面积相等， ∴图中阴影部分的面积为：S△ABC-S扇形BOE= 故答案为： 【点睛】此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出△BOE和△ABE面积相等是解题关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊的三角函数值，零次幂，及负整数指数幂．根据特殊的三角函数值，零次幂及负指数幂运算法则求解，即可解题． 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先通分计算括号内的，同时将除法变为乘法，并因式分解，再约分，然后将数值代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，每一个小方格的边长均为一个单位长度，的顶点的坐标分别为． （1）请在网格中画出关于轴对称的图形； （2）以点为位似中心，把按放大，在轴右侧得，请在网格中画出． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换、轴对称变换，熟练掌握位似的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据位似的性质作图即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）． （1）小明将酚酞溶液随机滴入其中一瓶溶液，结果交绿色是_______事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； （2）小明将随机选择的两瓶溶液同时滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率（可用A，B，C，D表示）． 【答案】（1）不可能 （2） 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，用列表或画树状图的方法求概率，熟练掌握用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意“通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色” 可得结果变绿色是不可能事件， 故答案为：不可能； 【小问2详解】 解：列表如下； 第2瓶 第1瓶 A B C D A B C D 由表知，共有12种等可能出现的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色有，共2种结果，所以两瓶溶液恰好都变红色的概率为． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 21. 如图，在中，，以上一点为圆心，的长为半径作，交，分别于，两点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求长度． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，由为直径，可得，由，可证，可证，通过计算即可； （）先证，然后根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 连接、， ∵为直径， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的切线； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线证明、相似三角形的判定与性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，角度和差等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分． 22. 【问题发现】如图①所示，四边形为正方形，为其对角线，在边上取点P，作，则此时，的数量关系为________，的形状为________； 【拓展延伸】如图②所示，将绕点C顺时针旋转，旋转角为，请问此时线段，的位置关系与数量关系是什么？说出你的理由； 【类比探究】如图③当旋转角为时， ①与的位置关系是________； ②若，，连接，则的面积为________． 【答案】问题发现：相等，等腰直角三角形 ；拓展延伸：，，见解析；类比探究：①；② 【解析】 【分析】问题发现：由正方形的性质可得，，再由平行线的性质可得，即可得解； 拓展延伸：延长交于点F，交于点E．证明，得出，，即可得解； 类比探究：①延长，作，垂足为N；作，垂足为H．根据等腰直角三角形的性质求解即可；②解直角三角形得出．证明四边形是边长为1的正方形，再由计算即可得解． 【详解】解：问题发现：∵四边形为正方形，为其对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴，的形状为等腰直角三角形； 拓展延伸：，． 如图所示，延长交于点F，交于点E． ， 由旋转的性质可得， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， 即． 类比探究：①， 如图所示，延长，作，垂足为N；作，垂足为H． ， ∵为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴； ②在中，，， ∴． ∵四边形为矩形，且， ∴四边形是边长为1的正方形． ∵，，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点左侧），与y轴交于点，连接． （1）如图1，求的值及直线的解析式； （2）如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点．当时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，且点的横坐标小于2，在坐标轴上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1），直线的解析式为 （2）点坐标为或 （3）存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解即可得到答案； （2）证明，得到，即可求解； （3）当点在轴时，以、、为顶点的三角形与相似，存在、两种情况，利用解直角三角形的方法即可求解；当点在轴上时，同理可解． 【小问1详解】 解：抛物线与y轴交于点， 把代入得，即抛物线的解析式为； 抛物线与轴交于点（点在点左侧），， 当时，，解得或 ， 直线过、， 设直线， 将、代入得：，解得：， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：分别过点、点作轴的平行线，交直线于点和点，如图所示： 设点，，则， 当时，， ，， ， ， ， ，则， ，解得，， 点坐标为或； 【小问3详解】 解：存在， 理由如下： 由题意得，点；由点、、的坐标得，，， ∴ 则，则，，， 当点在轴时，如图所示： 以、、为顶点的三角形与相似， 当时，则，得，则点； 当时，此时，点、重合且符合题意，故点； 当点在轴上时，只有，则，则点， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、三角形相似的判定与性质、解直角三角形、面积的计算等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合题型解法，尤其注意分类求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$