精品解析：江苏省盐城中学2025届高三第三次模拟考试数学试题

盐城中学高三年级第三次模拟考试数学试题 考试时间：120分钟 分值：150 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 1 2. “”是“为幂函数”的（ ）条件． A 充要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充分不必要 3. 若，则（ ） A. 0 B. 2 C. －2 D. －4 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 24 D. 48 5. 设随机变量服从二项分布，则函数有零点的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（ ） 0 A. 1 B. C. 4 D. 2 7. 三棱锥中，，，，则三棱锥的体积为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 8. 过点可以做三条直线与曲线相切，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，漏选得部分分，错选得0分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 回归直线经过样本点的中心 B. 对于独立性检验，随机变量的值越大，判定“两个变量有关系”犯错误的概率就越小 C. 在一元线性回归模型中，若决定系数，则残差的平方和为0 D. 和方差分别为和，若且，则． 10. 已知函数是奇函数，且，则（ ） A. B C. 在R上单调递增 D. 若对任意实数，不等式恒成立，则 11. 正方体的棱长为1，分别是的中点，是的四等分点（靠近A点），下列结论正确的是（ ） A. 当点P在上运动时，点到平面的距离的最小值为 B. 若P在底面ABCD内（包含边界）运动，且满足，则动点P的轨迹的长度为 C. 若正方体内有两球互相外切，且两球各与正方体的三个面相切，则两球半径之和为 D. 当点P在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是． 三、填空题（每题5分，共15分） 12 若，则 ____________． (参考数据：若，则．) 13. 设函数，若关于的方程的解的个数是___________ 14. 已知，则的最小值为__________． 四、解答题（13+15+15+17+17=77分） 15. （1）计算：． （2）利用0，1，2，4，5，7这六个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数有多少个？ （3）甲乙丙丁戊五个同学，分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？ 16. 已知函数（，且）． （1）讨论的奇偶性； （2）若，不等式恒成立，求t的取值范围． 17. 在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第五．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6． （1）请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关； （2）从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言．设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值． 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接． （1）证明：平面； （2）求M到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数，． （1）求函数在处的切线方程； （2）讨论函数单调性； （3）当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盐城中学高三年级第三次模拟考试数学试题 考试时间：120分钟 分值：150 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合B，再进行集合的交集即可. 【详解】因为，， 所以有3个元素. 故选：B. 2. “”是“为幂函数”的（ ）条件． A. 充要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充分不必要 【答案】D 【解析】 【分析】分别验证其充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】当时，，符合幂函数的形式，故充分性满足； 当为幂函数可得，解得或， 故必要性不满足， 所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：D 3. 若，则（ ） A. 0 B. 2 C. －2 D. －4 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数导数及极限求解导数的定义即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 则. 故选：C. 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 24 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式得，最后求中的系数即可求解. 【详解】由题意有， 当时，有，中的系数为， 所以的系数为， 故选：A. 5. 设随机变量服从二项分布，则函数有零点的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数有零点得出关于随机变量的取值范围，再利用二项分布的概率公式计算相应概率. 【详解】因为函数有零点，所以判别式. 即，化简得： ，解得 根据二项分布的概率公式可知： . 故选：C. 6. 设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（ ） 0 A. 1 B. C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质求出的值，再利用期望公式得到与的关系，然后换元，将所求式子进行变形，结合与的关系，运用基本不等式求出其最小值. 【详解】根据离散型随机变量分布列的性质：所有概率之和为，即.解得. 已知随机变量的期望为，可得. 化简可得：，进一步变形为. 设，则， 将进行变形， 给式子乘以得到. 展开式子： 根据基本不等式，有. 所以，当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 7. 三棱锥中，，，，则三棱锥的体积为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先通过向量求出三角形的面积，再求出点到平面的距离，最后根据三棱锥体积公式求解. 【详解】因为，所以. . 所以. 所以以. 所以三角形的面积为：. 设平面的法向量为，则, 即,令，解得. 点到平面的距离. 根据三棱锥体积公式可得：. 故选：C. 8. 过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，从而将问题化为方程有3解，进而转化为与有3个交点，设，从而利用导数研究函数的单调性及极值，即可求解. 【详解】因为，所以， 设过点的切线切曲线于点， 则切线方程为，又其过点， 所以，所以根据题意可得该关于的方程有3解， 即方程有3解， 所以与有3个交点， 设，则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的极小值为，的极大值为， 且时，；时，， 所以要使与有3个交点，则需． 故选：A 二、多选题（每题6分，漏选得部分分，错选得0分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 回归直线经过样本点的中心 B. 对于独立性检验，随机变量的值越大，判定“两个变量有关系”犯错误的概率就越小 C. 在一元线性回归模型中，若决定系数，则残差的平方和为0 D. 和的方差分别为和，若且，则． 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据回归直线的求解，可判断A选项正确；根据独立性检验的标准，可判断B选项正确；根据决定系数的求解，可知当时，其残差平方和为0，故C正确，根据方差的线性运算性质，可知D错误. 【详解】对于A，根据最小二乘法可知，一元线性回归直线一定过样本中心点，故A正确； 对于B，卡方检验中，值越大，概率值越小，拒绝原假设时犯错误的概率就越小，故B正确； 对于C，由决定系数，当时，可得残差平方和，故C正确； 对于D，因为且，则，所以，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知函数是奇函数，且，则（ ） A. B. C. 在R上单调递增 D. 若对任意实数，不等式恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇函数的性质得出.然后分别将以及代入，计算即可得出答案；求出函数的定义域，分以及，结合复合函数的单调性，即可判断C项；根据函数的性质结合已知转化推得，即有在R上恒成立，进而判断D项. 【详解】对于A、B，由已知可得，， 又函数为奇函数， 所以有， 即， 所以有， 所以有，解得. 当时，有， 此时有，不满足题意； 当时，有， 此时有，满足题意. 故.故A正确，B错误； 对于C项，，定义域为R. 当时，易知函数，在上单调递增，在上单调递增， 根据复合函数的单调性可知，在上单调递增； 而为奇函数，故在R上单调递增.故C正确； 对于D项，由已知结合C项可知，在R上单调递增，且为奇函数， 所以由可得， ， 所以有， 所以有在R上恒成立. 易知，当时，取得最小值为. 要使在R上恒成立， 所以.故D正确. 故选：ACD. 11. 正方体的棱长为1，分别是的中点，是的四等分点（靠近A点），下列结论正确的是（ ） A. 当点P在上运动时，点到平面的距离的最小值为 B. 若P在底面ABCD内（包含边界）运动，且满足，则动点P的轨迹的长度为 C. 若正方体内有两球互相外切，且两球各与正方体的三个面相切，则两球半径之和为 D. 当点P在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是． 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对于A利用向量法求距离即可判断，对于B设点，由求出点的轨迹即可判断，对于C设两球的半径分别为，由题意有解出即可判断，对于D求平面的法向量，由由平面有，最后代入两点的距离公式即可判断. 【详解】以原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则有 ， 对于A：，设平面的法向量为， 则，令得， 设点，所以， 所以点到平面的距离为，故A正确； 对于B：设点，则，所以， 即点的轨迹为四分之一圆，即轨迹长度为，故B错误； 对于C：设两球的半径分别为，由题意有两球分别与正方体的三面相切， 所以球心分别为，由两球相切， 所以， 所以，因为，解得，故C正确； 对于D：设点，所以， 设平面的法向量为，， 所以，令得， 由平面有， 所以， 当时，的长度最小为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若，则 ____________． (参考数据：若，则．) 【答案】 【解析】 【分析】由正态曲线的性质以及参考数据代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得， . 故答案为： 13. 设函数，若关于的方程的解的个数是___________ 【答案】5 【解析】 【分析】求出或2，分别求出和时的解，得到答案. 【详解】或2， 当时，若，则，无解， 若，，故或，解得或， 当时，若，则，解得， 若，，故或，解得或， 所以方程的解的个数有5个. 故答案为：5 14. 已知，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用导数证明和，再利用其放缩得出，最后利用基本不等式即可求最值. 【详解】令，则， 则得；得， 则上单调递减，在上单调递增， 则，即，等号成立时， 则，等号成立时，即，等号成立时； 则，等号成立时，，等号成立时， 则， 等号成立时， 所以， 等号成立时，显然时成立， 综上，当时，取最小值. 故答案为： 四、解答题（13+15+15+17+17=77分） 15. （1）计算：． （2）利用0，1，2，4，5，7这六个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数有多少个？ （3）甲乙丙丁戊五个同学，分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？ 【答案】（1）35；（2）48；（3）150 【解析】 【分析】（1）根据组合数的性质求解即可； （2）分不选0和选0两种情况，结合分类加法和分步乘法原理求解； （3）把5人按1，1，3或2，2，1分组，再把每一种分组方法安排到三个城市即可求解. 【详解】（1）； （2）不选0时，先从1，5，7中选一个数放在个位， 然后剩下的4个数中选2个排在十位和百位，则有个奇数； 选0时，先把0放在十位，然后从1，5，7中选一个数放在个位， 再从剩下的4个数中选1个放百位，则有个奇数； 所以共有个奇数； （3）由题意，先把5人按1，1，3分组，有种分组方法， 按2，2，1分组，有种分组方法，因此不同分组方法数为， 再把每一种分组安排到三个城市，有种方法， 所以不同分配方法种数是. 16. 已知函数（，且）． （1）讨论的奇偶性； （2）若，不等式恒成立，求t的取值范围． 【答案】（1） 当时，是R上的偶函数；当时，是R上的奇函数； 当且时，既不是奇函数也不是偶函数； （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性定义，分类讨论即可； （2）确定函数的单调性，结合奇函数的性质求解不等式即可. 【小问1详解】 函数（，且）的定义域为R，且 当时，，即恒成立， 所以，即，此时，定义域为R，， 所以是R上的奇函数； 当时，，即恒成立，所以，即， 此时，定义域为R，， 所以是R上的偶函数； 当且时，，此时既不是奇函数也不是偶函数； 综上，当时，是R上的偶函数；当时，是R上的奇函数； 当且时，既不是奇函数也不是偶函数； 【小问2详解】 函数中，由，得，而， 所以，则，由（1）知是R上的奇函数； 因为函数都是R上的增函数，则是R上的增函数， 不等式， 因此，则， 解，得或； 解，即，得.于是， 所以t的取值范围是. 17. 在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第五．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色学生的概率为0.6． （1）请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关； （2）从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言．设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值． 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表: 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 15 25 男生 20 5 25 总计 30 20 50 没有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关 （2）分布列： 1 2 3 . 【解析】 【分析】（1）根据题意计算即可完善列联表，再根据卡方的计算即可求解； （2）根据分层抽样计算出男女生人数，结合服从超几何分布计算概率写出分布列，最后计算数学期望. 【小问1详解】 因为从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6， 所以喜欢哪吒角色的学生人数为，其中女生10人，则男生20人. 不喜欢哪吒角色的人数为，其中男生5人，则女生15人. 列联表补充如下， 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 15 25 男生 20 5 25 总计 30 20 50 根据列联表中的数据，计算可得 ，故没有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关. 【小问2详解】 由题意，按分层抽样抽取的6人中，男生人数为，女生人数为. 表示从这6人中随机选出3人中男生的人数，所以的所有可能取值为. 则， ， . 所以的分布列为 1 2 3 数学期望. 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接． （1）证明：平面； （2）求M到平面距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，然后利用点到平面的距离向量公式即可求解. （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 又，所以到平面的距离， 因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，即. 【小问3详解】 令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 19. 已知函数，． （1）求函数在处的切线方程； （2）讨论函数单调性； （3）当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 时，在单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）先求的导数，再利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线的点斜式方程求解即可； （2）先求的导数，对分类讨论，确定导数符号，得出单调性； （3）利用导数法分别求解在给定区间的最小值，然后根据“恒成立”和“能成立”得到关于的不等式，再次利用导函数求单调性结合特殊点函数值解不等式即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以所求切线的斜率为，又， 所以切线方程，即； 【小问2详解】 ，则函数定义域为， 所以，所以当时，有恒成立，在单调递减， 当时，由解得：，在上单调递减； 由解得：，在上单调递增； 综上，时，在单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，当时，， 根据题意，不等式等价于，， 对于，，则 所以在上单调递减，所以， 则有，即， 设，，则， 所以在定义域内为减函数，又， 所以，所以，即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $