23.4　中位线 学案2024-2025学年 华东师大版九年级数学上册

第23章　图形的相似 23.4　中位线 1.三角形的中位线 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做　　　　. 2.中位线的性质 定　　理：三角形的中位线　　　，并且　　　　. 3.三角形的重心 定　　义：三角形三条边上的　　　　交于一点，这个点就是三角形的重心. 性　　质：重心与一边中点的连线长是对应中线长的. 类型之一　三角形中位线定理的证明 　试证明三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.(要求：先画出图形，再根据图形写出已知、求证和证明过程) 　　 　　类型之二　利用三角形的中位线定理证明中点四边形 　[2023秋·临川区期中]如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，则四边形EHFG是　　　　. 类型之三　三角形中位线的综合运用 　如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，F是BC的中点. (1)如图1，BE的延长线与边AC相交于点D，求证：EF＝(AC－AB)； (2)如图2，写出线段AB、AC、EF之间的数量关系，并证明你的结论. 　　 　　 　 　　 　　 　　 　　1.如图，点M、N分别是△ABC的边AB、AC的中点.若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B的度数为(　　　　) A.20° B.45° C.65° D.70° 2.[2023·金华]如图，把两根钢条OA、OB的一个端点连在一起，点C、D分别是OA、OB的中点.若CD＝4cm，则该工件内槽宽AB的长为　　cm. 3.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F、G分别是AD、AE的中点，且FG＝2 cm，则BC的长是　　cm. 4.如图，在△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点.若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为　　. 1.如图，在Rt△ABC中，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是(　　　　) A.6 B.12 C.24 D.48 2.[2024秋·青神县期中]如图，在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC的中点，P为DE上一点，且满足∠EAP＝∠ABP，则PE＝(　　　　) A. B. C. D.1 3.如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为　　. 4.[2024·宜宾隆昌市期末]如图，在△ABC中，AB＝BC＝12，BD⊥AC于点D，点F在BC上，且BF＝4，连结AF，E为AF的中点，连结DE，则DE的长为　　. 5.[2023·湖州]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AB的中点，连结DE.已知BC＝10，AD＝12，求BD、DE的长. 　　 　　 　　 6.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠FPE＝100°，则∠PFE的度数为　　. 7.如图，△ABC的中线BE、CF相交于点G，连结EF.求证：BG＝2GE，CG＝2GF. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 8.如图，BM、CN分别平分△ABC的外角∠ABD、∠ACE，过点A分别作BM、CN的垂线，垂足分别为M、N，交CB、BC的延长线于D、E，连结MN.求证：MN＝(AB＋BC＋AC). 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 9.[2024·凉州区二模]如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：OG＝OH. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 10.(模型观念)[2023·山西]阅读与思考. 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务. 瓦里尼翁平行四边形. 我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连结E、F、G、H，得到的四边形EFGH是平行四边形. 图1 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁(Varingnon，Pierre 1654—1722)是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切. ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形. ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系. ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.此结论证明如下： 证明：如图2，连结AC，分别交EH、FG于点P、Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N. 图2 ∵H、G分别为AD、CD的中点， ∴HG∥AC，HG＝AC，(依据1) ∴＝. ∵DG＝GC，∴DN＝NM＝DM. ∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ. ∵HG∥AC，即HG∥PQ， ∴四边形HPQG是平行四边形，(依据2)∴S▱HPQG＝HG·MN＝HG·DM. ∵S△ADC＝AC·DM＝HG·DM， ∴S▱HPQG＝S△ADC.同理，…… 任务： (1)材料中的依据1是指：　　； 依据2是指：　　. (2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形EFGH为矩形.(要求同时画出四边形ABCD的对角线) (3)在图1中，分别连结AC、BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC、BD长度的关系，并证明你的结论. 图3 　　参考答案 【预习导航】 1.三角形的中位线　2.平行于第三边　等于第三边的一半　3.中线　 【归类探究】 【例1】略 【例2】菱形　 【例3】(1)略 (2)EF＝(AB－AC).证明略. 【当堂测评】 1.D　2.8　3.8　4.20　 【分层训练】 1.B　2.A　3.15　4.4 5.BD＝5，DE＝ 6.40°　7.略　8.略　9.略 10.(1)三角形的中位线定理　两组对边分别平行的四边形是平行四边形　 (2)略 (3)瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于AC＋BD.理由略. 。 学科网（北京）股份有限公司 $$