精品解析：浙江省宁波市第七中学2022年九年级毕业生学业水平模拟考试数学试题

宁波七中2022年初中毕业生学业水平模拟训练 数学试题 考生须知： 1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷，试题卷共6页，有三个大题，24个小题，满分为150分，考试时长为120分钟． 2．请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上． 3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满，将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效． 4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的相反数是（　　） A. 2022 B. C. D. 2. 下列计算正确的有（ ） A. B. C. D. 3. 2022年9月即将召开的杭州亚运会足球项目比赛场地位于杭州上城区体育中心体育场，它的总建筑面积约为16000平方米，16000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 二次根式中，字母的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 一次跳绳测试后，随机抽取6名学生成绩如下：182，175，178，180，175，190，关于这组数据说法错误的是（ ） A. 众数是175 B. 中位数是179 C. 平均数是180 D. 方差是26 7. 无论取什么数，总有意义的代数式是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形中，ADBC，，，．若点是线段的中点，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 9. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，点在的内部，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段的长得到直线m，直线m分别交，于点E，F，若求的周长，则只需知道（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 计算：_____． 12. 分解因式：3a2﹣12=___． 13. 在一个不透明的袋子里装着1个白球、2个黄球、4个红球，它们除颜色不同外其余都相同．现从袋中任意掵出一个球是红球的概率为_______． 14. 如图，在△ABC中，边AC，BC的垂直平分线交于三角形外一点P，若△ABP为等边三角形，则∠ACB的度数为________． 15. 如图，在中， 为延长线上一点，连接，则的最大值是______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点、分别落在双曲线（）第一和第三象限的两支上，连结，线段恰好经过原点，以为腰作等腰三角形，，点落在第四象限中，且轴．过点作交轴于点，交双曲线第一象限一支于点，若的面积为，则______． 三、解答题（本大题共有8题，共80分，其中17、18、19题各8分，20、21、22题各10分，23题12分，24题14分） 17. 计算、解不等式 （1）计算：； （2）解不等式组：． 18. 如图①、②都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个网格图中有3个小菱形已经涂上了阴影，请在余下的空白小菱形中，按下列要求选取一块涂上阴影： （1）如图①，使得4个阴影小菱形组成一个既是轴对称图形又是中心对称图形． （2）如图②，使得4个阴影小菱形组成一个轴对称图形但不是中心对称图形． 19. 国家教育部规定：初中生睡眠时间应达到9个小时，某中学对全体初中生就睡眠的时长进行抽样调查，调查结果共分为四个层次：A．8小时以下；B．8~9小时；C．9~10小时；D．10小时以上．根据调查统计结果绘制以下两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题： （1）本次参与调查的学生共有多少人？并补全条形统计图． （2）求扇形统计图中层次B的圆心角度数． （3）睡眠时间8小时以下的3名同学中有一名男生和二名女生，若心理老师想从这3名同学中任选两名同学进行交流，请用画树状图或列表的方法求同时选出的两名同学是一名男生和一名女生的概率． 20. 如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座长为，支架垂直平分，桌面的中点固定在支架处，宽为．身高为的使用者站立处点与点，在同一条直线上，． 点到点的距离是视线距离． （1）如图2，当，时，求视线距离的长； （2）如图3，使用者坐下时，高度下降，当桌面与的夹角为时，恰有视线，问需要将支架调整到多少？（参考数据：） 21. 如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒AC，BD，EF，GH组成，其中E，F，G，H分别是菱形四边的中点，现有一根长为的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设菱形的面积为. （1）写出关于的函数关系式： （2）为了使风筝在空中有较好的稳定性，要求，那么当骨架的长为多少时，这风筝即菱形的面积最大？此时最大面积为多少？ 22. 甲、乙两人从A地前往B地（途中经过C地），甲骑摩托车，乙开汽车，已知甲比乙早出发2小时，全程未作停留；乙出发2小时后到达C地，在C地停留一段时间后继续行驶3小时后到达B地，已知乙要比甲早到达B地．设两车途中行驶速度不变，两车之间的距离y（千米）与甲行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示． （1）直接写出a＝ ，b＝ ，＝ ； （2）已知，求甲的速度和乙的速度； （3）在（2）的情况下，求甲从C地到B地这段路时y与x的函数关系式． 23. 项目化学习：车轮的形状． 【问题提出】车轮为什么要做成圆形, 这里面有什么数学原理? 【合作探究】 （1）探究组：如图1，圆形车轮半径为，其车轮轴心到地面的距离始终为______． （2）探究组：如图2，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，求车轮轴心 最高点与最低点的高度差． （3）探究组：如图3, 有一个破损的圆形车轮, 半径为，破损部分是一个弓形，其所对圆心角为，其车轮轴心为，让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点经过的路程． 探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定． 【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点为圆心，以正三角形的边长为半径作圆弧，这个曲线图形叫做“莱洛三角形”． （4）探究组：使 “莱洛三角形” 沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其每时每刻都有 “最高点”，“中心点” 也在不断移动位置，那么在 “莱洛三角形” 滚动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”所形成的图案大致是______． 延伸发现：“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C是x轴负半轴上一点，过A、B、C三点的（圆心M落在第四象限）交y轴负半轴于点D，连接，已知． （1）　　（请用α的代数式表示），并求证：； （2）若，求点D的坐标； （3）如图2，连接并延长，交于点F，交于点E， ①若，求的长； ②若，请直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波七中2022年初中毕业生学业水平模拟训练 数学试题 考生须知： 1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷，试题卷共6页，有三个大题，24个小题，满分为150分，考试时长为120分钟． 2．请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上． 3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满，将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效． 4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的相反数是（　　） A. 2022 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义； 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据定义即可得到答案； 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2. 下列计算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂乘除法、幂的乘方、积的乘方的法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D不符合题意． 3. 2022年9月即将召开的杭州亚运会足球项目比赛场地位于杭州上城区体育中心体育场，它的总建筑面积约为16000平方米，16000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：16000用科学记数法表示为，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 二次根式中，字母的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由使得二次根式有意义的条件可直接得到答案． 【详解】解：由使得二次根式有意义的条件，有，解得． 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键． 5. 下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项符合题意； ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项不符合题意； 6. 一次跳绳测试后，随机抽取6名学生成绩如下：182，175，178，180，175，190，关于这组数据说法错误的是（ ） A. 众数是175 B. 中位数是179 C. 平均数是180 D. 方差是26 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数、中位数的定义可判断A、B，根据平均数、方差的计算公式可判断C、D． 【详解】解：6个成绩中，175出现了两次，其他均出现一次，故众数是175，A正确； 把这6个数从小到大排列：175，175，178，180，182，190，则中位数为（178+180）÷2=179，B正确； 平均数为，故C正确； 方差= ，故D错误， 故选D 【点睛】本题考查数据的分析，准确掌握定义并计算正确，是解题的关键． 7. 无论取什么数，总有意义的代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式以及分式有意义的条件，再逐项判定即可． 【详解】解：A、根据二次根式有意义的条件，对于有意义的条件是，显然无论取什么数，总有意义，故该选项符合题意； B、根据分式有意义的条件，对于有意义的条件是，而当时，，故该选项不符合题意； C、根据分式有意义的条件，对于有意义的条件是，而当时，，故该选项不符合题意； D、根据二次根式有意义的条件，对于有意义的条件是，而当时， ，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查常见代数式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 8. 如图，四边形中，ADBC，，，．若点是线段的中点，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】延长CM交AD于N，先由AAS证得△BCM≌△DNM，得出NM＝CM＝CN，DN＝BC＝3，求出AN＝BC，得出四边形ABCN是平行四边形，即可得出结果． 【详解】解：延长CM交AD于N，如图所示： ∵点M是线段BD的中点， ∴BM＝DM， ∵ADBC， ∴∠CBM＝∠NDM，∠BCM＝∠DNM， 在△BCM和△DNM中， ， ∴△BCM≌△DNM（AAS）， ∴NM＝CM＝CN，DN＝BC＝3， ∴AN＝AD﹣DN＝6﹣3＝3， ∴AN＝BC， ∵ADBC， ∴四边形ABCN是平行四边形， ∴CN＝AB＝5， ∴CM＝， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，添加辅助线证明△BCM≌△DNM是解题的关键． 9. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，点在的内部，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线与坐标轴的交点A、B的坐标，根据点P在△AOB内部，可知点P的横、纵坐标均大于0，且点P在直线的下方，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：令，则，∴， 令，则，∴， ∵点在的内部， ∴点P在第一象限且在直线下方， ∴， 解得：． 10. 如图，正方形的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段的长得到直线m，直线m分别交，于点E，F，若求的周长，则只需知道（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质和全等三角形的性质和判定，同时也利用了三角形周长的定义，掌握平移的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．过作于，连接，，然后利用已知条件可以证明)，)，接着利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：过作于，连接，， 直线向上平移线段的长得到直线， ， 而，， )， ， 同理)， ， 的周长为：． 求的周长，则只需知道的长． 故选：A． 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 计算：_____． 【答案】1 【解析】 【分析】该题考查了零指数幂，根据零指数幂的法则，任何非零数的零次幂都等于1． 【详解】解：因为 ，所以 ． 故答案为：1． 12. 分解因式：3a2﹣12=___． 【答案】3（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】3a2﹣12 =3（a2﹣4） =3（a+2）（a﹣2）． 13. 在一个不透明的袋子里装着1个白球、2个黄球、4个红球，它们除颜色不同外其余都相同．现从袋中任意掵出一个球是红球的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】用红球的个数除以球的总数即可求得答案． 【详解】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 14. 如图，在△ABC中，边AC，BC的垂直平分线交于三角形外一点P，若△ABP为等边三角形，则∠ACB的度数为________． 【答案】##150度 【解析】 【分析】根据题意可知在以为圆心为半径的圆上，根据是等边三角形，可得，根据圆周角定理即可求解． 【详解】如图，连接， 边AC，BC的垂直平分线交于三角形外一点P， ， 在以为圆心为半径的圆上， 是等边三角形， ， 设为上任意一点，连接AQ,BQ， ， 四边形是的内接四边形， ． 故答案为：150°． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，等边三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 15. 如图，在中， 为延长线上一点，连接，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】作△BCD的外接圆O，作BH⊥AC于H，DE⊥AC于E，连接OB，过O作OG⊥BC，由∠BOC=2∠BDC=120°，可知∠OBC=∠OCB=∠ACB=30°，得圆心O在AC上，由可知当DE=r时，的值最大，根据三角函数分别求出BH和r的值代入即可求解． 【详解】解：如图，作△BCD的外接圆O，作BH⊥AC于H，DE⊥AC于E，连接OB，过O作OG⊥BC， ∵∠BEC=2∠BDC=120°， ∴∠OBC=∠OCB=∠ACB=30° ∴圆心O在AC上 ∵OG⊥BC， ∴BG= ∴r=BE= ∵BH⊥AC于H，DE⊥AC于E ∴∠BHA=∠DEA=90° 又∴∠HAB=∠EAD ∴△BAH∽△DAE ∴ ∵∠BCH=30° ∴BH=BC 当DE=r=，即E与O重合时，的值最大， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、解直角三角形，作△BCD的外接圆是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点、分别落在双曲线（）第一和第三象限的两支上，连结，线段恰好经过原点，以为腰作等腰三角形，，点落在第四象限中，且轴．过点作交轴于点，交双曲线第一象限一支于点，若的面积为，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】设，，则，根据已知条件，求出，，，根据，即可求出，连结，设与轴交于点，根据已知条件证明，得出，根据已知条件证明，过点A作AM⊥x轴于点M，求出，即可求出k的值． 【详解】解：设，， ，轴， ， 设AB的函数关系式为：，把代入得：， 解得：， ， ， 设CD的关系式为：，把代入得：， 解得：， ∴CD的关系式为：， 联立，解得：或， ∵点D在第一象限， ∴， ， 连结，设与轴交于点， ， ∵， ， 为AB的中点，， ， ， ∴， ∵，， ∴四边形OBCE为平行四边形， ∴CE=OB， ∵OA=OB， ∴OA=CE， ∵， ， ∵， ∴， ∴， 过点A作AM⊥x轴于点M， ∵AB=AC，，， ∴， ， ， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数k值的意义，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作出辅助线，求出，是解题的关键． 三、解答题（本大题共有8题，共80分，其中17、18、19题各8分，20、21、22题各10分，23题12分，24题14分） 17. 计算、解不等式 （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂，零指数幂，去绝对值，特殊角的三角函数值和二次根式的化简法则进行化简，再根据实数的运算法则，即可求解； （2）根据不等式组的解法，先求出两个不等式的解集，再取公共部分即可求解． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 则不等式组的解集为． 18. 如图①、②都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个网格图中有3个小菱形已经涂上了阴影，请在余下的空白小菱形中，按下列要求选取一块涂上阴影： （1）如图①，使得4个阴影小菱形组成一个既是轴对称图形又是中心对称图形． （2）如图②，使得4个阴影小菱形组成一个轴对称图形但不是中心对称图形． 【答案】（1）如图即为所求： （2）如图即为所求： 【解析】 【分析】（1）根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可； （2）根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 国家教育部规定：初中生睡眠时间应达到9个小时，某中学对全体初中生就睡眠的时长进行抽样调查，调查结果共分为四个层次：A．8小时以下；B．8~9小时；C．9~10小时；D．10小时以上．根据调查统计结果绘制以下两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题： （1）本次参与调查的学生共有多少人？并补全条形统计图． （2）求扇形统计图中层次B的圆心角度数． （3）睡眠时间8小时以下的3名同学中有一名男生和二名女生，若心理老师想从这3名同学中任选两名同学进行交流，请用画树状图或列表的方法求同时选出的两名同学是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）本次参与调查的学生共有100人，补全图形见解析； （2）扇形统计图中层次B的圆心角度数为90°； （3）恰好抽中一名男生一名女生的概率为 ． 【解析】 【分析】（1）由D等级人数及其所占百分比即可求出总人数； （2）根据四个等级人数之和等于总人数即可求出B等级人数，再用360°乘以B等级人数所占比例即可得出答案； （3）画树状图展示所有等可能的结果数，找出恰好抽中一名男生一名女生的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次参与调查的学生共有15÷15%=100（人）， C等级人数为100-（3+25+15）=57（人）， 补全图形如下： 【小问2详解】 解：扇形统计图中等级B的圆心角度数为360°×=90°； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果数，其中恰好抽中一名男生一名女生的结果数为4， ∴恰好抽中一名男生一名女生的概率为 ． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法，利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． 20. 如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座长为，支架垂直平分，桌面的中点固定在支架处，宽为．身高为的使用者站立处点与点，在同一条直线上，． 点到点的距离是视线距离． （1）如图2，当，时，求视线距离的长； （2）如图3，使用者坐下时，高度下降，当桌面与的夹角为时，恰有视线，问需要将支架调整到多少？（参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直平分得长，结合求得，连接，延长交于点，证四边形是矩形得、，即可得，由为中点得，进而求，最后在中用勾股定理求出； （2）先求坐下后的高度，延长交于，证四边形是矩形得，由对顶角得，在直角三角形中用余弦求，最后通过线段差求出即可． 【小问1详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴， 如图，连接，延长交于点， ∵，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 在中， ； 【小问2详解】 解：∵使用者坐下时，高度下降， ∴， 如图，延长交于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是中点， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 21. 如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒AC，BD，EF，GH组成，其中E，F，G，H分别是菱形四边的中点，现有一根长为的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设菱形的面积为. （1）写出关于的函数关系式： （2）为了使风筝在空中有较好的稳定性，要求，那么当骨架的长为多少时，这风筝即菱形的面积最大？此时最大面积为多少？ 【答案】（1）； （2）；最大面积为 【解析】 【分析】（1）E，F，G，H分别是菱形ABCD四边的中点，得出，根据菱形面积公式求出y关于x的函数关系式； （2）求出x的取值范围，整理，函数图象开口向下，自变量x的取值在对称轴左侧，所以x取最大值时，面积有最大值； 【小问1详解】 解：∵E、F为AB、AD中点， ∴， 同理：， ∵EF＋BD＋GH＋AC＝80， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴当即AC为32cm时面积最大，此时最大面积为． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，主要用菱形面积公式（菱形的面积等于对角线乘积的一半）列出函数关系式，解题关键是判断取值范围与对称轴的关系，得出最值对应的自变量的取值． 22. 甲、乙两人从A地前往B地（途中经过C地），甲骑摩托车，乙开汽车，已知甲比乙早出发2小时，全程未作停留；乙出发2小时后到达C地，在C地停留一段时间后继续行驶3小时后到达B地，已知乙要比甲早到达B地．设两车途中行驶速度不变，两车之间的距离y（千米）与甲行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示． （1）直接写出a＝ ，b＝ ，＝ ； （2）已知，求甲的速度和乙的速度； （3）在（2）的情况下，求甲从C地到B地这段路时y与x的函数关系式． 【答案】（1）2；4； （2）；； （3）y＝ 【解析】 【分析】（1）根据题意可得答案； （2）可得F（2，40），设甲的速度是2x千米/时，则乙的速度是5x千米/时，由题意得5x×2﹣2x×4＝40，解方程可得答案； （3）由题意得M（5，0），I（8，180），再利用待定系数法可得解析式． 【小问1详解】 解：由题意得，点D表示甲早出发2小时行驶的路程，故a＝2， 点F表示乙出发2小时到达C地，故b＝2+2＝4， 甲全程用时12.5小时，乙全程用时5小时，故， 故答案为：2，4，； 【小问2详解】 解：若e＝40，则F（2，40）， 设甲的速度是2x千米/时，则乙的速度是5x千米/时， 由题意得，5x×2﹣2x×4＝40，解得x＝20， 所以2x＝40，5x＝100， 答：甲的速度是40千米/时，乙的速度是100千米/时； 【小问3详解】 解：如图， 点M表示甲到达C地，当y＝40时，甲到达C地所用时间为40÷40＝1， ∴c＝4+1＝5，即M（5，0）， 由乙继续行驶3行驶到达B地，可得I（8，180）， 所以当5≤x≤8时，设y＝kx+b， 则 ， 解得， 所以y＝60x﹣300； 当8＜x≤12.5时，设y＝kx+b， 则， 解得， 所以y＝﹣40x+500． 所以y与x的关系式为y＝． 【点睛】此题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确地列出解析式，再把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息． 23. 项目化学习：车轮的形状． 【问题提出】车轮为什么要做成圆形, 这里面有什么数学原理? 【合作探究】 （1）探究组：如图1，圆形车轮半径为，其车轮轴心到地面的距离始终为______． （2）探究组：如图2，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，求车轮轴心 最高点与最低点的高度差． （3）探究组：如图3, 有一个破损的圆形车轮, 半径为，破损部分是一个弓形，其所对圆心角为，其车轮轴心为，让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点经过的路程． 探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定． 【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点为圆心，以正三角形的边长为半径作圆弧，这个曲线图形叫做“莱洛三角形”． （4）探究组：使 “莱洛三角形” 沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其每时每刻都有 “最高点”，“中心点” 也在不断移动位置，那么在 “莱洛三角形” 滚动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”所形成的图案大致是______． 延伸发现：“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定． 【答案】（1）4 （2）最高距离与最低距离的差为cm （3）一个周期完成总路程为cm （4）A 【解析】 【分析】（1）根据圆的半径之间解答即可； （2）根据正方形的性质求出最高点到地面的距离为BD的长度，最低点到地面的距离OA的长度即可； （3）分别求出三部分路程，然后相加即可； （4）由题意，最高点到水平面的距离是不变的，中心点O到水平面的距离开始是增加然后减小，再增加，又减小，不断循环，由此即可判断． 【小问1详解】 解：∵圆的半径为4cm， ∴其车轮轴心O到地面的距离始终为4cm。 【小问2详解】 如图所示： 其最低点到地面的距离为OA的长度，最高点到地面的距离为BD的长度， ∵正方形的边长为4cm， ∴OA=2cm， ， ∴最高距离与最低距离的差为cm． 【小问3详解】 如图所示： 从图2至图3：绕点A旋转45°，经过路程， 从图3至图4：绕点B旋转45°，经过路程， 从图4至图5：移动一个270°的弧长，经过路程， 至此，一个周期完成，则总路程为：． 【小问4详解】 由题意，最高点到水平面的距离是不变的，中心点O到水平面的距离开始是增加然后减小，再增加，又减小，不断循环，故图象A正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、正方形和圆的性质，弧长计算，点的运动轨迹等知识，能根据图形得出相应点的运动轨迹是解题的关键． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C是x轴负半轴上一点，过A、B、C三点的（圆心M落在第四象限）交y轴负半轴于点D，连接，已知． （1）　　（请用α的代数式表示），并求证：； （2）若，求点D的坐标； （3）如图2，连接并延长，交于点F，交于点E， ①若，求的长； ②若，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1），证明见解析； （2） （3）①4② 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理和直角三角形性质及三角形内角和定理即可证得结论； （2）根据题意先确定A、B的坐标，再运用勾股定理求得，即可得出点D的坐标； （3）①如图2，连接，可证得，得出，再得出，再证明，利用相似三角形性质和勾股定理即可求得答案；②设，，则，又，由，可求得，即，再得出，运用勾股定理建立方程求解即可得出，即可得出的值，再利用，求，利用，即可求得答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图1， 若，直线的解析式为， 当时，， 点A的坐标是， 当时，即， ， 点B的坐标是， ， ， 在中，， ， ， ∴点D的坐标是； 【小问3详解】 解：①如图2，连接， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②， ， 设，其中， 由①知：， ， 设，则，又， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知：， ， 在中，， ， 解得：， ， ， ， ， ，即， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆的性质，圆周角定理，直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数的图像和性质，三角形面积，解一元二次方程等，解题的关键是证明和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $