8.6.3平面与平面垂直（第二课时） 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.3《平面与平面垂直（第二课时）》导学案 一、学习目标 1. 深刻理解并熟练掌握平面与平面垂直的性质定理，能准确运用三种语言（文字、图形、符号）表述定理内容。 1. 借助图形和模型，提升直观想象素养，清晰构建平面与平面垂直性质相关的空间图形和位置关系。 1. 运用性质定理进行严密的逻辑推理，解决各类垂直问题，培养逻辑推理能力。 1. 在应用定理解决问题过程中，提高运算能力和对几何图形的分析能力，确保计算准确、分析合理。 1. 学会将实际生活中的空间几何问题转化为数学模型，运用性质定理解题，增强数学应用意识和建模能力。 1. 通过了解我国古代建筑中的数学智慧，增强民族自豪感和文化自信；结合建筑安全事故案例，树立安全意识和法律意识。 二、知识回顾 1. 二面角的定义是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形；表示方法有二面角等；平面角的定义是以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角；取值范围是 。 1. 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。用符号语言表示为， 。 三、课程思政引入 欣赏我国古代著名建筑（如故宫、赵州桥等）的图片，了解这些建筑在结构设计中对平面与平面垂直等空间几何知识的巧妙运用，感受古代劳动人民的智慧和创造力，激发民族自豪感和文化自信，思考数学知识在建筑文化传承中的重要性。 四、探究性质定理 1. 思考问题：若，设，则内任意一条直线与有什么位置关系？相应地，与有什么位置关系？为什么？ 1. 平面与平面垂直的性质定理： (1) 文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。 (2) 图形语言：自己画出两个垂直平面、，交线为，在内画一条垂直于的直线，直观展示定理。 (3) 符号语言：，，， 。 1. 证明性质定理：已知平面，，，，垂足为。求证： 。 在平面内过点作直线，则为二面角的平面角。 因为，所以二面角为直二面角，即。 又，，，，所以 。理解每一步的证明依据，体会逻辑推理过程。 五、学以致用 （一）例题讲解 1. 例9：已知平面，直线，，判断与的位置关系。 分析思路：设，在内作直线，根据性质定理进行推理。 证明过程：书写证明过程，注意逻辑和规范。 1. 课本例10：已知平面，平面平面，求证：平面 。（自行作图） 思考方法：过点作，利用平面与平面垂直的性质定理证明平面，进而证明平面。 证明过程：完成证明，总结证明垂直问题的关键思路和方法。 （二）练习巩固 1. 已知平面，，直线，，直线，判断直线与的位置关系，并证明。 1. 在正方体中，平面平面，是的中点，是上一点，且，求证：平面。 1. 在三棱锥中，平面平面，，是的中点，，求证：平面。（自行作图） 1. 在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，是的中点，是的中点，求证：平面。（自行作图） 六、课堂小结 1. 回顾平面与平面垂直的性质定理的内容、证明方法，总结应用定理解决的问题类型。 1. 梳理证明垂直问题的常用思路和方法，如寻找交线、构造垂直关系等。 1. 思考我国古代建筑中的数学智慧以及在生活中遵守法律法规的重要性。 七、作业布置 1. 必做题：完成人教 版必修第二册161页练习1、2、3、4；163页习题8.6 9、10、18。 1. 选做题：寻找生活中一个运用平面与平面垂直性质的实际例子，并分析其中涉及的几何原理；思考平面与平面垂直的性质定理在其他学科领域（如物理学中的受力分析）的应用。 1. 拓展任务：查阅资料，了解更多我国古代建筑中蕴含的数学智慧，写一篇简短的心得体会；关注身边的建筑安全问题，若发现存在安全隐患的建筑，可向相关部门反映。 八、教学反思 1. 成功之处：通过展示古代建筑图片，有效激发了学生的学习兴趣和民族自豪感，自然地融入了课程思政元素。在探究性质定理过程中，引导学生思考和讨论，培养了学生的自主探究能力。例题和练习的讲解，让学生逐步掌握了性质定理的应用，提高了逻辑推理和解题能力。 1. 不足之处：部分学生在理解性质定理的证明思路时存在困难，导致在应用定理时条件使用不完整、证明过程不严谨。在练习中发现，学生在复杂图形中寻找满足定理的条件时不够熟练，空间想象能力还有待进一步提高。此外，在法制教育渗透环节，部分学生对法律知识的关注度不够，没有充分认识到遵守法规的重要性。 1. 改进措施：针对学生理解困难的知识点，增加更多的证明过程讲解和实例分析，帮助学生深入理解证明思路。加强对学生空间想象能力的训练，如通过绘制复杂图形、进行图形分析等方式，提高学生在复杂图形中运用定理的能力。在法制教育方面，选择更具代表性和震撼力的案例，引导学生深入讨论，增强学生的安全意识和法律意识。根据学生的学习情况，灵活调整教学策略，增加拓展性练习和实际案例，满足不同层次学生的学习需求，提升整体教学效果。 学科网（北京）股份有限公司 $$