8.6.3 平面与平面垂直（第一课时）导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.3《平面与平面垂直（第一课时）》导学案 一、学习目标 1. 从生活实例中抽象出二面角、平面与平面垂直的概念，深入理解其本质，提升数学抽象素养。 1. 熟练掌握平面与平面垂直的判定定理，能进行严谨逻辑推理，证明平面垂直关系，增强逻辑推理能力。 1. 通过观察与分析，直观感知二面角大小和平面垂直形象，提升空间想象能力。 1. 掌握求二面角大小的方法，在计算中提高运算能力，确保计算准确规范。 二、知识回顾 1. 异面直线所成角的定义：直线、是异面直线，经过空间任意一点，分别引直线，，把相交直线和所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角，其范围是。 1. 直线和平面所成角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，范围是 。 三、新知探究 （一）二面角的概念 1. 观察铁路公路旁的护坡斜面、水坝等图片，思考平面与平面的夹角问题。 1. 学习半平面定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中每一部分都叫做半平面。 1. 理解二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。学习二面角的画法（平卧式、直立式）和记法（如二面角）。 （二）二面角的平面角 1. 思考“把门开大些”涉及的角，引出二面角平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 1. 明确二面角平面角需满足的三个条件：角的顶点在棱上；角的两边分别在两个面内；角的边都要垂直于二面角的棱。 1. 探究二面角平面角大小与点在棱上位置的关系，利用等角定理得出其大小只与二面角张角有关。 1. 学习二面角度量方法，明确二面角范围是 ，了解特殊二面角（重合时为，合成一个平面时为，平面角是直角的为直二面角）。 （三）平面与平面垂直的定义和判定定理 1. 观察教室相邻墙面与地面，引出平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作。 1. 思考建筑工人砌墙使墙和水平面垂直的方法，学习平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 用图形和符号语言表示为， ，理解线面垂直与面面垂直的转化关系。 四、学以致用 （一）例题讲解 1. 例1：在正方体中，求证：平面 平面 。（自行作图） 分析思路：利用正方体性质，证明垂直平面内的两条相交直线，再依据判定定理得出面面垂直。 证明过程：书写证明过程，注意逻辑和规范。 1. 例2：是圆的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于、的任意一点，求证：平面 平面 。（自行作图） 思考方向：挖掘圆的性质（直径所对圆周角为直角），证明垂直平面，进而得出面面垂直。 证明过程：在练习本上完成证明，总结证明中挖掘隐含条件和应用定理的方法。 （二）练习巩固 1. 在正方体中，求二面角的平面角的度数。 1. 棱柱的侧面是菱形，，证明：平面 平面 。（自行作图） 1. 新增训练题 (1) 在三棱锥中，平面，，求证：平面平面。（自行作图） (2) 已知四边形是矩形，，，平面，，是的中点，求证：平面平面。（自行作图） (3) 在正方体中，，分别是，的中点，求证：平面平面。 (4) 在四棱锥中，底面是菱形，，，是的中点，求证：平面平面。（自行作图） 五、课堂小结 1. 回顾二面角概念、平面角定义及范围，平面与平面垂直的定义和判定定理。 1. 总结证明平面与平面垂直的方法和找二面角平面角的要点。 六、作业布置 1. 必做题：完成教材练习4。 1. 选做题：思考在三棱锥中，确定三个侧面两两垂直的条件；预习平面与平面垂直的性质。 七、教学反思 1. 成功之处：借助生活实例和几何模型，有效帮助学生理解抽象概念和定理，激发了学生的学习兴趣。在讲解过程中，注重引导学生思考，培养了学生的逻辑推理和空间想象能力。通过练习，让学生巩固了知识，提高了应用能力。 1. 不足之处：部分学生对二面角平面角的定义理解不透彻，在找平面角时容易出错。在证明平面与平面垂直时，部分学生挖掘隐含条件的能力不足，证明过程逻辑不严谨。此外，部分学生在应用判定定理时，对条件的把握不够准确。 1. 改进措施：针对学生理解困难的知识点，增加更多实例和练习，强化对二面角平面角定义的理解。加强对学生挖掘隐含条件和逻辑推理能力的训练，规范证明过程。在教学中，多强调判定定理的条件，通过具体例子加深学生对条件的理解。根据学生学习情况，灵活调整教学策略，增加拓展练习，满足不同层次学生的需求，提升教学效果。 学科网（北京）股份有限公司 $$