精品解析：广东省高州中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2025年八年级下册数学期中考试 范围：第一章至第四章 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形既是轴对称又是中心对称图形的是（   ） A B. C. D. 2. 下列多项式不能用公式法分解因式的是( ) A. B. C. D. 3. 若不等式组的解为，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，三角形是由三角形平移得到，其中A的对应点为D，B的对应点为E．连接，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，于，且；将射线绕点逆时针旋转角，至位置，点为射线上一点，则的值不可能是（ ） A. B. 2 C. 5 D. 16 6. 将含的直角三角板直角顶点放置在直尺的一边上，，与直尺的交点分别为点，，，如图．若点，对应的刻度分别为，，，则的长是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在边长为的正方形的右下角，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个平行四边形，这一过程可以验证一个关于，的等式为（ ） A. B. C. D. 8. 将已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数与的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A B. C. D. 10. 已知a﹑b﹑c为△ABC的三条边边长，且满足等式a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，则△ABC的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分． 11. 小高同学计划去文具店购买3支笔和x本笔记本，笔单价为2元，笔记本单价为8元，若购买的总金额少于30元，依题意可列不等式：_________． 12. 如图，将（）绕点O逆时针旋转得到，则______． 13. 若是完全平方式，则m的值是________． 14. 若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是________． 15. 如图，在和中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，其中结论正确有______．（写序号） 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 将下列多项式因式分解： （1）； （2）． 17. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 18. 解不等式组，并写出它的所有正整数解． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．将先向下平移5个单位长度，然后向右平移6个单位长度，得到． （1）写出点，，的坐标； （2）在平面直角坐标系中画出与； 20. （1）如图1，大圆半径，小圆半径，求圆环的面积（结果保留）． （2）如图2，是圆的直径，点在上，以为圆心，圆为半径作圆，若图中阴影部分的面积为，，求的长． 21. 如图，已知，，垂足分别为，，与交于点，． （1）写出与的数量关系，并说明理由； （2）若是的中点，连接，求证：线段所在直线是边的垂直平分线． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. “一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔．某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要540元；购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要580元． （1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过8200元，则最多可购进乙型头盔多少个？ （3）在（2）的条件下，若该商场分别以55元/个、80元/个的价格销售完甲、乙两种型号的200个头盔，能否实现利润不少于5540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 23. 在学习等腰直角三角形中，发现了很多有趣的问题． （1）问题解决：如图①，为等腰直角三角形上一点，绕点逆时针旋转得，连接，求证：； （2）问题探究：如图②，在（1）的条件下，连接，探究，，之间的数量关系； （3）拓展延伸：如图③，在四边形中，，，连接，则，，之间有怎样的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年八年级下册数学期中考试 范围：第一章至第四章 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形既是轴对称又是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 2. 下列多项式不能用公式法分解因式的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据平方差公式：，完全平方公式：的特点，可知：A、B、C选项可以利用完全平方公式和平方差公式进行分解因式，D选项不能利用公式法分解因式. 故选D. 3. 若不等式组的解为，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组和不等式组解集的确定方法，熟练掌握不等式组解集的确定方法是解本题的关键．根据“都小取小”的不等式解集确定方法进行解答即可． 【详解】解：∵不等式组的解为， ∴， 故选：B. 4. 如图，三角形是由三角形平移得到，其中A的对应点为D，B的对应点为E．连接，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质进行判断即可． 【详解】解：∵三角形是由三角形平移得到， ∴，， 故选项A，B，C一定成立，选项D不一定成立； 故选D． 5. 如图，于，且；将射线绕点逆时针旋转角，至位置，点为射线上一点，则的值不可能是（ ） A. B. 2 C. 5 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，角平分线的性质，过作于，先证明，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于， 由旋转可得：，而， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的值不可能是； 故选A 6. 将含的直角三角板直角顶点放置在直尺的一边上，，与直尺的交点分别为点，，，如图．若点，对应的刻度分别为，，，则的长是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意得出，，进而得出，根据三角形内角和定理得到，证明等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：由题意得：，， ， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B ． 7. 如图，在边长为的正方形的右下角，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个平行四边形，这一过程可以验证一个关于，的等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形面积公式以及平行四边形面积公式即可验证关于、的等式． 【详解】解：左图的阴影部分面积为： 右图的面积为： 故选D． 【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是利用等面积方法求出两个图形的面积，涉及正方形的面积公式，以及平行四边形的面积． 8. 将已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质解一元一次不等式的方法是解题的关键． 不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式的解集为， ∴， 解得：， 故选：B． 9. 一次函数与的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，注意：要从数与形两个方面来理解这种关系，才能很好地完成本题，体现了数形结合的数学思想． 求不等式的解集，就是求自变量x取哪些值时，一次函数的函数值大于一次函数的函数值，体现在图象上，则是一次函数的图象位于一次函数的图象上方，因此观察图象即可得出不等式的解集． 【详解】解：由于当时，一次函数图象位于一次函数的图象上方，故不等式的解集为． 故选：C． 10. 已知a﹑b﹑c为△ABC的三条边边长，且满足等式a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，则△ABC的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用分组分解法对已知等式的左边进行因式分解，再根据三角形的三边关系得到，从而得到答案． 【详解】解：∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0 ∴ ∴； ∴ ∴为等边三角形． 故选B． 【点睛】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断，以及灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题． 二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分． 11. 小高同学计划去文具店购买3支笔和x本笔记本，笔的单价为2元，笔记本单价为8元，若购买的总金额少于30元，依题意可列不等式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的应用，理解题意是解题关键．根据费用少于30元钱即可列出不等式即可． 【详解】解：小高同学计划去文具店购买3支笔和x本笔记本， 根据题意得：， 故答案为：． 12. 如图，将（）绕点O逆时针旋转得到，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，由旋转的性质可得，即可得解，熟练掌握旋转的性质是解决此题的关键． 【详解】解：∵将（）绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若是完全平方式，则m的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据题意可得两平方项为，，则一次项为，据此可得答案． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式组求参数问题，解题的关键是掌握解不等式组的方法． 先解出不等式组，根据它有个整数解求出的取值范围． 【详解】解：解不等式组得：， 该不等式组有个整数解， 整数解为，，， ； 故答案为： 15. 如图，在和中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，其中结论正确有______．（写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的判定定理等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．①先证出，再证出，根据全等三角形的性质即可判断①正确；②设与交于点，先根据全等三角形的性质可得，再根据对顶角相等、三角形的内角和定理即可判断②正确；③假设，从而可得，根据三角形的内角和定理可得，再根据角的和差可得，由此即可判断③错误；④过点作于点，于点，先根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的面积公式可得，然后根据角平分线的判定定理即可判断④正确． 【详解】解：①∵， ，即， 在和中， ， ∴， ∴，结论①正确； ②如图1，设与交于点， ∵， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ， ，结论②正确； ③假设， ， ∴， ∴， ∵， ∴，根据已知条件无法得出这个结论， 即假设不成立，结论③错误； ④如图2，过点作于点，于点， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，，且点在内部， ∴平分，结论④正确； 综上，结论正确有①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 将下列多项式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握解一元一次不等式的一般步骤是关键． 按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集在数轴上表示如图． 18. 解不等式组，并写出它的所有正整数解． 【答案】；1，2，3． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集是解题的关键． 先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有正整数解有1，2，3． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．将先向下平移5个单位长度，然后向右平移6个单位长度，得到． （1）写出点，，的坐标； （2）在平面直角坐标系中画出与； 【答案】（1），， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换等知识，熟练掌握图形的平移规律是解题的关键． （1）根据平移规律写出坐标即可 （2）根据坐标画出图形即可． 【小问1详解】 解：将先向下平移5个单位长度，然后向右平移6个单位长度，得到；， 的三个顶点的坐标分别是，，， ， 即． 【小问2详解】 解：如图与即为所求． 20. （1）如图1，大圆半径，小圆半径，求圆环的面积（结果保留）． （2）如图2，是圆的直径，点在上，以为圆心，圆为半径作圆，若图中阴影部分的面积为，，求的长． 【答案】（1）；（2）4 【解析】 【分析】（1）用大圆面积减去小圆面积即可； （2）用大圆面积减去小圆面积列出算式，再用平方差公式进行因式分解，代入数值，列出关于的方程，即可求得答案． 【详解】（1） （2）S阴影 ∵阴影部分的面积为， ∴ ∴． 【点睛】本题考查圆的面积计算公式以及平方差公式因式分解，解题关键是掌握圆的面积计算公式，会用平方差公式法因式分解． 21. 如图，已知，，垂足分别为，，与交于点，． （1）写出与的数量关系，并说明理由； （2）若是的中点，连接，求证：线段所在直线是边的垂直平分线． 【答案】（1），理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用全等三角形判定证明，即可得出结论； （2）由（1）得，得到，根据等角对等边可得，结合是的中点，再利用线段垂直平分线的判定，即可得证． 【小问1详解】 解：，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 证明：由（1）得，， ， ， 点在边的垂直平分线上， 又是的中点， ， 在边的垂直平分线上， 线段所在直线是边的垂直平分线． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. “一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔．某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要540元；购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要580元． （1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过8200元，则最多可购进乙型头盔多少个？ （3）在（2）的条件下，若该商场分别以55元/个、80元/个的价格销售完甲、乙两种型号的200个头盔，能否实现利润不少于5540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要50元 （2）110个 （3）能，三种方案：①采购甲型头盔92个，采购乙型头盔108个；②采购甲型头盔91个，采购乙型头盔109个；③采购甲型头盔90个，采购乙型头盔110个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购进1个甲型头盔需要x元，1个乙型头盔需要y元，根据“购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要540元；购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要580元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m个乙型头盔，则购进个甲型头盔，利总价单价数量，结合总价不超过8200元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论； （3）利用总利润每个甲型头盔的销售利润购进甲型头盔的数量每个乙型头盔的销售利润购进乙型头盔的数量，结合总利润不少于5540元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，结合且m为正整数，即可得出各采购方案． 【小问1详解】 解：设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元， 根据题意，得， 解得， 答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要50元； 【小问2详解】 设购进乙型头盔个，则购进甲型头盔个， 根据题意，得， 解得， 的最大值为110， 答：最多可购进乙型头盔110个； 【小问3详解】 能实现利润不少于5540元的目标， 根据题意，得， 解得， ， 为整数， 可取108，109和110，对应的的值92，91，90． 因此能实现利润不少于5540元的目标，该商场有三种采购方案： ①采购甲型头盔92个，采购乙型头盔108个； ②采购甲型头盔91个，采购乙型头盔109个； ③采购甲型头盔90个，采购乙型头盔110个． 23. 在学习等腰直角三角形中，发现了很多有趣的问题． （1）问题解决：如图①，为等腰直角三角形上一点，绕点逆时针旋转得，连接，求证：； （2）问题探究：如图②，在（1）的条件下，连接，探究，，之间的数量关系； （3）拓展延伸：如图③，在四边形中，，，连接，则，，之间有怎样的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析 （2），理由见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由旋转可知：是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可解决问题； （2）结合（1）证明，得，利用线段的和差即可解决问题； （3）将绕点逆时针旋转得到，可证点、、在同一条直线上，再证明是等腰直角三角形即可得出结论． 【小问1详解】 证明：是等腰直角三角形， ，， 由旋转可知：是等腰直角三角形， ，， ， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由，，， ， ， ； 【小问3详解】 解：结论：，理由如下： 将绕点逆时针旋转得到， ，，，， ，， ， ， ， 点、、在同一条直线上， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，添加常用辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$