1.3--1.4 垂直平分线和角平分线讲义2024-2025学年北师大版数学八年级下册

1.3线段的垂直平分线 知识点1：线段垂直平分线的性质定理 性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件． 例1、如图：△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E. D， ①若△BCD的周长为8，求BC的长；②若BC=4，求△BCD的周长。 【例2】 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF． （1）若∠A＝60°，∠ABD＝24°，求∠ACF的度数； （2）若EF＝4，BF：FD＝5：3，S△BCF＝10，求点D到AB的距离． 练习1、如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，若AC=5cm，BC=4cm，则△BDC的周长为    . 练习2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的中垂线，垂足为点D，交BC于点E，BE=5，则AE=_______，∠AEC=_______.AC=_______。 练习3、如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长． 练习4、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，求∠AFC的度数。 练习5如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,已知∠ADE=40°,则∠DBC=___∘. 知识点二、线段垂直平分线的判定定理 线段垂直平分线的判定定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 要点诠释： 到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合． 例1、如图,△ABC中,∠ACB=90∘，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E. 求证：直线AD是线段CE的垂直平分线。 练习1、如图，在△ABC中，AD是高，点E在线段BC的垂直平分线上，连接BE，交AD于F，求证：点E在线段AF的垂直平分线上. 知识点三、三角形三边的垂直平分线的性质 定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. 知识拓展：（1）三角形三条边的垂直平分线交于同一点，这一点叫做三角形的外心。 （2）几种三角形三条边垂直平分线的交点位置情况：锐角三角形三边中垂线交于三角形的内部；直角三角形三边中垂线交于三角形斜边的中点；钝角三角形三边中垂线交于三角形的外部。 例1、已知O为三边垂直平分线交点,∠BAC=80∘，则∠BOC=___. 练习1、如图,点P为△ABC三边垂直平分线的交点,若∠PAC=20∘,∠PCB=30∘，求∠PAB的度数。 知识点四、与线段垂直平分线有关的作图 1、 线段的垂直平分线 过一点作已知直线的垂线 例1、有特大城市A及两个小城市B.C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B.C两城市的距离相等，且使A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置. 例2、如图,已知线段a,b,求作等腰三角形,使高为a,腰长为b.(a<b,尺规作图,保留作图痕迹) 例3、如图,已知△ABC,求作：(1)AC边上的高：(2)BC边上的高。 1.4角平分线 知识点1：三角形角平分线性质定理 角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 例1、如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直。若AD=8,则点P到BC的距离是_________. 练习1、如图,在△ABC中,∠A=90∘，AB=AC，CD平分∠ACB，AD=1，求△ABC的周长与面积。 知识点2、三角形角平分线判定定理 角平分线性质定理的逆定理：在一个角的内部,到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 例2、如图，△ABC中∠B的外角平分线BD于∠C的外角平分线CE相交于点P，求证：点P在∠ABC的角平分线上。 练习2、已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC. (1)如图1，若点O在BC上，求证：AB=AC； (2)如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC. 知识点3、三角形中角平分线的性质 三角形的三条角平分线交于一点，此点叫做三角形的内心，它到三角形三边的距离相等。 三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等. 例1\三条公路围成了一个三角形区域，今要在这个三角形区域内建一果品批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置. 例2、△ABC中，AC=BC, ∠C=90°,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E. 已知：CD=4cm,求AC长,求证：AB=AC+CD 练习1、已知：△ABC中，BP.CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为 . 练习2、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点P，又PE⊥AB于点E，若BC＝5，AC＝12，求PE的长。 【典型例题剖析】 题型一、角平分线的性质应用 例1、如图,已知：∠B=∠C=90∘，M是BC的中点，DM平分∠ADC. 求证：(1)AM平分∠DAB； (2)AD=AB+CD. 题型二、线段的垂直平分线与角平分线性质的综合应用 例2、如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于点M，DN⊥AC，交AC的延长线于点N，求证：BM=CN. 本节归纳： 1、 直角三角形的性质：______________________________________________________ 2、 直角三角形的判定：______________________________________________________ 3、 直角三角形全等定理：______________________________________________________ 4、 线段垂直平分线性质：______________________________________________________ 5、 线段垂直平分线判定：______________________________________________________ 6、 三角形三条线段垂直平分线定理：______________________________________________________ 7、 角平分线的性质：______________________________________________________ 8、 角平分线的判定：______________________________________________________ 9、 三角形三条角平分线定理：______________________________________________________ 【课后练习】 1、如图， Rt △ ABC 中， E 是斜边 AB 的中点， DE ⊥ AB ，且∠ CAD ∶∠ BAD ＝ 1 ∶ 7 ，则∠ BAC 为______. 题1 题2 题3 2、如图,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的中垂线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60∘,∠ABD=24∘，则∠ACF=_____. 3、如图,AB∥CD，PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，若EF=13，PE=12，则点P到AB的距离为___________. 4、如图所示,在△ABC中,∠BAC=110°,PM,QN分别垂直平分AB,AC,则∠PAQ的度数为__________. 题4 题5 5、如图,在△ABC中,DE,FG分别是AB,AC的垂直平分线,连接AE,AF,已知∠BAC=80∘，请运用所学知识，则∠EAF=_________。 6、如图,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,点P是∠A,∠B平分线的交点,试求点P到AB边的距离. ☆7、如图,在△ABC中,∠ACB=90∘，D是BC延长线上一点，E是AB上的一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于点F，求证：点E在AF的垂直平分线上。 8、如图,在△ABC中,BA=BC,∠B=120∘,AB的垂直平分线MN交AC于D,求证： 学科网（北京）股份有限公司 $$