【精准提分】专题03 平行线中常见的几何模型（4个模型+课后巩固）-2024-2025学年七年级下册数学期末专项培优（浙教2024版）（原卷+解析版）

【精准提分】专题03 平行线中常见的几何模型（浙教2024） 【“猪蹄”、“铅笔”、“鸡翅”、“综合”4个模型】 模型一：“猪蹄”模型（也称M字型或“内拐点”问题） 1 模型二：“铅笔”模型（“外拐点”模型） 14 模型三：“鸡翅”模型（“臭脚”模型） 29 模型四：三种模型综合压轴题 45 模型一：“猪蹄”模型（也称M字型或“内拐点”问题） 特点：点P在直线EF左侧且在直线AB、CD内部。 结论1：若AB∥CD，则∠AEP+∠PFC=∠EPF； 结论2：若∠AEP+∠PFC=∠EPF，则AB∥CD。 例题1（2025·陕西宝鸡·一模）如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：如图：过A作，则， ， ， ， ∵，直线， ∴ ， 故选C． 【变式1-1】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】过点作，过点M作， ∵， ∴，， ∴，， ∴． ∵，， ∴，， ∴，， 同理可求，． 故选D． 【变式1-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，与交于点，平分，平分．如图1，当，时，的度数为 ；如图2，当时，的度数为 ；当时，的度数为 ．（用含的式子表示） 【答案】 【详解】解：过E作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴，， ∴， 则； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 过E作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，， 【变式1-3】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，，交于点，平分，平分，与互补吗？为什么？ 【答案】与互补，理由见解析 【详解】解：与互补，理由如下： ， ，   平分， ， 同理，， ， ， ． 【变式1-4】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线，点是直线与直线之间一点，点，分别在直线，上，连接，． 【思路梳理】 （1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【类比引申】 （2）如图2，过点作，点是直线上一点（点在点左侧），连接并延长，与的延长线交于点，过点作，已知，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ． （2）证明：，， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 即． 【变式1-5】（24-25七年级下·山西·期中）综合与实践 【问题情境】平面内两直线的位置关系只有两种：相交和平行．若证明两直线相交可借助定义确定它们有一个公共点；若证明两直线与平行，无法直接利用定义说明，根据对课本知识的学习，有两种方法可以说明，如图1，引入直线，借助角的关系说明两直线平行；如图2，引入直线也可以说明两直线平行． 【问题探究】如图3，的顶点在直线与之间，若，求证：． 小红借助图1的思路，延长交于点，如图4，可以证明；小白借助图2的思路，过点作，如图5，可以证明；请你选择其中一种思路，完成证明． 【方法延伸】 若是的一个内角，，，顶点在直线上，与交于点，如图6， （1）当时，则与之间的数量关系是________________（用含的式子表示）； （2）若，且平分交于点，则与之间的数量关系是________（用含的式子表示）． 【答案】【问题探究】见详解；【方法延伸】（1）（2） 【详解】解：（问题探究）小红：， ， ； 小白：， ， ， ， ， ； （方法延伸）（1）过点作； ，， ，， ， ； ， ； ； 故答案为： （2）解：平分， ， 在四边形中， ， ， ； 故答案为： 【变式1-6】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线，之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论：如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为______________________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为______________________． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【答案】(1)； (2)①；②． 【详解】（1）解：如图1，当点在的左侧时，过点作， ， ， ，， ； 如图2，当点在的右侧时， ， ， ，， ， ； （2）解：①，分别平分和， 设，， ，， 由（1）可知，，， ，， ， ， ； ②与的角平分线交于点， ，， ， 同理可得，，，…… 则， ， ， ， ． 【变式1-7】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）（1）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． 如图一，已知，请说明． 证明：分别过点作． 因为___________①___________，所以． 由___________②___________，可知． 由题知，所以___________③___________． 则，即___________④___________． 由___________⑤___________，可得． 请根据自己的理解，将上述证明过程补充完整． （2）【迁移应用】如图二，已知的交点为．判断．之间的关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为：第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，第次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三、若，求的大小． 【答案】（1）①；②两直线平行，内错角相等；③；④；⑤内错角相等，两直线平行；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）分别过点C，D作，． 因为，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以． 则，即． 由内错角相等，两直线平行，可得． 故答案为：①；②两直线平行，内错角相等；③；④；⑤内错角相等，两直线平行； （2），理由如下： 如图，过作， ， ， ，， ， ； （3）和的平分线交点为， ． 和的平分线交点为， ； 和的平分线，交点为， ； 以此类推，． 当时，等于． 【变式1-8】（24-25七年级下·河南濮阳·期中）如图，，定点，分别在直线，上，在平行线、之间有一动点，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线、之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论；如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为________． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则________°． ②猜想与的数量关系，并说明理由． ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【答案】(1)（1）， (2)①150；②与的数量关系为，理由见解析；③ 【详解】（1）如图1，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 如图2，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）①如图3，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∵，分别平分和， ∴ ∴； ②由（1）可知，， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； ③由（2）②知， 同理可证：， ， …… ， 故答案为：． 模型二：“铅笔”模型（“外拐点”模型） 特点：点P在直线EF右侧且在直线AB、CD的内部 结论1：若AB∥CD，则∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°； 结论2：若∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°，则AB∥CD； 例题2（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图是可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点O，现调节台灯使外侧光线，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-1】如图，已知（其中），添加以下一个条件：①；②；③；④．能判定的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：添加①， 过F作， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，故①正确； 添加②， 过F作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 添加③， 则， 而F不在， 故不能证明，故③错误； 添加④， ∵， ∴，即， 无法证明，故④错误； 故选：C 【变式2-2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，，点 E ， F 在直线 上 （F 在 E 的左侧），点 G 在直线上， ，垂足为H ， P 为 线段上的一动点，连接，，与的角平分线交于点 Q ，且点 Q 在直线 之间的区域，则： ． 【答案】/度 【详解】解：如图，过点作，   ， ， ，， ， ， ， ∴， 与的角平分线交于点， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 即， ∴； 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，，那么 ． 【答案】/540度 【详解】解：过点作，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-4】已知，解答下列问题： (1)如图①， ； (2)如图②，求的度数； (3)如图③，求的度数； (4)如图④，根据以上结论，试探究： ． (5) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（）可得， ∴， 即 （4）解：由图①得， 由图②得， 由图③得， ， ∴， 故答案为：． 【变式2-5】（24-25七年级下·四川绵阳·期中）【阅读思考】如图①，已知，探究之间关系，小明添加了一条辅助线．解决了这道题．得到的结果是． 证明过程如下： 如图①，过点C作， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即． (1)【理解应用】如图②，已知，求的度数； (2)【拓展探索】如图③，已知，点C在点D的右侧，平分平分所在的直线交于点E，点E在直线与之间，点B在点A的右侧，且，若，则度数为多少？（用含n的代数式表示） 【答案】(1)(2) 【详解】解：（1）如图②，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图③，过点E作， ∵平分平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【变式2-6】（23-24七年级下·广西玉林·期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 【阅读理解】如图1，已知点A是外一点，连接，，求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程： 解：过点A作， ∴____， ____． 又∵， ∴． 【解题反思】从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2，已知，试说明，，之间的关系，并证明． 【解决问题】 （3）如图3，已知，点C在点D的右侧，，点B在点A的左侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间，求的度数． 【答案】（1），；（2），见解析；（3） 【详解】 解：（1）过点A作， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：，； （2）如图，过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （3）如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴． 【变式2-7】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图．已知，直线分别交，于点、． (1)如图1，点P为直线、之间，直线右侧一点，且满足，．求的大小： (2)如图2，在（1）的条件下，射线交的延长线于点，若，求证：平分； (3)如图3，在（1）的条件下，点为直线上一点（不与点F重合），内靠近的三等分线交于点，若，直接写出的大小．（用含的式子表示） 【答案】(1)；(2)见解析；(3)或． 【详解】（1）解：如图，过作于点， ， ， ， ， ， ， ， . ； （2）证明:过作，则， 则， 设，则， ， ， . ， 由（1）可知， ， ， 根据平角的定义可得， ， 平分； （3）解:①当在左侧时， 设，， ． ， ， 是靠近的三等分线， ， ， ： ②当在右侧且在左侧时， 设，， ， ， ， 是靠近的三等分线， ， ； ③当在右侧时， 设，， ， ， ， 是靠近的三等分线， ． 此时负值舍去； 综上，或． 【变式2-8】（24-25七年级下·山东青岛·期中）已知，解决下列问题： (1)如图①，分别平分、，若，则的度数为__________． (2)如图②，若，，则与的数量关系为__________． (3)如图③，若，，设，则的度数为__________．（直接用含的代数式表示）． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：如图①，过作，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵分别平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （2）解：如图②，过作，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图③，过作，过点P作， ∵， ∴， 同理可得，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 模型三：“鸡翅”模型（“臭脚”模型） 特点：点P在直线EF的右侧且在直线AB、CD的外侧。 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP; 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD。 例题3（24-25九年级上·重庆·期末）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作， ， ∵， ∴， ∴，， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点， ∴，， ∴，， 设，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴由①②可得：， 故选：C． 【变式3-1】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则的度数用含x的式子一定可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ，即 过点作， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【变式3-2】（24-25七年级上·河南南阳·期末）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如下图所示，过点作， ，， ， ， 又， ． 故选：D． 【变式3-3】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）如图，，和的平分线相交于点F，若，则 ． 【答案】30 【详解】解：如图所示，过点E作，过点F作， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和的平分线相交于点F， ∴， ∴， 故答案为：30． 【变式3-4】（24-25七年级下·天津南开·期中）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图，若，则的度数为______，则的度数为 ； ②如图，在的下方有一点，平分，平分，求的度数； (2)如图，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；；②；(2) 【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作， ， ， ∴ ， ， 同理可得: ， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分； ， ∴． ②如图，过点Q作， ∵平分平分， ，， 设， ∵，， ∴， ， ∵， ， ， ， ， 由（1）可知， ∴． （2）解：如图，在的上方有一点O，平分，线段的延长线平分， 设H为线段的延长线上一点，则，， 设，,， 如图，过点O作，则， ，， ， ， 由（1）可知：， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴． 【变式3-6】（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图1，，的两边与，分别交于，两点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2，直线，相交于点，且满足，． ①当时，若，求的度数； ②试探究与的数量关系． 【答案】(1)(2)①；② 【详解】（1）解：如图所示，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 如图所示，过点D作，则， ∴， ∴ ； ②如图所示，过点B作，过点D作，则， 同理可得，， ∵，， ∴， ∴ ． 【变式3-7】（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）如图，已知分别在上，点G在之间，连接． (1)当平分平分时， ①如图1，若，则的度数为_______（直接写出结果）； ②如图2，在的下方有一点平分平分，求的值； (2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，且满足时，求的值． 【答案】(1)①；②(2) 【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作， ， ， ∴ ， ， 同理可得: ， ∵， ∴， ∵平分平分； ， ∴． 故答案为：． ②如图，过点Q作， ∵平分平分， ，， 设， ∵，， ， ∵， ， ， ， ， 由（1）可知， ∴． （2）解：如图，在的上方有一点O，若平分，线段的延长线平分， 设H为线段的延长线上一点，则，， 设，,， 如图，过点O作，则， ，， ， ， 由（1）可知：， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴． 【变式3-7】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图．已知，直线分别交，于点、． (1)如图1，点P为直线、之间，直线右侧一点，且满足，．求的大小： (2)如图2，在（1）的条件下，射线交的延长线于点，若，求证：平分； (3)如图3，在（1）的条件下，点为直线上一点（不与点F重合），内靠近的三等分线交于点，若，直接写出的大小．（用含的式子表示） 【答案】(1)；(2)见解析；(3)或． 【详解】（1）解：如图，过作于点， ， ， ， ， ， ， ， . ； （2）证明:过作，则， 则， 设，则， ， ， . ， 由（1）可知， ， ， 根据平角的定义可得， ， 平分； （3）解:①当在左侧时， 设，， ． ， ， 是靠近的三等分线， ， ， ： ②当在右侧且在左侧时， 设，， ， ， ， 是靠近的三等分线， ， ； ③当在右侧时， 设，， ， ， ， 是靠近的三等分线， ． 此时负值舍去； 综上，或． 【变式3-7】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数t（），使得，则称是的“t系数补角”．例如，，，有，则是的“5系数补角”． 【概念理解】 （1）若，在，，中，的“2系数补角”是 ；的“3系数补角”是 （填）． 【深入探索】 （2）如图，平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点，平面内一点G位于直线上方，直线右侧，连接．请说明：； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，若是的“6系数补角”，当时，求的大小． 【答案】（1），；（2）见详解（3） 【详解】解：（1）设的“2系数补角”是， ∵，， ∴，解得， ∴的“2系数补角”是； 设的“3系数补角”是， ∵，， ∴，解得， ∴的“3系数补角”是． 故答案为：，； （2）证明：如下图，过点作， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知，， ∴， ∵是的“6系数补角”， ∴， ∴， 解得． 模型四：三种模型综合压轴题 例题4（24-25七年级下·河北唐山·期中）（1）【感知】如图1，，点在直线与之间，试说明．下面给出了这道题的解题过程，请将解题过程中的解题依据补充完整． 证明：如图1，过点作， ，（___________①___________） （已知），（辅助线作法）， ，（②） ___________③___________，（___________④___________） ， ； （2）【探究】当点在如图2的位置时，其他条件不变，则___________度； （3）【应用】如图3，延长线段交直线于点，已知，，直接写出的度数． 【答案】（1）①两直线平行，内错角相等；②平行于同一直线的两条直线平行；③；④两直线平行，内错角相等；（2）360；（3） 【详解】（1）证明：如图1，过点E作， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（已知），（辅助线作法）， ∴，（平行于同一直线的两条直线平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵， ∴；（等量代换）    （2）证明：过点E作，如图2所示： ∵， ∴， ∴， ∴；    （3）解：过点E作，如图    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】（24-25七年级下·北京·期中）如图1，，点、分别在直线、上，点在线段上，交于点． (1)补全图形，可得______°． (2)在（1）的前提下，的平分线与的平分线所在直线交于点（点与点不重合），若，求的大小． (3)如图2，，若，，并且，则______．（用含的代数式表示）． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：过点作， ， ， 则，， ， ， 故； 故答案为： （2）解：根据题意，作图如下： 过点作， ， ， 根据（1）可得； ， ； （3）解：根据题意，作，， ，，，， ， ， ， ， 则； ， ， ， ， ， ， ； ， ； 故答案为： 【变式4-2】（24-25七年级下·河北唐山·期中）已知，直线和直线，分别交于点，，并把平面分成六个区域（如图1），点是六个区域中的任意一点（不在直线，，上），连接，. (1)图2是点在区域⑤的情况，探究，，之间的数量关系时，嘉嘉猜想出，请帮她完善说理过程（填写结论或依据）； 理由：过点作 （          ）， ， （            ）， ______（            ）， ______， 又， . (2)图3是点在区域②的情况，请判断（1）中的结论还成立吗？说明理由. 【答案】(1)见解析(2)不成立，证明见解析 【详解】（1）解：过点作 （两直线平行，内错角相等）， ， （平行于同一直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， 又， . （2）解：不成立，证明：如图，过点作，    ， ，， ， ， ． 又，即． 故（1）中的结论不成立． 【变式4-3】（24-25七年级下·广东茂名·期中）如图1，已知直线，点A在直线上，点B在直线上． (1)如图1，点C在直线、之间，连接、，若，，则的度数为______； (2)如图2，点C在直线的上方，平分，平分，延长与交于点D，若，，求的度数： (3)如图3，点C在直线的上方，，，平分交于点F，将绕着点A以每秒的速度逆时针方向旋转得，旋转时间为t秒；同时将射线绕着点B以每秒的速度顺时针方向旋转得射线，当射线与射线首次重合时，和射线同时停止转动，在旋转过程中，作的角平分线，作的角平分线，请直接写出当时t的值． 【答案】(1)64(2)(3)18或90 【详解】（1）解：过C作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：64； （2）解：∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， 过D作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：分两种情况进行讨论： ①当位于与之间时，如图①， 由得：， ∵，经过时间t， 有， 则 而， ∴， 又∵，平分， ∴， 而， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 则， 解得：； ②当位于下方时，如图②， ∵， ∴， 经过时间， 同理：， 则， 而， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴． 解得， 综上：或90． 【变式4-4】（24-25七年级下·湖北荆门·期中）如图，直线，一副直角三角板中，． (1)若如图1摆放，当平分时，证明：平分； (2)若如图2摆放时，求的度数； (3)若图2中△ABC固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点G，作和的角平分线相交于点H（如图3），求的度数； (4)若图2中固定，（如图4）将△ABC绕点A以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请求出t的值． 【答案】(1)见解析(2)(3)(4)或15或20 【详解】（1）证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：如图，过点作， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：如图，分别过点，作，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵和的角平分线、相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （4）解：设旋转时间为t秒， 由题意得每秒转，旋转时间为秒， 分三种情况： ①当时，如图，此时， ∴， ∴， 解得：；                                                  ②当时，如图，     ∴， ∴， ∴， 解得：；                                             ③当时，如图，延长交于K，延长交于R，     ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：．                                                 综上所述：绕点A顺时针旋转的时间为或或时，线段与的一条边平行． 【变式4-5】（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解：（1）如图1，已知点A是外一点，连接，求的度数．阅读并补充下面推理过程． 解：过点A作，_______，，，． 运用猜想：（2）如图2，已知，请直接写出的度数：_______； 拓展探究：（3）已知，点A、B在上，C、D在上，且点C在点D的右侧，，平分，平分，所在的直线交于点E，点E在直线与之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数． ②如图4，若，，时，请将图形补充完整，并求度数．（用含n的代数式表示） 【答案】（1）；；（2）；（3）①；②补全图形见解析， 【详解】解：（1）， ，（两直线平行，内错角相等）； 故答案为：；； （2）过作， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）①过作， ， ， ， 平分， ， ， 平分， ， ， ， ； ②如图，过作， ， ， ， 平分，， ， ， ， ， ． 【变式4-6】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知直线，直线分别与、相交于、． 【阅读理解】 （1）如图1，、分别平分和，求证：．请在下面的括号里填写相应的依据． 解：、分别平分和， 可设，（　　）， ， （　　）， ． 又， ． ，即． 【推广应用】 （2）如图2，点在射线上，点在射线上，、分别平分和，若，，请模仿（1）设元的方法，求和的度数． 【拓展提升】 （3）如图3，点在线段上，点是直线上的动点（不与重合），、分别平分和，设，请直接用含的代数式表示的度数． 【答案】（1）角平分线的定义；两直线平行，同旁内角互补 （2）， （3）或 【详解】解：（1）、分别平分和， 可设，（角平分线的定义）， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ． 又， ， ，即． 故答案为：角平分线的定义；两直线平行，同旁内角互补； （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （3）分以下两种情况： 当点在点的右边时，如图3所示： ∵、分别平分和， ∴可设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在点的左边时，如图所示： ∵、分别平分和， ∴可设，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为或． 【变式4-7】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于”，学了“平行线”后，小安用说理的方式说明该结论正确． 证明过程如下： 如图1：延长到点，过点作， ， ①_____，②_____， ③_____． ． (1)补全小安证明过程中①②③所缺的内容： (2)如图2，现有一锐角，在的两边上分别取点、，过点、分别作直线、，且，点在、之间， ①若点是下方一点，连接、．若平分，平分，则、、这三个角有什么关系；并说明理由． ②如图3，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，直接写出的度数． 【答案】(1)①A，②B，③．(2)①；理由见详解；② 【变式4-1】【详解】（1）证明：延长到点，过点作， ， ， ， ． ， 故答案为：①A，②B，③． （2）解：①如图2，过作，过点作，若平分，平分，则、、这三个角有什么关系；并说明理由． ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ②如图3，过作，过作，设，， ∵交于M，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式4-8】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，直线，一副三角尺，中，，，，． (1)若将三角尺如图①摆放，当平分时，则______． (2)若将三角尺和三角尺如图②摆放，的顶点恰好落在直线上，三角尺的一边在直线上，且边与边在同一直线上，作和的平分线交于点，求的度数． (3)若图③中三角尺固定，将三角尺绕点顺时针方向旋转（如图③），旋转到边与直线首次重合时停止旋转，在这旋转的过程中，当边与三角尺的一边平行时，请直接写出的度数． 【答案】(1)(2)(3)或或． 【详解】（1）解：平分， ； （2）解：过点作交于，过点作，如图2所示：    设， 平分 ， ，， ， ，，， 平分 ； （3）解：分三种情况： 当时，如图， 此时， ， ∵ ∴ ∴； ②当时，如图， ， ； ③当时，如图， 延长交于，延长交于， ， ， ∴； 综上所述，的度数为或或． 1．（24-25七年级下·陕西安康·阶段练习）【问题情境】 如图，直线与直线交于点． 【问题探究】 （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在直线之间，且在直线的右侧，连接，过点作，，求证：； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，分别作的平分线和的平分线交于点与交于点，求的大小． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点K作， ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 2．已知． (1)如图①，求证：； (2)如图②，与的角平分线所在直线相交于点P，求的大小； (3)如图③，若平分，延长交于点F，且，当时，求的大小． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：如图①，过点N作交于点F， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②，设的平分线是，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， 即， ∵，由（1）得， ∴， ∴； （3）解：如图③，∵平分， ∴， 设， ∴， 由（1）得， 由（2）得， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·广东佛山·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺（）”为主题开展数学活动．    (1)【操作发现】：如图①，小明把三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； (2)【探索证明】：如图②，小颖把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，请你探索与之间的数量关系，并说明理由； (3)【结论应用】：如图③，小亮把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上．若，求（用含的式子表示）． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点F作，      ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）解： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，点为直线上一点，射线交直线于点，． (1)求证：； (2)如图2，点为，内部，右侧一点，点在上，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，若，，，，求的度数． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)． 【详解】（1）解：． ． ． （2）过点作 ． ∵ ． ． （3）∵ 设 过点作 5．（24-25七年级下·福建南平·期中）【问题情境】（1）如图1，，，求度数． 小明的思路：过P作，通过平行线性质来求． 按小明的思路，易求得的度数为 度． 【问题迁移】（2）如图2，，点P在射线上运动．记，． 当点P在 B、D两点之间运动时，问：与，之间有何数量关系？请说明理由； ②若点P在线段或射线上运动，（不与O、B、D三点重合），请直接写出与，之间的数量关系． 【拓展创新】（3）图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，并将北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，顺次连接各点，天文小组发现线段恰好经过点G，且，，，请你根据这些信息求出的度数． 【答案】（1）110；（2） ①，理由见解析；② 或（3） 【详解】解：（1）过点P作，如图1， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：110； （2）①， 理由：如图2，过P作交于E， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图3所示，当P在延长线上时，设与交于点， ∵ ∴ 又 ∴； 如图4所示，当P在延长线上时，同理可得． （3）如图5．过点C作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 6．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，已知，点，分别在直线，上，点在直线，之间，设，，求证：． 证明：如图2，过点作，， ，，，， ，即． 运用以上结论解答下列问题： 【类比应用】： （1）如图3，已知，，，求的度数． 【拓展提升】： （2）如图4，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，，则，，之间有何数量关系？请说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【详解】解：（1）如图③，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2），理由如下： 如图④，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 7．（24-25七年级下·重庆·期中）（1）已知，点是直线外一点，连接、，如图1，若，，求的度数． （2）已知，点在直线之间，为上一点，，，直线交于点，平分，平分，如图2，试探究与的数量关系． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）过点C作，如图1所示， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴ ． 8．（24-25七年级下·江西宜春·期中）综合与实践 【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，A是外一点，连接，，求的度数． 解：如图1，过点A作， ∴________，________ 又∵， ∴________ 【问题解决】 （1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2，，，，，交于点E，求证：． （3）如图3，，点P在下方，求证：． 【答案】（1）;（2）见解析；（3）见解析． 【详解】解：（1）如图1，过点A作， ∴，， 又∵， ∴； 故答案为：． （2）过点作， ， ， ，， ， ， ， ． （3）过点作， ， ， ， ， ， ， ． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【精准提分】专题03 平行线中常见的几何模型（浙教2024） 【“猪蹄”、“铅笔”、“鸡翅”、“综合”4个模型】 模型一：“猪蹄”模型（也称M字型或“内拐点”问题） 1 模型二：“铅笔”模型（“外拐点”模型） 6 模型三：“鸡翅”模型（“臭脚”模型） 11 模型四：三种模型综合压轴题 15 模型一：“猪蹄”模型（也称M字型或“内拐点”问题） 特点：点P在直线EF左侧且在直线AB、CD内部。 结论1：若AB∥CD，则∠AEP+∠PFC=∠EPF； 结论2：若∠AEP+∠PFC=∠EPF，则AB∥CD。 例题1（2025·陕西宝鸡·一模）如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，与交于点，平分，平分．如图1，当，时，的度数为 ；如图2，当时，的度数为 ；当时，的度数为 ．（用含的式子表示） 【变式1-3】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，，交于点，平分，平分，与互补吗？为什么？ 【变式1-4】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线，点是直线与直线之间一点，点，分别在直线，上，连接，． 【思路梳理】 （1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【类比引申】 （2）如图2，过点作，点是直线上一点（点在点左侧），连接并延长，与的延长线交于点，过点作，已知，求证：． 【变式1-5】（24-25七年级下·山西·期中）综合与实践 【问题情境】平面内两直线的位置关系只有两种：相交和平行．若证明两直线相交可借助定义确定它们有一个公共点；若证明两直线与平行，无法直接利用定义说明，根据对课本知识的学习，有两种方法可以说明，如图1，引入直线，借助角的关系说明两直线平行；如图2，引入直线也可以说明两直线平行． 【问题探究】如图3，的顶点在直线与之间，若，求证：． 小红借助图1的思路，延长交于点，如图4，可以证明；小白借助图2的思路，过点作，如图5，可以证明；请你选择其中一种思路，完成证明． 【方法延伸】 若是的一个内角，，，顶点在直线上，与交于点，如图6， （1）当时，则与之间的数量关系是________________（用含的式子表示）； （2）若，且平分交于点，则与之间的数量关系是________（用含的式子表示）． 【变式1-6】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线，之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论：如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为______________________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为______________________． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【变式1-7】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）（1）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． 如图一，已知，请说明． 证明：分别过点作． 因为___________①___________，所以． 由___________②___________，可知． 由题知，所以___________③___________． 则，即___________④___________． 由___________⑤___________，可得． 请根据自己的理解，将上述证明过程补充完整． （2）【迁移应用】如图二，已知的交点为．判断．之间的关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为：第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，第次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三、若，求的大小． 【变式1-8】（24-25七年级下·河南濮阳·期中）如图，，定点，分别在直线，上，在平行线、之间有一动点，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线、之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论；如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为________． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则________°． ②猜想与的数量关系，并说明理由． ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 模型二：“铅笔”模型（“外拐点”模型） 特点：点P在直线EF右侧且在直线AB、CD的内部 结论1：若AB∥CD，则∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°； 结论2：若∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°，则AB∥CD； 例题2（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图是可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点O，现调节台灯使外侧光线，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，已知（其中），添加以下一个条件：①；②；③；④．能判定的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，，点 E ， F 在直线 上 （F 在 E 的左侧），点 G 在直线上， ，垂足为H ， P 为 线段上的一动点，连接，，与的角平分线交于点 Q ，且点 Q 在直线 之间的区域，则： ． 【变式2-3】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，，那么 ． 【变式2-4】已知，解答下列问题： (1)如图①， ； (2)如图②，求的度数； (3)如图③，求的度数； (4)如图④，根据以上结论，试探究： ． (5) 【变式2-5】（24-25七年级下·四川绵阳·期中）【阅读思考】如图①，已知，探究之间关系，小明添加了一条辅助线．解决了这道题．得到的结果是． 证明过程如下： 如图①，过点C作， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即． (1)【理解应用】如图②，已知，求的度数； (2)【拓展探索】如图③，已知，点C在点D的右侧，平分平分所在的直线交于点E，点E在直线与之间，点B在点A的右侧，且，若，则度数为多少？（用含n的代数式表示） 【变式2-6】（23-24七年级下·广西玉林·期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 【阅读理解】如图1，已知点A是外一点，连接，，求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程： 解：过点A作， ∴____， ____． 又∵， ∴． 【解题反思】从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2，已知，试说明，，之间的关系，并证明． 【解决问题】 （3）如图3，已知，点C在点D的右侧，，点B在点A的左侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间，求的度数． 【变式2-7】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图．已知，直线分别交，于点、． (1)如图1，点P为直线、之间，直线右侧一点，且满足，．求的大小： (2)如图2，在（1）的条件下，射线交的延长线于点，若，求证：平分； (3)如图3，在（1）的条件下，点为直线上一点（不与点F重合），内靠近的三等分线交于点，若，直接写出的大小．（用含的式子表示） 【变式2-8】（24-25七年级下·山东青岛·期中）已知，解决下列问题： (1)如图①，分别平分、，若，则的度数为__________． (2)如图②，若，，则与的数量关系为__________． (3)如图③，若，，设，则的度数为__________．（直接用含的代数式表示）． 模型三：“鸡翅”模型（“臭脚”模型） 特点：点P在直线EF的右侧且在直线AB、CD的外侧。 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP; 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD。 例题3（24-25九年级上·重庆·期末）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则的度数用含x的式子一定可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级上·河南南阳·期末）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）如图，，和的平分线相交于点F，若，则 ． 【变式3-4】（24-25七年级下·天津南开·期中）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图，若，则的度数为______，则的度数为 ； ②如图，在的下方有一点，平分，平分，求的度数； (2)如图，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 【变式3-6】（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图1，，的两边与，分别交于，两点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2，直线，相交于点，且满足，． ①当时，若，求的度数； ②试探究与的数量关系． 【变式3-7】（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）如图，已知分别在上，点G在之间，连接． (1)当平分平分时， ①如图1，若，则的度数为_______（直接写出结果）； ②如图2，在的下方有一点平分平分，求的值； (2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，且满足时，求的值． 【变式3-7】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图．已知，直线分别交，于点、． (1)如图1，点P为直线、之间，直线右侧一点，且满足，．求的大小： (2)如图2，在（1）的条件下，射线交的延长线于点，若，求证：平分； (3)如图3，在（1）的条件下，点为直线上一点（不与点F重合），内靠近的三等分线交于点，若，直接写出的大小．（用含的式子表示） 【变式3-7】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数t（），使得，则称是的“t系数补角”．例如，，，有，则是的“5系数补角”． 【概念理解】 （1）若，在，，中，的“2系数补角”是 ；的“3系数补角”是 （填）． 【深入探索】 （2）如图，平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点，平面内一点G位于直线上方，直线右侧，连接．请说明：； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，若是的“6系数补角”，当时，求的大小． 模型四：三种模型综合压轴题 例题4（24-25七年级下·河北唐山·期中）（1）【感知】如图1，，点在直线与之间，试说明．下面给出了这道题的解题过程，请将解题过程中的解题依据补充完整． 证明：如图1，过点作， ，（___________①___________） （已知），（辅助线作法）， ，（②） ___________③___________，（___________④___________） ， ； （2）【探究】当点在如图2的位置时，其他条件不变，则___________度； （3）【应用】如图3，延长线段交直线于点，已知，，直接写出的度数． 【变式4-1】（24-25七年级下·北京·期中）如图1，，点、分别在直线、上，点在线段上，交于点． (1)补全图形，可得______°． (2)在（1）的前提下，的平分线与的平分线所在直线交于点（点与点不重合），若，求的大小． (3)如图2，，若，，并且，则______．（用含的代数式表示）． 【变式4-2】（24-25七年级下·河北唐山·期中）已知，直线和直线，分别交于点，，并把平面分成六个区域（如图1），点是六个区域中的任意一点（不在直线，，上），连接，. (1)图2是点在区域⑤的情况，探究，，之间的数量关系时，嘉嘉猜想出，请帮她完善说理过程（填写结论或依据）； 理由：过点作 （          ）， ， （            ）， ______（            ）， ______， 又， . (2)图3是点在区域②的情况，请判断（1）中的结论还成立吗？说明理由. 【变式4-3】（24-25七年级下·广东茂名·期中）如图1，已知直线，点A在直线上，点B在直线上． (1)如图1，点C在直线、之间，连接、，若，，则的度数为______； (2)如图2，点C在直线的上方，平分，平分，延长与交于点D，若，，求的度数： (3)如图3，点C在直线的上方，，，平分交于点F，将绕着点A以每秒的速度逆时针方向旋转得，旋转时间为t秒；同时将射线绕着点B以每秒的速度顺时针方向旋转得射线，当射线与射线首次重合时，和射线同时停止转动，在旋转过程中，作的角平分线，作的角平分线，请直接写出当时t的值． 【变式4-4】（24-25七年级下·湖北荆门·期中）如图，直线，一副直角三角板中，． (1)若如图1摆放，当平分时，证明：平分； (2)若如图2摆放时，求的度数； (3)若图2中△ABC固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点G，作和的角平分线相交于点H（如图3），求的度数； (4)若图2中固定，（如图4）将△ABC绕点A以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请求出t的值． 【变式4-5】（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解：（1）如图1，已知点A是外一点，连接，求的度数．阅读并补充下面推理过程． 解：过点A作，_______，，，． 运用猜想：（2）如图2，已知，请直接写出的度数：_______； 拓展探究：（3）已知，点A、B在上，C、D在上，且点C在点D的右侧，，平分，平分，所在的直线交于点E，点E在直线与之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数． ②如图4，若，，时，请将图形补充完整，并求度数．（用含n的代数式表示） 【变式4-6】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知直线，直线分别与、相交于、． 【阅读理解】 （1）如图1，、分别平分和，求证：．请在下面的括号里填写相应的依据． 解：、分别平分和， 可设，（　　）， ， （　　）， ． 又， ． ，即． 【推广应用】 （2）如图2，点在射线上，点在射线上，、分别平分和，若，，请模仿（1）设元的方法，求和的度数． 【拓展提升】 （3）如图3，点在线段上，点是直线上的动点（不与重合），、分别平分和，设，请直接用含的代数式表示的度数． 【变式4-7】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于”，学了“平行线”后，小安用说理的方式说明该结论正确． 证明过程如下： 如图1：延长到点，过点作， ， ①_____，②_____， ③_____． ． (1)补全小安证明过程中①②③所缺的内容： (2)如图2，现有一锐角，在的两边上分别取点、，过点、分别作直线、，且，点在、之间， ①若点是下方一点，连接、．若平分，平分，则、、这三个角有什么关系；并说明理由． ②如图3，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，直接写出的度数． 【变式4-8】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，直线，一副三角尺，中，，，，． (1)若将三角尺如图①摆放，当平分时，则______． (2)若将三角尺和三角尺如图②摆放，的顶点恰好落在直线上，三角尺的一边在直线上，且边与边在同一直线上，作和的平分线交于点，求的度数． (3)若图③中三角尺固定，将三角尺绕点顺时针方向旋转（如图③），旋转到边与直线首次重合时停止旋转，在这旋转的过程中，当边与三角尺的一边平行时，请直接写出的度数． 1．（24-25七年级下·陕西安康·阶段练习）【问题情境】 如图，直线与直线交于点． 【问题探究】 （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在直线之间，且在直线的右侧，连接，过点作，，求证：； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，分别作的平分线和的平分线交于点与交于点，求的大小． 2．已知． (1)如图①，求证：； (2)如图②，与的角平分线所在直线相交于点P，求的大小； (3)如图③，若平分，延长交于点F，且，当时，求的大小． 3．（24-25七年级下·广东佛山·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺（）”为主题开展数学活动．    (1)【操作发现】：如图①，小明把三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； (2)【探索证明】：如图②，小颖把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，请你探索与之间的数量关系，并说明理由； (3)【结论应用】：如图③，小亮把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上．若，求（用含的式子表示）． 4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，点为直线上一点，射线交直线于点，． (1)求证：； (2)如图2，点为，内部，右侧一点，点在上，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，若，，，，求的度数． 5．（24-25七年级下·福建南平·期中）【问题情境】（1）如图1，，，求度数． 小明的思路：过P作，通过平行线性质来求． 按小明的思路，易求得的度数为 度． 【问题迁移】（2）如图2，，点P在射线上运动．记，． 当点P在 B、D两点之间运动时，问：与，之间有何数量关系？请说明理由； ②若点P在线段或射线上运动，（不与O、B、D三点重合），请直接写出与，之间的数量关系． 【拓展创新】（3）图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，并将北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，顺次连接各点，天文小组发现线段恰好经过点G，且，，，请你根据这些信息求出的度数． 6．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，已知，点，分别在直线，上，点在直线，之间，设，，求证：． 证明：如图2，过点作，， ，，，， ，即． 运用以上结论解答下列问题： 【类比应用】： （1）如图3，已知，，，求的度数． 【拓展提升】： （2）如图4，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，，则，，之间有何数量关系？请说明理由． 7．（24-25七年级下·重庆·期中）（1）已知，点是直线外一点，连接、，如图1，若，，求的度数． （2）已知，点在直线之间，为上一点，，，直线交于点，平分，平分，如图2，试探究与的数量关系． 8．（24-25七年级下·江西宜春·期中）综合与实践 【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，A是外一点，连接，，求的度数． 解：如图1，过点A作， ∴________，________ 又∵， ∴________ 【问题解决】 （1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2，，，，，交于点E，求证：． （3）如图3，，点P在下方，求证：． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$