【精准提分】专题01 相交线中相关计算（5个选填题型+4个解答题型+课后巩固） -2024-2025学年七年级下册数学期末专项培优（浙教版2024）（原卷+解析版）

【精准提分】专题01 相交线中相关计算（浙教2024） 【5个选填题型+4个解答题型】 【选填题型一】对顶角、邻补角、“三线八角”的认识 1 【选填题型二】相交线中判断相关命题是否正确 5 【选填题型三】相交线综合之求角度问题（选填） 7 【选填题型四】垂线段最短和点到直线的距离 12 【选填题型五】相交线中实际应用问题 15 【解答题型六】画垂线 20 【解答题型七】相交线综合之比值、倍数、和差问题 27 【解答题型八】相交线综合之求角度的其他类问题 38 【解答题型九】相交线综合培优（压轴题） 44 【选填题型一】对顶角、邻补角、“三线八角”的认识 例题1（24-25七年级下·广东广州·期中）下面选项中，与是对顶角的图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为A、B、C中，与的两边不互为反向延长线，所以都不表示对顶角，只有D中，与为对顶角． 故选：D． 【变式1-1】（24-25七年级下·新疆喀什·期中）如图所示，是的对顶角的图形是（）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．与的边不满足互为反向延长线的条件，所以不是对顶角，故本选项不符合题意； B与的边不满足互为反向延长线的条件，所以不是对顶角，故本选项不符合题意； C．的两边分别是两边的反向延长线，符合对顶角的定义，所以是的对顶角，故本选项符合题意； D．与的边不满足互为反向延长线的条件，所以不是对顶角，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，直线截直线，下列说法正确的是（    ） A．与是内错角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】D 【详解】解：A．与是同旁内角，说法错误，不符合题意； B．与是邻补角，原说法错误，不符合题意； C．与是内错角，原说法错误，不符合题意； D．与是同旁内角，原说法正确，符合题意． 故选：D． 【变式1-2】（24-25七年级下·北京·期中）下列所示的四个图形中，和不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A、B、D中，和在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；选项C中，和的两条边都不在同一条直线上，不是同位角． 故选：C． 【变式1-3】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，已知与，其中与相交，下列结论中错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是对顶角 C．与是同位角 D．与是内错角 【答案】C 【详解】A、同旁内角：在截线同侧，在两条被截线之间，那么与是同旁内角，故A正确，不符合题意； B、对顶角：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，那么与是对顶角，故B正确，不符合题意； C、同位角：在截线同侧，在两条被截线同一方，那么与不是同位角，故C错误，符合题意； D、内错角：在截线两侧，在两条被截线之间，那么与是内错角，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【变式1-4】（24-25七年级下·广东东莞·期中）如图，直线与的边相交成“4”字模型，则的同旁内角是（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直线、被直线所截，与在直线的同旁，且在直线、之间， ∴的同旁内角是； 故选：A． 【变式1-5】（24-25七年级下·云南曲靖·期中）如图所示，下列说法错误的是（    ） A．和是同位角 B．和是内错角 C．和是邻补角 D．和是同旁内角 【答案】A 【详解】解：A．和不是同位角，原说法错误，故此选项符合题意； B. 和是内错角，故该选项正确，不符合题意； C. 和是邻补角，故该选项正确，不符合题意；     D. 和是同旁内角，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 【变式1-6】（24-25七年级下·四川凉山·期中）如图，下列结论错误的是（    ） A．和是同位角 B．和是同旁内角 C．和是内错角 D．和是对顶角 【答案】A 【详解】解：A．和不是同位角，原结论错误，故此选项符合题意； B．和是同旁内角，原结论正确，故此选项不符合题意； C．和是内错角，原结论正确，故此选项不符合题意； D．和是对顶角，原结论正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 【选填题型二】相交线中判断相关命题是否正确 例题2 （24-25七年级下·四川凉山·期中）下列语句中，是假命题的有（    ） ①若，则；②有理数和无理数统称为实数；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交与平行；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑥直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①若，满足，但是，故错误，符合题意； ②有理数和无理数统称为实数，故正确，不符合题意； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确，不符合题意； ④在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交与平行，故正确，不符合题意； ⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，符合题意； ⑥直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离，故错误，符合题意； 故选：C． 【变式2-1】（24-25七年级下·山东聊城·期中）下列说法：①任意两条直线的位置关系不是平行就是相交；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行；其中正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】①在同一平面内，任意两条直线的位置关系不是平行就是相交，原说法错误； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； ③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原说法错误； ⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法不正确； 综上所述，其中正确的个数有2个． 故选：C． 【变式2-2】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）下列语句： ①一条直线有且只有一条垂线； ②不相等的两个角一定不是对顶角； ③在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线； ④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等； ⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线； ⑥三条直线两两相交，一定有三个交点；其中错误的有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：①一条直线有无数条垂线，原语句错误； ②不相等的两个角一定不是对顶角，正确； ③在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，正确； ④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等或互补，原语句错误； ⑤不在同一直线上的四个点可画4条或6条直线，原语句错误； ⑥三条直线两两相交，有一个或三个交点，原语句错误； 综上所述，错误的有4个， 故选：C ． 【变式2-3】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）下列语句正确的是（   ） A．一条直线的平行线有且只有一条 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线相交，交点叫做垂足 D．过直线上一点只能作一条直线和这条直线相交 【答案】B 【详解】解：一条直线的平行线有无数条，所以A不正确； 因为平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以B正确； 因为过一点向一条直线作垂线，交点叫做垂足，所以C不正确； 因为过直线上一点可以作无数条直线和这条直线相交，所以D不正确． 故选：B． 【变式2-4】（24-25七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； B．如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； C．在同一平面上，如果两条直线不相交，那么它们就一定平行； D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【答案】C 【详解】解：A、同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，原说法错误，不符合题意； B、同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，原说法错误，不符合题意； C、在同一平面上，如果两条直线不相交，那么它们就一定平行，原说法正确，符合题意； D、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式2-5】（24-25七年级下·福建漳州·期中）有下列四种说法：①经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线垂直；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等；④在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和垂直．其中正确的是 【答案】② 【详解】解：在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线垂直，故①错误； 一个角的补角不一定大于这个角，也可能等于或小于这个角，例如：90度角的补角也是90度，两角相等，故②错误； 如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等，故③正确； 在同一平面内，两条直线的位置：相交和平行或重合，故④错误； 故答案为：②． 【选填题型三】相交线综合之求角度问题（选填） 例题3 （24-25七年级下·福建福州·期中）如图，直线，相交于点O，平分，若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， 平分，， ， 和是对顶角， ． 故选：D． 【变式3-1】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，直线，相交于点，，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3-2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，直线，相交于点O，，，垂足为O，平分，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：D 【变式3-3】（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，直线，相交于点，平分，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式3-4】（24-25七年级下·北京·期中）如图，直线、相交于点，平分，，垂足为．若，则的度数是 【答案】 【详解】解：：∵直线、相交于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即的度数是． 故答案为：． 【变式3-5】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，直线相交于点，，平分，若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-6】（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为，平分，若，则的度数为 ． 【答案】/77度 【详解】解：∵平分， ∴ ∵， ∵， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 【选填题型四】垂线段最短和点到直线的距离 例题4（24-25七年级下·山西·期中）立定跳远是山西中考体育的必选项目，男子跳2.5米，女子跳1.99米可以获得该项目满分，跳远成绩是测量下图中线段的长度．这种测量方式的依据是（  ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点之间的距离是两点之间线段的长度 D．点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度 【答案】D 【详解】解：由题意得这种测量方式的依据是点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度， 故选：D． 【变式4-1】（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，点，处各安装一个路灯，点处竖有一广告牌，测得，，则点到直线的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴， 由题意，点到直线的距离为点到直线的垂线段的长度，故小于的长， ∴点到直线的距离可能为； 故选D． 【变式4-2】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）如图，是直角三角形，，点P是边上的一个动点，则的最小值是（   ）    A．2 B．2.4 C．3 D．3.5 【答案】B 【详解】解：当垂直时，的最小值， ， ， 即， ， 故选：B． 【变式4-3】（24-25七年级下·陕西铜川·期中）如图，，垂足为，连接，则下面的结论中正确的是（   ） A． B．与互余 C．点到的垂线段是 D．与互补 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴点到的垂线段是，故C结论正确； 又∵相交， ∴与不垂直，故A结论错误； ∵， ∴， ∴， ∴与互余，故D结论错误； 根据现有条件无法得到与的数量关系，故B结论错误； 故选：C． 【变式4-4】（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，点B，C在直线上，且，的面积．若P是直线上任意一点，连接，则线段的最小长度为 cm． 【答案】 【详解】解：P是直线上任意一点，连接，则线段时，最小， 此时，， 因为， 所以， 故答案为：8． 【变式4-5】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在三角形中，，，，．点是线段上的一动点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最短， 在中， 由面积公式得：， 即， 解得，； 故答案为：． 【变式4-6】（24-25七年级下·北京·期中）若为直线外一定点，为直线上一点，且为点到直线的距离，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵点P不在直线l上， ∴． ∵，且， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-7】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，在三角形中，于点，于点，则图中表示点到直线距离的是线段 的长度． 【答案】/ 【详解】解：∵，垂足为点E， ∴图中表示表示点到直线距离的是线段的长度． 故答案为：． 【选填题型五】相交线中实际应用问题 例题5（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就，其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即如图2．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据反射定律知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式5-1】（2025·江西吉安·一模）光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若、、三点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得：， ∵，， ∴， 故选：D． 【变式5-2】（24-25七年级下·天津红桥·期中）如图，一束光线从空气中照射到水中，会发生折射现象，其中为入射光线，为折射光线，直线为法线，点，，在同一条直线上．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式5-3】（24-25七年级下·山东临沂·期中）小明在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．如图，把两根钢条、的中点连在一起，可以做成一个测量内槽宽的工具（卡钳），当增大时，的度数（   ） A．减小 B．增大 C．增大 D．不变 【答案】B 【详解】解：由图知与是对顶角， 则， 当增大时，的度数增大， 故选：B． 【变式5-4】（24-25七年级下·天津北辰·期中）舞龙表演是中国传统民俗文化活动之一，尤其在春节、元宵节等重大节日中常见．在一场舞龙表演中，舞龙的主路线与支线相交于点O，如图所示，为了增加表演观赏性，从点O引出一条垂直于的表演路线平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 故选：B． 【变式5-5】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，已知，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，此时平面镜与地面的夹角 ． 【答案】/69度 【详解】解：如图， 由题意知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-5】（24-25七年级下·山西晋中·期中）如图是地球截面图，其中，分别表示赤道和南回归线，冬至正午时，太阳光直射南回归线（太阳光线的延长线经过地心O）此时，太阳光线与地面水平线垂直，已知，则的度数是 ． 【答案】 【详解】解：太阳光线与地面水平线垂直， ， ， ． 故答案为：． 【变式5-6】（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，立定跳远比赛时，小明从点起跳落在沙坑内处，跳远成绩是米，则小明从起跳点到落脚点的距离 米．（填“大于”“小于”或“等于”） 【答案】大于 【详解】解：根据跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段的长，而垂线段又最短，故小明从起跳点到落脚点的距离大于米， 故答案为：大于． 【解答题型六】画垂线 例题6（24-25七年级下·北京·期中）作图题∶如图，四边形中，． (1)画线段，垂足为E；则点C到的距离为线段 的长度； (2)连接 ，并比较下列两条线段的长度： （用“>”或“<”或“=”填空）依据是 ． 【答案】(1)见详解，(2)<，垂线段最短 【详解】（1）解：线段，垂足为E，如图所示： 则点C到的距离为线段的长度, 故答案为：． （2）解：∵， ∵根据垂线段最短可知， 故答案为：<，垂线段最短． 【变式6-1】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，直线，相交于点O，画，且射线在的内部，平分． (1)根据题意，补全图形； (2)若，求的度数．（用含α的代数式表示） 【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）解：如图，，为求作的， （2）解：， ， ， ， 平分． ， ． 【变式6-2】（24-25七年级下·山西运城·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点、点、点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下述要求画图． (1)画直线； (2)画线段； (3)过点画直线的垂线，垂足为； (4)在线段中，最短的线段为___________，依据为___________． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)，点到直线的距离垂线段最短 【详解】（1）解：连接点、点并延长，如图： （2）解：连接点、点和点、点，且不要延长出点，如图： （3）解：过点画直线的垂线，垂足为，如图： （4）解：∵垂线段最短， ∴最短的线段为， 故答案为：，垂线段最短 【变式6-3】（24-25七年级上·山西长治·期末）如图，网格中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形． 请在图中按下列要求作图： (1)①作直线，与直线交于点； ②过点作直线的垂线，垂足为； ③作线段的垂直平分线，交直线于点． (2)线段，，中，最短的线段是_________，理由是______． 【答案】(1)见解析(2)，垂线段最短 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）线段，，中，最短的线段是，理由是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 【变式6-4】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）（1）在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，不用量角器与三角尺，仅用直尺，完成下列各题： ①过点P画的垂线，垂足为H； ②在直线上找一点C，使得直线； （2）在上图中线段的长度是点P到直线________的距离，线段________的长度是点C到直线的距离．这三条线段大小关系是________．（用“”号连接） 【答案】（1）①图见解析；②图见解析（2）直线； 【详解】解：（1）如图所示：①即为所求； ②如图所示：即为所求； （2）线段的长度是点到直线的距离，线段的长度是点到直线的距离．、、这三条线段大小关系是， 故答案为：，，． 【变式6-6】（24-25七年级上·北京昌平·期末）如图，已知在同一平面内有三个点，，，请按要求完成下列问题． (1)连接，画射线； (2)取线段的中点A，过点A作的垂线，交于点； (3)量一量的度数，________°； (4)量一量线段与线段的长度，用等式表示线段与线段之间的数量关系是_________． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)30；(4)（或） 【详解】（1）如图，线段、射线即为所求． （2）如图，点A和直线即为所求． （3）测量可得，． 故答案为：30． （4）测量可得，线段与线段之间的数量关系是． 故答案为：． 【变式6-7】（22-23七年级上·江苏盐城·期末）如图，点P是的边上的一个格点． (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)过点P画的垂线，交于点C； (3)线段 的长度是点到的距离； (4)线段、、这三条线段大小关系是 （用“”号连接），依据是 ． 【答案】(1)见解析(2)见解析3)(4),垂线段最短 【详解】（1）如图． （2）如图． （3）∵， ∴线段的长度是点O到的距离； （4）大小关系是：，依据是“垂线段最短”． 【变式6-8】（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，网格线的交点叫格点，A、B、C都在格点上，请在方格纸上画图并回答下列问题： (1)过点A画的垂线，垂足为G；过点A作直线，垂足为A，直线交于点H； (2)线段的长度是点A到______的距离，线段______的长度是点H到直线的距离，所以线段的大小关系是______（用“”号连接），理由是______． 【答案】(1)见解析(2)；；；垂线段最短 【详解】（1）解：如图所示，分别取格点G、H，连接，则即为所求； （2）解：∵， ∴线段的长度是点A到的距离，线段的长度是点H到直线的距离， 由垂线段最短可知， 故答案为：；；；垂线段最短． 【变式6-9】（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，平面上有三个点A，，． (1)根据下列语句按要求画图． ①画直线，画射线，连接； ②过点作的垂线，垂足为； (2)______填“”“”或“”），理由是______． 【答案】(1)见解析(2)，垂线段最短 【详解】（1）解：直线，射线，线段即为所作： 垂线即为所作： ； （2）解：； 理由是：连接直线外一点和直线上各点的线段中，垂线段最短， 故答案为：，连接直线外一点和直线上各点的线段中，垂线段最短 ． 【解答题型七】相交线综合之比值、倍数、和差问题 例题7（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，直线与相交于点，是的平分线，，． (1)如果，求的度数； (2)设，求证：． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 即， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式7-1】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，直线相交于点，． (1)求的度数； (2)过点作射线，使，求的度数． 【答案】(1)(2)的度数为或 【详解】（1）解：∵直线相交于点，， 设，则， 又， ， 解得：， ， （对顶角相等）． （2）解：当点在直线上方时，如图，过点作， ， 由（1）知：， ， 当点在直线下方时，过点作， ， 的度数为或． 【变式7-2】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，直线，交于点，过点作，在内作射线，． (1)的补角是___________； (2)若，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵直线，交于点， ∴， ∴的补角是； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【变式7-3】（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，直线相交于点，过点作射线，作射线平分． (1)若，求的度数； (2)若的度数比的度数大，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ； （2）解：的度数比的度数大， ， 由（1）得， ，     ． 【变式7-4】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图，直线、相交于点，，平分． (1)若，求的度数； (2)如果，则 （用含的代数式表示）； (3)若比大，求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：根据题意，得， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴． （2）解：根据题意，得， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴． （3）解：根据题意，平分，得； 设， ∵比大， ∴， ∵， ∴， 根据题意，得， 解得 ∴． 【变式7-5】（24-25七年级下·陕西铜川·期中）如图，直线，相交于点，和互余，． (1)和垂直吗？为什么？ (2)若，求的度数． 【答案】(1)和垂直，理由见解析(2) 【详解】（1）解：和垂直，理由如下： ∵和互余， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【变式7-6】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）直线相交于点O，且，平分． (1)如图1，①的余角有_______．（填写所有符合情况的角） ②若，求的度数． (2)如图2，请直接写出与的数量关系为________． 【答案】(1)①；②(2) 【详解】（1）解：①， ， ， ， ， 的余角有， 故答案为：； ②，， ， ， ， 平分， ， 设，则， ， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ，即， 平分， ， ，即， ， ． 【变式7-7】（2025七年级下·湖南·期中）如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴． 【变式7-8】（24-25七年级下·河北沧州·期中）如图，直线相交于点，平分．若，求的度数． 【答案】 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式7-9】（24-25七年级下·云南昆明·期中）如图所示，直线相交于点，，垂足为，已知． (1)若平分，求的度数； (2)若的度数比的度数的倍多，试判断与垂直吗，并说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见详解 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 若平分，则， ∴； （2）解：，理由如下， 设，则， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴． 【变式7-10】（24-25七年级下·甘肃定西·期中）如图，直线、交于点O，已知于点O，平分，若，求的度数． 【答案】 【详解】解：设， ∵平分， ， ， ， ∴ ， ， ∴， ∵， ∴， 解得， 即． 【变式7-11】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，直线相交于点平分． (1)若，求的度数； (2)，垂足为点，若，求证：是的平分线． 【答案】(1)(2)见详解 【详解】（1）解： ， ， ， 平分， ， ． （2）证明：设，， 平分， ， ， ， ， ， ∴ ， ， 即， ∴是的平分线． 【解答题型八】相交线综合之求角度的其他类问题 例题8（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，作，求的度数． 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：当在的同侧时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在的异侧时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 【变式8-1】（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，已知、、相交于点O，，平分，，求、、的度数． 【答案】，， 【详解】解：∵（对顶角相等），， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴，即， ∵平分， ∴ 【变式8-2】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线交于点，作平分，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 【变式8-3】（24-25七年级下·河北邢台·期中）如图，直线相交于点O，若，． (1)试说明：射线平分； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴射线平分； （2）解：∵，， ∴． 【变式8-4】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）图，直线交于O点，作，过点O作射线，为的平分线，，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式8-5】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线． (1)试判断和的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析(2) 【详解】（1）解： ， 分别是的平分线 ， ， ； （2）解：平分， ， 由（1）知， ． 【变式8-6】（24-25八年级下·河北廊坊·期中）如图，为直线上一点，，平分，，垂足为点． (1)求的度数． (2)求证：平分． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解： ，平分， ， ； （2）证明：， ． ， ， ， ， 平分； 【变式8-7】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，、相交于点O，为的平分线，，，，求出的度数． 【答案】 【详解】解：， ， 是的平分线， ， ， ， ， 的度数为 【变式8-8】如图，直线和直线相交于点为内部的射线，平分平分． (1)若，求和的度数； (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：因为平分平分， 所以， 所以， 即． 因为， 所以． （2）解：因为平分， 所以． 因为， 所以， 所以． 因为平分， 所以． 【变式8-9】（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知直线相交于点，点在内部，作射线． (1)如图①，，则_______；_______； (2)如图②，，则_______； (3)如图③，平分，求的度数及点到直线的距离． 【答案】(1)100，50(2)60(3)的度数为，点到直线的距离为2 【详解】（1）解： ， 当时，， ， ， 故答案为：100，50． （2）解：， ， ， 故答案为：60． （3）解：，平分， ， ，， 点到直线的距离等于的长，即为2， ∴的度数为，点到直线的距离为2． 【解答题型九】相交线综合培优（压轴题） 例题9（23-24七年级上·四川成都·期末）点为直线上一点，在直线同侧任作一个，使得． (1)如图1，过点作射线，当恰好为的角平分线时，请直接写出与之间的倍数关系，即______（填一个数字）； (2)如图2，过点作射线，使恰好为的角平分线，另作射线，使得平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，若，作射线，使得，求的度数． 【答案】(1)2(2)，详见解析3)或，详见解析 【详解】（1）；理由如下： ∵． ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：2； （2）∵为的角平分线，平分， ∴设， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 当在左侧时，， ， 当在右侧时，． 【变式9-1】如图，直线、相交于点，过点作． (1)如图1，求证：； (2)如图2，将射线沿着直线翻折得到射线，即，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：，相交于点， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 平分． （3）解：， 设，则， ， ，， ， ， ，，三点在一条直线上， ， 解得：， ． 【变式9-2】（23-24七年级下·北京·期末）如图，点在直线上，，射线在内部．    (1)如图1，当时，用量角器画出射线，则度数为 °； (2)如图2，当时，，画出相应图形，求度数． 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）解：如图1，射线即为所画的射线，   ，， ， ； （2）解：如图2，当在上方时，   ， ， ， 如图3，当在下方时，   ， ， ， ． 综上所述：或． 【变式9-3】（23-24七年级上·江苏无锡·期末）已知，点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，则的度数为 ； (2)如图2，过点在直线下方作射线，使，作的角平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 【答案】(1)70(2)3)或 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：70； （2）由（1）可知，， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； （3）由（2）知， ∵与互余， ∴， ， 当射线在内部时，如下图， ； 当射线在外部时，如下图， ． 综上所述，的度数为或． 【变式9-4】（23-24七年级上·江苏镇江·期末）【问题情境】 如图，点在直线上，．如果绕点按逆时针方向旋转到，那么点的位置可以用表示．      【操作发现】 （1）如图，将绕点按逆时针方向旋转后停止，旋转后的对应线段为，在旋转过程中当时，点的位置可以用______表示； 【实践探究】 规定：若一个角是另一个角的4倍时，则称这两个角互为“偶分角”． 将绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转到，当与重合时，停止运动． （2）是否存在某一时刻，使得与互为“偶分角”．若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． （3）当旋转10秒后，射线从出发，绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，当旋转______秒后，与互为“偶分角”． 【答案】（1）；（2）或或；（3） 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴此时点C的位置可以用； 故答案为：； （2）当在内部，时， ∵， ∴， 此时点P的位置可以表示为； 当在内部，时， ∵， ∴， 此时点P的位置可以表示为； 当在外部，， ∵， ∴， ∴， ∴， 此时点P的位置可以表示为； 综上分析可知，点P的位置可以表示为或或； （3）设旋转时间为t秒，则，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（不符合题意舍去）； 综上分析可知，当旋转秒后，与互为“偶分角”． 故答案为：． 【变式9-5】（23-24七年级上·广西桂林·期末）综合与探究 【提出问题】小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，，请作一个，使与互余（），即． 【动手操作】小明是这样思考的：如图2所示，若射线在的内部，则，所以射线在的外部；然后通过构造直角，找到的余角，如图3所示；进而分析要使与互余，只需． 因此，小明找到了解决问题的方法：过点O作射线的垂线，利用量角器作出的平分线，这样就得到与互余．请你帮助小明完成下列推理说明： （1）已知：如图3，，射线平分．请说明与互余． 解：理由：因为射线平分（已知）， 所以______（角平分线的定义）， 由于，即______， 所以∠AOC=∠BOC=90°（______），即与互余． （2）【类比操作】如图4，若，参考小明的画法，请在图4中作出一个，使与互补（），并直接写出的度数． （3）【拓展延伸】如图5，已知，若与互补，射线平分，射线平分．请根据题意，补全图形，并求的度数． 【答案】（1），90，等量代换；（2）作图见解析，；（3）补全图形见解析，的度数为或 【详解】（1）证明： 射线平分（已知）， （角平分线的定义）， ，即， （等量代换），即与互余， 故答案为：，90，等量代换； （2）若构造平角（），所以通过构造平角， 如图，作的延长线线，利用量角器作出的平分线， 射线平分（已知）， （角平分线的定义）， ， （等量代换），即与互补， ， ， ， ； （3）如图5，当射线在的外部时，延长到点C，利用量角器作出的平分线，利用量角器作出的平分线， ， ， 平分，平分， ，， ； 如图6，当射线在的内部时，延长到点D，利用量角器作出，利用量角器作出的平分线，利用量角器作出的平分线， ，， ， ， 平分，平分， ，， ； 综上，的度数为或． 【变式9-6】（23-24七年级上·江西南昌·期末）点是直线上一点，是直角，平分．    (1)如图1，若，求的度数； (2)将图1中的绕点按顺时针方向旋转至图2所示位置．探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)∠AOC的度数为(2)，理由见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴． 【变式9-7】（23-24七年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】已知O为直线上的一点，以O为顶点作，射线平分． (1)【问题再现】如图1，射线均在直线上方．若，求和的度数； (2)【问题推广】如图2，射线在直线下方，射线在直线上方．请求出与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展提升】如图3，射线均在直线下方．求的度数． 【答案】(1)，(2)，理由见解析(3) 【详解】（1） 解：∵， ∴， ∵， ， ∵平分， ， ． （2）解：，理由如下： ∵平分， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ． 【变式9-8】（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，是直线上的一点，，平分，，． (1)如图，若，则的度数为____________； (2)探究在绕点旋转过程中，求的度数；（用含有的代数式表示） (3)在内部有一条射线是的角平分线，求的度数．（用含有的代数式表示） 【答案】(1)(2)的度数为或(3)的度数为或 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ， 的度数为， 故答案为：； （2）解：如图，当在内部时， ， ， ， ， 平分， ， ； 如图，当在外部时， ， ， ， ， 平分， ， ； 综上所述，的度数为或； （3）解：如图，当在内部时，由（2）可得，， ， 是的角平分线， ； 如图，当在外部时，由（2）可得，， ， 是的角平分线， ， 综上所述，的度数为或． 【变式9-9】（23-24七年级上·江苏镇江·期末）如图，已知，垂足为点O，直线经过点O． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，若射线从射线处出发，绕着点O按每秒的速度逆时针旋转，射线从射线处出发，绕着点O按每秒的速度逆时针旋转，两条射线同时出发，当射线与射线第一次相遇时，停止运动． ①经过　　　　秒，射线与射线第一次相遇； ②经过　　　　秒，射线、、中的某一条射线恰好是其他两条射线构成的角的角平分线． 【答案】(1)(2)(3)①9；②或或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． （3）解：①， 设运动时间为t秒，根据题意得： ， 解得：， 即经过9秒，射线与射线第一次相遇， 故答案为：9； ②设运动时间为x秒， 当为的平分线时，， 解得：； 当为的平分线时，， 解得：； 当为的平分线时，， 解得：； 综上分析可知，经过秒或秒或秒，射线、、中的某一条射线恰好是其他两条射线构成的角的角平分线． 故答案为：或或． 1．（24-25七年级下·浙江衢州·期中）如图，直线，相交于点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，， ∴， 故选：C ． 2．（24-25七年级下·河北张家口·期中）已知三角形，用直角三角板过点A作直线的垂线，下列三角板的位置摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A中三角板过点A，但不垂直，故不符合题意； 选项B中三角板过点A，且垂直，故符合题意； 选项C中三角板不过点A，故不符合题意； 选项D中三角板过点A，但不垂直，故不符合题意， 故选：B． 3．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，某工程队计划把河水引到水池A中，他们先过点A作，垂足为B，为河岸，然后沿开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 D．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【答案】A 【详解】解：某工程队计划把河水引到水池A中，他们先过点A作，垂足为B，为河岸，然后沿开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是：垂线段最短． 故选：A． 4．（24-25七年级下·北京·期中）如图，直线，相交于点，，平分，，则下列结论中不正确的是（） A．比大 B． C．与互为余角 D．等于 【答案】D 【详解】解：A、∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，故选项不符合题意； B、∵， ， ∴，故选项不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴与互为余角，故选项不符合题意； D、由B得，故选项符合题意； 故选：D． 5．（2025·山东·二模）如图，已知直线与交于点，，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．（24-25六年级下·山东东营·期中）以下说法中：（1）同角或等角的余角相等；（2）在同一平面内，过一点有两条直线与已知直线垂直；（3）对顶角相等；（4）不相交的两条直线叫平行线．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：（1）同角或等角的余角相等，正确； （2）同一平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误； （3）对顶角相等，正确； （4）同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，原说法错误； 其中正确的有2个 故选：A． 7．（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，已知直线，相交于点，平分，平分，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：平分，， ， ，故①正确； ， ． 平分， ， ，故②正确； ，， ，故③正确； ，， ，故④正确． 综上所述，正确的有个． 故选：D． 8．（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图，直线是起跳线，脚印是小明跳落沙坑时留下的痕迹，体育老师测得线段的长度作为小明跳远的成绩，这样测量的依据是 ． 【答案】垂线段最短 【详解】解：测量的依据是垂线段最短； 故答案为：垂线段最短． 9．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，，，且，，，则点C到直线的距离是 ． 【答案】5 【详解】解：∵，即， 又， ∴点C到直线的距离是5， 故答案为：5． 10．（24-25七年级下·山东济宁·期中）在同一平面内，已知直线，相交于点O，，则的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上：的大小为：或； 故答案为：或 11．（24-25七年级下·广东东莞·期中）如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点B处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，，则的度数为 ． 【答案】64 【详解】由对顶角相等可知：， ∵， ∴， 故答案为：64． 12．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，直线，交于点O ，平分，，若， 则的度数为 ． 【答案】/25度 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 13．（24-25九年级下·江苏泰州·期中）已知和互为邻补角，且，平分，射线在内部，且，，，则 ． 【答案】或 【详解】解：①如图，当在上方时， ∵平分， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当在下方时， 同理可得， ∵， ∴， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 14．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，直线、相交于点，过点作．将射线沿着直线翻折得到射线，即，求证：平分． 【答案】见解析 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 15．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，已知直线、相交于点O，，点O为垂足，平分．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴可设 ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 即的度数为． 16．（24-25七年级下·河南焦作·期中）如图，由相同边长的小正方形组成的网格图形，点，，都在格点上． (1)在网格内过点画与线段平行且相等的线段； (2)过点画直线的垂线，并注明垂足为点；过点画直线的垂线，交于点； (3)线段的长度是点________到直线________的距离，点到直线的距离是________； (4)线段，，中，最短的是________，判断依据是________． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)；；线段的长度；(4)；垂线段最短． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示； （3）解：∵， ∴线段的长度是点H到直线的距离； ∵， ∴点A到直线的距离是线段的长度． 故答案为：的长度； （4）解：∵， ∴． 又， ∴线段，，中，最短的是，判断依据是垂线段最短 故答案为：，垂线段最短． 17．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图①，和都是直角． (1)如果，那么_________． (2)找出图①中除和之外相等的角：如果，它们还会相等吗？ (3)如果变小，那么如何变化？请说明理由． (4)在图②中利用能够画直角的工具再画一个与相等的角．（添上适当的字母，明确回答出与相等的角） 【答案】(1) (2)中相等的锐角是：；如果，它们还会相等，理由见解析 (3)变大，理由见解析(4)画图见解析，． 【详解】（1）解：∵和都是直角． ∴， 故答案为：． （2）中相等的锐角是：， 会相等，理由： ∵和都是直角， ∴，， ∴， 如果，它们仍相等； （3）由（1）可得 ∴如果变小，那么变大， （4）如图， 以为边画，再以为边画，由同角的余角相等得． 18．（24-25七年级上·四川巴中·期末）如图，直线交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 1 / 84 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【精准提分】专题01 相交线中相关计算（浙教2024） 【5个选填题型+4个解答题型】 【选填题型一】对顶角、邻补角、“三线八角”的认识 1 【选填题型二】相交线中判断相关命题是否正确 3 【选填题型三】相交线综合之求角度问题（选填） 5 【选填题型四】垂线段最短和点到直线的距离 6 【选填题型五】相交线中实际应用问题 8 【解答题型六】画垂线 11 【解答题型七】相交线综合之比值、倍数、和差问题 15 【解答题型八】相交线综合之求角度的其他类问题 19 【解答题型九】相交线综合培优（压轴题） 22 【选填题型一】对顶角、邻补角、“三线八角”的认识 例题1（24-25七年级下·广东广州·期中）下面选项中，与是对顶角的图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·新疆喀什·期中）如图所示，是的对顶角的图形是（）． A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，直线截直线，下列说法正确的是（    ） A．与是内错角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【变式1-2】（24-25七年级下·北京·期中）下列所示的四个图形中，和不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，已知与，其中与相交，下列结论中错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是对顶角 C．与是同位角 D．与是内错角 【变式1-4】（24-25七年级下·广东东莞·期中）如图，直线与的边相交成“4”字模型，则的同旁内角是（） A． B． C． D． 【变式1-5】（24-25七年级下·云南曲靖·期中）如图所示，下列说法错误的是（    ） A．和是同位角 B．和是内错角 C．和是邻补角 D．和是同旁内角 【变式1-6】（24-25七年级下·四川凉山·期中）如图，下列结论错误的是（    ） A．和是同位角 B．和是同旁内角 C．和是内错角 D．和是对顶角 【选填题型二】相交线中判断相关命题是否正确 例题2 （24-25七年级下·四川凉山·期中）下列语句中，是假命题的有（    ） ①若，则；②有理数和无理数统称为实数；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交与平行；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑥直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】（24-25七年级下·山东聊城·期中）下列说法：①任意两条直线的位置关系不是平行就是相交；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行；其中正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2-2】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）下列语句： ①一条直线有且只有一条垂线； ②不相等的两个角一定不是对顶角； ③在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线； ④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等； ⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线； ⑥三条直线两两相交，一定有三个交点；其中错误的有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2-3】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）下列语句正确的是（   ） A．一条直线的平行线有且只有一条 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线相交，交点叫做垂足 D．过直线上一点只能作一条直线和这条直线相交 【变式2-4】（24-25七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； B．如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； C．在同一平面上，如果两条直线不相交，那么它们就一定平行； D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【变式2-5】（24-25七年级下·福建漳州·期中）有下列四种说法：①经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线垂直；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等；④在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和垂直．其中正确的是 【选填题型三】相交线综合之求角度问题（选填） 例题3 （24-25七年级下·福建福州·期中）如图，直线，相交于点O，平分，若，则（   ）． A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，直线，相交于点，，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，直线，相交于点O，，，垂足为O，平分，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，直线，相交于点，平分，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】（24-25七年级下·北京·期中）如图，直线、相交于点，平分，，垂足为．若，则的度数是 【变式3-5】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，直线相交于点，，平分，若，则的度数为 ． 【变式3-6】（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为，平分，若，则的度数为 ． 【选填题型四】垂线段最短和点到直线的距离 例题4（24-25七年级下·山西·期中）立定跳远是山西中考体育的必选项目，男子跳2.5米，女子跳1.99米可以获得该项目满分，跳远成绩是测量下图中线段的长度．这种测量方式的依据是（  ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点之间的距离是两点之间线段的长度 D．点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度 【变式4-1】（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，点，处各安装一个路灯，点处竖有一广告牌，测得，，则点到直线的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）如图，是直角三角形，，点P是边上的一个动点，则的最小值是（   ）    A．2 B．2.4 C．3 D．3.5 【变式4-3】（24-25七年级下·陕西铜川·期中）如图，，垂足为，连接，则下面的结论中正确的是（   ） A． B．与互余 C．点到的垂线段是 D．与互补 【变式4-4】（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，点B，C在直线上，且，的面积．若P是直线上任意一点，连接，则线段的最小长度为 cm． 【变式4-5】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在三角形中，，，，．点是线段上的一动点，则线段的最小值是 ． 【变式4-6】（24-25七年级下·北京·期中）若为直线外一定点，为直线上一点，且为点到直线的距离，则的取值范围为 ． 【变式4-7】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，在三角形中，于点，于点，则图中表示点到直线距离的是线段 的长度． 【选填题型五】相交线中实际应用问题 例题5（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就，其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即如图2．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·江西吉安·一模）光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若、、三点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25七年级下·天津红桥·期中）如图，一束光线从空气中照射到水中，会发生折射现象，其中为入射光线，为折射光线，直线为法线，点，，在同一条直线上．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25七年级下·山东临沂·期中）小明在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．如图，把两根钢条、的中点连在一起，可以做成一个测量内槽宽的工具（卡钳），当增大时，的度数（   ） A．减小 B．增大 C．增大 D．不变 【变式5-4】（24-25七年级下·天津北辰·期中）舞龙表演是中国传统民俗文化活动之一，尤其在春节、元宵节等重大节日中常见．在一场舞龙表演中，舞龙的主路线与支线相交于点O，如图所示，为了增加表演观赏性，从点O引出一条垂直于的表演路线平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式5-5】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，已知，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，此时平面镜与地面的夹角 ． 【变式5-5】（24-25七年级下·山西晋中·期中）如图是地球截面图，其中，分别表示赤道和南回归线，冬至正午时，太阳光直射南回归线（太阳光线的延长线经过地心O）此时，太阳光线与地面水平线垂直，已知，则的度数是 ． 【变式5-6】（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，立定跳远比赛时，小明从点起跳落在沙坑内处，跳远成绩是米，则小明从起跳点到落脚点的距离 米．（填“大于”“小于”或“等于”） 【解答题型六】画垂线 例题6（24-25七年级下·北京·期中）作图题∶如图，四边形中，． (1)画线段，垂足为E；则点C到的距离为线段 的长度； (2)连接 ，并比较下列两条线段的长度： （用“>”或“<”或“=”填空）依据是 ． 【变式6-1】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，直线，相交于点O，画，且射线在的内部，平分． (1)根据题意，补全图形； (2)若，求的度数．（用含α的代数式表示） 【变式6-2】（24-25七年级下·山西运城·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点、点、点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下述要求画图． (1)画直线； (2)画线段； (3)过点画直线的垂线，垂足为； (4)在线段中，最短的线段为___________，依据为___________． 【变式6-3】（24-25七年级上·山西长治·期末）如图，网格中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形． 请在图中按下列要求作图： (1)①作直线，与直线交于点； ②过点作直线的垂线，垂足为； ③作线段的垂直平分线，交直线于点． (2)线段，，中，最短的线段是_________，理由是______． 【变式6-4】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）（1）在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，不用量角器与三角尺，仅用直尺，完成下列各题： ①过点P画的垂线，垂足为H； ②在直线上找一点C，使得直线； （2）在上图中线段的长度是点P到直线________的距离，线段________的长度是点C到直线的距离．这三条线段大小关系是________．（用“”号连接） 【变式6-6】（24-25七年级上·北京昌平·期末）如图，已知在同一平面内有三个点，，，请按要求完成下列问题． (1)连接，画射线； (2)取线段的中点A，过点A作的垂线，交于点； (3)量一量的度数，________°； (4)量一量线段与线段的长度，用等式表示线段与线段之间的数量关系是_________． 【变式6-7】（22-23七年级上·江苏盐城·期末）如图，点P是的边上的一个格点． (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)过点P画的垂线，交于点C； (3)线段 的长度是点到的距离； (4)线段、、这三条线段大小关系是 （用“”号连接），依据是 ． 【变式6-8】（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，网格线的交点叫格点，A、B、C都在格点上，请在方格纸上画图并回答下列问题： (1)过点A画的垂线，垂足为G；过点A作直线，垂足为A，直线交于点H； (2)线段的长度是点A到______的距离，线段______的长度是点H到直线的距离，所以线段的大小关系是______（用“”号连接），理由是______． 【变式6-9】（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，平面上有三个点A，，． (1)根据下列语句按要求画图． ①画直线，画射线，连接； ②过点作的垂线，垂足为； (2)______填“”“”或“”），理由是______． 【解答题型七】相交线综合之比值、倍数、和差问题 例题7（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，直线与相交于点，是的平分线，，． (1)如果，求的度数； (2)设，求证：． 【变式7-1】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，直线相交于点，． (1)求的度数； (2)过点作射线，使，求的度数． 【变式7-2】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，直线，交于点，过点作，在内作射线，． (1)的补角是___________； (2)若，求的度数． 【变式7-3】（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，直线相交于点，过点作射线，作射线平分． (1)若，求的度数； (2)若的度数比的度数大，求的度数． 【变式7-4】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图，直线、相交于点，，平分． (1)若，求的度数； (2)如果，则 （用含的代数式表示）； (3)若比大，求的度数． 【变式7-5】（24-25七年级下·陕西铜川·期中）如图，直线，相交于点，和互余，． (1)和垂直吗？为什么？ (2)若，求的度数． 【变式7-6】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）直线相交于点O，且，平分． (1)如图1，①的余角有_______．（填写所有符合情况的角） ②若，求的度数． (2)如图2，请直接写出与的数量关系为________． 【变式7-7】（2025七年级下·湖南·期中）如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式7-8】（24-25七年级下·河北沧州·期中）如图，直线相交于点，平分．若，求的度数． 【变式7-9】（24-25七年级下·云南昆明·期中）如图所示，直线相交于点，，垂足为，已知． (1)若平分，求的度数； (2)若的度数比的度数的倍多，试判断与垂直吗，并说明理由． 【变式7-10】（24-25七年级下·甘肃定西·期中）如图，直线、交于点O，已知于点O，平分，若，求的度数． 【变式7-11】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，直线相交于点平分． (1)若，求的度数； (2)，垂足为点，若，求证：是的平分线． 【解答题型八】相交线综合之求角度的其他类问题 例题8（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，作，求的度数． 【变式8-1】（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，已知、、相交于点O，，平分，，求、、的度数． 【变式8-2】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线交于点，作平分，求的度数． 【变式8-3】（24-25七年级下·河北邢台·期中）如图，直线相交于点O，若，． (1)试说明：射线平分； (2)求的度数． 【变式8-4】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）图，直线交于O点，作，过点O作射线，为的平分线，，求的度数． 【变式8-5】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线． (1)试判断和的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【变式8-6】（24-25八年级下·河北廊坊·期中）如图，为直线上一点，，平分，，垂足为点． (1)求的度数． (2)求证：平分． 【变式8-7】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，、相交于点O，为的平分线，，，，求出的度数． 【变式8-8】如图，直线和直线相交于点为内部的射线，平分平分． (1)若，求和的度数； (2)若的度数为，求的度数． 【变式8-9】（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知直线相交于点，点在内部，作射线． (1)如图①，，则_______；_______； (2)如图②，，则_______； (3)如图③，平分，求的度数及点到直线的距离． 【解答题型九】相交线综合培优（压轴题） 例题9（23-24七年级上·四川成都·期末）点为直线上一点，在直线同侧任作一个，使得． (1)如图1，过点作射线，当恰好为的角平分线时，请直接写出与之间的倍数关系，即______（填一个数字）； (2)如图2，过点作射线，使恰好为的角平分线，另作射线，使得平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，若，作射线，使得，求的度数． 【变式9-1】如图，直线、相交于点，过点作． (1)如图1，求证：； (2)如图2，将射线沿着直线翻折得到射线，即，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作，当时，求的度数． 【变式9-2】（23-24七年级下·北京·期末）如图，点在直线上，，射线在内部．    (1)如图1，当时，用量角器画出射线，则度数为 °； (2)如图2，当时，，画出相应图形，求度数． 【变式9-3】（23-24七年级上·江苏无锡·期末）已知，点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，则的度数为 ； (2)如图2，过点在直线下方作射线，使，作的角平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 【变式9-4】（23-24七年级上·江苏镇江·期末）【问题情境】 如图，点在直线上，．如果绕点按逆时针方向旋转到，那么点的位置可以用表示．      【操作发现】 （1）如图，将绕点按逆时针方向旋转后停止，旋转后的对应线段为，在旋转过程中当时，点的位置可以用______表示； 【实践探究】 规定：若一个角是另一个角的4倍时，则称这两个角互为“偶分角”． 将绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转到，当与重合时，停止运动． （2）是否存在某一时刻，使得与互为“偶分角”．若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． （3）当旋转10秒后，射线从出发，绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，当旋转______秒后，与互为“偶分角”． 【变式9-5】（23-24七年级上·广西桂林·期末）综合与探究 【提出问题】小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，，请作一个，使与互余（），即． 【动手操作】小明是这样思考的：如图2所示，若射线在的内部，则，所以射线在的外部；然后通过构造直角，找到的余角，如图3所示；进而分析要使与互余，只需． 因此，小明找到了解决问题的方法：过点O作射线的垂线，利用量角器作出的平分线，这样就得到与互余．请你帮助小明完成下列推理说明： （1）已知：如图3，，射线平分．请说明与互余． 解：理由：因为射线平分（已知）， 所以______（角平分线的定义）， 由于，即______， 所以∠AOC=∠BOC=90°（______），即与互余． （2）【类比操作】如图4，若，参考小明的画法，请在图4中作出一个，使与互补（），并直接写出的度数． （3）【拓展延伸】如图5，已知，若与互补，射线平分，射线平分．请根据题意，补全图形，并求的度数． 【变式9-6】（23-24七年级上·江西南昌·期末）点是直线上一点，是直角，平分．    (1)如图1，若，求的度数； (2)将图1中的绕点按顺时针方向旋转至图2所示位置．探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【变式9-7】（23-24七年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】已知O为直线上的一点，以O为顶点作，射线平分． (1)【问题再现】如图1，射线均在直线上方．若，求和的度数； (2)【问题推广】如图2，射线在直线下方，射线在直线上方．请求出与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展提升】如图3，射线均在直线下方．求的度数． 【变式9-8】（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，是直线上的一点，，平分，，． (1)如图，若，则的度数为____________； (2)探究在绕点旋转过程中，求的度数；（用含有的代数式表示） (3)在内部有一条射线是的角平分线，求的度数．（用含有的代数式表示） 【变式9-9】（23-24七年级上·江苏镇江·期末）如图，已知，垂足为点O，直线经过点O． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，若射线从射线处出发，绕着点O按每秒的速度逆时针旋转，射线从射线处出发，绕着点O按每秒的速度逆时针旋转，两条射线同时出发，当射线与射线第一次相遇时，停止运动． ①经过　　　　秒，射线与射线第一次相遇； ②经过　　　　秒，射线、、中的某一条射线恰好是其他两条射线构成的角的角平分线． 1．（24-25七年级下·浙江衢州·期中）如图，直线，相交于点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北张家口·期中）已知三角形，用直角三角板过点A作直线的垂线，下列三角板的位置摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，某工程队计划把河水引到水池A中，他们先过点A作，垂足为B，为河岸，然后沿开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 D．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 4．（24-25七年级下·北京·期中）如图，直线，相交于点，，平分，，则下列结论中不正确的是（） A．比大 B． C．与互为余角 D．等于 5．（2025·山东·二模）如图，已知直线与交于点，，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25六年级下·山东东营·期中）以下说法中：（1）同角或等角的余角相等；（2）在同一平面内，过一点有两条直线与已知直线垂直；（3）对顶角相等；（4）不相交的两条直线叫平行线．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，已知直线，相交于点，平分，平分，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图，直线是起跳线，脚印是小明跳落沙坑时留下的痕迹，体育老师测得线段的长度作为小明跳远的成绩，这样测量的依据是 ． 9．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，，，且，，，则点C到直线的距离是 ． 10．（24-25七年级下·山东济宁·期中）在同一平面内，已知直线，相交于点O，，则的度数为 ． 11．（24-25七年级下·广东东莞·期中）如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点B处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，，则的度数为 ． 12．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，直线，交于点O ，平分，，若， 则的度数为 ． 13．（24-25九年级下·江苏泰州·期中）已知和互为邻补角，且，平分，射线在内部，且，，，则 ． 14．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，直线、相交于点，过点作．将射线沿着直线翻折得到射线，即，求证：平分． 15．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，已知直线、相交于点O，，点O为垂足，平分．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 16．（24-25七年级下·河南焦作·期中）如图，由相同边长的小正方形组成的网格图形，点，，都在格点上． (1)在网格内过点画与线段平行且相等的线段； (2)过点画直线的垂线，并注明垂足为点；过点画直线的垂线，交于点； (3)线段的长度是点________到直线________的距离，点到直线的距离是________； (4)线段，，中，最短的是________，判断依据是________． 17．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图①，和都是直角． (1)如果，那么_________． (2)找出图①中除和之外相等的角：如果，它们还会相等吗？ (3)如果变小，那么如何变化？请说明理由． (4)在图②中利用能够画直角的工具再画一个与相等的角．（添上适当的字母，明确回答出与相等的角） 18．（24-25七年级上·四川巴中·期末）如图，直线交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 1 / 84 学科网（北京）股份有限公司 $$