第02讲 平行线及其判定（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版2024）

第02讲 平行线及其判定 【题型1 平面内两直线的位置关系】 【题型2用直尺、三角板画平行】 【题型3 平行线公理及推论】 【题型4 平行线判定-同位角相等，两直线平行】 【题型5 平行线判定-内错角相等，两直线平行】 【题型6 平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】 考点1：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 【题型1 平面内两直线的位置关系】 【典例1】（2024七年级上·全国·专题练习）同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直 【变式1-1】下面说法中正确的个数为（    ） 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 两条直线没有公共点就平行； 同一平面内不平行的两条直线一定相交． A． B． C． D． 【变式1-2】如图，四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段平行，请借助直尺，判断该线段是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，若将一张长方形纸片沿图示方向对折两次，则产生的折痕与折痕间的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．相交但不垂直 【题型2用直尺、三角板画平行】 【典例2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，在内有一点P． (1)过P画； (2)过P画． 【变式2-1】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知． (1)过点画，垂足为； (2)过点画，交于点． 【变式2-2】（23-24七年级下·四川成都·期末）下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 【变式2-3】（23-24七年级上·江苏连云港·期末）如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    考点2：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 注意： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性 【题型3 平行线公理及推论】 【典例3】（23-24七年级下·全国·课后作业）下面推理正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3-1】已知，若由此得出，则直线a和c应满足的位置关系是（     ） A．在同一个平面内B．不相交 C．平行或重合 D．不在同一平面内 【变式3-2】下列说法正确的有（    ） ①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③若直线，，则． A．①② B．③ C．①②③ D．② 【变式3-3】如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是 考点3：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【题型4 平行线判定-同位角相等，两直线平行】 【典例4】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线，，被直线所截，平分，已知，求证：． 【变式4-1】如图，在直线上有C，D两点，过点C作，过点D作，已知，求证：． 【变式4-2】如图所示，直线，相交于点O，平分，平分，，垂足为H，与平行吗？说明理由．    【变式4-3】如图，点在射线上，点在射线上，，．求证：．（要求每步写出推理依据） 【题型5 平行线判定-内错角相等，两直线平行】 【典例5】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 解：（已知）， （_______） （_______）． ∵平分， _______（_______）． 平分， _______， 得（_______）， （_______）． 【变式5-1】（23-24七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）完成下面推理及填空： 已知：如图，在中，于点，是上一点，且，求证：． 证明：（已知） （已知） （ ） （_____ _） 【变式5-2】（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，平分交于点，，判断与的位置关系，并说明理由． 【变式5-3】（23-24七年级下·四川泸州·期末）已知：如图，，和互余，于点．求证： 请将下面的推理过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴（ ）， ∴ ， 又∵和互余（已知）， ∴ ， ∴ （ ）， ∵（已知）， ∴， ∴（ ，两直线平行）． 【题型6 平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】 【典例6】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，若，，，，试说明． 【变式6-1】（23-24八年级上·四川达州·期末）已知：如图，直线a，b被直线c所截，且．求证：． 【变式6-2】（23-24七年级下·广东广州·期末）完成下面的证明： 如图，平分，平分，且． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（     ）． 又∵平分（     ）， ∴_____ _ （     ）． （     ）． 又∵（已知）， （_____ _）（     ）． ∴（     ）． 【变式6-3】（23-24七年级下·云南·期中）如图，在四边形中，，平分，且，．与平行吗？试写出推理过程． 1．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线被直线所截，下列选项中能得到的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）已知是的同旁内角，，则（） A． B． C．或 D．的大小不确定 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同位角相等 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，下列推论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）在作业纸上，要过点P作直线a的平行线b，嘉嘉和淇淇给出了下面两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ，Ⅱ都可行 D．Ⅰ，Ⅱ都不可行 6．（2023·广东·模拟预测）画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线的理论依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 7.（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等 8．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知，则 ∥ ，理由是 9．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在探索直线平行的条件时，将木条a，c固定，使，转动木条b，当 时，木条a与木条b平行． 10．（23-24七年级下·甘肃武威·阶段练习）如图，已知，，则．完成下面的说理过程（填空）． 解：将的邻补角记作，则 ＝ （ ）． 又∵， ∴（ ）． 又∵， ∴ ＝ （等量代换）， ∴（ ）． 11．（23-24七年级下·广东佛山·期中）请完善下列题目的解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 已知：如图，，且，求证：． 解：∵，， ∴（            ） ∴，， 又∵（已知） ∴______＝______（              ） ∴（              ） 12．（23-24七年级下·河南焦作·期中）如图，已知平分，平分，且． (1)与平行吗？ 为什么？ (2)请判断与的位置关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 平行线及其判定 【题型1 平面内两直线的位置关系】 【题型2用直尺、三角板画平行】 【题型3 平行线公理及推论】 【题型4 平行线判定-同位角相等，两直线平行】 【题型5 平行线判定-内错角相等，两直线平行】 【题型6 平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】 考点1：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 【题型1 平面内两直线的位置关系】 【典例1】（2024七年级上·全国·专题练习）同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直 【答案】C 【分析】本题考查平面内直线的位置关系，根据平面内两条直线的位置关系进行判断即可． 【详解】解：同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是相交或平行； 故选C． 【变式1-1】下面说法中正确的个数为（    ） 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 两条直线没有公共点就平行； 同一平面内不平行的两条直线一定相交． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线公理，垂线的性质，两条直线的位置关系，根据平行线公理、垂线的性质及两条直线的位置关系逐一判断即可求解，掌握平行线公理、垂线的性质及两条直线的位置是解题的关键． 【详解】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该说法正确，符合题意； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，不合题意； 在同一平面内，两条直线没有公共点就平行，原说法错误，不合题意； 同一平面内不平行的两条直线一定相交，该说法正确，符合题意； ∴说法正确的有个， 故选：． 【变式1-2】如图，四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段平行，请借助直尺，判断该线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同一平面内，两条不相交的直线，叫做平行线，即可判断， 本题考查了平行的定义，解题的关键是：熟练掌握平行线的定义． 【详解】解：用直尺分别作，，，，的延长线， 其中只有的延长线不与相交， 故选：． 【变式1-3】如图，若将一张长方形纸片沿图示方向对折两次，则产生的折痕与折痕间的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，即可． 【详解】∵长方形对折两次，产生的折痕与折痕间的位置如下：    ∴产生的折痕与折痕间的位置关系是平行， 故先：A． 【题型2用直尺、三角板画平行】 【典例2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，在内有一点P． (1)过P画； (2)过P画． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查画平行线： （1）借助三角板和直尺画平行线即可； （2）借助三角板和直尺画平行线即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求； 【变式2-1】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知． (1)过点画，垂足为； (2)过点画，交于点． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了简单的作图和平行线的性质等知识点， （1）由垂线的作图方法进行作图，即可求出图形； （2）由角的作图方法和平行线的性质，即可求出图形； 熟练掌握作图步骤和平行线的性质是解决此题的关键． 【详解】（1）如图所示： 将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿着已知直线移动三角板，让三角板的另一直角边与直线外的已知点Q重合，沿着另一条直角边画经过已知点的直线交于点D，‌ ∴即为所求； （2）如图所示： 用三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺紧靠三角板另一条直角边，沿着直尺平移三角板，使与已知直线重合的直角边通过已知点Q，沿着这条直角边画一条直线与已知射线交于点E， ∴即为所求． 【变式2-2】（23-24七年级下·四川成都·期末）下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③， 故答案为：①②③． 【变式2-3】（23-24七年级上·江苏连云港·期末）如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 【详解】解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 考点2：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 注意： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性 【题型3 平行线公理及推论】 【典例3】（23-24七年级下·全国·课后作业）下面推理正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理的推论，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”逐项判断即可，掌握平行公理的推论是解题关键． 【详解】解：A、，都和平行，应该推出的是，而非，故错误，不符合题意； B、，与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意； C、，都和平行，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”可推出是，故正确，符合题意； D、，与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3-1】已知，若由此得出，则直线a和c应满足的位置关系是（     ） A．在同一个平面内B．不相交 C．平行或重合 D．不在同一平面内 【答案】C 【分析】根据“平行线的传递性”即可求解． 【详解】解：①若， ， ， 可得； ②若直线a和c重合， 则由得：， 可得， 综上：直线a和c平行或重合， 故选：C． 【点睛】本题考查“平行线的传递性”．熟记相关结论是解题关键． 【变式3-2】下列说法正确的有（    ） ①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③若直线，，则． A．①② B．③ C．①②③ D．② 【答案】B 【分析】根据同一平面内，任意两条直线的位置关系是相交、平行；过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可． 【详解】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③若直线，，则，说法正确； 综上分析可知，正确的有③，故B正确． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行线，关键是掌握平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【变式3-3】如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点N，P，M在同一条直线上， 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 考点3：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【题型4 平行线判定-同位角相等，两直线平行】 【典例4】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线，，被直线所截，平分，已知，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查平行线的判定、角平分线的性质和平角定义，根据角平分线得，结合已知得，那么，，利用同位角相等两直线平行即可得． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】如图，在直线上有C，D两点，过点C作，过点D作，已知，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，先证明，根据同位角相等，两直线平行，说明即可． 【详解】证明：， ， 又， ， 即， ． 【变式4-2】如图所示，直线，相交于点O，平分，平分，，垂足为H，与平行吗？说明理由．    【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 由平分，平分，可得，，由可得，即，由可得． 【详解】解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，即， ∵ ， ∴， ∴ ∴． 【变式4-3】如图，点在射线上，点在射线上，，．求证：．（要求每步写出推理依据） 【答案】见解析 【分析】此题考查的是平行线的判定方法，关键是熟悉同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据同角的补角相等，以及等量关系，结合同位角相等，两直线平行即可求解． 【详解】证明：（已知）， （平角定义）， （同角的补角相等）， （已知）， （等量代换）． （同位角相等，两条直线平行）． 【题型5 平行线判定-内错角相等，两直线平行】 【典例5】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 解：（已知）， （_______） （_______）． ∵平分， _______（_______）． 平分， _______， 得（_______）， （_______）． 【答案】邻补角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行；理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，由题意可求得，再由角平分线的定义得，，从而得，即可判定． 【详解】解：∵（已知）， （邻补角的定义）， ∴（同角的补角相等）． ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∵平分， ∴， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：邻补角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【变式5-1】（23-24七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）完成下面推理及填空： 已知：如图，在中，于点，是上一点，且，求证：． 证明：（已知） （已知） （ ） （______） 【答案】，，同角的余角相等，内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据垂直的定义和同角的余角相等，可得到，最后根据内错角相等两直线平行即可判定，从而得到答案． 【详解】证明：（已知） （已知） （同角的余角相等） （内错角相等，两直线平行） 故答案为：；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【变式5-2】（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，平分交于点，，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．由平分可得，再由可得，即可说明． 【详解】解：，理由如下： 平分， ， ， ， ． 【变式5-3】（23-24七年级下·四川泸州·期末）已知：如图，，和互余，于点．求证： 请将下面的推理过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴（ ）， ∴ ， 又∵和互余（已知）， ∴ ， ∴ （ ）， ∵（已知）， ∴， ∴（ ，两直线平行）． 【答案】垂直的定义；；；；同角的余角相等；内错角相等 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．由，和互余，利用垂直的定义和同角的余角相等得到，再由，可得，利用内错角相等两直线平行即可得证． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴， 又∵和互余（已知）， ∴， ∴（同角的余角相等）， ∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义；；；；同角的余角相等；内错角相等． 【题型6 平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】 【典例6】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，若，，，，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查同旁内角互补、平行公理判断两直线平行，由可得，又由可得，则． 【详解】解：，，，， ， ， ∵， ∴， ． 【变式6-1】（23-24八年级上·四川达州·期末）已知：如图，直线a，b被直线c所截，且．求证：． 【答案】见详解 【分析】此题考查了对顶角的性质和平行线的判定，掌握相关基本性质是解题的关键． 根据对顶角相等并结合题意得到，再根据平行线的判定即可求解． 【详解】证明：由对顶角相等可得：， ∵， ∴， ∴． 【变式6-2】（23-24七年级下·广东广州·期末）完成下面的证明： 如图，平分，平分，且． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（    ）． 又∵平分（    ）， ∴______（    ）． （    ）． 又∵（已知）， （______）（    ）． ∴（    ）． 【答案】角平分线的定义；已知；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 【变式6-3】（23-24七年级下·云南·期中）如图，在四边形中，，平分，且，．与平行吗？试写出推理过程． 【答案】平行，见详解 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行是解题的关键；根据角平分线的定义，可得，再由同旁内角互补，即可证明平行． 【详解】解：与平行，理由如下： 平分，， ， ， ， ． 1．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线被直线所截，下列选项中能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：∵，，故A符合题意； 由，不能判定，故B不符合题意； 由，不能判定，故C不符合题意； 由，不能判定，故D不符合题意． 故选： A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）已知是的同旁内角，，则（） A． B． C．或 D．的大小不确定 【答案】D 【分析】本题考查了同旁内角互补的前提条件是两直线平行．两直线平行时同旁内角互补，不平行时无法确定同旁内角的大小关系． 【详解】解：同旁内角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系，只有两直线平行时，同旁内角才互补． 故选：D． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据平行线的判定进行解答即可． 【详解】解：由题意知，木工用图中的角尺画平行线的依据是：同位角相等，两直线平行， 故选：A． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，下列推论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法中“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．根据题目中的图形位置，逐个分析选项中的同旁内角互补能否判定对应的两条直线平行，可以得到只有正确，其余均错误，即可得出正确选项． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，无法推出或，故D选项错误． 故选：C． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）在作业纸上，要过点P作直线a的平行线b，嘉嘉和淇淇给出了下面两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ，Ⅱ都可行 D．Ⅰ，Ⅱ都不可行 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定是关键； 方案Ⅰ是根据同位角相等判定平行，方案Ⅱ是根据垂直于同一直线的两条直线平行即可得出答案． 【详解】由图知：方案Ⅰ是根据同位角相等，判定；方案Ⅱ是根据同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，判定． 故选C． 6．（2023·广东·模拟预测）画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线的理论依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理即可判断求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，按住尺身，使尺头靠紧图画板的边框推移丁字尺是为了使同位角相等， ∴利用丁字尺画平行线的理论依据是：同位角相等，两直线平行， 故选：． 7.（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，由，即可得出福大街与平安大街互相平行，即内错角相等，两直线平行． 【详解】解：∵， ∴福大街与平安大街互相平行， 判断的依据是：内错角相等，两直线平行， 故选：B． 8．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知，则 ∥ ，理由是 【答案】 同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行解答即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴（同位角相等，两直线平行） 故答案为：；；同位角相等，两直线平行． 9．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在探索直线平行的条件时，将木条a，c固定，使，转动木条b，当 时，木条a与木条b平行． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据题意可知时，木条a与木条b平行．即可得出答案． 【详解】解：如图，木条转动到时．木条a与木条b平行． 当时，． 即时，木条a与b平行． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·甘肃武威·阶段练习）如图，已知，，则．完成下面的说理过程（填空）． 解：将的邻补角记作，则 ＝ （ ）． 又∵， ∴（ ）． 又∵， ∴ ＝ （等量代换）， ∴（ ）． 【答案】180；平角的定义；同角的补角相等；，；同位角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的判定，即可求解， 本题考查了平行线的判定，解题的关键是：熟练掌握相关定理． 【详解】解：将的邻补角记作，则 （平角的定义）． 又∵， ∴（同角的补角相等）． 又∵， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：180；平角的定义；同角的补角相等；，；同位角相等，两直线平行． 11．（23-24七年级下·广东佛山·期中）请完善下列题目的解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 已知：如图，，且，求证：． 解：∵，， ∴（            ） ∴，， 又∵（已知） ∴______＝______（              ） ∴（              ） 【答案】垂直的定义；；；；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了垂线的定义、等角的余角相等、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据垂线的定义可得，得出，，结合已知，根据“等角的余角相等”，得出，根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴（垂直的定义）， ∴，， 又∵（已知）， ∴（等角的余角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义；；；；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 12．（23-24七年级下·河南焦作·期中）如图，已知平分，平分，且． (1)与平行吗？ 为什么？ (2)请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法，是解题的关键． （1）根据角平分线的性质结合，推出，即可得出结论； （2）根据平行线的性质结合角平分线，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：平行，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$