精品解析：2025年河南省周口市沈丘县两校联考中考模拟数学试题

2025年河南省普通高中招生联考试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，比小数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 如图，直线与 相交于点 O，是的平分线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 宋代诗人周敦颐在《爱莲说》中写到“出淤泥而不染”．如图，小红将这六个字分别填写在正方体的展开图上，然后将展开图折叠成正方体，则“淤”字相对面上的字是（ ） A. 出 B. 而 C. 不 D. 染 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中，E是边上的点，连接交于点F，若，，则的长是（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 6. 《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合．”可知6粟圭，10圭撮，10撮抄，10抄勺，10勺合，则4合为（ ） A. 粟 B. 粟 C. 粟 D. 粟 7. 如图，在由边长为的小正方形组成的网格中有一个不规则图形（图中阴影部分）．数学小组想了解阴影部分的面积是多少，采取了以下办法：随机地朝网格投掷飞镖，并记录飞镖落在阴影部分的次数（飞镖落在网格区域外或阴影部分与白色部分的交接处不计试验结果），若干次有效试验的结果如下表：则不规则图形的面积约为（ ） 试验总次数 50 100 150 200 300 400 500 落在阴影部分的次数 23 50 84 110 168 220 275 落在阴影部分的频率 0.46 0.50 0.56 0.55 0.56 055 0.55 A. B. C. D. 8. 下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的边在x轴上，，将沿y轴向上平移得到，若恰好经过边的中点M，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在血浆内的浓度随着时间的变化而变化．如图，为一名成人患者在单次口服1个单位某药物后，体内血药浓度与时间关系图，下列说法错误的是（ ） A. 血药浓度在1小时时达到最高 B. 当血药浓度为时，处于药物中毒 C. 当血药浓度小于时，此时药物无效 D. 血药浓度随时间的增大而逐渐减小 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若 在实数范围内有意义，则实数x最小整数值为________． 12. 已知点，在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是________． 13. 新郑红枣是河南省郑州市新郑的特色地方品种，为全国农产品地理标志．某果农红枣的销售数据如下表所示，该果农所种红枣的平均售价为________元． 类型 大果 中果 小果 单价（元/斤） 15 12 8 销售比例 14. 如图①，是圆形三翼旋转玻璃门，图②是旋转门俯视图示意图，它是由外围的圆O和三个长为2米的隔风玻璃组成，外围的圆留有两个关于圆心O中心对称的通道和，圆内的三个隔风玻璃绕圆心O转动，为了使每个隔风玻璃之间的空间均匀，将隔风玻璃的夹角设置为．为了使三个隔风玻璃在旋转的过程中，始终使大厅内外空气隔离，从而起到对大厅内保温的作用，则通道的长度最长为________米． 15. 如图，在平行四边形中，， ，点P是边上的动点，连接，以为直角边向右侧构造等腰直角且． （1）连接，当时，的长是________； （2）当点P从点A 运动到点B 的过程中，连接，则的最小值是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 17. 某校为促进学生对于中文历史发展的学习与了解，在全校范围内开展了以“感受中文魅力，弘扬中华文化”为主题的知识普及活动，活动前，在全校范围内随机抽取了名学生进行了文化知识测试（满分分，得分为整数），活动结束后，又对这些同学进行了文化知识测试，将两次测试成绩进行整理分析如下：知识普及活动后被抽取学生的测试成绩如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，根据以上信息，解答下列问题： 知识普及活动前被抽取学生的测试成绩条形统计图 知识普及活动前后被抽取学生测试成绩统计表 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 知识普及活动前 知识普及活动后 （1）表中 ， ； （2）若该校共有名学生，请估计知识普及活动后该校测试成绩在分及以上的学生人数； （3）请你结合上述信息对该校知识普及活动的效果进行评价． 18. 位于郑州龙湖内环路的斜拉桥，寓意为“鼎盛中原”，也是国内首座“鼎”形斜拉桥，不论从东西南北哪个方向看上去，都能一眼看到这个“鼎”形斜拉桥．周末明明和亮亮进行课外实践作业，准备测量该桥主塔的高度（塔顶到桥面的距离），测量方案及数据如下： 活动主题：测量“鼎”形斜拉桥主塔的高度． 测量方案：他们两人站在旁边与“鼎”形桥桥面高度相同的桥的同侧，在各自位置测得“鼎”形斜拉桥主塔顶部的仰角，以及两人之间的距离，并记录． 测量示意图：如图， 表示“鼎”形桥主塔的高度，C，D分别表示明明、亮亮的位置，点C，D与点B在同一水平直线上，且点A，B，C，D在同一竖直平面内，． 测量工具：皮尺，测角仪． 测量数据∶两人的距离米，，． 问题解决：请你根据他们的测量方案及数据，计算该“鼎”形斜拉桥主塔的高度．（结果精确到1米；参考数据： ，） 19. 我们学习了应用尺规“平分任意一个已知角”，小明对此问题展开进一步探究学习． 【材料阅读】 如图①，商水寿圣寺塔，位于河南省周口市商水县，始建于北宋明道二年．商水寿圣寺塔为九级楼阁式砖塔，平面呈正六边形，塔体从底至顶渐收匀称，成正六棱体锥形．工匠在制作底座和支撑木柱的连接结构时，需要多次作角平分线以实现对称，从而使得结构受力均衡，过程中充分体现工匠的数学应用能力．当时没有量角器，工匠仅凭一把“角尺”（如图②所示），即可将任意角进行平分，下面是应用“角尺”作角平分线的一种方法： 已知． 第一步：分别在的边 和上，用带有刻度的“角尺”测量得到点 C 和 D，使得； 第二步：连接，得到线段； 第三步：用“角尺”作出过点O 与 垂直的射线 ， 就是 的平分线． 【探究与应用】 （1）小明对作图原理进一步探究，第二步作图完成后，可得为 三角形；第三步作图完成后，平分 的依据是： ； （2）请参阅上述材料，借助“角尺”，作出图③木料中的平分线； 【拓展探究】 （3）小明进一步研究发现，用这种方法作“平分任意一个已知角”存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差．如图④，在正五边形． 中，请用无刻度的直尺和圆规作出． 的平分线．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 汽车尾气、工业烟尘和生活排放烟尘是城市大气污染的主要来源，绿化树种具有滞纳和过滤大气污染颗粒物的能力，因此成为城市绿化的常用树种，其中白蜡树和榆树因其生长迅速，树叶繁茂从而被广泛种植．已知1棵榆树和1棵白蜡树的滞尘总量为9千克，2棵榆树和3棵白蜡树的滞尘总量为22千克． （1）每棵榆树和白蜡树的滞尘量分别是多少千克？ （2）一条新建的城市道路需要栽种这两种树，若一棵榆树的种植成本为500元，一棵白蜡树的种植成本为300元，根据道路长度得出栽种两种树木的总数为50棵，要满足滞尘总量不少于230千克，且种植成本尽可能低，则应如何选择这两种树进行种植？ 21. 图①是一款儿童玩具———声光跑跑小蜗牛，图②是其侧面示意图， 是蜗牛壳，是蜗牛尾巴， 是蜗牛身体，与相切于点，是与的交点，连接，是的直径，且三点共线． （1）求证∶ （2）厂家测得的直径为，，点的离地高度． ，求配套该玩具的包装盒长度的最小值．（备注：包装盒长度不小于的长度） 22. 已知抛物线 与x轴交于，B两点（点A在点 B的左侧），与y轴交于点 C，． （1）求b和c的值； （2）一条和x轴平行的直线与该抛物线交于点 ，，与直线交于点，若求 的最大值． 23. 查阅资料：发现打印纸、课本封面等矩形的长与宽之比为 ，在房屋建筑中也存在这样的比例现象，目的是使物体更加美观，通常这样的矩形被定义为“标准矩形”． 提出问题： （1）如图①，在正方形中，连接，以点A为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点 E，以为边作矩形，则矩形 （填“是”或“不是”）标准矩形； （2）深入探究： 已知矩形 是标准矩形，将矩形 绕点 A 逆时针旋转，得到矩形． ①如图②，当第一次经过点 D时，旋转角的度数为 ； ②如图③，在矩形旋转的过程中，直线 交于点 M，猜测的数量关系，并给出证明； ③在矩形旋转的过程中，直线交于点M，连接，当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年河南省普通高中招生联考试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，掌握①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小成为解题的关键． 有理数大小比较的法则解答即可． 【详解】解：根据有理数比较大小的方法， 可得， 所以比小的数是． 故选：D． 2. 如图，直线与 相交于点 O，是的平分线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查邻补角、角平分线，根据邻补角的定义，由，得．再根据角平分线的定义，由为的平分线，得． 【详解】解：∵， ∴． ∵为的平分线， ∴． 故选：A． 3. 宋代诗人周敦颐在《爱莲说》中写到“出淤泥而不染”．如图，小红将这六个字分别填写在正方体的展开图上，然后将展开图折叠成正方体，则“淤”字相对面上的字是（ ） A. 出 B. 而 C. 不 D. 染 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“淤”字相对面上的字是“不”， 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方、平方差公式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方、平方差公式逐项判断即可． 【详解】解：A． ，计算正确，符合题意； B． ，故该选项计算错误，不符合题意； C． ，故该选项计算错误，不符合题意； D． ，故该选项计算错误，不符合题意． 故选A． 5. 如图，在菱形中，E是边上的点，连接交于点F，若，，则的长是（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定， 根据菱形的性质得，再说明，可得，然后代入数值可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6. 《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合．”可知6粟圭，10圭撮，10撮抄，10抄勺，10勺合，则4合为（ ） A. 粟 B. 粟 C. 粟 D. 粟 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1数， 根据进率求出4合等于240000粟，再写成的形式，其中，n为正整数． 【详解】解：，，， ∴． 故选：B． 7. 如图，在由边长为的小正方形组成的网格中有一个不规则图形（图中阴影部分）．数学小组想了解阴影部分的面积是多少，采取了以下办法：随机地朝网格投掷飞镖，并记录飞镖落在阴影部分的次数（飞镖落在网格区域外或阴影部分与白色部分的交接处不计试验结果），若干次有效试验的结果如下表：则不规则图形的面积约为（ ） 试验总次数 50 100 150 200 300 400 500 落在阴影部分的次数 23 50 84 110 168 220 275 落在阴影部分的频率 0.46 0.50 0.56 0.55 0.56 0.55 0.55 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何概率、利用频率估计概率，利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率，再求得整个图形面积，进而可得答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当试验次数逐渐增大时，落在阴影部分的频率稳定在0.55附近， ∴随机地朝网格投掷飞镖，估计落在阴影部分的概率为0.55， 又整个图形面积为， ∴不规则图形的面积约为， 故选：C． 8. 下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，求出各选项中方程的根的判别式的值，取的选项即可． 【详解】解：A．∵， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B．∵， ∴ ∴该方程没有实数根，符合题意； C．变形为 ∴， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D．∵， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 故选：B． 9. 如图，的边在x轴上，，将沿y轴向上平移得到，若恰好经过边的中点M，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，直角三角形的性质，勾股定理，平移的性质，分别过点作，垂足分别为，利用直角三角形的性质及勾股定理求出，，可得沿y轴向上平移个单位得到，根据平移的性质即可解答． 【详解】解：分别过点作，垂足分别为， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴沿y轴向上平移个单位得到， ∴，即， 故选：D． 10. 血药浓度是指药物吸收后在血浆内总浓度，药物在血浆内的浓度随着时间的变化而变化．如图，为一名成人患者在单次口服1个单位某药物后，体内血药浓度与时间关系图，下列说法错误的是（ ） A. 血药浓度在1小时时达到最高 B. 当血药浓度为时，处于药物中毒 C. 当血药浓度小于时，此时药物无效 D. 血药浓度随时间的增大而逐渐减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象．根据函数图象提供的信息逐项判断即可． 【详解】解：A、血药浓度在1小时时达到最高，本选项不符合题意； B、当血药浓度为时，处于药物中毒，本选项不符合题意； C、当血药浓度小于时，此时药物无效，本选项不符合题意； D、血药浓度随着时间逐渐延长，血药浓度先增大后减小，本选项符合题意； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若 在实数范围内有意义，则实数x的最小整数值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握相关知识为解题关键，先根据二次根式有意义的条件得到，求出不等式的解集即可得出结果． 【详解】解：在实数范围内有意义， ， ， 则实数x的最小整数值为2， 故答案为：2． 12. 已知点，在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质． 由可得在各象限内y随x增大而减小，由可得点A在第三象限，点B在第一象限，进而求解． 【详解】解：∵， ∴图象在一，三象限，且在每一象限内，y随x增大而减小， ∵，， ∴点A在第三象限，点B在第一象限， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 新郑红枣是河南省郑州市新郑的特色地方品种，为全国农产品地理标志．某果农红枣的销售数据如下表所示，该果农所种红枣的平均售价为________元． 类型 大果 中果 小果 单价（元/斤） 15 12 8 销售比例 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求加权平均数，掌握加权平均数的定义成为解题的关键． 根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：该果农所种红枣的平均售价为． 故答案为：． 14. 如图①，是圆形三翼旋转玻璃门，图②是旋转门俯视图的示意图，它是由外围的圆O和三个长为2米的隔风玻璃组成，外围的圆留有两个关于圆心O中心对称的通道和，圆内的三个隔风玻璃绕圆心O转动，为了使每个隔风玻璃之间的空间均匀，将隔风玻璃的夹角设置为．为了使三个隔风玻璃在旋转的过程中，始终使大厅内外空气隔离，从而起到对大厅内保温的作用，则通道的长度最长为________米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．由题意得可得与的最大值的和为，结合和关于圆心中心对称，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴与的最小值为， ∴与的最大值的和为， ∵和关于圆心中心对称， ∴， ∴，最大值为， 则通道的长度最长为． 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，， ，点P是边上的动点，连接，以为直角边向右侧构造等腰直角且． （1）连接，当时，的长是________； （2）当点P从点A 运动到点B 的过程中，连接，则的最小值是________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边的性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、一次函数与几何的综合等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据直角三角形中的边角关系得：、，由已知可知： 点在上，，从而完成解答； （2）设，以点A为原点、所在直线建立平面直角坐标系，分别过点D、作直线的垂线段，则，由(1)知：，通过分类讨论：当、、三种情况，由“”证明得到点的坐标，随着点P的运动，点在直线上运动，由“垂线段最短”知：当与直线垂直时，的值最小，从而求出的最小值． 【详解】解：（1）∵在平行四边形中，， ， ∴如图：当时，，， ∴，， ∵等腰直角且， ∴点在上，， ∴， ∴； 故答案为：． （2）当点P从点A运动到点B的过程中，设，以点A为原点、所在直线建立平面直角坐标系，分别过点D、作直线的垂线段，则， 由(1)知：， 如图：当时，则，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，这里； 当时，由(1)知： 当点在上，， 此时，，即，这里； 如图：当时，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，这里； 综上所述，随着点P的运动，点在直线上运动； ∴当与直线垂直时，的值最小， 此时直线与x轴的夹角是，从而与的夹角也是， 设直线与的交点为G，则， 当时，则，解得：， ∴， 在中，． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握相关运算顺序以及运算方法为解题关键． （1）先根据乘方，绝对值的意义，零指数幂的运算法则计算各项，再从左往右以此计算即可； （2）先通分括号里的式子，再将除法化为乘法再约分即可． 【详解】解∶（1） ； （2） ． 17. 某校为促进学生对于中文历史发展的学习与了解，在全校范围内开展了以“感受中文魅力，弘扬中华文化”为主题的知识普及活动，活动前，在全校范围内随机抽取了名学生进行了文化知识测试（满分分，得分为整数），活动结束后，又对这些同学进行了文化知识测试，将两次测试成绩进行整理分析如下：知识普及活动后被抽取学生的测试成绩如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，根据以上信息，解答下列问题： 知识普及活动前被抽取学生的测试成绩条形统计图 知识普及活动前后被抽取学生的测试成绩统计表 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 知识普及活动前 知识普及活动后 （1）表中 ， ； （2）若该校共有名学生，请估计知识普及活动后该校测试成绩在分及以上的学生人数； （3）请你结合上述信息对该校知识普及活动的效果进行评价． 【答案】（1），； （2）名； （3）知识普及活动后学生测试成绩的平均数、众数、中位数均高于知识普及活动前，说明知识普及活动取得了良好的效果（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】本题考查了统计图、中位数、利用样本估计总体等知识点，解题的关键是看懂所给统计图，掌握平均数和众数的定义，能够利用样本估计总体思想解决问题． （）观察图表，根据中位数与众数的概念即可求解； （）利用样本估计总体思想求解； （）从平均数，中位数，众数角度回答，言之有理即可． 【小问1详解】 解：由知识普及活动前被抽取学生的测试成绩条形统计图可知， 中位数为第，名学生的平均数，即， ∵知识普及活动前后被抽取学生的测试成绩分出现次数最多， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：估计知识普及活动后该校测试成绩在分及以上的学生人数为（名）， 答：估计知识普及活动后该校测试成绩在分及以上的学生人数为名； 【小问3详解】 解：知识普及活动后学生测试成绩的平均数、众数、中位数均高于知识普及活动前，说明知识普及活动取得了良好的效果．（答案不唯一，合理即可） 18. 位于郑州龙湖内环路的斜拉桥，寓意为“鼎盛中原”，也是国内首座“鼎”形斜拉桥，不论从东西南北哪个方向看上去，都能一眼看到这个“鼎”形斜拉桥．周末明明和亮亮进行课外实践作业，准备测量该桥主塔的高度（塔顶到桥面的距离），测量方案及数据如下： 活动主题：测量“鼎”形斜拉桥主塔的高度． 测量方案：他们两人站在旁边与“鼎”形桥桥面高度相同的桥的同侧，在各自位置测得“鼎”形斜拉桥主塔顶部的仰角，以及两人之间的距离，并记录． 测量示意图：如图， 表示“鼎”形桥主塔的高度，C，D分别表示明明、亮亮的位置，点C，D与点B在同一水平直线上，且点A，B，C，D在同一竖直平面内，． 测量工具：皮尺，测角仪． 测量数据∶两人的距离米，，． 问题解决：请你根据他们的测量方案及数据，计算该“鼎”形斜拉桥主塔的高度．（结果精确到1米；参考数据： ，） 【答案】该桥主塔的高度约为104米 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、解直角三角形等知识点，掌握运用解直角三角形解决实际问题成为解题的关键． 设主塔的高度米，根据等腰直角三角形的性质可得米，由线段的和差可得米，再在中解直角三角形即可解答． 【详解】解：设主塔的高度米， 在中， ∵， ∴米， ∵米， ∴米， 在中， ∵， ，即，解得． 答：该桥主塔的高度约为104米． 19. 我们学习了应用尺规“平分任意一个已知角”，小明对此问题展开进一步探究学习． 【材料阅读】 如图①，商水寿圣寺塔，位于河南省周口市商水县，始建于北宋明道二年．商水寿圣寺塔为九级楼阁式砖塔，平面呈正六边形，塔体从底至顶渐收匀称，成正六棱体锥形．工匠在制作底座和支撑木柱的连接结构时，需要多次作角平分线以实现对称，从而使得结构受力均衡，过程中充分体现工匠的数学应用能力．当时没有量角器，工匠仅凭一把“角尺”（如图②所示），即可将任意角进行平分，下面是应用“角尺”作角平分线的一种方法： 已知． 第一步：分别在的边 和上，用带有刻度的“角尺”测量得到点 C 和 D，使得； 第二步：连接，得到线段； 第三步：用“角尺”作出过点O 与 垂直的射线 ， 就是 的平分线． 【探究与应用】 （1）小明对作图原理进一步探究，第二步作图完成后，可得为 三角形；第三步作图完成后，平分 的依据是： ； （2）请参阅上述材料，借助“角尺”，作出图③木料中的平分线； 【拓展探究】 （3）小明进一步研究发现，用这种方法作“平分任意一个已知角”存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差．如图④，在正五边形． 中，请用无刻度的直尺和圆规作出． 的平分线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）等腰直角；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（或全等三角形对应角相等）；（2）见详解，（3）见详解 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用等腰三角形的三线合一的思想解决问题； （2）根据要求画出图形即可； （3）根据正五边形特征得出，故分别以点分别为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点，连接，则即为的平分线． 【详解】解：（1）根据题意可得， ∴是等腰直角三角形； 第三步作图完成后，平分 的依据是：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合； （2）根据题意作图如下： （3）如图，即为所求． 20. 汽车尾气、工业烟尘和生活排放烟尘是城市大气污染的主要来源，绿化树种具有滞纳和过滤大气污染颗粒物的能力，因此成为城市绿化的常用树种，其中白蜡树和榆树因其生长迅速，树叶繁茂从而被广泛种植．已知1棵榆树和1棵白蜡树的滞尘总量为9千克，2棵榆树和3棵白蜡树的滞尘总量为22千克． （1）每棵榆树和白蜡树的滞尘量分别是多少千克？ （2）一条新建的城市道路需要栽种这两种树，若一棵榆树的种植成本为500元，一棵白蜡树的种植成本为300元，根据道路长度得出栽种两种树木的总数为50棵，要满足滞尘总量不少于230千克，且种植成本尽可能低，则应如何选择这两种树进行种植？ 【答案】（1）每棵榆树的滞尘量为5千克，每棵白蜡树的滞尘量为4千克 （2）此时应选择种植白蜡树20棵，榆树30棵 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意正确列出方程组和函数关系式成为解题的关键． （1）设每棵榆树的滞尘量为x千克，每棵白蜡树的滞尘量为y千克，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设选择种植白蜡树m棵，则选择种植榆树棵，根据要使滞尘总量不少于230千克列不等式求解可得，设种植成本为W元，，最后运用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每棵榆树的滞尘量为x千克，每棵白蜡树的滞尘量为y千克， 根据题意，得，解得∶ ． 答：每棵榆树的滞尘量为5千克，每棵白蜡树的滞尘量为4千克； 小问2详解】 解：设选择种植白蜡树m棵，则选择种植榆树棵， ∵要使滞尘总量不少于230千克， ∴，解得， 设种植成本为W元，则， ∵， ∴W随着m的增大而减小， ∵m的最大值为20， ∴当时，种植成本最低，． 答：此时应选择种植白蜡树20棵，榆树30棵． 21. 图①是一款儿童玩具———声光跑跑小蜗牛，图②是其侧面示意图， 是蜗牛壳，是蜗牛尾巴， 是蜗牛身体，与相切于点，是与的交点，连接，是的直径，且三点共线． （1）求证∶ （2）厂家测得的直径为，，点的离地高度． ，求配套该玩具的包装盒长度的最小值．（备注：包装盒长度不小于的长度） 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）连接，利用圆周角定理和切线的性质可证，进而得到，即可求证； （）证明，可得即得，即得到，由利用余角性质可得，得到，即得，可得，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 证明∶如图，连接， ∵ 是的直径， ∴，即， ∵与相切于点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 解∶由（）可知， 又∵， ∴， 即 ， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即 ， ∴ ∴， ∴， 答：配套该玩具的包装盒长度的最小值为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，余角性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 22. 已知抛物线 与x轴交于，B两点（点A在点 B的左侧），与y轴交于点 C，． （1）求b和c的值； （2）一条和x轴平行的直线与该抛物线交于点 ，，与直线交于点，若求 的最大值． 【答案】（1）， （2）最大值为7 【解析】 【分析】本题考查抛物线与坐标轴交点坐标求解、待定系数法求抛物线及直线表达式，抛物线求最值 ；解题关键是利用已知交点坐标求抛物线参数，结合对称性与方程联立确定变量取值及最值． （1）先依据点坐标和长度确定点坐标，再将、两点坐标代入抛物线方程，通过解方程组求出和的值． （2）先由第一问结果得出抛物线表达式，求出对称轴和点坐标，进而确定直线表达式；再根据抛物线上两点关于对称轴对称得出的值；最后通过联立抛物线与直线方程，结合、、的大小关系求出最大值，从而得到最大值． 【小问1详解】 解∶（1）∵该抛物线与x轴交于，B 两点，，且点A 在点 B 的左侧， ∴点的横坐标为， ∴， 将A，B两点坐标代入 得 解得， 【小问2详解】 由（1）得抛物线的表达式为 其对称轴为． ∵抛物线与轴交于点，令，则， ∴， 设直线的表达式为，把，代入可得， 将代入，得 ， 解得， ∴直线的表达式为． ∵，均在抛物线上，在与x轴平行的直线上， ∴点 E，F关于对称轴对称， ∴． ∵，，最大时，． 由，联立可得 ，即，， 解得或， ∴最大值为． 则的最大值为． 23. 查阅资料：发现打印纸、课本封面等矩形的长与宽之比为 ，在房屋建筑中也存在这样的比例现象，目的是使物体更加美观，通常这样的矩形被定义为“标准矩形”． 提出问题： （1）如图①，在正方形中，连接，以点A为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点 E，以为边作矩形，则矩形 （填“是”或“不是”）标准矩形； （2）深入探究： 已知矩形 是标准矩形，将矩形 绕点 A 逆时针旋转，得到矩形． ①如图②，当第一次经过点 D时，旋转角的度数为 ； ②如图③，在矩形旋转的过程中，直线 交于点 M，猜测的数量关系，并给出证明； ③在矩形旋转过程中，直线交于点M，连接，当时，直接写出的值． 【答案】（1）是 （2）①，②，证明见解析，③或 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和判定定理成为解题的关键． （1）根据正方形的性质以及勾股定理可得，再根据题意以及“标准矩形”的定义即可判断； （2）①根据标准矩形定义可得，再根据旋转的定义可得，则当第一次经过点 D 时， ；然后运用特殊角的三角函数值以及角的和差即可解答；②如解图①，分别过点 C、F作的垂线，垂足分别为H、N，然后证明可得，再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论；③如解图②连接，由（2）②可知，再证明为直角三角形，进而说明A，E，C三点共线，设，则，，然后代入计算即可；同理可解，连接得情况． 【小问1详解】 解：∵在正方形中，连接， ∴， 由题意可得：矩形的边， ∴在矩形中，， ∴矩形是“标准矩形”． 故答案：是． 【小问2详解】 解：①∵矩形 是标准矩形， ， ∵将矩形 绕点A逆时针旋转，得到矩形， ∴， ∴当第一次经过点 D 时， ， ∴， ∴， ∴． ②，证明如下： 如解图①，分别过点 C、F作的垂线，垂足分别为H、N， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ③如解图②，连接，由（2）②可知， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴，即， ∴为直角三角形， ∵， ∴A，E，C三点共线， 设，则， ∴， ∴， ∴， ； ②如解图③，连接，由（2）②可知， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形， ∵， ∴A，E，C三点共线， 设，则， ∴， ∴， ， ∴． 综上所述， 的值为 或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$