精品解析：云南省保山市腾冲市第八中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

腾冲市第八中学2024--2025学年下学期高二年级期中考试 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. ｛1，2｝ B. ｛（1，2）｝ C. （1，2） D. 2. 已知是虚数单位，设复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. 41 C. D. 40 4. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.2 5. 一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔.则该塔的阶数是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 6. 把座位编号为1，2，3，4，5，6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人最多得两张，甲、乙各分得一张电影票，且甲所得电影票的编号总大于乙所得电影票的编号，则不同的分法共有 A. 90种 B. 120种 C. 180种 D. 240种 7. 已知是正方体的棱的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察骰子两次出现的点数，下列说法正确的有（ ） A. 试验的样本空间中有36个基本事件 B. 第一次投掷中，事件“出现偶数点”与事件“出现点数小于3”是互斥事件 C. 试验中两次骰子点数和为7的概率是 D. 试验中两次骰子点数之和最可能出现的是8 10. 已知抛物线C：的焦点为F，点P在抛物线C上，，若为等腰三角形，则直线AP的斜率可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，其导函数为的部分图象如图所示，则以下说法不正确的是（     ） A. 在上单调递增 B. 的最大值为 C. 的一个极大值点为 D. 的一个减区间为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量的夹角为，，则_______. 13. 已知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为_____________． 14. 已知函数，且在区间上单调，若，则__________. 四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）求值: （2）求不等式：的解集． 16. 如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 17. 已知椭圆C：（）的一个焦点为，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）直线l：与椭圆C交于A，B两点，若面积为，求直线的方程. 18. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． （1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望； （2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）． 19. 如图所示，由半椭圆和两个半圆、组成曲线C：，其中点，依次为的左、右顶点，点B为的下顶点，点，依次为的左、右焦点.若点，分别为曲线，的圆心. （1）求的方程； （2）和D分别在曲线和曲线上.求出线段的最大值； （3）若过点，作两条平行线，分别与，和，交与M，N和P，Q，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 腾冲市第八中学2024--2025学年下学期高二年级期中考试 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. ｛1，2｝ B. ｛（1，2）｝ C. （1，2） D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合中的元素以及集合交集概念求即可. 【详解】由集合知集合中的元素为直线上的点， 集合知集合中的元素为的值域，显然集合为点构成的集合，集合为实数构成的集合，因此. 故选D 【点睛】本题考查了对集合概念以及集合的交集概念的理解，属于基础题. 2. 已知是虚数单位，设复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数代数形式的四则运算化简复数，再根据复数的几何意义求出复数的模． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算，考查复数的模的求法，属于基础题． 3. 若，则（ ） A. B. 41 C. D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】写出展开式的通项公式，求出和，求出答案. 【详解】展开式的通项公式为， 令得，故， 令得，故， 所以. 故选：C 4. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.2 【答案】C 【解析】 【分析】先由正态分布的对称性得，再由对称性计算即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布，，所以， 故， 所以， 故选：C. 【点睛】本题考查了正态分布对称性的应用，属于基础题. 5. 一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔.则该塔的阶数是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】先求出前四阶共12座，设第五阶塔的数目为，则，设从第五阶开始自上而下，每一层的塔的数目为，由等差数列的前项和可得结果. 【详解】由第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，则前四阶共12座. 则从第五阶后共有座. 设第五阶塔的数目为，则，设从第五阶开始自上而下，每一层的塔的数目为 由从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列. 所以 所以 所以由，解得或 （舍去） 所以该塔的阶数是 故选：C 6. 把座位编号为1，2，3，4，5，6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人最多得两张，甲、乙各分得一张电影票，且甲所得电影票的编号总大于乙所得电影票的编号，则不同的分法共有 A. 90种 B. 120种 C. 180种 D. 240种 【答案】A 【解析】 【分析】 从6张电影票中任选2张给甲、乙两人，共种方法；再将剩余4张票平均分给丙丁2人，共有种方法；根据分步乘法计数原理即可求得结果. 【详解】分两步：先从6张电影票中任选2张给甲，乙两人，有种分法； 再分配剩余的4张，而每人最多两张，所以每人各得两张，有种分法， 由分步原理得，共有种分法． 故选：A 【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理与组合的综合问题. 7. 已知是正方体的棱的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过作辅助线，找到是和所成的角或其补角．然后利用余弦定理即可求得答案. 【详解】如图，设是棱的中点，连接， 由是棱的中点，故 , 则,故四边形为平行四边形， 故，所以是和所成的角或其补角． 设该正方体的棱长为2，则， 所以, 故异面直线和所成角的余弦值为， 故选：A 8. 已知方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于恒成立，构造函数，则方程在上有两个不等的实数根等价于函数在上有两个不同的零点，利用导数研究函数在的值域即可解决问题． 【详解】由于恒成立，构造函数，则方程在上有两个不等的实数根等价于函数在上有两个不同的零点， 则 ， （1）当时，则在上恒成立，即函数在上单调递增， 当时，，，根据零点定理可得只有唯一零点，不满足题意； （2）当时，令，解得：，令，解得：或， 故的单调增区间为，的单调减区间为， ①当，即时，则在单调递增，当时，，，根据零点定理可得只有唯一零点，不满足题意； ②当 ，即时，则在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，，， ， 故要使函数在上有两个不同的零点， 则 ，解得： ； 综上所述：方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为： 故答案选C 【点睛】本题考查方程根的个数问题，可转为函数的零点问题，利用导数讨论函数的单调区间以及最值即可解决问题，有一定的综合性，属于中档题． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察骰子两次出现的点数，下列说法正确的有（ ） A. 试验的样本空间中有36个基本事件 B. 第一次投掷中，事件“出现偶数点”与事件“出现点数小于3”是互斥事件 C. 试验中两次骰子点数和为7的概率是 D. 试验中两次骰子点数之和最可能出现的是8 【答案】AC 【解析】 【分析】由N=6=36，可判断A; 当第一次投掷时，当出现的点数为2时，两件事同时发生了，从而判断B; 求出两次骰子点数和为7的概率，从而判断C; 列举出次骰子点数之和为8的基本事件即可判断D. 【详解】解：对于A,由题意可知N=6=36,故正确； 对于B，第一次投掷时，当出现的点数为2时，事件“出现偶数点”与事件“出现点数小于3”同时发生了，不是互斥事件，故错误； 对于C,出现两次骰子点数和为7的基本事件有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共6 个，所以事件发生的概率为：,故正确； 对于D,两次骰子点数之和为8的基本事件有：(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)小于和为7的概率，故错误. 故选：AC. 10. 已知抛物线C：的焦点为F，点P在抛物线C上，，若为等腰三角形，则直线AP的斜率可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意知，然后分和两种情况求出点的坐标，从而可求出直线AP的斜率 【详解】由题意知，设， 若，则，解得， 则点P的坐标为或， 所以或； 若，则. 因为，所以，解得或（舍去）， 所以点P的坐标为或， 所以或. 故选：AB 11. 已知函数的定义域为，其导函数为的部分图象如图所示，则以下说法不正确的是（     ） A. 在上单调递增 B. 的最大值为 C. 的一个极大值点为 D. 的一个减区间为 【答案】ABC 【解析】 【分析】从图象可以看出导函数值的正负，从而确定函数单调性，结合极值点和最值概念得到答案. 【详解】A选项，从图象上不能确定在上恒大于0， 故无法确定在上单调递增，A说法错误； BD选项，从图象上可以得到在上大于0，在上小于0， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，不能确定为最大值，B说法错误，D说法正确； C选项，从图象上可以得到， 在左侧小于0，在上大于0，故的一个极小值点为，C说法错误. 故选：ABC 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量的夹角为，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据计算可得结果. 【详解】 . 故答案为： 13. 已知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为_____________． 【答案】. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：原题等价于方程有两个大于零实数根． 因为 所以 所以，即 设 要使方程有两个大于零实数根需要满足，即 解得 所以的取值范围为 考点：1．导函数的几何意义；2．二次函数的根的分布． 14. 已知函数，且在区间上单调，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由在区间上单调，得，即，又，得对称轴，即，则，对进行分类讨论即可求出. 【详解】由在区间上单调，所以最小正周期， 则，即， 又因为，所以图像的一条对称轴为， 即其在时取得最值， 所以，故， 当时，，由，无解； 当时，，由，则当时，， 则，此时，满足题意； 当时，，由，无解； 综上：. 故答案为： 四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）求值: （2）求不等式：的解集． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【详解】（1）； （2）因为，所以，化简可得，解得，所以不等式解集为． 16. 如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量与平面的法向量垂直可证结论正确； （2）根据点面距的向量公式可求出结果. 【小问1详解】 证明：以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，， 所以，，. 设是平面的一个法向量， 则令，得，， 所以. 因为， 所以，又因为平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，， 设是平面的一个法向量， 则令，得，，所以. 所以点到平面的距离. 17. 已知椭圆C：（）的一个焦点为，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）直线l：与椭圆C交于A，B两点，若面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求出，从而求出，即可求解方程； （2）联立直线与椭圆方程，韦达定理求出弦长，利用点到直线的距离求出高，根据面积建立方程求解即可. 【小问1详解】 由焦点为得，又离心率，得到， 所以，所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 设，， 联立，消y得， ，得到， 由韦达定理得，，， 又因为， 又原点到直线的距离为， 所以， 所以，所以，即，满足， 所以直线l的方程为. 18. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． （1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望； （2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）． 【答案】（1）分布列见解析，1 （2）（ⅰ）；（ⅱ）1100 【解析】 【分析】（1）服从超几何分布，利用即可求解； （2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），，即可求解； （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，，求出合格人数的数学期望，即可求解 【小问1详解】 的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布． 的分布列为 0 1 2 的数学期望． 【小问2详解】 （ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， ，根据概率加法公式和事件相互独立定义得， ． 即每位员工经过培训合格的概率为． （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则， ，则（万元） 即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元． 19. 如图所示，由半椭圆和两个半圆、组成曲线C：，其中点，依次为的左、右顶点，点B为的下顶点，点，依次为的左、右焦点.若点，分别为曲线，的圆心. （1）求的方程； （2）和D分别在曲线和曲线上.求出线段的最大值； （3）若过点，作两条平行线，分别与，和，交与M，N和P，Q，求的最小值. 【答案】（1） （2）4 （3）5 【解析】 【分析】（1）由圆的方程可确定圆心坐标，即椭圆焦点坐标，进而根据椭圆关系求得方程； （2）由几何图形特征易知当C与，D与同时重合时线段的最大，进而可以求得最大值； （3）根据对称性将问题转化为求解椭圆截直线的弦长的最小值，利用韦达定理和弦长公式可表示出所求弦长，由此可确定最小值. 【小问1详解】 由两圆的方程知：圆心分别为，，即，， ，解得：， 【小问2详解】 由题意易知当C与，D与同时重合时， 取得最大值为 【小问3详解】 由题意知：； ，由对称性可知：为椭圆截直线的弦长， 设：，其与椭圆交于点和 由得：，则， ，， ， 当时，取得最小值， 的最小值为 【点睛】关键点睛：本题考查直线截椭圆所得弦长最值的求解问题，本题求解最小值的关键是能够对转化为，再根据对称性将转化为直线截椭圆所得弦长的求解问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $