北京市平谷中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

平谷中学高二年级第二学期期中考试数学试题 一、选择(共40分，每题4分) 1.二项式 的展开式中，常数项的值是 ( ) A. 30 B. 15 C. 20 D. 10 2.函数 的单调递减区间为 A. (0,+∞) B. (1,+∞) C. (-1,1) D. (0,1) 3.随机变量X的分布列如下表所示： x 1 2 3 4 P 0.3 m 0.1 2m 则P(X≤2)= ( ) A.0.5 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 4. 已知等差数列{an}满足：则（） A. 2022 B . 2023 C. 2024 D. 2025 5.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A. 0.312 B. 0.36 C. 0.432 D. 0.648 6.有大小相同的4个红球和2个白球.若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B，则.P(B|A)= ( ) A. B. C. D. 7.从5名高一学生和4名高二学生中，选3人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有1名高二学生加宣传活动的不同选法种数为( ) A. 50 B. 74 C. 80 D. 140 8.已知无穷等差数列{an}为递增数列，Sn为数列前n项和，则以下结论正确的是 B.数列{Sn}有最大项 ( ) C.数列{nan}为递增数列 D.存在正整数N₀，当 时， 9.在数列{an}中, 已知 则 是“{an}是单调递增数列”的 （） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 学科网（北京）股份有限公司 10.某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为 ( ) A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 二、填空(共25分，每题5分) 11.在 的展开式中，x的系数为 (用数字作答) 12.函数 的定义域为 13.若曲线 在点 P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点 P的坐标为 14. 在数列{an}中, 其中a，b为常数，则 ab= 15.已知数列{an}各项均为正数， 为其前n项和.若 是公差为 的等差数列，则 三、解答题(共85分) 16. (本小题13分) 记 Sn为等差数列 的前n项和，数列{ 为正项等比数列，已知 (1)求数列 的通项公式； (2)求数列 的前n项和 Tn 17. (本小题14分) 如图，已知 ，四边形ABCD为矩形,P、F 分别是BC,PB的中点 (Ⅰ)证明： (Ⅱ)若点M 为线段AD中点, 求证: PM ∥平面AEF . (Ⅲ) 求二面角D-PE-C的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 18. (本小题14分) 为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下： 手机编号 1 2 3 4 5 6 7 A 型待机时间 (h) 120 125 122 124 124 123 123 B 型待机时间 (h) 118 123 127 120 124 a b 其中, a, b是正整数, 且a<b. (Ⅰ)该卖场有56台A型手机，试估计其中待机时间不少于 123小时的台数； (Ⅱ)从A型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X，求X的分布列及数学期望； (Ⅲ)设A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a，b的值(结论不要求证明). 19. (本小题14分) 某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态(完好或损坏)有较强的相关性.从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如下图所示： 出现发热情况时设备状态的频数 未出现发热情况时设备状态的频数 日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修.对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下(单位：千元)： 操作 经济损失 设备状态 保留观察 停机更换 检查维修 完好 0 10 5 损坏 12 5 7 假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立. (1)已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率； (2)该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修.记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为X千元，求X的分布列和数学期望E(X)； 学科网（北京）股份有限公司 (3)该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况.下面有三种维护这2台设备的操作方案： 发热情况 操作方案 编号 发热 未发热 ① 检查维修 保留观察 ② 停机更换 检查维修 ③ 停机更换 保留观察 直接写出使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号. 20. (本小题15分) 已知函数 (1)求曲线 在点(0, f(0))处的切线方程; (2) 设 证明: g(x)在区间( 单调递增； (3) 判断 与 的大小关系，并说明理由。 21. (本小题15分) 已知直线l： 交椭圆C： 于A，B两点，M(0，3)为椭圆上一点，离心率为 (1)求椭圆方程C的标准方程； (2)证明 (3)求 的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平谷中学高二年级第二学期期中考试数学试题 参考答案 一、选择题 1-10 BDCAD CBDCC 二、填空题 11、15 12、(-1,2)(2,+) 13、(-ln2,2) 14、-1 15、， 三、解答题 16、(1)数列 的通项公式为 数列 的通项公式为 (2)数列 的前n项和为 17、(1)证明因为 PA⊥平面ABCD,BC⊂平面 ABCD,所以 PA⊥BC. 因为AB⊥BC,AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB. 因为 AF⊂平面 PAB,所以BC⊥AF. 因为PA=AB,点F是PB的中点,所以PB⊥AF,又因为BC∩PB=B,所以AF⊥平面 PBC. (2)证明 连接 BM 交 AE 于 N,连接DE,ME,FN. 因为四边形ABCD 是矩形，所以AD∥BC,且AD=BC,又 M,E分别为AD,BC的中点，所以四边形AMEB 是平行四边形，所以 N 为 BM 的中点，又因为F是 PB的中点,所以 PM∥FN. 因为 PM⊄平面AEF,NF⊂平面AEF,所以PM∥平面AEF. 18、(1)被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A型手机中有 台手机的待机时间不少于123小时. (Ⅱ)X可能的取值为0, 1, 2, 3, 所以，X的分布列为： X 0 1 2 3 P 435 (Ⅲ)若A，B两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机的待机时间的方差最小时， 19、(1)设“一台设备未出现发热情况，设备损坏“为事件A，则 (Ⅱ)依题意，一台设备出现发热情况，设备损坏的概率为 设备正常的概率为 易知， 故X的分布列为： X 10 12 14 P -9/100 2 49/10 故 (Ⅲ)使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号为①，理由如下： 记采用不同方案，这2台设备给工厂带来的总经济损失为Y干元， 采用方案①: Y的取值为: 5, 7, 17, 19, , 故采用方案①， 总经济损失的期望 采用方案②: Y的取值为: 10, 12, 15, 17 , 故采用方案②， 总经济损失的期望 采用方案③: Y的取值为: 5, 10, 17, 22, 故采用方案③：总经济损失的期望 综上， 故采用方案①，可使得总经济损失的期望最小. 20、 所以 , 所以曲线 )在点(0,f(0))处的切线方程为 (2) 由题设， g 所以 当 时， 因为0 ，所以 所以g(x)在( 上单调递增； 证明如下： 设 则 由 (2) 知g(x)在 上单调递增，所 以 所以 即h(x)在( 上单调递增， 所以 即 21、(1) 由点 M(0,3)在椭圆上,得 离心率 则 结合 解得 椭圆方程为 (2)设 联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得 计算 化简后得 ， 故 (3) 其中 化简得 令 求导或分析函数最大值，得最大值为32。 学科网（北京）股份有限公司 $$