精品解析：四川省内江市第六中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

内江六中2024—2025学年下学期高2027届期中考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知复数，则 （ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数模的计算公式即可得到结果. 【详解】， . 故选：B. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式可求得的值. 【详解】因为，则. 故选：B. 3. 在中，角所对的边分别是，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理代入整理得，进而得答案. 【详解】解:由余弦定理, 故代入边角互化得: ,整理得: 所以,故三角形为等腰三角形. 故选：A 【点睛】本题考查利用边角互化判断三角形形状，考查化归转化思想，是基础题.解题的关键在于边角互化. 4. 已知，向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式结合向量平行求解即可. 【详解】法1：根据题意得，则有，变形可得，解得或．又，则必有．故选：C． 法2：选项验证法！ 观察选项，当时，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意． 故选:C． 5. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. ， B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于对称 D. 函数在上单调递增 【答案】B 【解析】 【分析】由图象求出的解析式，再利用正弦函数性质逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】对于A，由题意，，则， 则， 又在上，则，即， 所以，则， 又，所以，所以，即，，故A正确； 对于B，因为， 所以不是图象的对称轴，故B错误； 对于C，因为， 所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D，当时，， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：B. 6. 沪苏通长江公铁大桥（如图1）是中国自主设计建造、世界上首座跨度超千米的公铁两用斜拉桥．已知主塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内乘客两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图2），设乘客眼睛离地面的距离为，．若，，在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则根据以上数据可计算主塔高为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系建立方程，再求解即得. 【详解】在中，，则， 在中，，， 解得，所以主塔. 故选：A 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式，结合辅助角公式求出，可得，再根据二倍角的正切公式求解即可. 【详解】， ，， ，其中，，，， ，， ， ， ，． 故选：A． 8. 平面内，定点，，，满足，且，动点，满足，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算与垂直的性质可得是正三角形，且是的中心，再以为坐标原点建立直角坐标系，再根据，结合三角函数设点的坐标，进而表达出，结合三角函数的最值求解即可. 【详解】由题，则到，，三点的距离相等，所以是的外心. 又， 变形可得， 所以，同理可得，， 所以是的垂心， 所以的外心与垂心重合， 所以是正三角形，且是的中心； 由，解得， 所以的边长为； 如图所示，以为坐标原点建立直角坐标系， 则，，，， 可设，其中，，而， 即是的中点，则， ， 当时，取得最大值为． 故选：D． 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】ABD 【解析】 【分析】 选项A，根据已知得到，再根据正弦定理即可得到三角形只有一解，故符合题意.选项，根据正弦定理得到，因为，所以只有一解.选项C，根据正弦定理得到，无解，不符合题意.选项D，根据正弦定理得到，，符合题意. 【详解】选项A，，，，又， 由正弦定理得：，只有一种情况， 此时三角形只有一解，故A符合题意. 选项B，，，， 由正弦定理：得：， 又，，只有一解，故B符合题意. 选项，，，， 由正弦定理得：， 无解，不符合题意. 选项D，，，； 由正弦定理：得， 此时 三角形只有一解，故D符合题意. 故选：. 【点睛】本题主要考查正弦定理中三角形解的个数问题，属于中档题. 10. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. O为点A，B，C所在直线外一点，且，则 B. 已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为 D. 若点G为中线的交点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由A，B，C三点共线，有，其中，即可求得的值；对于B，由向量夹角的坐标表示即可判断；对于C，根据投影向量的概念结合条件即得结果；对于D，利用三角形重心的性质推导判断即可． 【详解】对于选项A：由A，B，C三点共线，O为点A，B，C所在直线外一点， 有，其中，即，所以，故A正确； 对于选项B：，若与的夹角为锐角， 则，解得， 当与共线时，，解得， 此时，与夹角为0，不符合题意， 所以实数的取值范围是，故B不正确； 对于选项C：因为， ， 所以在上的投影向量的坐标为，故C正确； 对于选项D：若点G为中线的交点，延长与交于， 则为的中点，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 在上的零点个数是4041 【答案】BCD 【解析】 【分析】赋值满足最小正周期的数即可判断A；利用对称轴的定义对B选项判断；根据区间把函数变形为，利用余弦型函数的单调性可判断C选项；先分析的周期和奇偶性，再分析在一个周期的零点个数，进而可以判断D. 【详解】对于A，， ， ，即最小正周期不是，故A错； 对于B，， ， ， ，是的对称轴，B正确； 对于C，，， ，即， ，， ，令，， 则在内单调递增，故C对； 对于D，由 ，是偶函数， 又 ，周期为， 即也是偶函数，周期也是. 先分析在上零点的个数， 当时，，， ， 解得或或； 当时，，， ， 解得或； 当时，也符合题意； 综上，在有个零点， 在上的零点个数有， 在上的零点个数有. 在上的零点个数有. D选项正确. 故选：BCD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若复数是纯虚数，则实数__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据纯虚数实部为0虚部不为0，计算即可. 【详解】 由题意得解得． 故答案为：2. 13. 在中，角的对边分别为，，则角_____________. 【答案】 【解析】 【分析】对已知等式变形后结合两角和的正弦公式和辅助角公式以及三角形内角和关系化简求出结果即可. 【详解】因为， 所以， 即， 又， 所以， 所以，又，， 所以，， 故答案为：. 14. 如图，在中，，，，E为的中点，与交于点F，G为的中点.______. 【答案】 【解析】 【分析】根据，设，再根据，，三点共线，设，即可求出，从而得出，，进而求出的值. 【详解】根据，设 ∵F，E，B三点共线 ∴设 ∴，解得 ∴，， ∴ ∵，， ∴ 故答案为：. 【点睛】本题考查了向量数乘的几何意义，向量减法的几何意义，向量数量积的运算，考查了计算和推理能力，属于中档题． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量，满足：，，. （1）求与的夹角的余弦值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）对展开可得，再由向量夹角的余弦值公式即可求解； （2）由向量垂直性质可得，化简后解方程即可求解实数的值. 【小问1详解】 由题可得， 因为，，代入可得， ，所以与的夹角的余弦值. 【小问2详解】 因为，所以， 化简可得， 将，，代入可得，解得或. 16. 已知复数，，且是纯虚数，其中a为实数，i是虚数单位. （1）求a的值； （2）在复平面内，O为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若，求实数c的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由复数除法以及纯虚数的概念即可列式求解； （2）由复数的几何意义得出，结合向量减法及模长公式即可得解 【小问1详解】 复数，，， 则. 因为是纯虚数，所以，解得. 【小问2详解】 由（1）得，. 由题意得，点O，A，B的坐标分别为，，， 所以，，因为， 所以，解得或. 17. 已知函数的图象相邻两个零点之间的距离为. （1）求函数的解析式及的解集； （2）在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 【答案】（1），解集为； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题设有，即可得解析式，再由正弦函数的单调性及周期性求不等式解集； （2）根据已知可得，应用余弦定理、三角形面积公式得、，进而可得，即可得周长. 【小问1详解】 由题设，则， 令，， 所以，，故解集为； 【小问2详解】 由题设，即，， 所以，，又是三角形内角，故， 由，即， 由，则，所以， 易得，所以周长为. 18. 已知函数的最大值为3． （1）若的定义域为，求的单调递增区间； （2）若，，求的值． 【答案】（1）单调递增区间为和 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式将化简并利用最值可得，再由三角函数单调性解不等式即可求得单调递增区间； （2）代入解析式可求得，再根据同角三角函数之间的基本关系以及二倍角等公式即可求得结果. 【小问1详解】 将化简可得， 因为，所以． 此时， 当时， 令．得； 令，得， 所以的单调递增区间为和． 【小问2详解】 由（1）知． 由，得， 所以．又因为．所以， 所以． 所以， ， 所以 . 19. 在中，内角所对的边分别是，． （1）求角； （2）若为边上一点，且满足，， ①求的值； ②求的取值范围． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）先利用余弦定理把等式的左边进行化简为，然后利用三角形的性质把左边继续化简为，然后再利用正弦定理即可求解. （2）根据，判断出AD是的平分线，然后利用等面积法得到，即可求解；根据正弦定理进行边化角把表示出来即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理，等式左边， 因为，所以，所以等式左边． 所以，化简得， 由正弦定理得， 因为，所以， 代入上式化简得． 因为，所以，所以， 即，因为，所以． 【小问2详解】 ①，所以AD是的平分线， 由（1）知，，所以， 在中，， 即， 化简得，则． ②在中，由正弦定理得． 即， 在中，由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以． 因为．所以，所以， 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江六中2024—2025学年下学期高2027届期中考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知复数，则 （ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角所对的边分别是，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 4. 已知，向量，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. ， B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于对称 D. 函数在上单调递增 6. 沪苏通长江公铁大桥（如图1）是中国自主设计建造、世界上首座跨度超千米的公铁两用斜拉桥．已知主塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内乘客两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图2），设乘客眼睛离地面的距离为，．若，，在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则根据以上数据可计算主塔高为（ ）． A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 平面内，定点，，，满足，且，动点，满足，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. O为点A，B，C所在直线外一点，且，则 B. 已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为 D. 若点G为中线的交点，则 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 在上的零点个数是4041 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若复数是纯虚数，则实数__________． 13. 在中，角的对边分别为，，则角_____________. 14. 如图，在中，，，，E为的中点，与交于点F，G为的中点.______. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量，满足：，，. （1）求与的夹角的余弦值； （2）若，求实数的值. 16. 已知复数，，且是纯虚数，其中a为实数，i是虚数单位. （1）求a的值； （2）在复平面内，O为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若，求实数c的值. 17. 已知函数的图象相邻两个零点之间的距离为. （1）求函数的解析式及的解集； （2）在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 18. 已知函数的最大值为3． （1）若的定义域为，求的单调递增区间； （2）若，，求的值． 19. 在中，内角所对的边分别是，． （1）求角； （2）若为边上一点，且满足，， ①求的值； ②求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $